Plano tang 2

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Plano tangente, diferencial e gradiente
MO´DULO 1 – AULA 9
Aula 9 – Plano tangente, diferencial e
gradiente
Objetivos
• Aprender o conceito de plano tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o dife-
rencia´vel de duas varia´veis.
• Conhecer a notac¸a˜o cla´ssica para a melhor aproximac¸a˜o linear de uma
func¸a˜o diferencia´vel – a diferencial.
• Aprender o conceito de vetor gradiente como o dual da diferencial.
As duas u´ltimas aulas apresentaram a noc¸a˜o de diferenciabilidade de
uma func¸a˜o de va´rias varia´veis e as suas implicac¸o˜es imediatas. Foram aulas
teoricamente mais densas e, portanto, o cara´ter um pouco mais simples que
esta aula pretende ter deve ser uma bem-vinda mudanc¸a de ritmo.
Antes de prosseguir, no entanto, vamos reconhecer um de´bito que sera´
pago na pro´xima aula de exerc´ıcios. Veja, na aula anterior, foi provado que
toda func¸a˜o de classe C1 e´ diferencia´vel. Isto e´, ser de classe C1 e´ uma
condic¸a˜o suficiente para ser diferencia´vel. Diante disso, voceˆ deve conside-
rar a questa˜o da necessidade dessa condic¸a˜o para a diferenciabilidade. Em
outras palavras, essa condic¸a˜o suficiente e´ tambe´m necessa´ria? Muito bem,
adiantando a resposta: na˜o! Ha´ func¸o˜es diferencia´veis cujas func¸o˜es deriva-
das parciais na˜o sa˜o cont´ınuas. Voceˆ vera´ um exemplo na pro´xima aula de
exerc´ıcios. Promessa e´ d´ıvida!
Muito bem, com isso fora da pauta, vamos ao primeiro tema desta aula.
Plano tangente
Na definic¸a˜o de diferenciabilidade de uma func¸a˜o f : A ⊂ lR 2 −→ lR ,
no ponto (a, b) ∈ A, subconjunto aberto de lR 2, a equac¸a˜o
f(x, y) = f(a, b) +
∂f
∂x
(a, b) (x− a) + ∂f
∂y
(a, b) (y − b) + E(x, y)
desempenha um papel fundamental, pois define o erro E(x, y), que converge
para zero mais rapidamente do que |(x, y) − (a, b)|. Isso quer dizer que a
aplicac¸a˜o afim
A(x, y) = f(a, b) + ∂f
∂x
(a, b) (x− a) + ∂f
∂y
(a, b) (y − b),
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Plano tangente, diferencial e gradiente
no caso de f ser diferencia´vel em (a, b), e´ aquela que, entre todas as aplicac¸o˜es
afins, da´ as melhores aproximac¸o˜es aos valores da func¸a˜o f , em alguma vizi-
nhanc¸a do ponto (a, b).
Mas, como sabemos, equac¸o˜es do tipo
z = c + mx + n y
definem planos em lR 3.
Isso nos motiva a estabelecer o seguinte.
Definic¸a˜o 9.1:
Seja f : A ⊂ lR 2 −→ lR , uma func¸a˜o definida no subconjunto aberto
A de lR 2, diferencia´vel no ponto (a, b). Dizemos que o plano definido pela
equac¸a˜o
z = f(a, b) +
∂f
∂x
(a, b) (x− a) + ∂f
∂y
(a, b) (y − b)
e´ o plano tangente ao gra´fico da func¸a˜o f , no ponto (a, b).
Exemplo 9.1
Vamos calcular a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f(x, y) =
x2 − xy − y2 no ponto (1, 1,−1).
Para isso, calculamos as derivadas parciais:
∂f
∂x
(x, y) = 2x− y, ∂f
∂y
(x, y) = −x− 2y.
Substituindo (x, y) por (1, 1), obtemos:
∂f
∂x
(1, 1) = 1,
∂f
∂y
(1, 1) = −3.
Assim, a equac¸a˜o procurada e´
z = f(1, 1) +
∂f
∂x
(1, 1) (x− 1) + ∂f
∂y
(1, 1) (y − 1);
z = −1 + (x− 1)− 3(y − 1);
z = x− 3y + 1.
