Servomecanismo para Engenharia da Computação UFPE - AULA 3. Modelagem no domínio do tempo

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Prof. Adriano Lorena I. de Oliveira – alio@cin.ufpe.br 1 
Modelagem no Domínio do Tempo 
Servomecanismo 
Prof. Adriano L. I Oliveira 
2 Prof. Adriano Lorena I. de Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Modelagem no Domínio da Frequência 
 A equação diferencial de um sistema é convertida 
em função de transferência, gerando um modelo 
matemático de um sistema que algebricamente 
relaciona a entrada e a saída 
 Desvantagem: O sistema deve ser linear e invariante no 
tempo 
 Vantagem: Conseguem estabilidade rapidamente e 
informação quanto à resposta do transiente 
 Problema: Muitos sistemas não são LTI 
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Modelagem no Domínio do Tempo 
 Aproximação Estado-Espaço 
 Método para modelagem, análise e projeto de uma 
grande variedade de sistemas: 
 Sistemas não lineares, condições iniciais não-nulas, 
variantes no tempo (como mísseis que podem ter 
variações nos níveis de combustível a ser usado), 
sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas 
(como um carro que tem direção e velocidade como 
entrada e saída) 
 Problema: uso não é tão intuitivo 
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Modelagem no Domínio do Tempo 
 Passos para Modelagem no Domínio do Tempo 
1. Definimos um subconjunto das variáveis do sistema 
para serem as variáveis de estado 
2. Para um sistema de n-ésima ordem, escrevemos n 
equações diferenciais de primeira ordem simultâneas 
(equações de estado) 
3. Resolvemos as equações diferenciais para t  t0, se 
conhecemos as condições iniciais para todas as 
variáveis de estado para t0 e t  t0 
4. Combinamos as variáveis de estado com a entrada do 
sistema e encontramos todas as outras variáveis para t 
t0 (isso gera a equação de saída) 
5. Representação estado-espaço: equações de estado + 
equações de saída 
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 Exemplo: Rede RL 
 Selecionamos a corrente i(t) para a qual escreveremos e 
resolveremos equações diferenciais usando transf. de Laplace 
 1. Escrevemos a equação de laço: 
 
 
 2. Usando a transformada de Laplace agora considerando as 
condições iniciais temos: 
 
 3. Assumindo a entrada v(t) como um degrau unitário cuja transf. é 
V(s) = 1/s, encontramos I(s): 
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 Exemplo: Rede RL 
 3. (cont.) 
Onde: 
Logo: 
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 Exemplo: Rede RL (cont.) 
 3. (cont.): A função i(t) é um subconjunto de todas as possíveis 
variáveis de rede que podemos encontrar de sua equação se 
soubermos sua condição inicial, i(0), e a entrada v(t) 
 Assim, i(t) é uma variável de estado e a equação diferencial inicial: 
 
 
 
 é uma equação de estado 
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 Exemplo: Rede RL (cont.) 
 4. Podemos agora resolver para todas as variáveis da rede 
algebricamente em termos de i(t) e da tensão v(t) 
 Por exemplo 
 A tensão através do resistor é: vR(t) = Ri(t) 
 A tensão através do indutor é: vL(t) = v(t) – vR(t) = v(t) – Ri(t) 
 A derivada da corrente (a carga) é: di/dt = (1/L)vL(t) = (1/L)[v(t) – Ri(t)] 
 Assim, conhecendo a variável de estado i(t) e a entrada v(t), 
podemos encontrar o valor, ou o estado, de qualquer variável da 
rede em qualquer tempo t  t0 
 Com isso, as equações de vR(t), vL(t) e di/dt são equações de saída 
 5. A Representação Estado-Espaço corresponde à equação de 
estado e às equações de saída 
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 Exemplo: Rede RL (cont.) 
 A representação do sistema não é única. Por exemplo, 
para a mesma rede RL, se fizermos i = vR/R, temos: 
 
 
 que pode ser resolvida sabendo que a condição inicial 
para vR(0) é vR(0) = Ri(0) e sabendo v(t) 
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 Exemplo: Rede RLC 
 1. A equação de laço gera: 
 
