Servomecanismo para Engenharia da Computação UFPE - AULA 5. Redução de múltiplos subsistemas

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Redução de Múltiplos Subsistemas
Prof. Adriano L. I. Oliveira
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Introdução
■ Sistemas mais complexos são compostos por 
diversos subsistemas 
■ Queremos representar um múltiplos subsistemas 
com apenas uma função de transferência para, por 
exemplo, obter resposta de transiente como vimos 
antes 
■ Representação de múltiplos subsistemas 
■ Diagramas de Bloco 
■ Grafos de Fluxos de Sinal
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Diagramas de Blocos
■ Como já vimos, esses são os principais elementos 
de um diagrama de blocos:
G(s)X+ -
X(s) E(s) Y(s)
Ponto de 
Soma
Ponto de 
Ramificação
Sinal de 
Entrada
Sinal de 
SaídaSistema
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Diagramas de Blocos
■ Os blocos podem estar conectados em série 
(cascata)....
Subsistemas
Função de transferência equivalente
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Diagramas de Blocos
■ ...ou em paralelo
Subsistemas
Função de transferência equivalente
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Diagramas de Blocos
■ Com possibilidade de retroalimentação...
Subsistemas
Função de transferência 
equivalente
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Diagramas de Blocos
■ Modificações em Blocos 
■ Equivalência em pontos de soma
C(s) = G(s)(R(s) ± X(s)) 
C(s) = G(s)R(s) ± G(s)X(s)
C(s) = G(s)(R(s) ± X(s)) 
C(s) = G(s)R(s) ± G(s)X(s)
Bloco G(s) moveu para a Esquerda
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Diagramas de Blocos
■ Modificações em Blocos 
■ Equivalência em pontos de soma
C(s) = G(s)R(s) ± X(s) C(s) = (R(s) ± X(s)/G(s))G(s) 
C(s) = G(s)R(s) ± X(s)
Bloco G(s) moveu para a Direita
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Diagramas de Blocos
■ Modificações em Blocos 
■ Equivalência em pontos de ramificação
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Diagramas de Blocos
■ Modificações em Blocos 
■ Equivalência em pontos de ramificação
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 1: Redução de diagrama de blocos
Diagrama 
original
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 1 (cont.): Redução de diagrama de blocos
Passo I
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 1 (cont.): Redução de diagrama de blocos
Passo II
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 1 (cont.): Redução de diagrama de blocos
Passo III
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 2: Redução de diagrama de blocos
Diagrama 
original
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos
Passo I
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos
Passo II
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos
Passo II
×
÷
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos
Passo II
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos
Passo II
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos
Passo III
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos
Passo IV
Passo V
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 3: Encontre a função de transferência T(s)=C(s)/
R(s) para o sistema abaixo:
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 3 (cont.):
s2
Passo I
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 3 (cont.):
Passo II
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 3 (cont.):
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 3 (cont.):
Passo III
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 3 (cont.):
A BX Y
+
-
C E
E = A.C 
Y = B.E 
C = X – E ⇒ E = A(X – E) = AX – AE 
⇒ E(A + 1) = AX ⇒ E = AX/(A + 1) 
Y = B.E = ABX/(A + 1)
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 3 (cont.):
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Diagramas de Blocos
■ Exemplo 3 (cont.):
Passo IV
Ou:
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Grafos de Fluxo de Sinal
■ Grafos de fluxo de sinal são uma alternativa para 
diagrama de blocos 
■ São compostos apenas por nós e arestas 
■ Um sistema é representado por uma linha 
direcionada indicando a direção do fluxo do sinal 
através do sistema
Exs.: V(s) = R1G1 - R2G2 + R3G3 
 C1 = V(s)G4
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Grafos de Fluxo de Sinal
■ Elementos: 
■ Nós: Sinais internos como a entrada comum para vários 
blocos ou a saída de um somador; representam variáveis 
■ Caminho: É a sequência de nós conectados na direção do 
fluxo sem incluir nenhuma variável mais de uma vez 
■ Caminho direto: Caminho da entrada para a saída, sem incluir 
nenhum nó mais de uma vez. 
■ Malha: Caminho que se origina e termina no mesmo nó. 
■ Ganho do caminho: Produto dos ganhos dos ramos que 
formam um caminho. 
■ Ganho de malha: O ganho do caminho associado com uma 
malha. 
■ Nó de entrada: Um nó que possui somente ramos que se 
afastam dele. 
■ Nó de saída: É um nó que possui apenas ramos que se 
dirigem a ele.
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Grafos de Fluxo de Sinal

Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
■ Exemplo 1:
Diagrama de Blocos
Nós do sistema em cascata 
Grafo de fluxo de sinal de sistema em cascata
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Grafos de Fluxo de Sinal

Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
■ Exemplo 2:
Nós do sistema em paralelo
Grafo de fluxo de sinal de sistema em paralelo
Diagrama de Blocos
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Grafos de Fluxo de Sinal

Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
■ Exemplo 3:
Nós do sistema 
com re-alimentação
Grafo de fluxo de sinal de sistema com re-alimentação
Diagrama de Blocos
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Grafos de Fluxo de Sinal

Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
■ Problema: Converta o diagrama de blocos abaixo 
para grafo de fluxo de sinal:
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Grafos de Fluxo de Sinal

Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
■ Problema (cont.): 
■ 1º Passo: Desenhar os nós do sinal
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Grafos de Fluxo de Sinal

Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
■ Problema (cont.): 
■ 2º Passo: Conecte os nós, mostrando a direção do fluxo 
do sinal e identificando cada função de transferência
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Grafos de Fluxo de Sinal

Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal
■ Problema (cont.): 
■ 3º Passo: Simplificar o grafo de fluxo
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Regra de Mason
■ Reduzindografos de fluxo de sinal para uma única 
função de transferência que relacione a saída de 
um sistema a sua entrada 
■ Para diagrama de blocos, a redução é feita através 
da aplicação sucessiva de relações 
■ Para grafos de fluxo de sinal, a regra de Mason* 
para redução requer a aplicação de uma fórmula
*Samuel Jefferson Mason (1953)
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Regra de Mason
■ Definições: 
■ Ganho de laço: O produto dos ganhos encontrados ao 
atravessar um caminho que começa e termina no mesmo 
nó, seguindo a direção do fluxo, sem passar por nenhum 
outro nó mais de uma vez
4 ganhos de laço: 
1.G2H1 
2.G4H2 
3.G4G5H3 
4.G4G6H3
1 2
3
4
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Regra de Mason
■ Definições: 
■ Ganho do caminho à frente (forward path gain): O 
produto dos ganhos encontrados ao atravessar um 
caminho do nó de entrada ao nó de saída na direção do 
fluxo
2 ganhos de caminho à frente: 
1.G1G2G3G4G5G7 
2.G1G2G3G4G6G7
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Regra de Mason
■ Definições: 
■ Laços que não se tocam (Nontouching loops): Laços que 
não têm qualquer nó em comum.
Laços que não se tocam: 
G2H1 não toca os laços G4H2, 
G4G5H3 e G4G6H3
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Regra de Mason
■ Definições: 
■ Ganho de laços que não se tocam (Nontouching-loop 
gain): O produto dos ganhos de laço dos laços que não 
se tocam tomados 2 a 2, 3 a 3, 4 a 4, etc.
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Regra de Mason
■ Definições: 
■ Ganho de laços que não se tocam (Nontouching-loop 
gain): Do exemplo anterior, o produto do ganho de laço 
G2H1 e do ganho de laço G4H2 é um ganho de laços que 
não se tocam tomados 2 a 2 
■ Todos os três ganhos de laços que não se tocam 
tomados dois a dois de cada vez são: 
■ 1. [G2H1][G4H2] 
■ 2. [G2H1][G4G5H3] 
■ 3. [G2H1][G4G6H3] 
■ No exemplo, não existem três laços que não se tocam, 
logo, não temos ganhos de laços que não se tocam 3 a 3
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Regra de Mason
■ A função de transferência C(s)/R(s) de um sistema 
representado por um grafo de fluxo de sinal é 
!
■ onde: 
■ k = número de caminhos à frente 
■ Tk = ganho do k-ésimo caminho à frente 
■ Δ = 1 - Σ (ganhos de laço) + Σ (ganhos de laços que não se 
tocam tomados 2 a 2) - Σ (ganhos de laços que não se tocam 
tomados 3 a 3) + Σ (ganhos 4 a 4) - .... 
■ Δk = Δ - Σ (termos de ganhos de laço em Δ que tocam o k-
ésimo caminho à frente). Ou seja, Δk é formado eliminando de 
Δ aqueles ganhos de laço que tocam o k-ésimo caminho à 
frente
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Regra de Mason
■ Exemplo 1: Encontre a função de transferência 
C(s)/R(s) para o grafo de fluxo de sinal abaixo:
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Regra de Mason
■ Exemplo 1 (cont.): Primeiro, vamos encontrar os ganhos 
de caminhos à frente 
■ Nesse exemplo, só temos um: G1G2G3G4G5 
■ A seguir, vamos identificar os ganhos de laço: 
1. G2H1 (1) 
2. G4H2 (2) 
3. G7H4 (3) 
4. G2G3G4G5G6G7G8 (4) 
■ Ganhos de laços que não se tocam tomados 2 a 2 
■ Laços 1 e 2: G2H1G4H2 (5) 
■ Laços 1 e 3: G2H1G7H4 (6) 
■ Laços 2 e 3: G4H2G7H4 (7)
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Regra de Mason
■ Exemplo 1 (cont.): 
■ Ganhos de laços que não se tocam tomados 3 a 3 
