Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 1 Resposta no Tempo Servomecanismo Prof. Adriano L. I. Oliveira 2 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Resposta no Tempo - Introdução Como já discutimos, após a representação matemática de um subsistema, ele é analisado em suas respostas de transiente e de estado- estacionário para verificar se o subsistema possui as características desejadas no projeto Após essa análise, o subsistema pode ser acoplado em um sistema de malha fechada 3 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Também como já vimos antes, a resposta de um sistema é a soma de duas respostas: a resposta forçada e a resposta natural Apesar da análise de um sistema por equações diferenciais ser eficiente, em geral, é um processo bastante custoso O uso de polos e zeros e sua relação com a resposta de um sistema é uma técnica rápida e eficiente 4 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Polos de uma função de transferência são: Os valores da variável s da transformada de Laplace que fazem a função de transferência tender para infinito As raízes do denominador da função de transferência que não são comuns a raízes do numerador Evitando cancelar um fator do numerador com um do denominador Zeros de uma função de transferência são: Os valores da variável s da transformada de Laplace que fazem a função de transferência igual a zero As raízes do numerador da função de transferência que não são comuns a raízes do denominador 5 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem Considere a função de transferência abaixo: Um polo existe em s = -5 e um zero em s = -2 Esses valores são plotados no plano s, usando um X para indicar um polo e um O para indicar um zero R(s) G(s) C(s) 6 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 7 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem Para mostrar as propriedades dos polos e zero, vamos analisar a resposta do sistema a um degrau unitário Ou seja, R(s) = 1/s Assim, temos: Ou: 8 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 9 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem Da Figura anterior podemos concluir: 1. Um polo na função de entrada gera a forma da resposta forçada (o polo na origem gerou a função degrau na saída) 2. Um polo na função de transferência gera a forma da resposta natural (o polo em -5 gerou e-5t) 3. Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial do tipo et, onde é a localização do polo no eixo real (o polo em -5 gerou e-5t) 4. Os zeros e polos afetam as amplitudes para ambas as respostas forçada e natural (o cálculo dos coeficientes da expansão em frações parciais) 10 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 11 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 12 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Vamos ver outro exemplo para analisar como podemos usar a técnica de polos e zeros para obter a forma da resposta do sistema Resposta por inspeção Como vimos, cada polo da função de transferência do sistema que está no eixo real gera uma resposta exponencial que é componente da resposta natural Os polos da entrada geram a resposta forçada 13 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo 1: Considere o sistema abaixo e escreva a saída c(t), em termos gerais. Por inspeção, cada polo gera uma componente exponencial como parte da resposta natural O polo da entrada gera a resposta forçada Assim: Resposta forçada Resposta natural 14 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Polos, Zeros e Resposta do Sistema Exemplo 2: Um sistema tem função de transferência por inspeção, sua saída c(t), em termos gerais, para uma entrada como degrau unitário é: 15 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Primeira Ordem Sistemas de Primeira Ordem sem zeros: 16 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Primeira Ordem Se G(s) = a/(s + a) e a entrada é um degrau unitário R(s) = 1/s, a transformada de Laplace da resposta ao degrau é C(s), onde: onde o polo na origem gera a resposta forçada cf(t) = 1 e o polo do sistema em –a gera a resposta natural cn(t) = -e -at 17 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Primeira Ordem O único parâmetro é a variável a que é necessária para descrever a resposta em transiente Quando t = 1/a: ou: 18 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Primeira Ordem Considerando que: Vamos definir três especificações de desempenho de resposta de transiente.... (1) (2) (3) 19 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Primeira Ordem Constante de Tempo