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Plano tangente, diferencial e gradiente
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Exemplo 9.2
Vamos calcular a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f(x, y) =
2xy − y2 que seja paralelo ao plano z = 2x + 4y.
Para que os planos z = f(a, b) +
∂f
∂x
(a, b) (x − a) + ∂f
∂y
(a, b) (y − b) e
z = 2x + 4y sejam paralelos, e´ preciso que
∂f
∂x
(a, b) = 2 e
∂f
∂y
(a, b) = 4.
Como
∂f
∂x
(x, y) = 2y e
∂f
∂y
(x, y) = 2x− 2y, temos de achar os valores
a e b tais que 2b = 2 e 2a − 2b = 4. Portanto, o ponto que procuramos e´
(a, b) = (3, 1), e a equac¸a˜o do plano tangente procurado e´
z = f(3, 1) + 2(x− 3) + 4(x− 1);
z = 2x + 4y − 5.
Reta normal ao gra´fico
O espac¸o tridimensional lR 3 e´ munido de um produto que o torna
muito especial. Dados v1, v2 ∈ lR 3, podemos efetuar o produto vetorial,
v1×v2, obtendo um terceiro vetor. Se v1 e v2 sa˜o linearmente independentes,
enta˜o v1 × v2 e´ perpendicular ao plano gerado por eles.
v1
v2
v1 × v2
Isso esta´ ligado ao fato de todo plano contido em lR 3 ter uma u´nica
direc¸a˜o ortogonal. Ou seja, dado um plano π ⊂ lR 3 e um ponto (a, b, c) ∈ lR 3,
existe uma u´nica reta r, tal que r e´ perpendicular a π e (a, b, c) ∈ r.
E ainda, se a equac¸a˜o cartesiana do plano tem a forma
αx + β y + γ z = δ,
e´ fa´cil obter uma equac¸a˜o parame´trica da reta ortogonal:
r(t) = (α t + a, β t + b, γ t + c).
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Plano tangente, diferencial e gradiente
Portanto, reescrevendo a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f , no
ponto (a, b, f(a, b)) como
∂f
∂x
(a, b) x +
∂f
∂y
(a, b) y − z = ∂f
∂x
(a, b) a +
∂f
∂y
(a, b) b− f(a, b),
obtemos uma equac¸a˜o parame´trica da reta normal ao gra´fico de f no ponto
(a, b, f(a, b)):
r(t) =
(∂f
∂x
(a, b) t + a,
∂f
∂y
(a, b) t + b, −t + f(a, b)
)
.
Exemplo 9.3
Vamos calcular uma equac¸a˜o parame´trica da reta normal ao gra´fico de
f(x, y) = xy no ponto (−1,−2, 2).
Comec¸amos calculando as derivadas parciais de f :
∂f
∂x
(x, y) = y e
∂f
∂y
(x, y) = x,
e substitu´ımos (x, y) por (−1,−2):
∂f
∂x
(1,−1) = −2 e ∂f
∂y
(1,−1) = −1.
Aqui esta´ uma equac¸a˜o parame´trica da reta normal ao gra´fico de z = xy
no ponto (−1,−2, 1):
r(t) = (−2t− 1, −t− 2, 2− t).
O pro´ximo tema e´ um cla´ssico da Matema´tica: a diferencial.
Diferencial
Voceˆ deve ter notado que, em diversas situac¸o˜es, usamos a termino-
logia “melhor aproximac¸a˜o linear”, enquanto em outras usamos “a melhor
aproximac¸a˜o afim”. Vamos esclarecer a diferenc¸a que ha´ entre uma e outra
terminologia. No fundo, e´ uma questa˜o de referencial.
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Plano tangente, diferencial e gradiente
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O termo linear e´ usado para caracterizar um tipo especial de func¸o˜es:
as transformac¸o˜es lineares. Uma transformac¸a˜o linear de um espac¸o vetorial
V no espac¸o vetorial W (digamos, reais) e´ uma func¸a˜o T : V −→W , com as
seguintes propriedades: ∀v, w ∈ V, ∀λ ∈ lR ,
• T (v + w) = T (v) + T (w);
• T (λv) = λT (v).
