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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
1.a AVALIAÇÃO À DISTÂNCIA 
1.o SEMESTRE DE 2010 
PROFESSORA: KEILA MARA CASSIANO 
 
 
1. (Valor 1,0) 80 alunos do curso de Biologia da UFF participaram de uma pesquisa e verificou-se 
que 40 deles moravam em Niterói, 20 moravam no Rio de Janeiro e 20 moravam em São 
Gonçalo. Construa um gráfico em setores, com frequências relativas, para a distribuição do 
local de moradia dos 80 alunos pesquisados. 
 
Resolução: Conforme o enunciado das questões, a distribuição de frequências do local de moradia dos 
alunos é dada por: 
 
Local de Moradia Freqüência Simples Absoluta 
Niterói 40 
Rio de Janeiro 20 
São Gonçalo 20 
Assim sendo, as freqüências relativas de Niterói, Rio de Janeiro e São Gonçalo são %50100
80
40
=x , 
%25100
80
20
=x e %25100
80
20
=x , respectivamente. O gráfico em setores desta distribuição é: 
Niterói
50%
Rio de 
Janeiro
25%
São 
Gonçalo
25%
 
 
2. Em Massachusetts, nove indivíduos sofreram um episódio inexplicável de intoxicação por 
vitamina D que exigiu hospitalização. Pensou-se que essas ocorrências extraordinárias 
pudessem ter sido resultantes de uma excessiva suplementação de leite. Os níveis de cálcio e 
albumina, um tipo de proteína, no sangue coletado no momento de internação ao listados 
abaixo para os nove pacientes. 
 
 
 
 
Cálcio (mmol/l) Albumina (g/l) 
2,9 43 
3,8 42 
2,4 42 
3,0 40 
3,6 41 
2,7 40 
3,2 38 
3,7 34 
3,4 42 
 
a) (valor 0,5) Obtenha a média dos níveis de cálcio registrados. 
b) (valor 1,0) Obtenha a moda e a mediana dos níveis de albumina registrados. 
c) (valor 0,5) Para indivíduos saudáveis, o intervalo normal de valores de cálcio é de 2,12 até 2,74 
mmol/l, enquanto os níveis de albumina são de 32 até 55 g/l. Os pacientes do estudo tinham 
níveis normais de cálcio e albumina no sangue? Justifique. 
 
Resolução: 
a) 2,3
9
1,25
9
4,37,32,37,26,30,34,28,39,2
==
++++++++
=X mmol/l. 
 
b) Para obter a mediana temos que colocar os valores em ordem crescente: 
34-38-40-40-41-42-42-42-43 
 
Como o número de observações é ímpar (n=9), a mediana da concentração de albumina é valor do 
elemento central, os de posição 
2
19 +
= 5.o elemento. O quinto elemento tem valor 41, logo, 
412 =Q g/l. 
 
A moda é o valor mais freqüente da amostra, que no caso, é 42g/l. 
 
c) Pelos valores obtidos da concentração de cálcio vemos que todos os pacientes apresentaram níveis 
acima da faixa de normalidade 2,12 até 2,74 mmol/l. Em contraste, todos os pacientes apresentaram 
níveis de albumina dentro da faixa esperada de normalidade 32 até 55 g/l. Assim, os pacientes com 
intoxicação por vitamina D apresentam alterações nos níveis de cálcio e níveis normais de albumina 
no sangue. 
 
3. (valor 0,5) Em um país, a renda média per capita dos maiores de 18 anos que trabalham é de 
2.127,06 dólares, a renda mediana é de 800 dólares e a renda típica (modal) é de 650 dólares. 
Dê uma explicação para esta diferença entre as medidas de tendência central. 
 
Resolução: a) A diferença se deve à existência de trabalhadores que ganham muito bem, recebem 
rendimentos muito altos que, sendo tão discrepantes, elevam a média consideravelmente. Embora 
50% dos trabalhadores percebem rendimentos menores que 800 reais, existem alguns poucos 
trabalhadores que ganham tão bem que seus valores altos de renda contaminam a média, que é 
sensível a valores extremos. Essa média passa assim a não retratar a realidade da renda central 
representado pela mediana e do rendimento provavelmente mais comum, representado pela moda. 
Trata-se de uma distribuição de renda muito assimétrica. 
 