Dizemos que 1/a é uma constante de tempo da resposta, Tc Dada a relação (2) anterior, a constante de tempo pode ser descrita como o tempo para e-at decair para 37% do seu valor inicial Da mesma forma, a constante de tempo é o tempo que leva para a resposta ao degrau subir para 63% do seu valor final (considerando a relação (3) anterior) 20 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Primeira Ordem Constante de Tempo 21 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br O parâmetro a é chamado de frequência exponencial A constante de tempo pode ser considerada um parâmetro de especificação de transiente para um sistema de primeira ordem já que ela está relacionada com a velocidade de resposta do sistema a um degrau de entrada No gráfico de polos, o polo está localizado na posição oposta à constante de tempo Quanto mais longe o polo estiver do eixo imaginário (abscissa), mais rápida a resposta de transiente Sistemas de Primeira Ordem Constante de Tempo 22 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br O Tempo de Subida, Tr, é definido como o tempo que o sinal vai de 0,1 a 0,9 do seu valor final O tempo de subida é encontrado resolvendo (1) para a diferença de tempo de c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1 Assim: Tr = 2,31/a – 0,11/a Tr = 2,2/a c(t) = 1 – e-at 0,9 = 1 – e-at 0,1 = e-at -at = ln(0,1) = -2,31 t = 2,31/a Para c(t) = 0,1, o mesmo cálculo leva a 0,11/a Sistemas de Primeira Ordem Tempo de Subida – Rise Time 23 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br O Tempo de Acomodação, Ts, é definido como o tempo que a resposta alcança e fica dentro de uma faixa de 2% do seu valor final Fazendo c(t) = 0,98 em (1) e resolvendo para t, encontramos Ts = 4/a Sistemas de Primeira Ordem Tempo de Acomodação – Settling Time 24 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Problema: Um sistema tem função de transferência: Encontre a constantede tempo, Tc, o tempo de acomodação, Ts, e o tempo de subida, Tr Solução: Tc = 1/a = 1/50 = 0,02 seg Ts = 4/a = 4/50 = 0,08 seg Tr = 2,2/a = 2,2/50 = 0,044 seg Sistemas de Primeira Ordem 25 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Diferente de sistemas de primeira ordem, sistemas de segunda ordem têm uma grande variedade de respostas que precisam ser analisadas Enquanto apenas variar o parâmetro de um sistema de primeira ordem muda sua velocidade de resposta, mudanças nos parâmetros de sistemas de segunda ordem podem mudar a forma da resposta Por exemplo, considere o sistema genérico: Sistemas de Segunda Ordem R(s)=1/s G(s) C(s) 26 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Polos: -7,854 -1,146 Sistema Sobreamortecido (Overdamped) Exemplo 1: 27 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Polos: -1 + j8 -1 - j8 Sistema Subamortecido (Underdamped) Exemplo 2: 28 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Polos: j3 -j3 Sistema Não-Amortecido (Undamped) Exemplo 3: 29 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Polos: -3 (polo duplo) Sistema Criticamente Amortecido (Critically Damped) Exemplo 4: 30 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem 31 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Um sistema sobreamortecido se aproxima rapidamente do valor final A resposta de um sistema subamortecido é sempre mais lenta, qualquer que seja o sinal de entrada O sistema criticamente amortecido é o que apresenta resposta mais rápida Vamos agora analisar cada tipo de resposta e mostrar como podemos usar os polos para determinar a natureza dessa resposta sem precisar usar expansão em frações parciais e transformada inversa de Laplace.... Sistemas de Segunda Ordem 32 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br No exemplo 1 anterior, temos: A função tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos reais que vêm da função de transferência do sistema Assim, a saída pode ser escrita como: Gerando o gráfico do exemplo 1 que é chamado de sobreamortecido Sistemas de Segunda Ordem Resposta Sobreamortecida 33 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br No exemplo 2 anterior, temos: A função tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos complexos que vêm da função de transferência do sistema Polos em s = -1 j8 Encontramos c(t): Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida Parte real = expoente da exponencial: controla o decaimento da amplitude da senóide Parte complexa = frequência de oscilação da senóide tg-1(Re/Img) 34 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br A resposta em transiente consiste de uma amplitude