ÁLGEBRA LINEAR - Professor Hector Carion/ UFRN

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Escola de Cieˆncia e Tecnologia
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A´lgebra linear
H. L. Carrion
Natal - UFRN/RN
Lista de Figuras
Suma´rio
Cap´ıtulo 1
Matrizes
1.1 Definic¸o˜es sobre matrizes
Definic¸a˜o 1.1.1. Uma matriz e´ um reticulado retangular formado por objetos denominados de
elementos (ou entradas), disposto por m linhas e n colunas, por exemplo :
altura peso edade
pai 1.70 60 40
mae 1.72 50 30
filha 1.50 60 15
Assim, uma matriz a valores reais ou complexos, que vamos denotar por A, com m linhas
e n colunas e´ presesentada por:
A =

a11 a12 . . . a1j . a1m
a21 a22 . . . a2j . a2m
. . . . . . . .
. . . . . . . .
ai1 ai2 . . . aij . aim
. . . . . . . .
. . . . . . . .
an1 an2 . . . anj . anm

n×m
(1.1)
Dado uma matriz An×m = [aij]n×m, matriz A de ordem n × m (n linhas e m colunas),
os elementos da matriz aij podem ser nu´meros reais (R) ou complexos (C), i = 1, 2, ...n; j =
1, 2, ...m.
1.1 Definic¸o˜es sobre matrizes 3
Os elementos {a11, a22, ...., anm}, sa˜o chamados de diagonal principal, e os elementos dispostos
na posic¸a˜o {a1m, a2 m−1, ...., an1}, sa˜o chamados de diagonal secundaria
Definic¸a˜o 1.1.2. Uma matriz e´ dita retangular quando o numero de linhas m e´ diferente que
o numero de colunas n, ou seja (m 6= n). Logo, a matriz A e´ quadrada quando o numero de
linhas m e´ igual ao numero de colunas n, ou seja (m = n).
Exemplo 1.1.1. : matriz retangular de ordem 3× 2
A3×2 =

3 0
2 −1
1 2
 (1.2)
Observe que : a11 = 3, a32 = 2.
Exemplo 1.1.2. Matriz quadrada
B2×2 =
 a b
c d
 (1.2)
Observe que : b11 = a, b22 = d; a, b, c, d ∈ R. O que quer dizer que a matriz B(R) tem todos
os elementos reais.
Exemplo 1.1.3. Matriz quadrada a valores complexos
B2×2 =
 2− 2I 4I
3 + 2I 0
 (1.2)
Observe que, agora os elementos sa˜o numeros complexos, I e´ a unidade imaginaria, tal que
I2 = −1. Por isso podemos denotar assim B2×2(C).
Definic¸a˜o 1.1.3. Uma matriz e´ nula quando todos os elemento aij = 0, ∀i, j. A notac¸a˜o usual
e´ [0]m×n.
Exemplo 1.1.4. Matriz quadrada e nula
B2×2 =
 0 0
0 0
 (1.2)
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1.1 Definic¸o˜es sobre matrizes 4
Definic¸a˜o 1.1.4. Uma matriz coluna tem a forma A = [aij]m×1.
A =

a11
a21
.
.
am1

(1.3)
Definic¸a˜o 1.1.5. Uma matriz linha tem a forma A = [aij]1×n.
A =
[
a11 a12 . . a1n
]
(1.4)
Exemplo 1.1.5. Um vetor pode-se acomodar como uma matriz coluna. Por exemplo, o vetor
V = (3, 2, 0) pode se acomodar como a matriz coluna
V3×1 =

3
2
0
 (1.4)
Definic¸a˜o 1.1.6. Uma matriz quadrada e diagonal A = [aij] esta definida assim :
aij =
 aii, i = j ;0, i 6= j. (1.5)
Ou em forma explicita:
A =

a11 0 . . 0
. . 0 0 .
. 0 aii . 0
. . 0 . 0
0 0 . . ann

(1.6)
como caso particular temos a matriz identidade I
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1.1 Definic¸o˜es sobre matrizes 5
I =

1 0 . . 0
. . 0 0 .
. 0 1 . 0
. . 0 . 0
0 0 . . 1

n×n
(1.7)
que na forma compacta assume a seguinte forma:
δij =
 1, i = j ;0, i 6= j, i, j = {1, 2, .., n}. (1.8)
δij e´ delta de Kronocher.
A seguir iremos ver uma aplicac¸a˜o de matrizes
Exemplo 1.1.6. Suponha que uma empresa que monta ambientes de um predio de ensino
superior, vai equipar uma sala de escritorio para um professor, um laboratorio e uma sala de
aula. A empresa quer saber o prec¸o base de cada ambiente, considerando que cada ambiente
tem os seguintes equipamentos.
cadeiras mesa computador armario
Sala de escritorio 5 2 2 2
Laboratorio 10 1 10 2
Sala de aula 30 1 1 2
 (1.9)
qual e´ o prec¸o base para montar cada ambiente, com os equipamentos indicados?. considere que
o prec¸o base dos equipamentos esta˜o dadas pela seguinte matriz
equipamento Prec¸o (reais)
1 cadeira 500
1mesa 1200
1 computador 2000
1 armario 900

(1.10)
Para responder a esta questa˜o, de forma simples e sistema´tica, precisamos aprender as
operac¸o˜es com matrizes, em particular sera´ util a multiplicac¸a˜o de matrizes. Para saber a
resposta, voltaremos a tocar no assunto apos apresentar o conceito de multiplicac¸a˜o de matrizes.
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1.1 Definic¸o˜es sobre matrizes 6
Definic¸a˜o 1.1.7. Matriz transposta: a transposta de uma matriz Aij e´ outra matriz deno-
minada ATij ”Transposta de A”que se obtem trocando as linhas por colunas na matriz A, logo
ATij = Aji, {∀ i = 1, 2, ...,m, j = 1, 2, .., n}.
Exemplo 1.1.7. Seja a matriz A
A3×2 =

2 0
−1 4
7 13

logo matriz transposta sera´
AT2×3 =
 2 −1 7
0 4 13

observac¸a˜o 1 Seja A = [aij] e A
T = [aTij], logo :
aT11 = a11 = 2
aT12 = a21 = −1
aT13 = a31 = 7
aT21 = a12 = 0
aT22 = a22 = 4
aT23 = a32 = 13
(1.10)
observac¸a˜o 2 Observe que a linha-2 da matriz A, pasou a ser a coluna-2 da matriz AT .
♠ Logo, dado uma matriz An×m, podemos concluir em geral que a i-e´sima linha da matriz A,
pasou a ser a i-e´sima coluna da matriz AT (i ≤ n).
1.1.1 Definic¸o˜es para matrizes quadradas
Definic¸a˜o 1.1.8. Matriz sime´trica: Uma matriz quadrada An×n e´ dita sime´trica se A = AT ,
ou e em termos dos elementos da matriz A, aij = aji, {∀ i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, .., n}.
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1.1 Definic¸o˜es sobre matrizes 7
Exemplo 1.1.8. Seja a matriz A
A3×3 =

0 2 −1
2 4 3
−1 3 7
⇒ AT3×3 =

0 2 −1
2 4 3
−1 3 7

Podemos observar que a transposta da matriz A e´ igual a propria matriz A. De outra
forma, o elemento a23 = a32, a12 = a21, e assim por diante. Podemos dizer tambe´m que, por
exemplo, a linha 1 e´ igual a coluna 1, a linha 2 e´ igual a coluna 2, e a linha 3 e´ igual a coluna 3.
♠ Em geral podemos afirmar que a i-e´sima linha e´ igual a i-e´sima coluna, para qualquer valor
de i = 1, 2, .., n.
♠ Tambem podemos dizer que a diagonal principal faz o papel de espelho, logo os elementos
que esta˜o na parte inferior e os elementos que esta˜o na parte superior sa˜o simentricos em relac¸a˜o
a` digonal principal
Definic¸a˜o 1.1.9. Matriz antisime´trica: Uma matriz quadrada An×n e´ dita antisime´trica
se A = −AT , ou e em termos dos elementos da matriz A, aij = −aji, {∀ i = 1, 2, ..., n, j =
1, 2, .., n}.
Exemplo 1.1.9. Seja a matriz A
A3×3 =

0 2 1
−2 0 −3
−1 3 0
 , a23 = −a32, a31 = −a13..; a22 = −a22 = 0, ...,
Logo A e´ antisimetrico. De outra forma
AT3×3 =

0 −2 −1
2 0 3
1 −3 0
 . comparando ambas matrizes, observe que A = −AT .
Exemplo 1.1.10. Seja a matriz An×n antisime´trica por definic¸a˜o, logo prove que os elementos
da diagonal principal sa˜o nulos.
Soluc¸a˜o.- Se a matriz A e´ antisime´trica enta˜o aij = −aji, {∀ i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, .., n}.
Em particular, quando analisarmos os elementos da diagonal principal i = j. Logo, aii = −aii →
2aii = 0→ aii = 0, ∀ i = 1, 2, .., n. Logo, enunciamos o seguinte resultado.
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1.1 Definic¸o˜es sobre matrizes 8
♠ Em toda matriz antisime´trica, os elementos da diagonal principal sa˜o todos iguais a zero.
♠ Outra propriedade de toda matriz antisime´trica e´ que os elemntos por cima da diagonal
principal sa˜o os negativos dos elementos por baixo da diagonal principal.
Definic¸a˜o 1.1.10. Matriz nilpotente: Uma matriz quadrada An×n e´ dita nilpotente se
AK = [0]n×n (de ordem K ou ı´ndice de nilpotencia K), sendo K um nu´mero natural
Qualqer matriz triangular An×n com os elementos da diagonal principal iguais a zero e´
nilpotente de ordem n.
Exemplo 1.1.11. Seja a matriz A
A =

0 0 0
r 0 0
0 r 0
 , verifique que : A3 = [0],∀ r ∈ R,
logoA e´ nilpotente de ordem K = 3.
Definic¸a˜o 1.1.11. Matriz Involutiva: Uma matriz quadrada An×n e´ dita involutiva se
A2 = 1n×n.
Exemplo 1.1.12. Seja a matriz A
A =
 0 −I
I 0

sendo I a unidade imaginaria (I2 = −1), verifique que A2 = 1, logo A e´ involutiva.
Definic¸a˜o 1.1.12. Matriz triangular superior: Uma matriz quadrada An×n e´ dita trian-
gular superior se aij = 0, ∀ i > j
Exemplo 1.1.13. Seja a matriz A
A =

b a e
0 e d
0 0 c
 , a, b, c, .., f reais arbitrarios.
Definic¸a˜o 1.1.13. Matriz triangular inferior: Uma matriz quadrada An×n e´ dita triangu-
lar inferior se aij = 0, ∀ i < j
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1.1 Definic¸o˜es sobre matrizes 9
Exemplo 1.1.14. Seja a matriz A
A =

b 0 0
a f 0
e d c
 , a, b, c, .., f reais arbitrarios.
Exemplo 1.1.15. Seja a matriz A
A3×3 =

1 0 0
−2 5 0
0 4 3

logo matriz transposta sera´
AT3×3 =

1 −2 0
0 5 4
0 0 3

Este exemplo indica que a transposta de toda matriz triangular inferior e´ uma matriz
triangular superior e viceversa.
Definic¸a˜o 1.1.14. Trac¸o da matriz A: Dado uma matriz quadrada An×n, logo o trac¸o da
matriz A e´ definida como a soma dos elementos da diagonal principal. Ou
Tr(A) = a11 + a22+, ....+ ann =
k=n∑
k=1
akk.
No exemplo anterior (1.1.14) o Tr(A) = b+ f + c.
Exemplo 1.1.16. Seja a matriz A
A3×3 =

1 0 −7
−2 3 0
8 3 −6

Tr(A) = 1 + 3− 6 = −2
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1.2 A´lgebra matricial 10
1.2 A´lgebra matricial
1.2.1 Adic¸a˜o de matrizes
Definic¸a˜o 1.2.1. Adic¸a˜o de matrizes : Sejam duas matrizes Am×n = [aij], Bm×n = [bij].
Logo a matriz soma C = A+B tem os seguintes elementos:
[cij] = [aij + bij], C = [cij]. (1.2)
Propriedades de adic¸a˜o de matrizes :
A+B = B + A soma comutativa (1.3)
A+ (B + C) = (A+B) + C, soma associativa (1.4)
A+ 0 = 0 + A = A. (1.5)
Sendo 0 a matriz nula. Para provar cada uma destas treˆs propriedade da soma de matrizes
basta utilizar as propriedades de associatividade e comutatividade da soma de nu´meros reais na
definic¸a˜o (1.2.1).
Exemplo 1.2.1. Sejam as matrizes A e B, verifique a propriedade de comutatividade A+B =
B + A.
A =
 0 1
3 −2

