Normal

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Professora
Kelly Alonso
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Email: kellyalonso@uol.com.br
• A distribuição Normal é a mais importante das
distribuições estatísticas, tanto na teoria como na prática:
– Representa a distribuição de freqüência de muitos
fenômenos naturais;
– Serve como aproximação da distribuição Binomial, 
quando n é grande;
– As médias e as proporções de grandes amostras
seguem a distribuição Normal (Teorema do Limite
Central).
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
�
• A distribuição Normal é em forma de sino, unimodal, simétrica 
em relação à sua média e tende cada vez mais ao eixo horizontal 
à medida que se afasta da média.
• Ou seja, teoricamente os valores da variável aleatória podem 
variar de -∞ a +∞.
• A área abaixo da curva Normal representa 100% de 
probabilidade associada a uma variável. 
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
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DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
• A probabilidade de uma variável aleatória tomar um valor entre
dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses
dois pontos.
• A vantagem da distribuição normal reside na facilidade de 
defini-la com apenas dois parâmetros, a média µ e o desvio 
padrão σ da distribuição, por exemplo, a curva da distribuição 
normal f(x) para µ=40, σ=10 e valores da variável aleatória no 
intervalo (10, 70) é mostrada na figura. 
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
•Percentuais 
da 
distribuição 
Normal:
 99,73%
 95,44%
 68,26%
 
2 7 .6 2 7 . 8 2 8 2 8 .2 2 8 .4 2 8 .6 2 8 .8 2 9 2 9 .2
 -1σ +1σ
 -2σ +2σ
 -3σ +3σ
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
• A distribuição Normal fica completamente caracterizada por 
dois parâmetros: a média e o desvio-padrão. 
• Ou seja, diferentes médias e desvio-padrões originam 
curvas normais distintas, como se pode visualizar nos 
exemplos contidos na tabela abaixo onde há amostras 
provenientes de distribuições com média e desvios-padrões 
distintos. 
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
•a) da distribuição A para B muda a tendência central, mas 
a variabilidade é constante;
•b) da distribuição A para C muda a variabilidade, mas a 
tendência central é constante;
•c) da distribuição B para C muda a tendência central e a 
variabilidade.
A
C
B
x
f(x)
•Uma conseqüência importante do fato de uma distribuição 
Normal ser completamente caracterizada por sua média e 
desvio-padrão é que a área sob a curva entre um ponto 
qualquer e a média é função somente do número de 
desvios-padrões que o ponto está distante da média.
•Como existem uma infinidade de distribuições normais 
(uma para cada média e desvio-padrão), transformamos a 
unidade estudada seja ela qual for (peso, espessura, tempo, 
etc.) na unidade Z, que indica o número de desvios-padrão a 
contar da média.
•Dessa forma, o cálculo de probabilidades (área sob a curva) 
pode ser realizado através de uma distribuição Normal 
padronizada, onde o parâmetro é a variável reduzida Z.
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
FunFunçção Densidade de Probabilidadeão Densidade de Probabilidade
21
21( )
2
x
f x e x
µ
σ
pi σ
−� �
− � �
� �
= −∞ < < +∞
-∞ +∞
( ) 1f x dx
+∞
−∞
=�
( )E X µ=
(8 11) ?P X< < =
�������� ~ (10,4)X N
11
8
( )f x dx�
µ
σ
2( )Var X σ=
2
~ ( , )X N µ σ
210 4µ σ� = =
21 1011
2 2
8
1(8 11)
2 2
x
P X e dx
pi
−� �
− � �
� �< < = �
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
•A distribuição Normal acumulada é obtida calculando a 
probabilidade de X ser menor que um dado valor x:
•A solução está apresentada em tabelas da distribuição 
Normal padronizada onde se entra com a variável reduzida 
Z (número de desvios-padrões distantes da média) e 
encontra-se F(Z) ou vice-versa.
{ } Tabelado )( �=
	