■ Laços 1, 2 e 3: G2H1G4H2G7H4 (8) 
■ Da Regra de Mason e das definições, calculamos Δ 
e Δk: 
■ Δ = 1 – [(1) + (2) + (3) + (4)] + [(5) + (6) + (7)] – (8) 
■ Δk é calculado eliminando de Δ o ganho de laço que toca 
o k-ésimo caminho à frente: Δ1 = 1 – G7H4 
■ Δ1 = 1 – [(1) + (2) + (3) + (4)] + [(5) + (6) + (7)] - (8) = 1 – (3) 
■ Assim: 
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Regra de Mason
■ Exemplo 1 (cont.): 
!
!
!
!
!
!
■ Se tivéssemos mais de um caminho à frente, teríamos 
como resposta uma soma de termos
G(s) = [G1G2G3G4G5][1 - G7H4]
Δ
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Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de 
Estado
■ Exemplo, considere as seguintes equações de 
estado: 
!
!
!
■ Primeiro, identificamos os nós para serem as 
variáveis de estado (no caso, x1, x2 e x3) 
■ Identificamos também nós para as derivadas das 
variáveis de estado (colocados à esquerda delas) 
■ Temos mais um nó como a entrada r e um para a 
saída y
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Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de 
Estado
■ Exemplo:
R(s)
sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s)
Y(s)
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Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de 
Estado
■ Exemplo: 
■ Em seguida, conecte as derivadas às variáveis de 
estado através de uma integração 1/s
R(s)
sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s)
Y(s)
1/s 1/s 1/s
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Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de 
Estado
■ Exemplo: 
■ Vamos construindo agora as equações de estado: 
■ x1’ recebe 2x1 – 5x2 + 3x3 + 2r
R(s)
sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s)
Y(s)
1/s 1/s 1/s-5
2
3
2
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Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de 
Estado
■ Exemplo: 
■ Fazendo para todas as equações:
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Cascata:
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Cascata: 
■ Para funções de primeira ordem:
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Cascata: 
■ Para funções de primeira ordem:
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Cascata: 
■ Assim, o diagrama completo para: 
!
!
!
■ é....
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Cascata: 
■ Desse grafo de fluxo de sinal: 
!
!
!
■ chegamos às equações de estado:
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Cascata: 
■ Análise: Matriz do 
Sistema
Matriz de 
Entrada
Matriz de 
Saída
Polos do Sistema
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Paralela: 
!
!
!
!
!
■ C(s) é a soma de três termos onde cada um é uma 
função de primeira ordem 
■ Na verdade, cada um é um subsistema com R(s) como entrada
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Paralela:
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Paralela: 
■ Equações de Estado:
Matriz diagonal
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Paralela: 
■ Observe que termos uma matriz diagonal indica que 
cada equação é uma equação diferencial de primeira 
ordem em uma única variável 
■ Assim, podemos resolver essas equações 
independentemente 
■ Essas equações são ditas desacopladas
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Paralela: 
■ Denominador com raízes reais repetidas 
!
!
■ 1º Passo: Expansão em frações parciais:
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Representações Alternativas no Estado-
Espaço
■ Forma Paralela: 
■ Grafo de fluxo de sinal
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Representações Alternativasno Estado-
Espaço
■ Forma Paralela: 
■ Representação Estado-Espaço:
Polos do Sistema
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Zero
■ Problema: Represente o sistema abaixo no modelo 
estado-espaço (possui zero): 
!
!
!
■ Vamos separar a função de transferência em cascata 
como fizemos antes:
R(s) E(s)
R(s) E(s)X1(s)
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Zero
■ Problema (cont.): 
■ Primeiro bloco: 
!
!
!
■ X1(s)/R(s) = 1/(s + 5) ⇒ sX1 + 5X1 = R ⇒ sX1 = R - 5X1
R(s) X1(s)
R sX1 X1
1/s
Passo 1:
R
sX1
X1
1/s
-5
Passo 2:
1
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Zero
■ Problema (cont.): 
■ Segundo bloco: 
!
!
!
■ E(s)/X1(s) = 5s + 5 ⇒ E(s) = 5sX1 + 5X1
EsX1 X1
1/s
Passo 1: Passo 2:
E(s)X1(s)
EsX1
X11/s 5
5
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Zero
■ Problema (cont.): 
■ Juntando os dois e aproveitando os nós X1 e sX1:
E
sX1
X11/s
5
5
-5
R
1
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
■ Problema: Represente o sistema abaixo no modelo 
estado-espaço (re-alimentação e zero): 
!
!
!