B =
 1 0
5 7

Soluc¸a˜o.-
A+B =
 0 1
3 −2
+
 1 0
5 7
 =
 0 + 1 1 + 0
3 + 5 −2 + 7
 =
 1 1
8 5

B + A =
 1 0
5 7
+
 0 1
3 −2
 =
 1 + 0 0 + 1
5 + 3 7− 2
 =
 1 1
8 5

H.L. Carrion ECT
1.2 A´lgebra matricial 11
Perceba, que a comutatitivadade da soma de matrizes(cujos elementos sa˜o nu´meros reais)
se baseia na comutatividade da soma dos nu´meros reais.
Exemplo 1.2.2. Seja a matriz An×n arbitrario, provar que sempre e´ possivel descompor esta
matriz como uma soma de uma matriz sime´trica e outra antisme´trica.
Soluc¸a˜o:
Seja A = [aij], logo
aij ≡ aij + aij
2
≡ aij + aij + aji − aji
2
=
aij + aji
2
+
aij − aji
2
aij =
aij + aji
2
+
aij − aji
2
aij = a
s
ij + a
as
ij (1.4)
sendo:
asij =
aij+aji
2
aasij =
aij−aji
2
.
Agora, podemos verificar a simetria dos elementos asij e a
as
ij respetivamente, ao trocar os
indices i↔ j, (∀ i, j = {1, 2, .., n}).
asji =
aji + aij
2
= asij, Logo, A
s = [asij] e´ simetrico
aasji =
aji − aij
2
= −aasij Logo, Aas = [asij] e´ antisimetrico
Logo, a partir da equac¸a˜o (1.4) A ≡ [As] + [Aas], o que queriamos. demonstrar (o. q. q. d.)
Definic¸a˜o 1.2.2. Sejam as matrizes A = [aij], B = [bij] duas matrizes do mesmo ordem m×n,
logo a diferenc¸a de matrizes A-B, e´ outra matriz C = [cij] do mesmo ordem m× n tal que:
C = A−B tal que : cij = aij − bij.
1.2.2 multiplicac¸a˜o de matrizes por escalares
Definic¸a˜o 1.2.3. Multiplicac¸a˜o de uma matriz por um escalar : Seja A uma matriz de
H.L. Carrion ECT
1.2 A´lgebra matricial 12
ordem m× n e k um escalar (nu´mero real ou nu´mero complexo).
kAm×n =

ka11 ka12 . . . ka1j . ka1m
ka21 ka22 . . . ka2j . ka2m
. . . . . . . .
. . . . . . . .
kai1 kai2 . . . kaij . kaim
. . . . . . . .
. . . . . . . .
kan1 kan2 . . . kanj . kanm

m×n
. (1.5)
Ou seja, o produto do escalar k e a matriz A e´ outra matriz C = [cij] tal que cij = kaij, ∀i, ∀j.
Exemplo 1.2.3. Seja a matriz A =
 1 0 4
2 −1 5
, logo a matriz C = 3A = 3
 1 0 4
2 −1 5
 = 3 0 12
6 −3 15
.
Exemplo 1.2.4. Seja a matriz A
A =

2 0 4
−3 1 0
0 5 3
 , Logo (−2)A = (−2)

2 0 4
−3 1 0
0 5 3
 =

−4 0 −8
6 −2 0
0 −10 −6

Propriedades de multiplicac¸a˜o de matrizes por escalares
Sejam Am×n, Bm×n matrizes arbitrarias de mesmo ordem, e k1, k2 sa˜o escalares arbitrarios.
k1(A+B) = k1A+ k2B, propriedade distributiva da soma (1.6)
(k1 + k2)A = k1A+ k2A, propriedade distributiva da soma (1.7)
k1(k2A) = (k1k2)A, propriedade distributiva da multiplicac¸a˜o (1.8)
0A = 0. (1.9)
1A = A (1.10)
Na propriedade (1.10), no lado esquerdo da igualdade e´ o nu´mero zero e no lado direito e´ a
matriz nula 01.
1 As propriedades (1.4)-(1.5), (1.6)-(1.10) de matrizes, sa˜o na verdade uma parte das boas propriedades que
H.L. Carrion ECT
1.2 A´lgebra matricial 13
1.2.3 multiplicac¸a˜o de matrizes
Definic¸a˜o 1.2.4. Multiplicac¸a˜o de duas matrizes: Seja Am×n, Bp×q duas matrizes tal que
o nu´mero de colunas da matriz A e´ igual ao nu´mero de linhas da matriz B (n = p). Logo a
matriz Cm×q = Am×nBp×q esta definida assim :
cij =
k=p∑
k=1
aikbkj. (1.11)
De uma forma pratica, podemos dizer que o elemento cij da matriz C pode ser calculada
multiplicando a i−e´sima coluna da matriz A com a j−e´sima coluna da matriz B.
Exemplo 1.2.5. Sejam as matrizes A,B:
A3×3 =

2 0 4
−3 1 0
0 5 3
 , B3×2 =

2 0
1 −1
4 1
 ,
Consideremos o produto C = AB =

c11 c12
c21 c22
c31 c32
 .
De acordo a definic¸a˜o (1.2.4) iremos determinar cada elemento cij da matriz produto C3×2
utilizando a equac¸a˜o (1.11), por exemplo :
c11 =
∑k=3
k=1 a1k bk1 = a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 ≡ 2.2 + 0.1 + 4.4 = 20, ou
2 0 4
−3 1 0
0 5 3
 .

2 0
1 −1
4 1
 =

c11 c12
c21 c22
c31 c32

ou de forma mais pra´tica,
c11 = produto da primeira linha da matriz A com a primeira coluna da matriz B =20.
Analogamente :
c21 =
∑k=3
k=1 a2k bk1 = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 ≡ −3.2 + 1.1 + 0.4 = −5, ou
todo espac¸o vetorial deve possuir. De outra maneira, as matrizes de ordem m× n junto com as propriedade
de soma e multiplicac¸a˜o definidas anteriormente, e outras que depois iremos apresentar, formam um espac¸o
vetorial
H.L. Carrion ECT
1.2 A´lgebra matricial 14

2 0 4
−3 1 0
0 5 3
 .

2 0
1 −1
4 1
 =

c11 c12
c21 c22
c31 c32

c21 = produto da segunda linha da matriz A com a primeira coluna da matriz B = -5.
.
.
c32 = produto da terceira linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B = -2.
Finalmente a matriz C e´
C =

20 4
−5 −1
17 −2

Vamos voltar ao exemplo (2.2.1) que ficou sem resposta, agora que sabemos multiplicar
matrizes, podemos responder utilizando de forma sistema´tica.
Exemplo 1.2.6. se queremos determinar o prec¸o base de cada ambiente, devemos multiplicar
a matriz (1.33) com a matriz (1.10), do seguinte modo

5 2 2 2
10 1 10 2
30 1 1 2
 .

500
1200
2000
500
 =

9900
27200
19200
 =

Prec¸o total(Reais)
Da sala de escritorio
Laboratorio
Da sala de aula
 (1.12)
Isto quer dizer, por exemplo, que o prec¸o base pramobiliar uma sala de escritorio para
professor custa 9900 reais.
Teorema 1.2.1. O produto de matrizes Am×nBn×q em geral e´ na˜o comutativo, ou seja AB 6=
BA. No caso particular quando as matrizes comutam, se diz que A e B sa˜o comutativas.
A validade do teorema anterior na˜o depende se as matrizes sa˜o retangulares ou quadradas.
O ponto importante e´ que na multiplicac¸a˜o de matrizes importa a ordem da multiplicac¸a˜o.
Propriedades de multiplicac¸a˜o de matrizes
H.L. Carrion ECT
1.2 A´lgebra matricial 15
Sejam Am×n, Bp×q matrizes arbitrarias, k um escalar.
AI = IA = A, elemento identidade da multiplicac¸a˜o (1.13)
A(B + C) = AB + AC, (A+B) C = AC +BC propriedade distributiva da multiplicac¸a˜o
(1.14)
A(BC) = (AB)C, propriedade da associatividade da multiplicac¸a˜o (1.15)
(A+B)T = AT +BT . (1.16)
(AT )T = A (1.17)
(kA)T = kAT (1.18)
(AB)T = BTAT . (1.19)
Observe que na propriedade (1.19) devemos prestar atenc¸a˜o a` ordem da multiplicac¸a˜o das
matrizes.
Exemplo 1.2.7. Provar que para toda matriz quadrada (AT )T = A
Demonstrac¸a˜o Seja a matriz A = [aij], sabemos pela propriedade de transposta de uma
matriz AT = [aTij], sendo a
T
ij = aji. Ao aplicarmos novamente a propriedade de transposta,
temos: (AT )T = [aTij]
T = [aji]
T = [aij] = A.
Exemplo 1.2.8. Considere as matrizes A =
 I 0
0 I
 e B =
 0 I
−I 0
 , verifique que
(AB)T = BTAT sendo (I2 = −1).
Exemplo 1.2.9. Considere a seguinte matriz η = [ηij]
ηij =

1, i = j; i ≤ 2;
−1, i = j; i > 2;
0, i 6= j, i, j = {1, 2, .., 4}.
(1.20)
Determine Tr((ηTη)T ).
Soluc¸a˜o De acordo a definic¸a˜o da matriz η, os unicos elementos da matriz diferente de
zero sa˜o os elementos da diagonal principal. Em particular os elementos η11 = η22 = 1 e os
H.L. Carrion ECT
1.2 A´lgebra matricial 16
elementos η33 = η44 = −1. Por tanto:
η =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
 . (1.21)
(ηTη)T = (ηT )T ηT propriedade (1.19) (1.22)
(ηTη)T = η ηT propriedade (1.17) (1.23)
(ηTη)T = η η, η e´ uma matriz diagonal: ηT = η . (1.24)
Por calculo direto: η η = I4×4, finalmente Tr((ηTη)T ) = Tr(η η) = Tr(I) = 4.
Exemplo 1.2.10. Considere as matrizes A2×2 e B2×2, matrizes nilpotentes de ordem n. Provar
que a matriz D4×4 e´ tambem nilpotente de ordem n.
D =
 A 0
0 B

4×4
=

a b
c d
0 0
0 0
0 0
0 0
m n
p q

Demonstrac¸a˜o Se A e B sa˜o matrizes nilpotente de ordem n enta˜o An = [0] e An = [0].
Por outro lado
D2 = D.D =
 A 0
0 B
 .
 A 0
0 B
 =
 A2 0
0 B2
 (1.25)
de forma analoga
D3 = D2.D =
 A2 0
0 B2
 .
 A 0
0 B
 =
 A3 0
0 B3

e assim sucesivamente, finalmente teremos
Dn =
 An 0
0 Bn

4×4
(1.26)
H.L. Carrion ECT
1.3 Matrizes elementares 17
Como An = 0, Bn = 0 enta˜o: Dn = 04×4, uma matriz nilpotente de ordem n. o que
queriamos demonstrar.
1.3 Matrizes elementares
Definic¸a˜o 1.3.1. Matrizes Elementares: Um matriz elementar e´ uma matriz que e´ obtida
da matriz identidade realizando apenas uma operac¸a˜o elementar nas linhas ou colunas. Existem
3 operac¸o˜es elementares que mensionamos a seguir.
1. Troca de duas linha (ou colunas).
2. Multiplicac¸a˜o de todos os elementos de uma linha(ou coluna) por um escalar diferente de
zero.
3. Substituic¸a˜o de uma linha(ou coluna) pela soma dela pro´pria com um mu´ltiplo de outra
linha(ou coluna)
Exemplo 1.3.1. Matriz elementar de tipo I. Consideremos a matriz identidade
I =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
Aplicamos a esta matriz a seguinte operac¸a˜o elementar Troca da 1-linha pela 3-linha
(L1 ↔ L3), iremos obter a matriz elementar
E1 =

0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
 .
H.L. Carrion ECT
1.3 Matrizes elementares 18
Exemplo 1.3.2. Matriz elementar de tipo II. Consideremos a matriz identidade
I =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
Aplicamos a esta matriz a seguinte operac¸a˜o elementar o produto da 2-linha pelo
escalar β (L2 → βL2), iremos obter a matriz elementar
E2 =