 
 
 
 
 Considerando i(t) = dq/dt, onde q é a carga, temos: 
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 Exemplo: Rede RLC (cont.) 
 2. Como o sistema é de 2ª ordem, duas equações 
diferenciais de 1ª ordem simultâneas são necessárias 
para as duas variáveis de estado (i(t) e q(t)) 
 3. De: 
 
 
 e sabendo que i = dq/dt  i dt = q, temos: 
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 Exemplo: Rede RLC (cont.) 
 3. (cont.) As equações: 
 
 
 
 
 
 são as Equações de Estado e podem ser resolvidas 
para as variáveis de estado i(t) e q(t), se soubermos as 
condições iniciais e a entrada v(t), usando a transf. de 
Laplace 
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 Exemplo: Rede RLC (cont.) 
 4. Usando as duas variáveis de estado, podemos 
resolver para todas as variáveis da rede. Por exemplo, a 
voltagem através do indutor (vL(t)) pode ser escrita em 
termos das variáveis de estado e da entrada como: 
Equação de saída: vL(t) é uma combinação linear 
das variáveis de estado, q(t) e i(t), e da entrada, v(t) 
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 Exemplo: Rede RLC (cont.) 
 5. A combinação das equações de estado e da equação 
de saída formam a representação da rede que 
chamamos de Representação Estado-Espaço 
 Novamente, diferentes representações seriam possíveis 
dependendo da escolha das variáveis de estado (vR(t) e 
vC(t) seriam outra possibilidade): 
Equações de estado 
para vR(t) e vC(t) como 
variáveis de estado 
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 O número de variáveis de estado deve ser, 
no mínimo, igual à ordem do sistema 
 Se a equação diferencial que descreve o 
sistema for de ordem 2, então precisamos de, 
no mínimo, 2 variáveis de estado 
 Podemos escolher mais variáveis de estado do 
que o mínimo, mas essas variáveis devem ser 
linearmente independentes 
 Por exemplo, se escolhemos vR(t) como variável, não 
podemos escolher i(t), já que vR(t) = Ri(t) (são 
variáveis linearmente dependentes) 
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 Definições: 
 Uma combinação linear de n variáveis xi, para 
i=1 até n, é dada pela soma S = k1x1 + k2x2 + .... 
+ knxn, com cada ki sendo uma constante 
 Um conjunto de variáveis é dito linearmente 
independente se nenhuma das variáveis puder 
ser escrita como combinação linear das outras 
 Ou seja, k1x1 + k2x2 + .... + knxn = 0, sse, ki = 0, para 
todo i, com xi ≠ 0, para todo xi 
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 As variáveis de estado devem ser 
linearmente independentes, ou seja, 
nenhuma variável pode ser expressa como 
combinação linear das outras variáveis 
 Do contrário, podemos não ter informação 
suficiente para resolver para todas as outras 
variáveis do sistema 
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 No exemplo anterior, tínhamos: 
 
 
 
 As equações de estado podem ser escritas como: 
 x' = Ax + Bu 
 onde: 
Equações de estado 
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 Da mesma forma, a equação de saída: 
 