■ Primeiro, vamos modelar apenas a função de 
transferência sem nos preocuparmos com a re-
alimentação....
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
■ Problema (cont.): Represente o sistema abaixo no 
modelo estado-espaço (re-alimentação e zero):
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
■ Problema (cont.): 
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
■ Problema (cont.):
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
■ Problema (cont.):
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
■ Problema (cont.):
x2’ = -2x2 + 100e = -2x2 + 100(r – c) x1’ = -3x1 + x2
c = 5x1 + x1’ = 5x1 + (x2 – 3x1) 
c = 2x1 + x2
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Representação Estado-Espaço para 
Sistemas com Re-Alimentação
■ Problema (cont.): 
■ x1' = -3x1 + x2 
■ x2' = -200x1 – 102x2 + 100r 
■ y = c(t) = 2x1 + x2
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Controlabilidade
■ Se para um sistema for possível obter uma entrada 
capaz de transferir todas as variáveis de estado de 
um estado inicial desejado para um estado final 
desejado, o sistema é dito controlável; caso 
contrário, o sistema é não controlável
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Controlabilidade
No sistema ao lado, o 
sinal de controle u 
alcança todas as 
variáveis de estado do 
sistema.... Tal sistema é 
dito controlável.
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Controlabilidade
Já nesse sistema, a variável x1 
não é alcançada pelo sinal de 
controle u. Se x1 apresentar um 
comportamento instável, não 
haveria uma forma de realizar 
um projeto de re-alimentação 
para estabilizar x1. Tal sistema é 
dito não controlável.
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Controlabilidade por Inspeção
■ Considere as seguintes equações de estado:
ou
Sistema desacoplado: 
a variável de controle 
u afeta cada variável 
de estado
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Controlabilidade por Inspeção
■ Já no sistema:
A variável x1 não é 
controlada pelo 
controle u.
ou
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Matriz de Controlabilidade
■ Uma planta de n-ésima ordem cuja equação de 
estado é x’ = Ax + Bu é completamente controlável 
se a matriz 
!
■ tiver posto n 
■ CM é chamada de matriz de controlabilidade
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Matriz de Controlabilidade
■ Exemplo: Considere o sistema abaixo
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Matriz de Controlabilidade
■ Exemplo (cont.): Matriz de Controlabilidade:
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Matriz de Controlabilidade
■ Exemplo (cont.): O posto de CM é o número de 
linhas ou colunas linearmente independentes 
■ Basta escalonar a matriz e verificar o número de linhas 
não nulas
0 1 -2 
1 -1 1 
1 -2 4
1 -1 1 
0 1 -2 
1 -2 4
1 -1 1 
0 1 -2 
0 -1 3
1 0 -1 
0 1 -2 
0 0 1
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1
Posto = 3 = n Sistema Controlável
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Observabilidade
■ Se o vetor de estado inicial, x(t0), puder ser obtido a 
partir de u(t) e y(t) medidos durante um intervalo de 
tempo finito a partir de t0, o sistema é dito 
observável; caso contrário, o sistema é dito não 
observável.
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Observabilidade
No sistema ao lado, cada 
variável de estado pode 
ser observada na saída já 
que cada uma delas está 
conectada à saída.
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Observabilidade
No sistema ao lado, 
nem todas as variáveis 
de estado podem ser 
observadas na saída.
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Observabilidade por Inspeção
■ Podemos explorar a observabilidade a partir da 
equação de saída de um sistema diagonalizado 
■ Exemplo de um sistema observável: 
!
■ Exemplo de um sistema não-observável:
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Matriz de Observabilidade
■ Considere um sistema de n-ésima ordem cujas 
equações de estado e de saída são: 
!
!
■ Um sistema é observável se a matriz de 
observabilidade dada por: 
!
!
!
■ tem posto igual a n
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Matriz de Observabilidade
■ Exemplo: Considere o sistema abaixo:
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Matriz de Observabilidade
■ Exemplo (cont.): 
!
!
!
■ Novamente, por escalonamento, encontramos o 
posto igual a 3 (que é igual à ordem do sistema). 
■ Logo, o sistema é observável
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Exercícios Sugeridos (Nise)
■ Cap. 5, Problemas: 
■ 1a, 2, 3, 4, 5a, 6, 12, 23, 26, 27, 31, 33a, 33b
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A Seguir....
■ Estabilidade