1 0 0 0
0 β 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
Exemplo 1.3.3. Matriz elementar de tipo III. Consideremos a matriz identidade
I =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
Aplicamos a esta matriz a seguinte operac¸a˜o elementar substituic¸a˜o da 2-linha pela
soma dela pro´pria com 4 veces a 3-linha(L2 → L2+4L4), iremos obter a matriz elementar
E3 =

1 0 0 0
0 1 0 4
0 0 1 0
0 0 0 1
 .
A seguir iremos exemplificar uma propriedade de operac¸o˜es elementares.
♣ Considere a seguinte sequencia de operac¸o˜es elementares
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 (l2 ↔ l3)→ E1 =

1 0 0
0 0 1
0 1 0
 (l3 ↔ l2)→ I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1

H.L. Carrion ECT
1.3 Matrizes elementares 19
♣ Considere a seguinte sequencia de operac¸o˜es elementares
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 (l2 → 3l2)→ E2 =

1 0 0
0 3 0
0 0 1
 (l2 → 13 l2)→ I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1

♣ Considere a seguinte sequencia de operac¸o˜es elementares
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 (l2 → l2 + 3l1)→ E2 =

1 0 0
3 1 0
0 0 1

E2 =

1 0 0
3 1 0
0 0 1
 (l2 → l2 − 3l1)→ I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1

(1.27)
Dos 3 resultados anteriores podemos concluir que se para obter uma matriz elementar realizamos
uma operac¸a˜o elementar, enta˜o para obter a matriz identidade a partir da matriz elementar,
devemos aplicar uma operac¸a˜o elementar oposta a` aplicada anteriormente.
Definic¸a˜o 1.3.2. Matrizes equivalentes: Duas matrizes A e B sa˜o equivalentes (A ∼ B)
se existe uma sequeˆncia finita de operac¸o˜es elementares que leva a matriz A a matriz B.
Teorema 1.3.1. se uma operac¸a˜o elementar de linhas for realizada numa matriz Am×n a matriz
resultante B = EA, e´ igual ao produto da matriz elementar E pela matriz A. Onde E e´ obtida
da matriz identidade I, pela mesma operac¸a˜o elementar que foi realizada em A para obter B.
Exemplo 1.3.4. Consideremos a matriz identidade I e a matriz arbitraria A a seguir:
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 , A =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 .
Iremos realizar a mesma operac¸a˜o elementar (L2 ↔ L3) nas duas matrizes e obtemos as se-
H.L. Carrion ECT
1.3 Matrizes elementares 20
guintes matrizes (I ∼ E,A ∼ B)
E =

1 0 0
0 0 1
0 1 0
 , B =

a11 a12 a13
a31 a32 a33
a21 a22 a23
 .
Agora se realizamos a mutiplicac¸a˜o EA nessa ordem, iremos obter a matriz B.
EA =

1 0 0
0 0 1
0 1 0


a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =

a11 a12 a13
a31 a32 a33
a21 a22 a23
 = B.
O resultado anterior confirma o resultado do teorema (1.3.1)
Teorema 1.3.2. Se uma operac¸a˜o elementar na coluna for realizada numa matriz Am×n a
matriz resultante B = AE, e´ igual ao produto da matriz A pela matriz elementar E. Onde E
e´ obtida da matriz identidade I, pela mesma operac¸a˜o elementar que foi realizada em A para
obter B.
Em geral vale o seguinte teorema
Teorema 1.3.3. Uma matriz B e´ equivalente linha de uma matriz A se existe uma sequeˆncia
finita de operac¸o˜es elementares na linha a partir de A para obter a matriz B. Isto siginifica
tambe´m que sempre e´ possivel escrever
B = Ek Ek−1...E2E1A
Corola´rio 1.3.4. Uma matriz A e´ equivalente linha da matriz identidade I se existe uma
sequeˆncia finita de operac¸o˜es elementares na linha a partir de I para obter a matriz A. Istosiginifica que sempre e´ possivel escrever
A = Ek Ek−1...E2E1 I
Teorema 1.3.5. Uma matriz B e´ equivalente coluna de uma matriz A se existe uma sequeˆncia
finita de operac¸o˜es elementares na coluna a partir de A para obter a matriz B. Isto siginifica
H.L. Carrion ECT
1.3 Matrizes elementares 21
tambe´m que sempre e´ possivel escrever
B = AE1E2...Ek−1Ek
Exemplo 1.3.5. Consideremos a matriz identidade I e a matriz arbitraria A a seguir:
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 , A =

1 0 2
3 4 −1
3 4 2
 .
Iremos realizar a mesma operac¸a˜o elementar (C2 ↔ C2+2C1) nas duas matrizes e obtemos as
seguintes matrizes (I ∼ E,A ∼ B)
E =

1 2 0
0 1 0
0 0 1
 , B =

1 2 2
3 10 −1
3 10 2
 .
Agora se realizamos a mutiplicac¸a˜o AE nessa ordem, iremos obter a matriz B.
AE =

1 0 2
3 4 −1
3 4 2


1 2 0
0 1 0
0 0 1
 =

1 2 2
3 10 −1
3 10 2
 = B.
O resultado anterior confirma o resultado do teorema (1.3.2)
Exemplo 1.3.6. Considere a matriz identidade I e a matriz A a seguir:
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 , A =

1 0 2
0 4 −1
2 −1 2
 .
Realize as seguintes operac¸oes elementares:
a) Na matriz identidade, multiplique a linha-1 da pelo escalar 3 para ober a matriz elementar
E1.
b) Na matriz identidade realize a seguinte operac¸a˜o elementar: l3 ↔ l3 + (−1)l2, obtendo a
matriz elementar E2.
c) Realize as duas operac¸o˜es elementares anteriores de forma sucessiva na matriz A, para obter
H.L. Carrion ECT
1.3 Matrizes elementares 22
a matriz equivalente B (A ∼ B).
d) Verifique que B = E2E1A.
Soluc¸a˜o
♦ Resolvendo item a: l1 → 3 l1
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
→ E1 =

3 0 0
0 1 0
0 0 1

♦ Resolvendo item b: l3 ↔ l3 + (−2)l2
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
→ E2 =

1 0 0
0 1 0
0 −2 1

♦ Resolvendo item c.
Realizando a primeira operac¸a˜o elementar : l1 → 3 l1
A =

1 0 2
0 4 −1
2 −1 2
 (l1 → 3 l1) → A1 =

3 0 6
0 4 −1
2 −1 2
 .
Realizando a segunda operac¸a˜o elementar sucessiva. l3 ↔ l3 + (−2)l2.
A1 =

3 0 6
0 4 −1
2 −1 2
 ( l3 ↔ l3 + (−2)l2) → B =

3 0 6
0 4 −1
2 −9 4
 .
A matriz B e equivalente linha a` matriz A (A ∼ B).
♦ Resolvendo item d.
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 23
B = E2E1A =

1 0 0
0 1 0
0 −2 1


3 0 0
0 1 0
0 0 1


1 0 2
0 4 −1
2 −1 2
→
B =

1 0 0
0 1 0
0 −2 1


3 0 6
0 4 −1
2 −1 2
→ B =

3 0 6
0 4 −1
2 −9 4
 (1.28)
Os resultados no item d e no item c coincidem, com isto verificamos mais uma vez a validade
dos teoremas anteriores.
1.4 Determinante de matrizes
Motivac¸a˜o Um primeiro problema matema´tico onde aparece naturalmente o conceito
de determinante e´ quando queremos resolver um sistema de equac¸o˜es lineares. Por exemplo,
consideremos o sistema a seguir
a11x+ a12y = b1 (1.29)
a21x+ a22y = b2, (1.30)
a soluc¸ao do sistema anterior e´
x =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a12a21 (1.31)
y =
b2a11 − b1a21
a11a22 − a12a21 (1.32)
Agora consideremos a matriz de coeficientes do sistema de equac¸o˜es anterior (2.5.1 - 2.5.2)
A =
 a11 a12
a21 a21
 (1.33)
Percebe-se que na soluc¸a˜o do sistema linear anterior aparece naturalmente a expresa˜o |A| =
a11a22−a12a21 . Isto induz naturalmente a definir o chamado determinante de uma matriz A2×2.
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 24
Definic¸a˜o 1.4.1. Seja A =
 a11 a12
a21 a22
, uma matriz quadrada, enta˜o a determinante de A
esta definido como: |A| = a11a22 − a12a21.
Definic¸a˜o 1.4.2. Em geral o determinante de uma matriz An×n e´ uma func¸a˜o que associa um
nu´mero real a` matriz A
Det : A→ R
A 7→ det(A)
Notac¸a˜o: det(A), |A|, det[aij].
A seguir iremos apresentar uma definic¸a˜o mas geral sobre determinante de uma matriz
A, de ordem arbitrario.
Definic¸a˜o 1.4.3. Submatriz. A submatriz A˜ij = [a˜ij] associado a uma matriz A de ordem
n × n e´ construida eliminando a i−e´sima linha e a j−e´sima coluna de A. Por construc¸a˜o, a
ordem de qualquer submatriz e´ sempre uma a menos que a ordem da matriz A. Por exemplo,
se a matriz A ter ordem 3× 3 as 9 possiveis submatrizes tera˜o cada uma ordem 2× 2.
Exemplo 1.4.1. Seja a matriz
A =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 , a submatriz A˜11 e´
A˜11 =
 a22 a23
a32 a33
 , obtida eliminando a 1-linha e 1-coluna
De forma similar nos outros casos
A =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 , A˜12 =
 a21 a23
a31 a33
 obtida eliminando a 1-linha e 2-coluna
Definic¸a˜o 1.4.4. Cofator. O cofator cij = (−1)i+j|A˜ij| e´ um nu´mero associado a` determinante
da submatriz A˜ij.
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 25
Exemplo 1.4.2. Seja a matriz A =

1 2 0
−1 3 1
2 4 0
 defina os cofatores c11, c12, c33.
Resposta:
c11 = (−1)1+1|A˜11| = det
 3 1
4 0
 = −4,
c12 = (−1)1+2|A˜12| = −det
 −1 1
2 0
 = 2,
c33 = (−1)3+3|A˜11| = det
 1 2
−1 3
 = 5,
Definic¸a˜o 1.4.5. Seja a matriz An×n quadrada, logo a determinante de A e´
Det(A) = a11, se n = 1, (1.34)
Det(A) =
j=n∑
j=1
aij cij = ai1 ci1 + ai2 ci2 + ...+ ain cin, n > 1, i e´ fixo, ou
Det(A) =
j=n∑
j=1
aij (−1)i+j|A˜ij| = ai1 (−1)i+1|A˜i1|+ ai2 (−1)i+2|A˜i2|+ ...+ ain (−1)i+n|A˜in|
(1.35)
Como i e´ fixo enta˜o a linha i e´ o pivoˆ, o que quer dizer que a soma anterior se expande
variando o indice j e vai percorrendo ao longo da linha i.
A formula da determinante pode-se desenvolve tambe´m escolhendo como pivoˆ as colunas, neste
caso, o indice j e´ fixo, e o ı´ndice i vai variando de 1 a n.
Definic¸a˜o 1.4.6. Seja a matriz An×n quadrada, logo a determinante de A e´
Det(A) =
i=n∑
i=1
aij cij = a1j c1j + a2j c2j + ...+ anj cnj, n > 1, j e´ fixo, ou
Det(A) =
i=n∑
i=1
aij (−1)i+j|A˜ij| = a1j (−1)1+j|A˜1j|+ a2j (−1)2+j|A˜2j|+ ...+ anj (−1)n+j|A˜nj|
(1.36)
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 26
Exemplo 1.4.3. Seja a matriz A =

1 2 0
−1 3 1
2 4 0
, calcular a determinante de A.
soluc¸a˜o Para determinar o det(A) iremos escolher como pivoˆ a 1 linha i =1. Logo
Det(A) = a11 (−1)1+1|A˜11|+ a12 (−1)1+2|A˜12|+ a13 (−1)1+3|A˜13|.
Det(A) = a11 (−1)1+1det
 3 1
4 0
+ a12 (−1)1+2det
 −1 1
2 0
+ a13 (−1)1+3det
 −1 3
1 2
 .
Det(A) = = a11(+1)(−4) + a12(−1)(−2) + a13(+1)(−5).
Det(A) = 1(+1)(−4) + 2(−1)(−2) + 0(−1)(−5) = 0.
Por outro lado podemos calcular a determinante de A esolhendo como pivoˆ a coluna j = 3.
Det(A) = a13 (−1)1+3|A˜13|+ a23 (−1)2+3|A˜23|+ a33 (−1)3+3|A˜33|.
Det(A) = a13 (−1)4det
 −1 3
2 4
+ a23 (−1)5det
 1 2
2 4
+ a33 (−1)6det
 1 2
−1 3
 .
Det(A) = = 0(+1)(−10) + 1(−1)(0) + 0(+1)(5).
Det(A) = 0(+1)(−10) + 1(−1)(0) + 0(+1)(5) = 0.
para facilitar o ca´lculo da determinante da matriz, os fatores multiplicativos (−1)i+j tem
ja uma estrutura bem definida e facil de lembrar.
(−1)i+j =

+ − + − . .
− + − + . .
+ − + − . .
− + − + . .
. . . . . .
. . . . . .