�
�
� −≤=≤ ZFxZPxXP
σ
µ
�
∞−
==≤
x dxxfxFxXP )()()(
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
•A variável reduzida mede a magnitude do desvio em relação 
à média, em unidades de desvio padrão.
•A variável reduzida é muito útil para comparar distribuições e 
detectar dados atípicos.
• A variável aleatória desvio padrão normalizado Z de uma 
distribuição normal padronizada é definida pela expressão:
• A nova variável Z realiza cálculos de probabilidades com 
uma única curva de distribuição denominada distribuição 
normal padronizada N(0, 1).
• Depois da transformação da variável, a função densidade 
f(x) passa a ser:
σ
µ−
=
XZ
2
2
2
1)(
Z
eZf
−
pi
=
DistribuiDistribuiçção Normal Padrãoão Normal Padrão
XZ µ
σ
−
=
( )E Z = XE µ
σ
−� �
=� �
� �
( )1 E X µ
σ
− = ( )1 ( )E X µ
σ
− = ( )1 0µ µ
σ
− =
( )Var Z = XVar µ
σ
−� �
=� �
� �
( )21 Var X µσ − = ( )2
1 Var X
σ
� 	
���
�	����������
�����������~ (0,1)Z N
2
2 1
σ
σ
= =
�
��
	���������� 2~ ( , )X N µ σ � Y aX b= + �
��� ~ (?,?)Y N 2 2~ ( , )Y N a b aµ σ+
DistribuiDistribuiçção Normal Padrãoão Normal Padrão
DistribuiDistribuiçção Normal Padrãoão Normal Padrão
[ ]zZP ≥ [ ]zZP ≤≤0 [ ]zZP ≤
z
(0 2,17) ?P Z< < =
(0 2,17) 0,4850P Z< < =
-∞ +∞0 z
(0 )P Z z< <
DistribuiDistribuiçção Normal Padrãoão Normal Padrão
( 2,17 0) ?P Z− < < =
( 2,17 0) 0,4850P Z− < < =
-∞ +∞0-2,17 2,17-∞ +∞0
=
0,48500,4850
DistribuiDistribuiçção Normal Padrãoão Normal Padrão
( 1 2) ?P Z− < < =
( 1 2) 0,4772 0,3413 0,8185P Z− < < = + =
= +
-∞ +∞0 2-1 -∞ +∞0 1-∞ +∞0 2
0,4772 0,3413
DistribuiDistribuiçção Normal Padrãoão Normal Padrão
-∞ +∞0-∞ +∞0 1,5 -∞ +∞0 1,5
( 1,5) ?P Z > =
( 1,5) 0,5 0,4332 0,0668P Z > = − =
=
0,5
_
0,4332
DistribuiDistribuiçção Normal Padrãoão Normal Padrão
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
Exemplo 1: A resistência à tração do papel usado em 
sacolas de supermercado é uma característica de qualidade 
importante. Sabe-se que essa resistência segue um modelo 
Normal com média 40 psi e desvio padrão 2 psi. Se a 
especificação estabelece que a resistência deve ser maior 
que 35 psi, qual a probabilidade que uma sacola produzida 
com este material satisfaça a especificação?
9938,04938,05,0)5,2(
)5,2(5,2
2
4035
?)35(
=+=−≥
→
−≥�−=−=−=
=≥
ZP
TabelaGráfico
ZPxZ
xP
σ
µ
DistribuiDistribuiçção Normalão Normal
Exemplo 2: O diâmetro do eixo principal de um disco rígido
segue a distribuição Normal com média 25,08 in e desvio
padrão 0,05 in. 
Se as especificações para esse eixo são 25,00 ± 0,15 in, 
determine o percentual de unidades produzidas em
conformidades com as especificações.
9192,04192,05,0)4,16,4(
?)4,16,4(
4,1
05,0
08,2515,25
6,4
05,0
08,2585,24
?)15,2585,24()15,02515,025(
=+=≤≤−
→
=≤≤−
�
�
	
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�
=
−
=
−
=
−=
−
=
−
=
=≤≤=+≤≤−
ZP
TabelaGráfico
ZP
xZ
xZ
xPxP
σ
µ
σ
µ