Ou seja, T preserva as operac¸o˜es que caracterizam V como um espac¸o
vetorial, na imagem em W .
Em particular, as transformac¸o˜es lineares de lR 2 em lR , tambe´m cha-
madas funcionais lineares de lR 2, teˆm a forma geral
T (x, y) = α x + β y,
onde α e β sa˜o nu´meros reais.
Isto e´, cada funcional linear de lR 2 e´ caracterizado unicamente por um
par ordenado (α, β).
O gra´fico de um funcional linear de lR 2 e´ um plano contido em lR 3 que
conte´m a origem, pois T (0, 0) = 0.
Ja´ uma aplicac¸a˜o afim de lR 2 em lR tem a forma geral
A(x, y) = α x + β y + γ,
onde α, β e γ sa˜o nu´meros reais.
O gra´fico de A e´ um plano contido em lR 3 que intersecta o eixo Oz na
altura γ.
No caso das aplicac¸o˜es afins, temos um grau de liberdade a mais em
relac¸a˜o aos funcionais lineares, pois temos um nu´mero extra γ para determi-
nar a aplicac¸a˜o.
Suponha que f : A ⊂ lR 2 −→ lR seja uma func¸a˜o diferencia´vel em
(a, b). A aplicac¸a˜o
A(x, y) = f(a, b) + ∂f
∂x
(a, b) (x− a) + ∂f
∂y
(a, b) (y − b)
e´ a melhor aproximac¸a˜o afim da func¸a˜o f , numa pequena vizinhanc¸a do
ponto (a, b).
Ha´ uma maneira cla´ssica de apresentar este tema, isto e´, a noc¸a˜o de
diferencial. A terminologia usada e´ a de acre´scimos. Usando a notac¸a˜o de
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Plano tangente, diferencial e gradiente
acre´scimos, mudaremos a aplicac¸a˜o afim para uma linear, que passara´ a ser
chamada diferencial.
Coloquemos z = f(x, y). Nesses termos, x e y sa˜o as varia´veis indepen-
dentes e z e´ a varia´vel dependente.
Veja: se colocarmos h = x−a e k = y−b, podemos reescrever a equac¸a˜o
que define a aplicac¸a˜o afim A da seguinte maneira:
A(a + h, b + k)− f(a, b) = ∂f
∂x(a, b) h +
∂f
∂y
(a, b) k.
A fo´rmula do lado direito da igualdade define um funcional linear nas
varia´veis h e k, os respectivos acre´scimos de x e de y, aplicados em (a, b):
T (h, k) =
∂f
∂x
(a, b) h +
∂f
∂y
(a, b) k,
determinada unicamente pelo par ordenado
(∂f
∂x
(a, b),
∂f
∂y
(a, b)
)
.
Resumindo, dados os acre´scimos h e k, T (h, k) =
∂f
∂x
(a, b) h+
∂f
∂y
(a, b) k
e´ a melhor aproximac¸a˜o linear ao acre´scimo obtido na varia´vel z. Isto e´,
T (h, k) e´ a melhor aproximac¸a˜o ao acre´scimo f(a + h, b + k)− f(a, b).
Classicamente, denotam-se os acre´scimos em x e em y por dx e dy
(h = dx e k = dy). O acre´scimo real, f(a + dx, b + dy) − f(a, b), em z, e´
denotado por ∆z, para diferencia´-lo do acre´scimento obtido com a diferencial,
denotado por dz.
Assim, representamos a transformac¸a˜o linear T (h, k) por
dz =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy,
chamada diferencial da func¸a˜o z = f(x, y).
Como
E(h, k) = f(a + h, b + k)− f(a, b)− ∂f
∂x
(a, b) h− ∂f
∂y
(a, b) k
=
(
f(a + h, b + k)− f(a, b)) − (∂f
∂x
(a, b) dx +
∂f
∂y
(a, b) dy
)
= ∆z − dz,
denotamos dz � ∆z para indicar que dz e´ uma aproximac¸a˜o de ∆z. Eles
diferem pelo erro E(h, k) que e´ ta˜o menor quanto mais h e k estiverem
pro´ximos de zero.