(1.37)
Vamos apresentar uma definic¸a˜o alternativa para determinante de uma matriz. Para isto
iremos utilizar o conceito de permutac¸o˜es.
Definic¸a˜o 1.4.7. Permutac¸a˜o: Permutac¸a˜o de um conjunto de inteiros {1, 2, ...n} e´ um rear-
ranjo deste inteiros em alguma ordem sem omisso˜es ou repetic¸o˜es. A permutac¸a˜o de r elementos
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 27
de um conjunto de n elementos esta dado pelaseguinte formula.
P nr =
n!
(n− r)! (1.38)
Exemplo 1.4.4. Permutac¸o˜es de dois elementos num conjunto de dois elementos {1, 2}.
Permutac¸o˜es inverso˜es (kσ)
12 o
21 1
, P 22 =
2!
(2−2)! =
2.1
1
= 2.
Exemplo 1.4.5. Permutac¸o˜es de 3 elementos num conjunto de 3 elementos {1, 2, 3}.
permutac¸o˜es Inverso˜es (kσ)
123 0
132 1
312 2
321 3
231 4
213 5
, P 33 =
3!
(3−3)! =
3.2.1
1
= 6.
Definic¸a˜o 1.4.8. Seja a matriz A = [aij] de ordem n, logo
Det(A) =
∑
σ
(−1)kσ a1σ1 a2σ2 a3σ3 ...anσn (1.39)
para todas as permutac¸o˜es σ de n elementos do conjunto {1, 2, 3, ..., n}.
Exemplo 1.4.6. Seja a matriz A de ordem 2× 2, calcular a determinante de A.
soluc¸a˜o
Consideremos as permutac¸o˜es ja encontradas no exemplo (1.4.4), logo usando a formula ante-
rior (1.39) para n = 2 teremos :
Det(A) =
∑
σ
(−1)kσ a1σ1 a2σ2
Det(A) = (−1)0a11a22 + (−1)1a12a21 = a11a22 − a12a21. (1.40)
O resultao coincide com o valor dado na definic¸a˜o anterior (1.4.1).
Exemplo 1.4.7. Seja a matriz A de ordem 3× 3, calcular a determinante de A.
soluc¸a˜o
Consideremos as permutac¸o˜es ja encontradas no exemplo (1.4.5), logo usando a formula ante-
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 28
rior (1.39) teremos :
Det(A) =
∑
σ
(−1)kσ a1σ1 a2σ2 a3σ3
Det(A) = (−1)0a11a22a33 + (−1)1a11a23a32 + (−1)2a13a21a32 + (−1)3a13a22a31 +
(−1)4a12a23a31 + (−1)5a12a21a33
= a11a22a33 − a11a23a32 + a13a21a32 − a13a22a31 + a12a23a31 − a12a21a33
= (a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31)− (a11a23a32 + a13a22a31 + a12a21a33)
(1.41)
O resultao coincide com o valor dado na definic¸a˜o anterior (1.4.1).
Existe uma regra muito u´til e facil de lembrar, para calcular a determinante de uma
matriz de ordem 3× 3, e´ a chamada regra de Sarrus ; regra inventada pelo matema´tico Pierre
Fre´de´ric Sarrus (1789-1861). A equac¸a˜o (1.41) da formula final da determinante de uma matriz
de ordem 3 × 3 pode-se obter a partir de uma regra memote´cnica que apresentamos na figura
a seguir:
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 29
Figura 1.1 Regra de Sarrus: Determinante de matrizes de ordem 3× 3
Exemplo 1.4.8. Encontre a determinante da seguinte matriz:
B =

1 −2 0
4 0 3
−2 4 8
 .
a) Pelo me´todo de sarrus.
b) pelo me´todo de cofatores.
Soluc¸a˜o
Caso a Aplicando a formula final de Sarrus, a determinante da matriz A e´:
|A| = (1.0.8+(−2).3.(−2)+0.4.4)−((−2).0.0+4.3.1+8.4.(−2)) = (0+12+0)−(0+12−64) = 64.
Caso b Para calcular |det(A)| = |A| pelo me´todo de cofatores, precisamos escolher uma linha
pivoˆ ou uma coluna pivoˆ. A melhor estrate´gia e´ escolher aquela linha ou coluna que tem maior
quantidade de zeros. Em nosso exemplo, podemos escolher a linha 1 ou coluna-3, ou linha 2,
ou coluna2.
Escolhendo como pivoˆ a linha 2 (b22 = 0), a formula da determinante (1.36) e a estrutura de
sinais (1.37).
Det(B) =
i=n∑
i=1
bij (−1)i+j|B˜ij|, i = 2
Det(B) = b21(−)|B˜21|+ b22(+)|B˜22|+ b23(−)|B˜23|
Det(B) = b21(−)|B˜21|+ 0(+)|B˜22|+ b23(−)|B˜23|
Observamos que o segundo termo da soma anterior se anula automa´ticamente porque o fator
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 30
b22 = 0. Isto facilita o ca´lculo da determinante.
Det(B) = −4
 −2 0
4 8
− 3
 1 −2
−2 4

Det(B) = (−4)(−16)− 3(0) = 64 (1.42)
Observac¸o˜es
♠ A formula de Sarrus somente funciona para matrizes de ordem 3× 3.
♠ Para matrize de qualquer ordem podemos utilizar a formula geral (1.39) ou o me´todo dos
cofatores que ja foi apresentada nas definic¸o˜es (1.4.5)-(1.4.6).
Exemplo 1.4.9. Encontre a determinante da seguinte matriz de ordem 4× 4, x ∈ R, x 6= 0.:
A =

1 x x2 x3
0 1 0 x2
0 1 x x2
−5 x 0 x3

Soluc¸a˜o A u´nica forma de resolver e´ utilizando o me´todo de cofatores, ja que a regra de
Sarrus somente funciona para matrizes 3× 3.
A ecolha inadequada da linha ou coluna pivoˆ, pode levar a um ca´lculo longo na determinac¸a˜o
de det(A). Vamos escolher a coluna-1 como coluna pivoˆ (j = 1, fixo).
Det(A) =
i=n∑
i=1
ai1 ci1
Det(A) = a11 c11 + a21 c21 + a31 c31 + a41 c41
Det(A) = a11 (+)|A˜11|+ a21 (−)|A˜21|+ a31 (+)|A˜31|+ a41 (−)|A˜41| (1.43)
Agora, sabemos que a21 = a31 = 0, logo dois termos da soma anterior se anulam.
Det(A) = a11 (+)|A˜11|+ a41 (−)|A˜41| (1.44)
Det(A) = 1 (+)Det

1 0 x2
1 x x2
x 0 x3
+ (−5) (−)Det

x x2 x3
1 0 x2
1 x x2
 .
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 31
Calculando cada determinante por separado:
Det

1 0 x2
1 x x2
x 0 x3
 = 0, Det

x x2 x3
1 0 x2
1 x x2
 = 0.
Finalmente
Det(A) = 1.0 + (−5).0 = 0.
A conta anterior, pode ser simplificada mais ainda se aplicarmos convenientemente certas
operac¸o˜es elementares na matriz A. Antes de apresentar exemplos em relac¸a˜o a esta informac¸a˜o,
vamos disponibilizar algumas propriedades importantes sobre determinante de matrizes.
Propriedades de determinante de uma matriz sobre operac¸o˜es elementares
Sejam A e B matrizes quadradas arbitra´rias, k um nu´mero real arbitra´rio :
I Trocando-se duas linhas(ou colunas) de A obte´m-se B. Det(B) = −Det(A).
II Multiplicando uma linha(ou coluna) de A por k obte´m-se B. Det(B) = k.Det(A).
III Somando a uma linha(ou coluna) de A o mu´ltiplo de outra linha(ou coluna) de A obte´m-se
B Det(B) = Det(A).
Propriedades adicionais de determinante de uma matriz:
Sejam A e B matrizes quadradas arbitra´rias, k um nu´mero real arbitra´rio :
IV Se A tem uma linha(ou coluna) nula Det(A) = 0.
V Se duas linhas (ou colunas) de A sa˜o iguais, enta˜o Det(A) = 0.
VI Det(A.B) = Det(A).Det(B)
VII Det(A) = Det(AT )
VIII Det(k.A) = knDet(A)
IX Det(A+B) 6= Det(A) +Det(B)
X Se duas colunas (ou filas) sa˜o proporcionais, enta˜o Det(A) = 0.
Exemplos diretos para entender as propiedades anteriores.
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 32
Exemplo 1.4.10. Seja
A =

5 ♥ 0 2
0 0 0 0
α β pi sin(pi)
7 2 ln(3) 58
 , (1.45)
calcule Det(A). Todos os elementos da matriz sa˜o nu´meros reais.
Soluc¸a˜o Como a segunda linha e´ nula, enta˜o pela propriedade IV, Det(A) = 0
Exemplo 1.4.11. Seja A =

2 1 2
6 100 6
−a2 −50 −a2
, calcule Det(A) sendo a u´m nu´mero real.
Soluc¸a˜o Como a primeira coluna e a terceira coluna sa˜o iguais, enta˜o pela propriedade
V, Det(A) = 0
Exemplo 1.4.12. Seja A =

m n p
q r s
t u w
, tal que Det(A) = 5. Calcular a determinante de
B =

m q t
n r u
p s w
, os elemento de A sa˜o todos nu´meros reais.
Soluc¸a˜o Como B = AT enta˜o pela propriedade VII, Det(B) = 5
Exemplo 1.4.13. Seja A4×4 tal que det(A) = 2, calcular Det(2A)
Soluc¸a˜o pela propriedade VIII, Det(2A) = 24Det(A) = 16.2 = 32
Exemplo 1.4.14. Podemos resolver o exemplo anterior (1.4.9) utilizando algumas das propri-
edades mencionadas anteriormente.
Na matriz A =

1 x x2 x3
0 1 0 x2
0 1 x x2
−5 x 0 x3
, podemos observar que a coluna-2 e a coluna-4 sa˜o
proporcionais. Logo utilizando a propriedade X de determinantes, Det(A) = 0.
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 33
Exemplo 1.4.15. Encontre a determinante da seguinte matriz de ordem 4× 4:
B =

1 3 3 6
1 −2 −3 12
1 4 2 9
2 1 0 18

Soluc¸a˜o Podemos analisar a matriz B e aplicar a seguinte operac¸a˜o elementar na linha1
de B : l1 → l1 + l2, iremos obter a seguinte matriz A =