4. (Valor 2,5) As companhias de seguro pesquisam continuamente as idades na morte e as 
respectivas causas. Os dados abaixo se baseiam em um estudo da revista Time sobre as mortes 
causadas por armas de fogo nos EUA durante uma semana. 
 
 
 
Determine: 
a) A média de idade das pessoas que morrem por arma de fogo nos EUA; 
b) A idade mais frequente das pessoas que morrem por arma de fogo nos EUA; 
c) A idade mediana das pessoas que morrem por arma de fogo nos EUA 
 
Resolução: a)Completando a tabela com a frequência acumulada simples, o valor ix (ponto médio 
das classes) e o produto ( ii xn ), onde in é a frequência absoluta, teremos: 
 
 
 
A média será de 36 anos. Cálculo: 
 
b) A moda é o ponto médio da classe de maior frequência. Assim, como a classe de maior freqüência 
é a de 16 a 26 , cuja frequência é 22, a moda será anos . 
 
c) Para o cálculo da mediana, seguimos o seguinte esquema: a classe que contémm acumulada n/2 = 
25 é a classe de 26 a 36 . Nas classes anteriores a esta temos acumulados 22/50 × 100 = 44% dos 
dados, faltando 6% para chegar a 50%. A frequência relativa percentual da classe é 10/50 × 100 = 
20% . Assim, segundo o esquema abaixo: 
 
 
Assim, 
 
 
E temos a mediana de 29 anos. 
 
5. Uma empresa deseja desenvolver planos de auxílio à educação dos filhos de seus funcionários. 
Para tal, realizou uma pesquisa sobre a idade dos filhos destes funcionários. O histograma da 
distribuição desta variável, marcando os pontos médio de classes de idade, é exibido abaixo: 
 
 
a) (1,0) Obtenha a distribuição de freqüência em classes da idade dos filhos dos 
funcionários desta empresa exibindo também a freqüência relativa simples e a 
freqüência relativa percentual acumulada. 
b) (0,5) Qual é o número total de filhos destes funcionários? 
 
Resolução: 
 
a) A partir dos pontos médios xi exibidos, obtemos os limites de classes abaixo, que têm as 
seguintes frequências absolutas simples ni. Daí 
∑
=
i
i
i
n
n
 f = frequências relativas 
simples de cada classe e as Fi (Frequências relativas percentuais acumuladas de cada 
classe) são assim obtidas: 
 
xi classes ni fi Fi 
2 0├ 4 5 0,033 3,3 
6 4├ 8 20 0,133 16,6 
10 8├ 12 25 0,167 33,3 
14 12├16 50 0,333 66,6 
18 16├20 25 0,167 83,3 
22 20├24 15 0,1 93,3 
26 24├28 10 0,067 100 
 
b) O número total de filhos é dado por ∑ == 150inn . 
6) O diagrama de ramo-e-folhas abaixo refere-se às observações (52, . . . , 148) da variável X . 
 
 5 2 4 4 5 
 7 0 0 3 9 9 
 8 0 0 1 1 2 2 2 2 4 4 5 7 7 7 
 9 0 1 3 5 5 6 7 9 
10 0 0 1 1 4 5 5 5 7 
12 0 0 4 5 5 5 6 
13 0 3 5 6 6 6 
14 8 
 
Determine: 
 
a) (0,5 ponto) A moda desta variável. Justifique. 
b) (1,0 ponto) O valor mediano de X . Interprete este resultado. 
 
Resolução: a) A moda é 82 porque possui a maior frequência. 
b) n = 54 . Assim: 
 
Interpretação: O valor 95 ocupa a posição central sendo que pelo menos 50% dos dados têm valores 
menores (maiores) ou iguais a 95.