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Plano tangente, diferencial e gradiente
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(a, b) (a + dx, b + dy)
f(a, b)
∆z dz
Erro = |∆z − dz|
A(a + dx, b + dy)
f(a + dx, b + dy)
Esta figura e´ esquema´tica.
Note que o domı´nio de f ,
que esta´ contido em lR 2, foi
representado como um
subconjunto de lR . Dessa
forma, o gra´fico de f , que e´
uma superf´ıcie, esta´
representado por uma curva,
enquanto o gra´fico de A, que
e´ um plano, esta´
representado por uma reta.
A pra´tica de representar
espac¸os de dimenso˜es
maiores por seus similares de
dimenso˜es menores e´ comum
em Matema´tica. Com isso
facilita-se a visualizac¸a˜o e
espera-se ajudar o
entendimento.
Veja como usar essa notac¸a˜o no seguinte exemplo.
Exemplo 9.4
Vamos calcular a expressa˜o geral para a diferencial da func¸a˜o
f(x, y) =
√
6− x2 − y2
e usa´-la para calcular uma aproximac¸a˜o ao valor f(0.99, 1.02).
Para calcular a forma geral da diferencial, precisamos calcular as deri-
vadas parciais de f .
∂f
∂x
(x, y) =
−x√
6− x2 − y2 ;
∂f
∂y
(x, y) =
−y√
6− x2 − y2 .
Assim, se colocarmos z = f(x, y), a diferencial de f e´
dz = − x√
6− x2 − y2 dx −
y√
6− x2 − y2 dy
dz =
−x dx− y dy√
6− x2 − y2 .
Agora, vamos usar essa fo´rmula para avaliar f(0.99, 1.02).
O ponto de refereˆncia e´, nesse caso, (1, 1). Isto e´, a = 1, b = 1,
a + h = 0.99 e b + h = 1.02.
Calculada em (1, 1), a diferencial fica
dz = −1
2
dx− 1
2
dy.
Os acre´scimos sa˜o: dx = 0.99 − 1 = −0.01 e dy = 1.02 − 1 = 0.02.
Portanto,
dz =
0.01− 0.02
2
= −0.005.
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Plano tangente, diferencial e gradiente
Como f(1, 1) = 2, f(0.99, 1.02) � f(1, 1) + dz = 1.995.
Veja, usando uma ma´quina de calcular, obtemos uma aproximac¸a˜o mais
acurada do valor f(0.99, 1.02), como 1.994868417. Nada mal para uma apro-
ximac¸a˜o, voceˆ na˜o acha?
Chegamos ao u´ltimo tema da aula.
O vetor gradiente
A palavra dualidade e´ usada em circunstaˆncias bem especiais, na Ma-
tema´tica. Em geral, ela indica a existeˆncia de uma bijec¸a˜o entre certos
conjuntos. Mas e´ mais do que isso.
Por exemplo, podemos dizer que ha´ uma dualidade entre os so´lidos de
Plata˜o, estabelecida pela relac¸a˜o entre nu´meros de ve´rtices e nu´meros de
faces. Veja, na tabela a seguir, o nome, o nu´mero de ve´rtices, o nu´mero de
arestas e o nu´mero de faces desses poliedros regulares.
Nome ve´rtices arestas faces
Tetraedro 4 6 4
Hexaedro (cubo) 8 12 6
Octaedro 6 12 8
Dodecaedro 20 30 12
Icosaedro 12 30 20
Note que o nome do poliedro tem o prefixo grego que indica o nu´mero
de faces. Assim, por exemplo, o hexaedro e´ o so´lido regular que tem seis
faces, todas quadradas. E´ o nosso popular cubo.
O hexaedro, ou cubo, e´ dual ao octaedro. Isso porque o cubo tem seis
faces e oito ve´rtices (f = 6, v = 8), enquanto o octaedro tem oito faces e seis
ve´rtices (f = 8, v = 6).
O dodecaedro e´ dual ao icosaedro. Assim, na˜o e´ surpresa que, conhe-
cendo o dodecaedro, os gregos acabaram descobrindo o seu dual, o icosaedro.