2 1 0 18
1 −2 −3 12
1 4 2 9
2 1 0 18
 . Logo, pela
propriedade III de determinantes: Det(B) = Det(A).
Imediatament percebe-se que a matriz A tem dois linhas iguais, e pela propriedade IV de
determinantes, Det(A) = 0. Finalmente Det(B) = Det(A) = 0Exemplo 1.4.16. Provar a propiedade VIII de determinante de matrizes.
Soluc¸a˜o Temos que demontrar a propriedade para qualquer ordem da matriz. Para de-
monstrar isto, vamos utilizar o me´todo da induc¸a˜o (ver apeˆndice). O processo tem 3 pasos:
Primeiro, iremos verificar a validade do teorema, trivialmente no caso quando a ordem da ma-
triz seja 1 × 1. Posteriormente iremos considerar como va´lido a propriedade quando a matriz
tenha a ordem n×n. Finalmente devemos demonstrar explicitamente a valida do teorema para
o caso quando a ordem da matriz seja n+ 1× n+ 1.
a) Seja A = [a11], matriz de ordem 1× 1 ,pela definic¸a˜o de determinante:
A = [a11]→ Det(A) = a11 (1.46)
De forma similiar, se a matriz fosse kA = k[a11],
kA = [ka11] = [ka11]→ Det(kA) = ka11 (1.47)
Vamos aplicar os resultados anteriores ao caso especial n = 1 no teorema:
Det(kA) = knDet(A), n = 1
Det(kA) = k1Det(A), dos dois resultados anteriores temos:
ka11 = ka11. O que e´ uma verdade trivialmente. (1.48)
H.L. Carrion ECT
1.4 Determinante de matrizes 34
b) Consideremos o teorema va´lido para a matriz A de ordem n× n
Det(kA) = knDet(A),
(1.49)
c) Devemos provar a validade para a matriz A ordem (n+ 1)× (n+ 1).
Det(kA)(n+1)×(n+1) = kn+1Det(A),
(1.50)
para isto, devemos partir do lado esquerdo da equac¸a˜o anterior (1.50) e chegar ao lado
direito da mesma. Consideremos o processo de ca´lculo da determinante da matriz An+1×n+1
pelo me´todo de cofatores. Vamos escolher a linha-1 como pivoˆ, logo
Det(kA) =
j=n+1∑
j=1
(ka1j)(−1)1+j Det(A˜1j)
= (ka11) Det(A˜11)− (ka12) Det(A˜12) + ...+ (−1)n+2(ka1(n+1)) Det(A˜1(n+1))
(1.51)
Observe que na equac¸a˜o anterior, as submatrizes A˜1j sa˜o de ordem n × n, e todos os ele-
mento destas submamtrizes tem como fator multiplicativo o nu´meror real k, que apresentamos
explicitamente a seguir:
A˜1j = k

a21 a22 .. a2(j−1) a2(j+1) .. a2(n+1)
a31 a32 .. a3(j−1) a3(j+1) .. a3(n+1)
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
a(n+1)1 a(n+1)2 .. a(n+1)(j−1) a(n+1)(j+1) .. a(n+1)(n+1)

n×n
.
Pela equac¸a˜o (1.49) cada determinante da submatriz do tipo A˜1j pode-se calcular assim:
Det(A˜1j) = k
nDet(A1j), (1.52)
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 35
substituindo este resultado na equac¸a˜o (1.51), temos:
Det(kA) =
jn+1∑
j=1
ka1j(−1)1+j knDet(A1j)
= +ka11 k
nDet(A11)− ka12 knDet(A12) + ...+ (−1)n+2ka1(n+1) knDet(A1(n+1))
(1.53)
factorando k1+n de cada termo do lado direito da equac¸a˜o anterior:
Det(kA) = kn+1(
jn+1∑
j=1
a1j(−1)1+j Det(A1j))
= kn+1 (+a11 Det(A11)− a12 Det(A12) + ...+ (−1)n+2a1(n+1) Det(A1(n+1)))
Det(kA)(n+1)×(n+1) = kn+1Det(A), (1.54)
que justamente e´ a equac¸a˜o (1.50). Com istom foi provado a validade do teorema para qualquer
ordem da matriz A.
1.5 Matrizes inversas
1.5.1 Definic¸a˜o
Definic¸a˜o 1.5.1. Uma matriz quadrada An×n admite inversa se existe uma matriz Bn×n, onde
B = A−1 e´ a inversa de A, tal que:
AB = BA = I, ouAA−1 = A−1A = I (1.55)
Uma matriz que admite inversa se diz invers´ıvel, uma matriz invers´ıvel tambe´m e´ dita
na˜o singular.
Teorema 1.5.1. A inversa de uma matriz, se ela existe, e´ u´nica .
♣ Prova: Vamos realizar a prova por contradic¸a˜o (ver apeˆndice, para melhores esclareci-
mentos). Suponhamos que a inversa de uma matriz na˜o seja u´nica, suponhamos que a matriz
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 36
A tenha duas inversas diferentes: A1 6= A2
AA1 = A1A = I. (1.56)
AA2 = A2A = I., (1.57)
A2AA1 = A2 I, multiplicamos a equac¸a˜o (1.56) por A2 (1.58)
A2AA1 = A2, multiplicac¸a˜o pela matriz identidade (1.59)
(A2A)A1 = A2, associatividade da multiplicac¸a˜o (1.60)
I A1 = A2, A2 e´ inversa de A (1.61)
A1 = A2, contradic¸a˜o: →← (1.62)
tinhamos suposto inicialmente que A1 6= A2 (sejam diferentes), porem chegamos a conclusa˜o
que sa˜o iguais, isto significa uma contradic¸a˜o (→←). Isto quer dizer, que a suposic¸a˜o inicial
(A1 6= A2) e´ falsa. Por tanto a inversa da matriz A e´ u´nica, o que queriamos povar.
Algumas propriedades da inversa de matrizes
• [I] (A−1)−1 = A
• [II] (AT )−1 = (A−1)T , onde AT e´ transposta de A.
• [III] (AB)−1 = B−1A−1
Exemplo 1.5.1. Verifique que (ABCD)−1 = D−1C−1B−1A−1, A,B,C,D sa˜o matrizes in-
vers´ıveis.
Soluc¸a˜o
Utilizando a propriedade III :
(ABCD)−1 = ((ABC)(D))−1 = D−1(ABC)−1.
Aplicando novamente a propriedade III :
D−1 (ABC)−1 = D−1C−1(AB)−1 = D−1C−1B−1 (A)−1. Finalmente
(ABCD)−1 = D−1C−1B−1A−1.
Exemplo 1.5.2. Resolva a equac¸a˜o (AX−B)B−1 = C+AB para X, considere A, B matrizes
invers´ıveis, C e´ matriz quadrada arbitra´ria.
Soluc¸a˜o A ideia principal e´ realizar operac¸o˜es de some e multiplicac¸a˜o na equac¸a˜o inicial
com intuito de isolar a varia´vel matricial X.
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 37
(AX −B)B−1B = (C + AB)B, multiplicando pela direita por B
AX −B = CB + AB2
AX −B +B = CB + AB2 +B
AX + 0 = CB + AB2 +B
AX = CB + AB2 +B
A−1AX = A−1(CB + AB2 +B)
X = A−1CB +B2 + A−1B
1.5.2 Inversa de matrizes elementares
Encontrar a matriz inversa de uma matriz elementar e´ muito simples. Devemos aplicar a
operac¸a˜o elementar do mesmo tipo na matriz identidade, de acordo ao teorema a seguir.
Teorema 1.5.2. Se E e´ uma matriz elementar, enta˜o E e´ inversivel e E−1 tambe´m e´ uma
matriz elementar do mesmo tipo.
Vamos verificar a validade do teorema anterior com um exemplo para cada tipo de matriz
elementar.
♦ operac¸a˜o elementar: multiplicac¸a˜o de uma linha por um nu´mero real.
Vejamos o exemplo:
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1


l2 → l2 = βl2, → E2 =

1 0 0
0 β 0
0 0 1
 ;
l2 → l2 = 1β l2, → E−12 =

1 0 0
0 1
β
0
0 0 1

sendo β diferente de zero.
Se pode provar facilmente que E2E
−1
2 = E
−1
2 E2 = I. Ou seja, estas duas matrizes sa˜o uma
inversa da outra.
♦ operac¸a˜o elementar: Somando a uma linha de I o mu´ltiplo de outra linha.
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 38
Vejamos o exemplo:
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1


l2 → l2 + βl3, → E3 =

1 0 0
0 1 β
0 0 1
 ;
l2 → l2 − βl3, → E−13 =

1 0 0
0 1 −β
0 0 1

sendo β um nu´mero real.
Se pode provar facilmente que E3E
−1
3 = E
−1
3 E3 = I. Ou seja, estas duas matrizes sa˜o uma
inversa da outra.
♦ operac¸a˜o elementar: troca de uma linha por outra.
Vejamos o exemplo:
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1


l2 ↔ l3, → E1 =

1 0 0
0 0 1
0 1 0
 ;
l3 → l2, → E−11 =

1 0 0
0 0 1
0 1 0

Se pode provar facilmente que E1E
−1
1 = E
−1
1 E1 = I. Perceba que E1 = E
−1
1 Ou seja, esta
matrize elementar e´ inversa da propia matriz. Simbo´licamente podemos pensar assim: (E1)
2 =
I ⇒ ”E1 =
√
I”.
Os tres exemplos anteriores feito para cada tipo de matrize elementar de ordem 3 × 3 e´ um
indicativo que qualquer matriz elementar e´ invers´ıvel. A prova e´ direta, e´ suficiente generalizar
os treˆs exemplos anteriores para matrizes elementares de qualquer ordem. Uma consequencia
do teorema anterior e´ o teorema a seguir.
Teorema 1.5.3. As seguintes proposic¸o˜es sa˜o equivalientes
I A e´ na˜o singular
II A e´ equivalente linha de I.
♣ Prova ( II ⇒ I)
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 39
De acordo ao corolario (1.3.4), se A e´ equivalente linha de I enta˜o existem matrizes elementares
E1, E2, ..., Ek tais que
A = Ek Ek−1 ..., E2E1 I
Aplicando a inversa a` equac¸a˜o anterior
A−1 = (Ek Ek−1 ..., E2E1 I)−1 (1.63)
A−1 = E−11 E
−1
2 E
−1
3 ...E
−1
k . (1.64)
Para chegar a u´ltima equac¸a˜o,aplicamos a propriedade III da inversa de matrizes sucesivamente.
Como cada inversa das matrizes elementares existem, porque eles sa˜o na˜o singulares, enta˜o, o
produto de matriz no lado direito da equac¸a˜o anterior esta bem definido, por tanto, a matriz
A−1 existe; ou seja, A e´ na˜o singular.
1.5.3 Me´todos para obter inversa de uma matriz
♦ Por matrizes elementares
O teorema anterior (1.5.3) fornece um me´todo ra´pido para determinar a inversar de uma matriz,
via a utilizac¸a˜o da equac¸a˜o (1.64). Para isto, precisamos conhecer com antecedencia as matrizes
elementares necessa´rias pra obter a matriz A. vejamos com um exemplo
Exemplo 1.5.3. Seja a matriz A obtida aplicandose as duas operac¸o˜es elementares a seguir,
na matriz identidade: L1 → L1 + 3L2,L3→ (−2)l3.
a) Determine a matriz A
b) Determine a matriz A−1
soluc¸a˜o item a) Determinando a matriz A:
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 (l1 → l1 + 3l2)→ E =

1 3 0
0 1 0
0 0 1
 (l3 → (−2)l3)→ A =

1 3 0
0 1 0
0 0 −2
 ,
(1.65)
isto significa que a matriz A e´ equivalente em linha da matriz identidade I, e de acordo ao
teorema anterior (1.5.3) a matriz A e´ na˜o singular, ou seja, a matriz A tem inversa. Para
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 40
calcular esta inversa de A, vamos determinar primeiro as matrizes elementares correspondentes
as operac¸o˜es elementares.
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1


l1 → l1 + 3l2, → E1 =

1 3 0
0 1 0
0 0 1
 ;
l3 → (−2)l3, → E2 =

1 0 0
0 1 0
0 0 −2

(1.66)
Pelo teorema (1.5.2) cada uma das duas matrizes elementares, tem inversa.
I =

1 0 0
0 1 0
0 0 1


l1 → l1 − 3l2, → E−11 =

1 −3 0
0 1 0
0 0 1
 ;
l3 → (−12)l3, → E−12 =

1 0 0
0 1 0
0 0 −1
2

(1.67)
Ra´pidamente pode-se verificar que : E1E
−1
1 = E
−1
1 = I, E2E
−1
2 = E
−1
2 = I. Agora que ja
temos as matrizes inversar, proseguimos aplicando a equac¸a˜o (1.64)
A−1 = E−12 E
−1
2 I
A−1 =

1 0 0
0 1 0
0 0 −1
2


1 −3 0
0 1 0
0 0 1


1 0 0
0 1 0
0 0 1

A−1 =

1 −3 0
0 1 0
0 0 −1
2
 . (1.68)
A reposta anterior pode-se verificar, realizando a seguinte multiplicac¸a˜o: AA−1 = A−1A = I,
esta verificac¸a˜o deixo pra o leitor.
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 41
♦Me´todo de Gauss (Por operac¸o˜es elementares)
Como ja´ foi dito anteriormente, o teorema (1.5.2) garante que se temos uma matriz A
na˜o singular enta˜o ele e´ equivalente linha com a matriz identidade. Vamos apresentar um
procedimento simples porem efetivo para construir a inversa de uma matriz, desde que ela
exista. A partir da matriz aumentada |A ... I| iremos aplicar varias operac¸o˜es elementares na
linha ate´ chegar a matriz aumentada |I ... A−1. |
|A ... I| ∼ |I ... A−1 | (1.69)
Exemplo 1.5.4. A matriz A =

0 0 3
0 1 0
1 3 0
 e´ n˜ao singular, logo determine A−1.
soluc¸a˜o Escrevendo a matriz aumentada e logo aplicando operac¸o˜es elementares na linha
para transformar a matriz |A ... I| em |I ... A−1 |