 
 pode ser escrita como: 
 y = Cx + Du onde: 
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 A combinação de x’ e y também é chamada de 
Representação Estado-Espaço da rede 
 Sumarizando, a representação estado-espaço 
consiste de: 
 (1) Equações diferenciais de primeira ordem 
simultâneas para as quais as variáveis de estado podem 
ser resolvidas 
 (2) Equação de saída para a qual todas as outras 
variáveis do sistema podem ser encontradas 
 Observamos novamente que a representação estado-
espaço não é única, dependendo da escolha das 
variáveis de estado 
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Representação Estado-Espaço Geral 
 Definições: 
 Variável de Sistema: Qualquer variável que 
responde a uma entrada ou condições iniciais 
em um sistema 
 Variáveis de Estado: O conjunto de variáveis de 
sistema linearmente independentes tal que os 
valores das variáveis do conjunto no tempo t0 
junto com funções conhecidas determinam 
completamente os valores de todas as variáveis 
do sistema para todo t >= t0 
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Representação Estado-Espaço Geral 
 Definições: 
 Equações de Estado: Um conjunto de n 
equações diferenciais de primeira ordem 
simultâneas, onde as n variáveis a serem 
resolvidas são as variáveis de estado 
 Equação de Saída: Equação que expressa as 
variáveis de saída como uma combinação linear 
das variáveis de estado e as entradas 
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Representação Estado-Espaço Geral 
 Um sistema é representado no estado-
espaço pelo conjunto de equações: 
 x' = Ax + Bu (Equação Estado) 
 y = Cx + Du (Equação Saída) 
 para t  t0 e condições iniciais x(t0), onde: 
x = vetor estado; y = vetor saída 
x’ = derivada do vetor estado em relação ao tempo 
u = entrada; 
A = Matriz Sistema; B = Matriz Entrada; 
C = Matriz Saída; D = Matriz de Transmissão Direta 
 (Feedforward) 
 
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 Exemplo: Considere o circuito: 
 
 
 
 
 
 Vamos achar a representação estado-espaço, 
considerando como saída a corrente através do 
resistor (iR(t)) 
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 Exemplo: (cont.) 
 Passo 1: Identificar as correntes no circuito 
 Feito na figura anterior 
 Passo 2: Escolhemos as variáveis de estado 
 Como temos um indutor e um capacitor, o sistema 
será de 2ª ordem, implicando que precisamos de 2 
variáveis, pelo menos 
 Como a saída procurada está relacionada com o 
resistor, seus elementos estarão na equação de 
saída. Assim, vamos usar como variáveis de estado 
os elementos do indutor e capacitor. Nesse caso, 
poderíamos escolher iC, vC, iL, ou vL 
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 Exemplo: (cont.) 
 Passo 2 (cont.): 
 Lembrando que precisamos de equações diferenciais 
de primeira ordem, nossa escolha é: 
 
 
 
 
 Assim, as variáveis de estado são vC e iL. Precisamos 
agora escrever iC e vL como combinação linear das 
variáveis de estado e da entrada (v(t)) 
Equações de estado 
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 Exemplo: (cont.) 
 Passo 3: Aplicando as leis de circuitos, temos, 
pela lei de Kirchoff de voltagem e corrente: 
 No nó 1, temos: 
 
 
 
 Na malha externa: 
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 Exemplo: (cont.) 
 Passo 4: Vamos agora substituir as equações 
de estado nos resultados anteriores: 
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 Exemplo: (cont.) 
 Passo 5: Encontrar a equação de saída, 
considerando a saída, como pedido, iR(t) 
 Assim: 
 
 Com isso: 
Representação Estado-Espaço 
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 Exercício: 
 Encontre a representação estado-espaço para o circuito 
abaixo. A saída é v0(t). 
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 Exercício (cont.): 
 1º Passo: Legendar correntes, malhas, etc 
Nó 1 
Malha 1 Malha 2 
ic1 
ic2 
iL 
iR 
Nó 2 
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 Exercício (cont.): 
 2º Passo: Estabelecer relações derivativas: 
vC1, vC2 e iL são as variáveis de estado 
Equações de estado 
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 Exercício (cont.): 
 3º Passo: Precisamos escrever iC1, iC2 e vL como 
combinação linear das variáveis de estado e da entrada 
 Usando as leis de Kirchhoff: 
Nó 1: 
Malha 1: 
Nó 2: 
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 Exercício (cont.): 
 4º Passo: Substituindo nas equações de estado: 
Com equação de saída: 
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 Exercício (cont.): 
 5º Passo: Na forma de matriz: 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Uma das vantagens de representação estado-
espaço é que podemos usá-la para simulação em 
computador de sistemas físicos 
 Assim, para simular um sistema a partir de uma 
função de transferência, precisamos primeiro 
convertê-la para representação estado-espaço 
 Primeiro, selecionamos um conjunto de variáveis 
de estado, chamadas variáveis de fase, onde cada 
variável de estado subsequente é definida como a 
derivada da variável de estado anterior 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Considere a seguinte equação diferencial: 
 
