Lista de exercicios de algebra linear

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9a lista de exerc´ıcios de Matema´tica II
(1) Mostre que a matriz
 1 2 32 5 7
−2 −4 −5
 e´ a matriz inversa de
 3 −2 −1−4 1 −1
2 0 1
.
(2) Considere a matriz A =
 a 0 00 b 0
0 0 c
, onde a, b e c sa˜o nu´meros reais
na˜o nulos. Determine a matriz inversa da matriz A. Resp: A−1 = 1/a 0 00 1/b 0
0 0 1/c

(3) Sabendo que
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = 5, calcule os determinantes abaixo.
a)
∣∣∣∣ b ad c
∣∣∣∣ Resp: −5 b) ∣∣∣∣ −a −b−c −d
∣∣∣∣ Resp: 5 c) ∣∣∣∣ a cb d
∣∣∣∣ Resp: 5
d)
∣∣∣∣ 2a 3b2c 3d
∣∣∣∣ Resp: 30 e) ∣∣∣∣ 4a 4cb d
∣∣∣∣ Resp: 20
(4) A e´ uma matriz quadrada de ordem 4 e det(A) = −6. Calcule o valor
de x tal que det(2A) = x− 97. Resp: x = 1
(5) Calcule os determinantes.
a)
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ R: −7 b)
∣∣∣∣∣∣
−1 2 −3
1 −2 1
1 −1 0
∣∣∣∣∣∣ R: −2
c)
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 2 3 0
0 2 0 0
−1 1 3 1
2 −1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ R: 12 d)
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 2 0 1
2 1 0 −2
0 −1 0 −2
0 −2 3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ R: −30
e)
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 4 2 1
5 0 −1 −2
0 0 4 0
−1 0 3 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ R: −208 f)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 3 2 0
3 1 0 2
2 3 0 1
0 2 1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ R: 48
1
g)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0 1 1 0
2 −1 0 1 2
1 0 −1 −2 1
2 0 1 −3 −2
2 0 1 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
R: 14 h)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 1 0 −1
0 0 2 0 0
−1 0 2 1 1
0 2 −1 2 1
2 −1 0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
R: 10
(6) Considere a matriz A =
 2 1 06 −1 3
2 0 1
. Calcule o valor do determinante
de A−1. Resp: det(A−1) = −1
2
(7) Para que valores reais de m existe a inversa da matriz A =
[
m 5
5 m
]
?
Resp: m e´ um nu´mero real diferente de 5 e de −5
(8) Determine os valores de k para que a matriz A =
 1 0 −1k 1 3
1 k 3
 seja
invers´ıvel. Resp: k e´ um nu´mero real diferente de 1 e de −4
(9) Calcule a matriz adjunta das matrizes abaixo:
a) A =
 1 2 30 1 2
0 0 0
 Resp: adj(A) =
 0 0 10 0 −2
0 0 1

b) B =
 1 2 30 1 2
0 0 1
 Resp: adj(B) =
 1 −2 10 1 −2
0 0 1

(10) Calcule a inversa das matrizes, se existir.
a) A =
 −2 3 −11 −3 1
−1 2 −1
 R: A−1 =
 −1 −1 00 −1 −1
1 −1 −3

b) B =
 −3 4 −50 1 2
3 −5 4
 R: B−1 =
 −143 −3 −133−2 −1 −2
1 1 1

2