0 0 3 | 1 0 0
0 1 0 | 0 1 0
1 3 0 | 0 0 1
→ (l3 ↔ l1) →

1 3 0 | 0 0 1
0 1 0 | 0 1 0
0 0 3 | 1 0 0


1 3 0 | 0 0 1
0 1 0 | 0 1 0
0 0 3 | 1 0 0
→ (l3 → 13 l3) →

1 3 0 | 0 0 1
0 1 0 | 0 1 0
0 0 1 | 1
3
0 0
 ,
finalmente, aplicamos uma operac¸a˜o elementar na primeira linha
1 3 0 | 0 0 1
0 1 0 | 0 1 0
0 0 1 | 1
3
0 0
→ (l1 → l1 − 3l2) →

1 0 0 | 0 −3 1
0 1 0 | 0 1 0
0 0 1 | 1
3
0 0
 .
Por tanto, apos 3 operac¸o˜es elementares sucessivas na linha, A chegou a I, e simultaneamente
I chegou a A−1. Resposta
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 42
A−1 =

0 −3 1
0 1 0
1
3
0 0

Exemplo 1.5.5. A matriz B =

0 1 2
1 0 3
−1 2 5
 e´ n˜ao singular, logo determine B−1 utilizando
operac¸o˜es elementares.
soluc¸a˜o escrevendo a matriz aumentada
0 1 2 | 1 0 0
1 0 3 | 0 1 0
−1 2 5 | 0 0 1
→ (l1 ↔ l2) →

1 0 3 | 0 1 0
0 1 2 | 1 0 0
−1 2 5 | 0 0 1


1 0 3 | 0 1 0
0 1 2 | 1 0 0
−1 2 5 | 0 0 1
→ (l3 → l3 + l1) →

1 0 3 | 0 1 0
0 1 2 | 1 0 0
0 2 8 | 0 1 1


1 0 3 | 0 1 0
0 1 2 | 1 0 0
0 2 8 | 0 1 1
→ (l3 → l3 − 2l2) →

1 0 3 | 0 1 0
0 1 2 | 1 0 0
0 0 4 | −2 1 1
 ,
aplicamos agora duas operac¸o˜es elementares simultaneamente, desde que sa˜o independentes.
1 0 3 | 0 1 0
0 1 2 | 1 0 0
0 0 4 | −2 1 1
→ (l2 → l2 − 12 l3, l1 → l1 − 34 l3) →

1 0 0 | 3
2
1/4 −3/4
0 1 0 | 2 −1
2
−1
2
0 0 4 | −2 1 1
 ,
por u´ltmo

1 0 0 | 3
2
1/4 −3/4
0 1 0 | 2 −1
2
−1
2
0 0 4 | −2 1 1
→ (l3 → 14 l3) →

1 0 0 | 3
2
1/4 −3/4
0 1 0 | 2 −1
2
−1
2
0 0 1 | −1/2 1/4 1/4
 .
Finalmente
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 43
B−1 =

3
2
1/4 −3/4
2 −1
2
−1
2
−1/2 1/4 1/4
 . (1.70)
♦Me´todo de cofatores
Definic¸a˜o 1.5.2. Para toda matriz na˜o singular vale o seguinte resultado :
A−1 =
1
Det(A)
Adj(A), Adj(A) = CT (1.71)
• C → matriz de cofatores
• Adj(A)→ matriz adjunta de A (transposta da matriz de cofatores)
A definic¸a˜o anterior indica claramente que A−1 ∃ se e somente se Det(A) 6= 0.
Definic¸a˜o 1.5.3. Matriz de cofatores. A matriz de cofatores C = [cij] associado a uma
matriz A de ordem n× n esta definido assim:
cij = (−1)i+j|A˜ij|,
C =

c11 c12 . . . c1j . c1m
c21 c22 . . . c2j . c2m
. . . . . . . .
. . . . . . . .
ci1 ci2 . . . cij . cim
. . . . . . . .
. . . . . . . .
cn1 cn2 . . . cnj . cnm

n×m
,
sendo |A˜ij| = Det(A˜ij) a determinante da submatriz A˜ij.
Exemplo 1.5.6. Seja a matriz A =
 a b
c d
, determine a matriz de cofatores e a matriz
inversa de A
soluc¸a˜o Da fo´rmula de cofatores C = [cij] onde cij = (−1)i+j|A˜ij|, percebemos que as
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 44
submatrizes A˜ij sa˜o matrizes de ordem 1× 1, ja que a matriz A e´ de ordem 2× 2. Assim:
c11 = (−1)1+1|A˜11| = det(d) = d,
c12 = (−1)1+2|A˜12| = −det(c) = −c,
c21 = (−1)2+1|A˜21| = −det(b) = −b,
c22 = (−1)2+2|A˜22| = det(a) = a,
(1.72)
logo a matriz de cofatores e´:
C =
 d −c
−b a
 .
A matriz adjunta de A e´ :
Adj(A) = CT =
 d −b
−c a
 ,
finalmente a matriz inversa A−1 e´
A−1 =
1
Det(A)
 d −b
−c a
 = 1
ad− bc
 d −b
−c a
 (1.73)
Seja em particular A =
 2 3
0 1
, logo a matriz inversa e´
A−1 =
1
(2.1− 3.0)
 1 −3
−0 2
 =
 1/2 −3/2
0 1

Exemplo 1.5.7. Seja a matriz
B =

0 1 2
1 0 3
−1 2 5
 ,
Detemine a inversa de B pelo me´todo de cofatores.
Soluc¸a˜o Da fo´rmula de cofatores C = [cij] onde cij = (−1)i+j|A˜ij|, percebemos que as
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 45
submatrizes A˜ij sa˜o matrizes de ordem 2× 2, ja que a matriz B e´ de ordem 3× 3. Assim:
c11 = (−1)1+1|B˜11| = det
 0 3
2 5
 = −6,
c12 = (−1)1+2|B˜12| = −det
 1 3
−1 5
 = −8,
c13 = (−1)1+3|B˜13| = −det
 1 0
−1 2
 = −2,
c21 = (−1)2+1|B˜21| = −det
 1 2
2 5
 = −1,
(1.74)
assim por diante, os valores restantes sa˜o os seguintes c22 = 2, c23 = −1, c31 = 3, c32 = 2, c33 =
−1.
Matriz de cofatores
C =

−6 −8 2
−1 2 −1
3 2 −1
 , → Adj(B) = CT =

−6 −1 3
−8 2 2
2 −1 −1
 .
Alem disso, Det(A) = −4. Por tanto
B−1 =
1
−4

−6 −13
−8 2 2
2 −1 −1
 =

3
2
1/4 −3/4
2 −1
2
−1
2
−1/2 1/4 1/4
 .
O resultado anterior coincide como o resultado (1.70)do exerc´ıcio (1.5.5).
Teorema 1.5.4. Uma matriz e´ singular ( A−1 na˜o existe) ⇔ Det(A) = 0
Exemplo 1.5.8. Seja a matriz
A =

1 2 0
−1 3 1
2 4 0
 ,
Detemine a matriz de cofatores e a inversa de A.
H.L. Carrion ECT
1.5 Matrizes inversas 46
Soluc¸a˜o Ja temos calculado os cofatores c11 = −4, c12 = 4, c33 = 5. na pagina ... A seguir
iremos calcular os outros restantes
c21 = (−1)2+1|A˜21| = −det
 2 0
4 0
 = 0,
c22 = (−1)2+2|A˜22| = det
 1 0
2 0
 = 0,
c23 = (−1)2+3|A˜23| = −det
 1 2
2 4
 = 0,
c31 = (−1)3+1|A˜31| = det
 2 0
3 1
 = 2,
c32 = (−1)3+2|A˜32| = −det
 1 0
−1 1
 = −1,
c33 = (−1)3+3|A˜33| = det
 1 2
−1 3
 = 5,
Como resultado temos a seguinte matriz de cofatores
C =

−4 4 5
0 0 0
2 −1 5
 .
Antes de calcular a inversa da matriz A, observamos que 1-linha e a 3-linha da matriz A sa˜o
proporcionais, logo Det(A) = 0. O que significa que a matriz A na˜o tem inversa.
H.L. Carrion ECT
1.6 Exerc´ıcios 47
1.6 Exerc´ıcios
1.6.1 Propriedades elementares de matrizes, operac¸o˜es elementares
Exerc´ıcio 1.6.1. Sejam as matrizes
A =
 3 −4
−5 6
 , B =
 7 4
5 k
 ,
determine o valor de k tal que AB = BA.
Exerc´ıcio 1.6.2. Verifique que a matriz A =

0 a a
0 0 a
0 0 0
 e´ nilpotente de ordem 3.
Exerc´ıcio 1.6.3. Dados matrizes A e B de ordem 3 × 3, verifique que AB = [Ab1 Ab2 Ab3].
b1, b2, b3 sa˜o colunas de B. Ab1, Ab2, Ab3 sa˜o as colunas 1,2,3, respetivamente da matriz AB.
Exerc´ıcio 1.6.4. Seja a matriz B3×3 , determine a e b (reais) tal que tr(BTB) = 53, e BV =
6V .
V =

3
0
1
 , B =

a 0 3
1 b −3
2 −1 0
 (1.75)
Exerc´ıcio 1.6.5. Seja a matriz A =
 a c
0 b
, sendo a, b, c reais. Determine os valores de
a, b, c tal que P (A) seja uma matriz nilpotente de ordem 2. P (x) = 2x+ 2 e´ um polinomio real
de primeiro grau.
Exerc´ıcio 1.6.6. Provar as propriedades (1.16-1.18)) da multiplicac¸a˜o de matrizes.
Exerc´ıcio 1.6.7. Considere a seguinte matriz A = [aij] tal que aij = 2i j(i + j), ∀ i, j =
{1, 2, 3}, . A e´ sime´trica ou anti-sime´trica?
Exerc´ıcio 1.6.8. Considere o seguinte conjunto de numero naturais I = {1, 2, 3, 4}, vamos
definir a matriz real A : I × I → R, aij = A(i, j) = (i − j) (i + j) /A = [aij]. Observe que os
indices {i, j} tomam valores no conjunto I.
a) A e´ sime´trica ou antisime´trica?
b) Indique o trac¸o da matriz A.
H.L. Carrion ECT
1.6 Exerc´ıcios 48
Exerc´ıcio 1.6.9. Seja a equac¸a˜o matricial X2 + I = 0 para a matriz X, verifique que X = i 0
0 i
 resolve dita equac¸a˜o. Onde i2 = −1 e´ a unidade imaginaria do plano complexo,
A,XI sao matrizes quadradas de ordem 2× 2.
Exerc´ıcio 1.6.10. Seja a matriz A =
 0 i
i 0
 e a matriz D de ordem 4 × 4 definida da
seguinte forma D =
 I A
−A I
 . Demonstrar que Dn = 2n−1D para todo n inteiro n ≥ 1.
Ajuda: Pode utilizar o me´todo de induc¸a˜o.
Exerc´ıcio 1.6.11. Seja as matrizes A,B matrizes quadradas arbitra´rias e sime´tricas :
a) Provar que as matrizes AB−BA e AB+BA sa˜o antisime´tria e sime´trica respectivamente.
b) Provar que o trac¸o da matriz AB −BA e´ nulo.
c) Analise os dois itens anteriores no caso que as matrizes A,B sejam antisime´tricas.
Exerc´ıcio 1.6.12. Dado a matriz B =

1 0 3
−1 3 2
0 2 4
, realize as seguintes operac¸o˜es elemen-
tares sucessivas a) L1 → L1 + 2L2, b) L3 → 2L3, c) troca da 1-linha com a linha 3.
I) Qual e´ a matriz equivalente que se obteˆm?.
II) Determine a matriz elementar associada a cada operac¸a˜o elementar, e verifique que C =
E3E2E1B, sendo C a resposta da parte I.
Exerc´ıcio 1.6.13. A partir da matriz identidade I4×4 realizes as seguintes operac¸o˜es elemen-
tares
a) l1 → l1 + βl2, β um nu´mero real.
b) l1 → l1 − βl2.
Verifique que E1E2 = E2E1 = I, sendo E1, E2 as matrizes elementares obtidas em cada caso.
Exerc´ıcio 1.6.14. Considere a matriz D de ordem 6× 6 definida da seguinte forma
D =

A 0 0
0 B 0
0 0 C

sendo A,B,C matriz quadradas arbitra´rias de ordem 2× 2.
H.L. Carrion ECT
1.6 Exerc´ıcios 49
a) Demonstrar que :
Dn =