 
 Uma forma simples de proceder é escolher a saída 
y(t) e suas (n – 1) derivadas como variáveis de 
estado 
 Escolha das Variáveis de Fase 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Seja xi as variáveis de estado, temos então: 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Ou na forma de matriz: 
Forma de variáveis de 
fase das equações de 
estado Observe a forma da matriz do sistema 
quase como uma matriz identidade 
antes da última linha e essa última 
linha com o negativo dos coeficientes 
da equação diferencial escritos na 
ordem reversa 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Finalmente, desde que a solução da equação 
diferencial é y(t), ou x1, a equação de saída é: 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Resumindo, para converter uma função de 
transferência para representação estado-espaço 
na forma de variáveis fase, primeiro convertemos a 
função de transferência para a forma de equação 
diferencial por multiplicação cruzada e tomando o 
inverso da transformada de Laplace, assumindocondições iniciais nulas 
 Então, representamos as equações diferenciais no 
estado-espaço na forma de varáveis fase 
 Caso 1: Apenas uma constante no numerador da 
função de transferência.... 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exemplo 1: 
 Encontre a representação estado-espaço na forma de 
variável fase para a função de transferência abaixo: 
 
 
 
 Passo 1: Encontrar a equação diferencial: 
Função de transferência 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exemplo 1 (cont.): 
 Passo 1 (cont.): 
 Fazendo a multiplicação cruzada dos dois lados: 
 
 
 A equação diferencial correspondente é encontrada 
tomando a transformada inversa de Laplace, assumindo 
nulas as condições iniciais: 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exemplo 1 (cont.): 
 Passo 2: Selecionar as variáveis de estado. 
 Escolhendo as variáveis como as derivadas sucessivas, 
temos: 
x1 = c 
x2 = c’ 
x3 = c’’ 
 Diferenciando ambos os lados: 
x1’ = c’ = x2 
x2’ = c’’ = x3 
x3’ = c’’’ = -24x1 – 26x2 – 9x3 + 24r 
y = c = x1 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exemplo 1 (cont.): 
 Passo 2 (cont.): Na forma de matriz: 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Caso 2: Um polinômio no numerador da função de 
transferência 
 
 
 
 
 Numerador e denominador podem ser separados e 
colocados em cascata.... 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Numerador e denominador podem ser separados 
e colocados em cascata.... 
Numerador Denominador 
Estando em cascata, os dois são multiplicados 
gerando a função de transferência original 
Variáveis internas: 
X2(s), X3(s) 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
O primeiro bloco é tratado como no exemplo 
anterior, gerando a representação variável 
fase com saída x1 (outras variáveis de estado 
são internas a ele apenas – X2(s) e X3(s)). 
O segundo bloco tem função de transf: 
Y(s)=C(s)=(b2s
2 + b1s + b0)X1(s) 
cuja transf. inversa de Laplace gera: 
y(t) = b2x1’’ + b1x1’ + b0x1 
 y(t) = b0x1 + b1x2 + b2x3 
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 Exemplo 2: Encontre a representação estado-
espaço para a função de transferência abaixo: 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exemplo 2 (cont.): 
 Passo 1: Como mostrado na figura anterior, o passo 1 é 
separar o sistema em dois blocos em cascata. O 
primeiro bloco contém o denominador e o segundo 
bloco, o numerador 
 Passo 2: Encontrar as equações para o bloco contendo 
o denominador. Neste exemplo, apenas para simplificar, 
é o mesmo denominador do exemplo anterior, mas com 
1 e não 24 no numerador. Assim, a representação será 
a mesma a menos do termo multiplicando a saída r 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exemplo 2 (cont.): 
 Passo 2 (cont.): 
 
 
 
 
 Passo 3: Introduz o segundo bloco que contém o 
numerador. Pelo segundo bloco: 
Pela transf. inversa 
de Laplace 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exemplo 2 (cont.): 
 Passo 3 (cont.): Mas: 
x1 = x1 
x1’ = x2 
x1’’ = x3 
 Assim: y = c(t) = b2x3 + b1x2 + b0x1 = x3 + x2 + 2x1 
 