decaindo exponencialmente gerada pela parte real do polo do sistema vezes uma onda senoidal gerada pela parte imaginária do polo do sistema O valor da parte imaginária é a frequência real da senóide (chamada frequência de oscilação amortecida - d) A resposta do estado estacionário (degrau unitário) foi gerada pelo polo da entrada localizado na origem (chamada resposta subamortecida) Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida 35 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida 36 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida e-t cos(8*t) e-t*cos(8*t) 37 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Exemplo: Por inspeção, escreva a forma da resposta ao degrau do sistema abaixo: Solução: A forma da resposta forçada é um degrau Os polos do sistema são s = -5 j13,23 A parte real, -5, é a frequência da exponencial A parte imaginária, 13,23, é a frequência em radianos para as oscilações da senóide Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida R(s)=1/s G(s) C(s) 38 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Exemplo (cont.): Solução: Assim, c(t) é uma constante mais um senóide exponencialmente amortecida Sistemas de Segunda Ordem Resposta Subamortecida 39 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br No exemplo 3 anterior, temos: A função tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois polos imaginários que vêm da função de transferência do sistema Polos: s = j3 Trata-se de uma classe do caso anterior onde a parte real tem valor igual a zero Assim, a exponencial será e-0t = 1 A resposta é dita não amortecida Sistemas de Segunda Ordem Resposta Não Amortecida 40 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br No exemplo 4 anterior, temos: A função tem um polo na origem que vem do degrau de entrada e dois múltiplos polos reais que vêm da função de transferência do sistema Polos: s = -3 Esses dois polos geram uma exponencial e uma exponencial multiplicada pelo tempo Assim, a saída pode ser estimada como: Sistemas de Segunda Ordem Resposta Criticamente Amortecida 41 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Em resumo: Respostas Sobreamortecidas Polos: dois polos reais em –a e –b Resposta natural: duas exponenciais com constantes de tempo iguais à localização dos polos: c(t) = K1e -at + K2e -bt Respostas Subamortecidas Polos: dois polos complexos em –a j Resposta natural: Senóide amortecida com um envelope exponencial cuja constante de tempo é igual à parte real do polo. A frequência em radianos da senóide é igual à parte imaginária dos polos: c(t) = Ke-atcos(t - ) Sistemas de Segunda Ordem 42 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Em resumo: Respostas Não Amortecidas Polos: dois polos imaginários em j Resposta natural: Senóide não amortecida com frequência em radianos igual à parte imaginária dos polos: c(t) = Kcos(t - ) Mesmo caso anterior com a = 0 Respostas Criticamente Amortecidas Polos: dois polos reais em –a Resposta natural: Um termo é uma exponencial com constante de tempo igual ao polo e o outro termo é uma mesma exponencial multiplicada pelo tempo: c(t) = K1e -at + K2te -at Sistemas de Segunda Ordem 43 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem 44 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Definição: Medidas necessárias para descrever as características da resposta de transiente de sistemas de segunda ordem Como a constante de tempo define para sistemas de primeira ordem 1) Frequência Natural 2) Coeficiente de Amortecimento Sistemas de Segunda Ordem Gerais 45 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 1) Frequência Natural, n A frequência natural de um sistema de segunda ordem é a frequência de oscilação do sistema sem amortecimento 2) Coeficiente de Amortecimento, (zeta) O coeficiente de amortecimento pode ser entendido como uma comparação entre a frequência de decaimento exponencial e a frequência natural Sistemas de Segunda Ordem Gerais = Frequência de decaimento exponencial Frequência natural (rad/segundos) 46 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Vamos usar esses conceitos na definição de sistemasde segunda ordem Considere o sistema geral: Sem amortecimento, os polos estariam no eixo imaginário e a resposta seria uma senóide não amortecida Para os polos serem puramente imaginários, teríamos a = 0: Sistemas de Segunda Ordem Gerais 47 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br n é frequência de oscilações do sistema Como os polos estão em jb: n = b b = n 2 Assim, o coeficiente b está associado à frequência natural; e o