An 0 0
0 Bn 0
0 0 Cn
 ,
sendo n qualquer nu´mero natural n ≥ 1.
b) Considere as matrizes A,B e C involutivas (A2 = I, B2 = I, C2 = I), logo provar que D
tambe´m e´ involutiva.
1.6.2 Determinante de matrizes
Exerc´ıcio 1.6.15. calcular a determinante das seguintes matrizes :
a) A =

1 0 0
30 2 0
41 −7 4
, b) B =

−1 0 4
0 5 7
4 7 1
 c) C =

1 0 −1 4
0 2 4 6
2 1 2 3
−1 5 −1 0

Exerc´ıcio 1.6.16. Seja uma matriz An×n do ordem n, onde duas colunas arbitrarias sa˜o pro-
porcionais, lovo provar que Det(A) = 0. Ajuda. Utilize a propriedade IV de determinante de
matrizes.
Exerc´ıcio 1.6.17. Determine det(BBT ), sendo a matriz B de ordem 3 em que B = [bij], bij =
i+ j.
Exerc´ıcio 1.6.18. Dados as matrizes A3×3, B3×3 , e |A| = −1, |B| = 2, determine: a) Det(B2A),
b) Det(2AAT ), c) Det((AB)T ).
Exerc´ıcio 1.6.19. Demonstrar as propriedades VII e VIII de determinante de matrizes, para
uma matriz de qualquer ordem. ajuda: utilize me´todo da induc¸a˜o.
Exerc´ıcio 1.6.20. Demonstre que Tr(A) = Tr(AT ). para qualqer matriz quadrada.
Exerc´ıcio 1.6.21. Seja a matriz B3x3 = [bkj] / bkj = k − 2j. Determine Det(−B).
Exerc´ıcio 1.6.22. Sejam as matrizes A =

a b c
d e f
g h l
 e B =

a b c
3d− 2a 3e− 2b 3f − 2c
g h l
.
Se |A| = 5, determine |B|.
H.L. Carrion ECT
1.6 Exerc´ıcios 50
Exerc´ıcio 1.6.23. Resolva equac¸a˜o matricial 2X − (A+2A2) = 4B3+2I3 para a matriz X, e
diga como resposta a determinante da matriz X. Onde : A =
 0 1
−1 0
 , B =
 1 0
0 −1
 .I
e´ matriz identidade.
Exerc´ıcio 1.6.24. Demonstrar a propriedade V de determinante de matrizes, para qualquer
matriz An×n.
Exerc´ıcio 1.6.25. Demonstrar que a determinante de uma matriz quadrada arbitraria de or-
dem n × n e´ o produto dos elementos da diagonal principal, ouseja se A = [aij] → det(A) =
a11.a22...ann =
∏i=n
i=1 aii.
∏
e´ simbolo de produtoria.
Exerc´ıcio 1.6.26. Demonstrar as propriedades I, II, III para qual-quer matriz quadrada A3×3.
Exerc´ıcio 1.6.27. Utilizando como resultado va´lido a propriedade V pra determinante de ma-
trizes, demonstre a propiedade IV, para uma matriz quadrada de ordem arbitra´ria.
Exerc´ıcio 1.6.28. Seja a matriz A =

1 1 1
x1 x2 x3
x21 x
2
2 x
2
3
, provar que Det(A) = (x2 − x1)(x3 −
x1)(x3 − x2). x1, x2, x3 sa˜o nu´meros reais arbitra´rios.
1.6.3 Matriz inversa
Exerc´ıcio 1.6.29. Provar as propriedades I,II,III da inversa de matrizes.
Exerc´ıcio 1.6.30. Seja a matriz A na˜o singular,tal que Det(A) = 5 calcular Det(A−1)
Exerc´ıcio 1.6.31. Prove que (ABA−1)n = ABnA−1, ∀n ∈ N . A e B sa˜o matrizes na˜o
singulares.
Exerc´ıcio 1.6.32. Dados a matriz A =

−1 0 0
0 1 0
2 0 1
,
a) Identifique as duas operac¸oes elementares sucessivas que devemos aplicar a´ matriz identidade
pra obter a matriz A.
b) Determine as matrizes elementares (e suas inversas) correspondentes a cada operac¸a˜o ele-
mentar, obtida da matriz identidade.
c) Verifique que matriz A e´ o produto das matrizes elementares encontradas no item b.
H.L. Carrion ECT
1.6 Exerc´ıcios 51
d) Determine a inversa da matriz A, fazendo uso das inversas das duas matrizes elementares
obtidas no item b.
Exerc´ıcio 1.6.33. Calcule a inversa de 2AAT , se A−1 existir.
Exerc´ıcio 1.6.34. Demonstre I+X+X2+ ...Xn = (Xn+1−I)(X−I)−1,sendo que I e´ matriz
identidade e (X − I) tem inversa.
Exerc´ıcio 1.6.35. Seja a matriz B =

1 0 0
0 cos(θ) − sin(θ)
0 sin(θ) cos(θ)
. Determine B−1 e BT , θ um
numero real arbitrario.
Exerc´ıcio 1.6.36. Seja A =
 2 1
1 4
 . Determinar (A−1)2
Exerc´ıcio 1.6.37. Seja A sime´trica e´ invers´ıvel,enta˜o A−1 e´ sime´trica.
Exerc´ıcio 1.6.38. Demonstrar que A =

(sin(α))2 (sin(β))2 (sin(γ))2
(cos(α))2 (cos(α))2 (cos(α))2
a a a
 e´ singular. a, α, β, γ
sa˜o nu´meros reais.
Exerc´ıcio 1.6.39. Seja A invers´ıvel, logo prove que (An)−1 = (A−1)n
Exerc´ıcio 1.6.40. Provar que (αA)−1 = α−1A−1, α 6= 0. A e´ invers´ıvel.
Exerc´ıcio 1.6.41. Seja An+1 = 0, n ≥ 1 e se (I −A) tem inversa, enta˜o: I +A+A2+ ...An =
(I − A)−1, sendo que I e´ matriz identidade e (I − A) tem inversa.
Exerc´ıcio 1.6.42. calcular a inversa das seguintes matrizes:
A =
 1 0
0 −1
 , B =

1 0 0
0 −2 0
0 0 −3
 ,
C =

1 4 2
0 4 0
0 2 1
 , pelo me´todo de matrizes elementares, pelo me´todo de Gauss (operac¸o˜es
elementares na linha) e pelo me´todo de cofatores.
Exerc´ıcio 1.6.43. calcular a inversa das seguintes matrizes:
H.L. Carrion ECT
1.7 Resposta dos exerc´ıcios 52
A =

0 1 2
1 4 −2
2 −2 8
 ,
B =

0 1 2
−1 0 −2
−2 2 0
 , C =

1 2 0 0
2 −1 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0

Exerc´ıcio 1.6.44. Provar que Det(A−1) = 1
Det(A)
, para qualquer matriz A invers´ıvel.
Exerc´ıcio 1.6.45. Seja Det(A) = (4/3)3, calcular Det(4(3AT )−1) se A e´ matriz de ordem
3× 3.
1.7 Resposta dos exerc´ıcios
1.7.1 repostas da sec¸a˜o 1.6.1
Reposta (1.6.1) : 4
Reposta (1.6.4) : a = 5, b = ±2
Reposta (1.6.5) : a = b = −1, c um nu´mero real arbitra´rio.
Reposta (1.6.7) : A matriz e´ sime´trica.
Reposta (1.6.12) : I) C =

0 4 8
−1 3 2
−1 6 7

II) E1 =

1 2 0
0 1 0
0 0 1
 , E2 =

1 0 0
0 1 0
0 0 2
 , E3 =

0 0 1
0 1 0
1 0 0
 ,
1.7.2 repostas da sec¸a˜o 1.6.2
Reposta (1.6.15) : a) 8, b) −36, c) −236
Reposta (1.6.17) : 0
Reposta (1.6.18) : a) −4, b) 8, c) −2.
Reposta (1.6.21) : 0
Reposta (1.6.22) : 15
H.L. Carrion ECT
1.7 Resposta dos exerc´ıcios 53
1.7.3 repostas da sec¸a˜o 1.6.3
Reposta exerc´ıcio (1.6.32) : a) l1 → (−1)l1, l3 → l3 − (2)l1
b) E1 =

−1 0 0
0 1 0
0 0 1
, E2 =

1 0 0
0 1 0
−2 0 1
 .
c) A−1 =

−1 0 0
0 1 0
2 0 1

Reposta exerc´ıcio (1.6.33) : (1/2)(A−1)TA−1
Reposta exerc´ıcio (1.6.35) : BT = B−1 =

1 0 0
0 cos(θ) sin(θ)
0 − sin(θ) cos(θ)

Reposta exerc´ıcio (1.6.36) : (A−1)2 = 1
49
 17 −6
−6 5

Reposta exerc´ıcio (1.6.42)
A−1 =
 1 0
0 −1
 , B−1 =

1 0 0
0 −1/2 0
0 0 −1/3
 , C−1 =

1 0 −2
0 1/4 0
0 −1/2 1

Reposta exerc´ıcio (1.6.43)
A−1 = 1
32

−28 12 10
12 4 −2
10 −2 1
 , B−1 na˜o existe, C−1 =

1/5 2/5 0 0
2/5 −1/5 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0

Reposta exerc´ıcio (1.6.45) : 1
H.L. Carrion ECT
Cap´ıtulo 2
sistema de equac¸o˜es lineares
2.1 Introduc¸a˜o
A motivac¸a˜o para estudar teoremas de classificac¸a˜o e me´todos de soluc¸a˜o de sistema de
equac¸o˜s lineares sa˜o multiplas. Iremos enunciar algumas delas
• Ana´lise de fluxo de tra´fego de ve´ıculos numa cidade com enu´meras ruas entrelazadas.
• Quando temos uma rede eletrica contento resistores e fontes, e queremos determinar a
intensidade de corrente que circula por cada ramal, iremos aplicar os teoremas de Kirchhoff
e depois resolver um sistema de equac¸o˜es(ver fig (2.1)).
• Quando temos uma reac¸a˜o quimica de varias substancias, precisamos realizar o balance-
amento da equac¸a˜o, ou seja devemos determinar as quantidades exatas de a´tomos que
participa na reac¸a˜o qu´ımica. Iremos colocar variaveis arbitra´rias em cada termo da reac¸a˜o,
e logo devemos resolver um sistema de equac¸o˜es para determinar o valor destes coeficien-
tes.
xCaO + y P2O5 = z Ca3(PO4)2
xAl2O3 + y HCl = z AlCl3 + wH2O
• Modelos econoˆmicos de troca de bens,etc
2.2 classificac¸a˜o de sistems de equac¸o˜es lineares 55
Figura 2.1 circuito IR
2.2 classificac¸a˜o de sistems de equac¸o˜es lineares
Definic¸a˜o 2.2.1. Um sistema de equac¸o˜es lineares e´ um conjunto finito de m equac¸o˜es
com coeficientes constantes aij e varia´veis xi, i, j = 1, 2, ...n cada uma de potencia 1, definida
do seguinte modo. 
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1jxj + . . . a1nxn = b1
...
...
...
...
...
ai1x1 + ai2x2 + . . .+ aijxj + . . . ainxn = bi
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . .+ amjxj + . . . amnxn = bm
As n varia´veis xi sa˜o chamadas de incognitas. aij, bi ∈ R, ∀ i, j = 1, 2, ..n.
♠ Se bi 6= 0 por lo menos para alguns i = 1, 2, .., n; enta˜o o sistema e´ na˜o homogeˆneo.
♠ Se bi = 0 ∀ i, i = 1, 2, .., n; enta˜o o sistema e´ homogeˆneo.
Dado o sistema de equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneo.
x+ y + z = 10
2x+ y + 4z = 20
2x+ 3y + 5z = 25 (2.1)
H.L. Carrion ECT
2.2 classificac¸a˜o de sistems de equac¸o˜es lineares 56
A matriz aumentada associada (matriz de coeficientes) ao sistema anterior e´