 
 
 Com isso, o segundo bloco simplesmente coleta 
derivadas que foram calculadas no primeiro bloco 
 
 
 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exercício: Encontre as equações de estado e a 
equação de saída para a representação em 
variável fase da função de transferência: 
 
 
 
R(s) C(s) 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exercício (cont.): 
 Passo 1: Separar a função: 
 
 
 
 
 Passo 2: Equações do bloco do denominador: 
 
 
R(s) C(s) X1(s) 
55 Prof. Adriano Lorena I. de Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exercício (cont.): 
 Passo 2 (cont.): 
 x1 = x1 
 x2 = x1’ 
 Diferenciando os dois lados: 
 x1’ = x1’ = x2 
 x2’ = x1’’ = -7x1’ – 9x1 + r = -7x2 – 9x1 + r 
 
 
56 Prof. Adriano Lorena I. de Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exercício (cont.): 
 Passo 3: Introdução do segundo bloco que contém o 
numerador. Pelo segundo bloco: 
 C(s) = (2s + 1)X1(s) 
 Pela Transformada Inversa de Laplace: 
 c = 2x1’ + x1 
 y = c = 2x1’ + x1 = 2x2 + x1 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exercício (cont.): 
 Solução Final: Equações de Estado e Equação de Saída 
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Convertendo uma Função de Transferência para Estado-Espaço 
 Exercício (cont.): No MatLab: 
 
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Modelagem no Domínio do Tempo 
Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência 
 Dadas as equações de estado e a equação de 
saída: 
x’ = Ax + Bu 
y = Cx + Du 
 calcule a transformada de Laplace considerando 
nulas as condições iniciais: 
sX(s) = AX(s) + BU(s) 
Y(s) = CX(s) + DU(s) 
 Resolvendo para X(s), temos: 
 (sI – A)X(s) = BU(s)  X(s) = (sI – A)-1BU(s) 
 onde I é a matriz identidade 
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Modelagem no Domínio do Tempo 
Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência 
 Assim, como: 
 Y(s) = CX(s) + DU(s) 
 e 
 X(s) = (sI – A)-1BU(s) 
 então: 
 Y(s) = CX(s) + DU(s) = Y(s) = C(sI – A)-1BU(s) + DU(s) 
 = [C(sI – A)-1B + D]U(s) 
Matriz função de transferência, pois 
relaciona a entrada U(s) com a saída Y(s). 
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Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência 
 Se U(s) = U(s) e Y(s) = Y(s), escalares, então 
temos a função de transferência 
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Modelagem no Domínio do Tempo 
Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência 
 Exemplo 1: Dado o sistema definido na forma 
abaixo, ache a função de transferência, T(s) = 
Y(s)/U(s), onde U(s) é a entrada e Y(s) é a saída 
do sistema 
63 Prof. Adriano Lorena I. de Oliveira– alio@cin.ufpe.br 
Modelagem no Domínio do Tempo 
Convertendo de Estado-Espaço para Função de Transferência 
 Exemplo 1 (cont.): 
 É preciso encontrar (sI – A)-1: 
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 Exemplo 1 (cont.): 
 T(s) = C(sI – A)-1B + D, onde: 
 
 
 
 T(s)= 
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 Exemplo 1 (cont.): No MatLab (numerador): 
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 Exemplo 1 (cont.): No MatLab (solução completa): 
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 Relembrando: 
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 Exercício 1: Converta a equação de estado e a de 
saída para uma função de transferência: 
A = B = 
C = D = 0 
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 Exercício 1 (cont.): 
 É preciso encontrar (sI – A)-1: 
 
 
 
 
 T(s) = C(sI – A)-1B + D: 
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 Exercício 1 (cont.): No MatLab 
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Exercícios Sugeridos (Nise) 
 Cap. 3, Problemas: 
 1, 2, 3, 9, 11, 14 
 
 No MatLab: 
 10, 12, 15 
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A Seguir.... 
 Resposta no Tempo