coeficiente a? Considerando um sistema subamortecido, os polos complexos têm uma parte real, , igual a –a/2 A magnitude desse valor é o decaimento exponencial: Sistemas de Segunda Ordem Gerais = Frequência de decaimento exponencial = || = a/2 Frequência natural (rad/segundos) n n a = 2n 48 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Assim, a equação geral de um sistema de segunda ordem é: Exemplo: Se Quem são e n? n 2 = 36 n = 6 2 n = 4,2 = 0,35 Sistemas de Segunda Ordem Gerais 49 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Resolvendo a equação geral para sistemas de segunda ordem em busca de seus polos temos: Sistemas de Segunda Ordem Gerais 50 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Gerais 51 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Gerais 52 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Exemplos: Sistemas de Segunda Ordem Gerais a = 2n e n = b = a/(2b) n = 12 = 3,46 = 8/(212) = 1,15 > 1 Sobreamortecido 53 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Exemplos: Sistemas de Segunda Ordem Gerais a = 2n e n = b = a/(2b) n = 16 = 4 = 8/(216) = 1 Criticamente amortecido 54 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Exemplos: Sistemas de Segunda Ordem Gerais a = 2n e n = b = a/(2b) n = 20 = 4,47 = 8/(220) = 0,89 < 1 Subamortecido 55 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Vamos analisar a resposta ao degrau de um sistema subamortecido: Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos < 1 (sistema subamortecido): 56 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos 57 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Outros parâmetros associados com a resposta subamortecida: Tempo de subida (Rise Time – Tr): O tempo necessário para a forma de onda ir de 0,1 a 0,9 do seu valor final Tempo de pico (Peak Time – Tp): O tempo necessário para atingir o primeiro pico Porcentagem sobressinal (Percent Overshoot - %OS): O máximo valor de pico da curva de resposta, expresso como uma porcentagem do estado estacionário Tempo de Acomodação (Settling Time - Ts): O tempo necessário para que a curva de resposta alcance (e permaneça dentro) cerca de 2% do valor estacionário Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos 58 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos 59 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Cálculos: Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Tr é calculado fazendo c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1 e subtraindo os valores de tempo encontrados. 60 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br A tabela abaixo é usada para cálculo aproximado de Tr dependendo do valor de : Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Exemplo: = 0,75 Tr 2,3 seg Tr = (1,768 3 - 0,4172 + 1,039 + 1)/n 61 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Vamos relacionar essas variáveis à localização dos polos que geram as características do sistema Vemos abaixo um gráfico de polos para um sistema de segunda ordem geral subamortecido: Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos cos = d = parte imaginária do polo d = magnitude da parte real do polo 62 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Das equações anteriores de TP e TS, podemos concluir que: TP é inversamente proporcional à parte imaginária do polo Como linhas horizontais no plano-s são linhas de valor imaginário constante, elas também são linhas de tempo de pico constante TS é inversamente proporcional à parte real do polo Como linhas verticais no plano-s são linhas de valor real constante, elas também são linhas de tempo de acomodação constante Como = cos, linhas radiais são linhas com constante (ou seja, %OS constante, já que só depende de ) Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos 63 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos 64 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Se os polos se movem na vertical, a frequência aumenta, mas o envelope permanece o mesmo já que a parte real dos polos não muda. 65 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Se os polos se movem na horizontal, a frequência permanece constante. Um movimento para a esquerda aumenta a velocidade do amortecimento. O tempo de pico é constante porque a parte imaginária também é constante. 66 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos Movendo os polos em uma linha radial constante a porcentagem de sobressinal permanece constante. Quanto mais distante da origem estiverem os polos, mais rápida a resposta. 