Veja: se no centro de cada face do dodecaedro marcarmos um ponto, e li-
garmos todos esses pontos, obteremos um icosaedro inscrito no dodecaedro
original, e vice-versa.
Resta a pergunta: quem e´ o dual do tetraedro, o mais simples dos
so´lidos regulares? Ora, sem mais delongas, o tetraedro e´ auto-dual, pois e´ o
u´nico so´lido regular a ter o mesmo nu´mero de faces e de ve´rtices.
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Plano tangente, diferencial e gradiente
MO´DULO 1 – AULA 9
Depois disso tudo, voltamos a` nossa aula.
Ha´ uma bijec¸a˜o entre o espac¸o dos funcionais lineares de lR 2 e o pro´prio
lR 2, que associa o funcional definido por T (x, y) = αx + β y ao par
ordenado (α, β).
Isso e´ um outro exemplo de uma dualidade. Na verdade, o espac¸o dos
funcionais lineares de lR 2 e´ um espac¸o vetorial e e´ chamado espac¸o dual.
A palavra gradiente prove´m
do latim gradientis,
partic´ıpio de gradi, que
significa caminhar, assim
como a palavra grau prove´m
de gradus, que significa
passo, medida, hierarquia,
intensidade.
A palavra gradiente
significa, na linguagem
comum, a medida da
declividade de um terreno.
Significa, tambe´m, a medida
da variac¸a˜o de determinada
caracter´ıstica de um meio,
tal como pressa˜o ou
temperatura, de um ponto
para outro desse meio.
Como tal, nada mais e´ do
que uma taxa de variac¸a˜o.
O s´ımbolo ∇, usado para
representar esse vetor, e´
chamado nabla.
Isso nos faz olhar para o vetor
(∂f
∂x
(x, y),
∂f
∂y
(x, y)
)
, como o dual da
diferencial dz =
∂f
∂x
(x, y) dx +
∂f
∂y
(x, y) dy, num ponto gene´rico (x, y) do
domı´nio de f , e nomea´-lo gradiente de f . Usamos a notac¸a˜o
∇f(x, y) =
(∂f
∂x
(x, y),
∂f
∂y
(x, y)
)
.
Esse vetor desempenhara´ um papel importante de agora em diante.
Com isso, chegamos ao fim desta aula. A seguir, uma lista com alguns
exerc´ıcios para voceˆ praticar o que acabou de aprender.
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1
Calcule a equac¸a˜o do plano tangente e uma equac¸a˜o parame´trica da
reta normal ao gra´fico de f no ponto indicado.
(a) f(x, y) = x2 − 2y (1, 0, 1);
(b) f(x, y) = ln (x2 + y2) (1,−1, ln 2);
(c) f(x, y) = sen xy (π, 1/2, 1);
(d) f(x, y) = ex
2y (1, 0, 1);
(e) f(x, y) = xy − y3 (1, 1, 0).
Exerc´ıcio 2
Determine o plano tangente ao gra´fico de f(x, y) = x2 +3xy + y2, que
e´ paralelo ao plano z = 10x + 5y + 15.
103 CEDERJ
Plano tangente, diferencial e gradiente
Exerc´ıcio 3
Calcule a diferencial (forma geral) das seguintes func¸o˜es:
(a) z = 2xy − x2 + y2; (b) z = √1− x2 − y2;
(c) z = exy − 1; (d) z = x− y
x + y
;
(e) w = xy + xz + yz; (f) w = ln (1 + x2 + y2 + z2).
Exerc´ıcio 4
Use uma diferencial para calcular uma aproximac¸a˜o ao nu´mero√
17 + 3
√
26.
Exerc´ıcio 5
Use a diferencial para calcular uma aproximac¸a˜o de f(2.997, 4.008),
onde f(x, y) =
√
x2 + y2.
Exerc´ıcio 6
Sabendo que o vetor gradiente de f(x, y), no ponto (1, 2), e´ ∇f(1, 2) =
(1,−1) e que f(1, 2) = 3, calcule o plano tangente ao gra´fico de f no ponto
(1, 2, f(1, 2)).
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