1 1 1 |10
2 1 4 |20
2 3 5 |25
 .
Observe que na ultima coluna temos a parte na˜o homogeˆna do sistema de equac¸o˜es.
Definic¸a˜o 2.2.2. Duas sitemas de equac¸o˜es lineares se chaman equivalentes se elas possuem
as mesmas soluc¸o˜es
Dado um sistema de equac¸o˜es Lineares 1 (SEL1), se aplicamos a seguinte operac¸a˜o ele-
mentar:
I) 1-equac¸a˜o se multiplica por 2: L1 → 2L1
SEL1
 y + 2x = 1y − x = 4 ⇒ SEL2
 2y + 4x = 2y − x = 4
enta˜o vamos obter outro sistema de equac¸o˜es lineares equivalente ao sistema anterior, ou seja:
SEL1 ∼ SEL2, tem as mesmas soluc¸o˜es! (soluc¸a˜o u´nica: x=-1, y=3)
se aplicarmos outra operac¸a˜o elementar.
II) Troca de posic¸o˜es : L1 e´ trocada de posic¸a˜o com L2
SEL1
 y + 2x = 1y − x = 4 ⇒ SEL3
 y − x = 4y + 2x = 1
enta˜o iremos obter outro sistema de equac¸o˜es lineares, equivalente ao sistema anterior, ou seja:
SEL1 ∼ SEL3, tem as mesmas soluc¸o˜es!
Finalmente, se aplicarmos a seguinte operac¸a˜o elementar
III) Somar uma equac¸a˜o o multiplo de outra : L2 → L2 + 2L1
SEL1
 y + 2x = 1y − x = 4 ⇒ SEL4
 y + 2x = 13y + 3x = 6
enta˜o iremos obter outro sistema de equac¸o˜es lineares, equivalente ao sistema anteior, ou seja :
SEL1 ∼ SEL4, tem as mesmas soluc¸o˜es!
H.L. Carrion ECT
2.2 classificac¸a˜o de sistems de equac¸o˜es lineares 57
Conclusa˜o importante : As transformac¸o˜es feitas no sistema de equac¸o˜es que levam
a um outro sistema equivalente sa˜o na verdade as chamadas operac¸o˜es elementares que
agem sobre as linhas da matriz aumentada.
Teorema 2.2.1. Se as matrizes completas de dois sistemas lineares sa˜o linha-equivalentes,
enta˜o os dois sistema teˆm o mesmo conjunto soluc¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.2.3. Todo sistema de equac¸o˜es Lineares tem
• Nehuma soluc¸a˜o ou
• Soluc¸a˜o u´nica ou
• infinitas soluc¸o˜es
Exemplo 2.2.1. Exemplo de sistem de equac¸o˜es lineares com nehuma soluc¸a˜o (ou
sistema de equac¸o˜es inconsistentes)
x+ y = 8
2x+ 2y = 5 (2.2)
na˜o existe valores de x, y tal que resolva o sistema de equac¸o˜es anterior. Multiplicando
a primeira equac¸a˜o por 2, chegamos a uma contradic¸a˜o 5 = 16 (falso) (ver figura (2.2)). isto
quer dizer que o sistema na˜o tem soluc¸a˜o, ou seja, um sistema inconsistente. Na figura (2.2))
podemos ver geome´tricamente que as retas (uma para cada equac¸a˜o) na˜o se intersecam, isto
diz claramente, que na˜o tem valores de x e y que satisfaz ambas equac¸o˜es simultaneamente.
H.L. Carrion ECT
2.2classificac¸a˜o de sistems de equac¸o˜es lineares 58
duas retas paralelas
0
2
4
6
8
10
12
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
Figura 2.2 sistem de duas equac¸o˜es inconsistente
duas retas secantes
–6
–4
–2
2
4
6
8
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
Figura 2.3 sistem de equac¸o˜es com soluc¸a˜o u´nica: ponto de intercepto
Exemplo 2.2.2. Exemplo de sistem de equac¸o˜es lineares com soluc¸a˜o u´nica (sistema de equac¸o˜es
consistentes)
2x+ y = 1
−x+ y = 4. (2.3)
A soluc¸a˜o u´nica e´ {x = −1, y = 3}. Temos dois equac¸o˜es inequivalentes e dois variaveis
ou incognitas. Na figura 2.3 podemos ver geome´tricamente que as duas retas (uma para cada
equac¸a˜o) se intersecam num u´nico ponto. Isto quer dizer que, existe uma u´nida dupla de valores
de x e y que satisfaz os sistema de equac¸o˜es lineares.
Exemplo 2.2.3. Exemplo de sistemas de equac¸o˜es lineares com∞ soluc¸o˜es (sistema de equac¸o˜es
consistentes).
4x+ y = 1
−4x− y = −1 (2.4)
H.L. Carrion ECT
2.2 classificac¸a˜o de sistems de equac¸o˜es lineares 59
duas retas superpostas
–10
–5
5
10
–3 –2 –1 1 2 3
x
Figura 2.4 sistem de equac¸o˜es com ∞ soluc¸o˜es. ∞ pontos de intercepto
para resolver o sistema anterior, vamos realizar uma manipulac¸a˜o alge´brica na segunda
equac¸a˜o (multiplicar por -1):
4x+ y = 1
4x+ y = 1, (2.5)
observamos entao que na verdade se trata de uma u´nica equac¸a˜o !. Quer dize, que inicialmente
tinha um sistema de equac¸o˜es formado por duas equac¸o˜es equivalientes, depois da manipulac¸a˜o
temos um sistema formado por uma u´nica equac¸a˜o inequivalente, com duas varia´veis ou incog-
nitas.
4x+ y = 1, (2.6)
E´ de se esperar que o sistema tenha infinitas soluc¸oes, desde que temos maior nu´mero de
incognitas que de equac¸o˜es. vamos verificar isto.
Para resolver vamos considerar que x = t onde t e´ um para´metro real e arbitra´rio. Logo,
iremos substituir esta soluc¸a˜o de x na equac¸a˜o (2.6) para calcular y e o resultado e´ y = 1− 4t.
Finalmente o conjunto soluc¸a˜o e´
{x = t, y = 1− 4t}, ∀t ∈ <. t e´ o para´metro real e arbitra´rio, para cada valor de t temos uma
soluc¸a˜o.
De acordo a figura (2.4), podemos entender esta situac¸a˜o do senguinte modo. As duas retas
(as duas equac¸o˜es iniciais) por ser uma mu´ltiplo da outra, na verdade, coincidem, ouseja estao
superpostas, as duas retas se intersecam em infinitos pontos. Dito de outra forma, existem
infinitos pares de valores de x e y que satisfazem o sistema (2.3). O sistema e´ consistente com
infinitas soluc¸o˜es.
H.L. Carrion ECT
2.2 classificac¸a˜o de sistems de equac¸o˜es lineares 60
Definic¸a˜o 2.2.4. Dada uma matriz M , se este na˜o for matriz nula, podemos realizar um
nu´mero finito de opera˜c¸o˜es elementares (qualquer dos treˆs tipos que conhecemos) na linha para
converter numa matriz escada ou escalonada, onde:
• Temos um elemento na˜o nulo a´ esquerda de cada linha (pivoˆ).
• Abaixo de cada pivoˆ (coluna) deve ter elementos nulos.
• todas as linhas cujos elementos sa˜o todos nulos, se localizam abaixo das linhas contendo
elementos na˜o nulos.
Definic¸a˜o 2.2.5. O processo de utilizar as operac¸o˜es elementares na linha, para transformar
uma matriz arbitra´ria A em outra em forma escalonada (ou matriz escada), se denomina eli-
minac¸a˜o gaussiana.

• • • • •
• 0 • • •
• • • 0 •
• • • 0 •
 .⇒

a • 0 • •
0 b c • •
0 0 0 d •
0 0 0 0 0
,
 .
Dada uma matriz M , se este na˜o for matriz nula, ha´ sempre infinitas matrizes escada
obtidas a partir de M , mas todas elas teˆm em comum o nu´mero de linhas na˜o nulas e as
colunas onde aparecem os pivoˆs.
Definic¸a˜o 2.2.6. Posto de uma matriz (p). O posto de uma matriz M e´ o nu´mero de
linhas na˜o nulas de qualquer matriz escada obtida a partir de M por operac¸o˜es elementares
sobre linhas.
A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1n
...
...
. . .
...
. . .
...
ai1 ai2 · · · aij · · · ain
...
...
. . .
...
. . .
...
0 0 · · · app · · · apn
0 0 · · · 0 · · · 0
· · · · · · · · · 0 · · · 0
...
...
... 0
... 0
0 0 · · · 0 · · · 0

. (2.7)
H.L. Carrion ECT
2.2 classificac¸a˜o de sistems de equac¸o˜es lineares 61
Existe outra definic¸a˜o de posto de matriz, sem utilizar escalonamento: o posto de M e´
a ordem da maior submatriz quadrada de M com determinante na˜o nulo. Por exemplo, se M
for quadrada e invert´ıvel, seu posto e´ a ordem da matriz. Pode-se demonstrar que se trata do
mesmo conceito.
Definic¸a˜o 2.2.7. Seja um sistema de n equac¸o˜es na˜o homogeˆnea com m inco´gnitas,
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxm = b1
...
...
...
...
an1x1 + an2x2 + . . .+ anmxm = bn
(2.8)
Aqui, todos os coeficientes aij formam a matriz dos coeficientes A de ordem n×m,
A =

a11 a12 · · · a1j · · · a1m
...
...
. . .
...
. . .
...
ai1 ai2 · · · aij · · · aim
...
...
. . .
...
. . .
...
an1 an2 · · · anj · · · anm

. (2.9)
Considerando
X =

x1
...
xi
...
xm

, B =

b1
...
bi
...
bn

. (2.10)
O sistema de equac¸o˜es lineares na˜o homogeˆneo (2.31) pode ser colocado na seguinte equac¸a˜o
matrizial. 
a11 a12 · · · a1j · · · a1m
...
...
. . .
...
. . .
...
ai1 ai2 · · · aij · · · aim
...
...
. . .
...
. . .
...
an1 an2 · · · anj · · · anm

.

x1
...
xi
...
xm

=

b1
...
bi
...
bn

.
H.L. Carrion ECT
2.2 classificac¸a˜o de sistems de equac¸o˜es lineares 62
A equac¸a˜o matrizial anterior tem a seguinte forma compacta
AX = B equa. Linear na˜o homogeˆnea
(2.11)
sendo:
• A→ Matriz de coeficientes do sistema linear de equac¸o˜es.
• X → Vetos soluc¸a˜o ou conjunto soluc¸a˜o, a ser determinado.
• B → Matriz coluna qu representa a parte na˜o homogeˆnea do sistema linear de equac¸o˜es.
Teorema 2.2.2. Teorema de Rouche´-Capelli Seja um sistema linear AX = B de m-
equac¸o˜es a n varia´veis. cuja matriz dos coeficientes A tem posto p e cuja matriz ampliada e Aˆ
tem posto q. Enta˜o:
? Se p 6= q, o sistema e´ imposs´ıvel(inconsistente, na˜o ha´ soluc¸a˜o);
? Se p = q = n, o sistema e´ poss´ıvel e determinado (consistente e com uma u´nica soluc¸a˜o);
? Se p = q < n, o sistema e´ poss´ıvel e indeterminado(consistente com ∞ soluc¸o˜es), com grau
de liberdade = n− p.
Os graus de liberdade, sa˜o justamente o nu´mero de paraˆmetros livres existentes no con-
junto soluc¸a˜o.
Exemplo 2.2.4. Considere o sistema de equac¸o˜es (2.2)
x+ y = 8 (2.12)
2x+ 2y = 5,
e antes de resolver formalmente, diga se o sistema e´ consistente ou inconsistente.
Soluc¸a˜o vamos trabalhar no nivel da matriz de coeficientes A e matriz aumentada Aˆ
A =
 1 1
2 2
 , Aˆ =
 1 1 8
2 2 5
 . (2.13)
Realizamos a operac¸a˜o elementar L2 → L2 − 2L1 em ambas matrizes
H.L. Carrion ECT
2.2 classificac¸a˜o de sistems de equac¸o˜es lineares 63
A =
 1 1
0 0
 , Aˆ =
 1 1 8
0 0 −11
 . (2.14)
O posto de A e´ p = 1 por que temos uma linha na˜o nula.
O posto de Aˆ e´ q = 0 porque na˜o temos linhas nulas.
p 6= q, logo pelo teorema (2.2.2) o sistema e´ imposs´ıvel. Ou seja o sistema e´ inconsiste, na˜o
tem soluc¸a˜o. Esta conclusa˜o coincide com a ana´lise inicial do exemplo (2.2.1).
Exemplo 2.2.5. Considere o sistema de equac¸o˜es (2.3)
2x+ y = 1 (2.15)
−x+ y = 4,
e antes de resolver formalmente, diga se o sistema tem ou na˜o uma soluc¸a˜o u´nica.
Soluc¸a˜o vamos trabalhar no nivel da matriz de coeficientes A e matriz aumentada Aˆ
A =
 2 1
−1 1
 , Aˆ =
 2 1 1
−1 1 4