67 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Exemplo 1: Ache , n, TS, TP, Tr e %OS para o sistema com função de transferência: Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos omegan = 19 zeta = 0.4211 Ts = 0.5000 Tp = 0.1823 pos = 23.2620 Tr = 0.0787 68 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Os parâmetros anteriores podem ser usados para cálculos apenas em sistemas com um ou dois polos, mas não para sistemas com mais polos ou com zeros Sob certas condições, um sistema com mais polos ou com zeros pode ser aproximado para um sistema de segunda ordem que tem apenas dois polos complexos dominantes Vamos analisar o efeito de um polo adicional em um sistema de segunda ordem Resposta de Sistema com Polos Adicionais 69 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Vamos analisar as condições que devem existir para aproximar o comportamento de um sistema de três polos para um de dois polos Considere um sistema de três polos com polos complexos e um polo real Considere os polos complexos em: - n jn1 - 2 e o real em -r A saída é então: ou: Resposta de Sistema com Polos Adicionais 70 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br A exponencial com expoente r é o termo novo derivado do fato do sistema ter três polos, portanto, é o elemento a ser analisado Consideraremos três casos: Caso I: r = r1 e não é muito maior que n Caso II: r = r2 >> n Caso III: r → Resposta de Sistema com Polos Adicionais Termo 1 Termo 2 Termo 3 71 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Caso II: r = r2 >> n O termo 3 tende a decair bem mais rápido que o termo 2 que traz a resposta ao degrau subamostrada Assim, o sistema tende a um sistema de segunda ordem puro Caso III: r→ Igual a antes, o termo 3 decai rapidamente e tendemos a ter um sistema de segunda ordem puro Caso I: O sistema não pode ser aproximado para um de segunda ordem Resposta de Sistema com Polos Adicionais Termo 1 Termo 2 Termo 3 72 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Resposta de Sistema com Polos Adicionais 73 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Vamos adicionar um zero a um sistema de segunda ordem Como vimos antes, os zeros afetam a amplitude da resposta Considere por exemplo o sistema: e analisar seu comportamento para a = 3, 5 e 10 Polos: -1 j2,828 Resposta de Sistema com Zeros 74 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Resposta de Sistema com Zeros deng = [1 2 9]; Ta = tf([1 3]*9/3, deng); Tb = tf([1 5]*9/5, deng) ; Tc = tf([1 10]*9/10, deng); T= tf(9,deng); step (T, Ta, Tb, Tc) text (0.5, 0.6, 'no zero') text (0.4, 0.7, 'zero at -10') text (0.35, 0.8, 'zero at -5') text (0.3, 0.9, 'zero at -3') 75 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br À medida que o zero se afasta dos polos dominantes (aumenta seu valor absoluto), a resposta se aproxima de um sistema de segunda ordem Quanto mais perto ele estiver, mais afeta a resposta transitória Considere um sistema com resposta C(s) sem zeros Adicionar um zero ao sistema é o mesmo que termos: (s + a)C(s) = sC(s) + aC(s) Ou seja, a derivada da resposta original e uma versão em escala da resposta original Resposta de Sistema com Zeros 76 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Se a, o negativo do zero, é muito grande, a transformada de Laplace será aproximadamente aC(s), ou seja, apenas a versão em escala da resposta original Se a não for tão grande, a resposta tem um componente adicional que é a derivada da resposta original À medida que a diminui, o termo derivativo contribui mais e mais com a resposta e aumenta seu efeito como pode ser visto na figura anterior Resposta de Sistema com Zeros 77 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Se a for negativo, o zero passa a estar no semi- plano direito, o resultado para um sistema de segunda ordem pode ser visto a seguir, onde a resposta começa negativa até alcançar um valor de estado estacionário positivo Tal sistema é chamado de sistema de fase não- mínima Se um carro é um sistema de fase não-mínima, ele vai primeiro virar um pouco para a esquerda quando receber o comando para virar à direita Resposta de Sistema com Zeros 78 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Resposta de Sistema com Zeros 79 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br Exercícios Sugeridos (Nise) Cap. 4, Problemas: 2, 8, 10, 17, 18, 20, 28, 29, 33, 35, 36, 45 (mas usando os conceitos da seção 4.10 e não 4.11) No MatLab: 3, 9, 11, 21, 46 (idem ao comentário da questão 45) 80 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br A Seguir.... Redução de Múltiplos Subsistemas
Compartilhar