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Servomecanismo para Engenharia da Computação UFPE - AULA 4. Resposta no tempo

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Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 1 
Resposta no Tempo 
Servomecanismo 
Prof. Adriano L. I. Oliveira 
2 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Resposta no Tempo - Introdução 
 Como já discutimos, após a representação 
matemática de um subsistema, ele é analisado em 
suas respostas de transiente e de estado-
estacionário para verificar se o subsistema possui 
as características desejadas no projeto 
 Após essa análise, o subsistema pode ser 
acoplado em um sistema de malha fechada 
3 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Também como já vimos antes, a resposta de um 
sistema é a soma de duas respostas: a resposta 
forçada e a resposta natural 
 Apesar da análise de um sistema por equações 
diferenciais ser eficiente, em geral, é um processo 
bastante custoso 
 O uso de polos e zeros e sua relação com a 
resposta de um sistema é uma técnica rápida e 
eficiente 
4 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Polos de uma função de transferência são: 
 Os valores da variável s da transformada de Laplace 
que fazem a função de transferência tender para infinito 
 As raízes do denominador da função de transferência 
que não são comuns a raízes do numerador 
 Evitando cancelar um fator do numerador com um do 
denominador 
 Zeros de uma função de transferência são: 
 Os valores da variável s da transformada de Laplace 
que fazem a função de transferência igual a zero 
 As raízes do numerador da função de transferência que 
não são comuns a raízes do denominador 
5 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 
 Considere a função de transferência abaixo: 
 
 
 
 
 
 Um polo existe em s = -5 e um zero em s = -2 
 Esses valores são plotados no plano s, usando um X 
para indicar um polo e um O para indicar um zero 
R(s) 
G(s) 
C(s) 
6 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 
7 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 
 Para mostrar as propriedades dos polos e zero, vamos 
analisar a resposta do sistema a um degrau unitário 
 Ou seja, R(s) = 1/s 
 Assim, temos: 
Ou: 
8 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 
9 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 
 Da Figura anterior podemos concluir: 
1. Um polo na função de entrada gera a forma da 
resposta forçada (o polo na origem gerou a função 
degrau na saída) 
2. Um polo na função de transferência gera a forma da 
resposta natural (o polo em -5 gerou e-5t) 
3. Um polo no eixo real gera uma resposta exponencial 
do tipo et, onde  é a localização do polo no eixo real 
(o polo em -5 gerou e-5t) 
4. Os zeros e polos afetam as amplitudes para ambas as 
respostas forçada e natural (o cálculo dos coeficientes 
da expansão em frações parciais) 
10 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 
11 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Exemplo: Sistema de Primeira Ordem 
12 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Vamos ver outro exemplo para analisar como 
podemos usar a técnica de polos e zeros para 
obter a forma da resposta do sistema 
 Resposta por inspeção 
 Como vimos, cada polo da função de transferência 
do sistema que está no eixo real gera uma 
resposta exponencial que é componente da 
resposta natural 
 Os polos da entrada geram a resposta forçada 
13 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Exemplo 1: Considere o sistema abaixo e escreva 
a saída c(t), em termos gerais. 
 
 
 Por inspeção, cada polo gera uma componente 
exponencial como parte da resposta natural 
 O polo da entrada gera a resposta forçada 
 Assim: 
Resposta 
forçada 
Resposta natural 
14 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Polos, Zeros e Resposta do Sistema 
 Exemplo 2: Um sistema tem função de 
transferência 
 
 
 por inspeção, sua saída c(t), em termos gerais, 
para uma entrada como degrau unitário é: 
15 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Primeira Ordem 
 Sistemas de Primeira Ordem sem zeros: 
16 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Primeira Ordem 
 Se G(s) = a/(s + a) e a entrada é um degrau 
unitário R(s) = 1/s, a transformada de Laplace da 
resposta ao degrau é C(s), onde: 
onde o polo na origem gera a resposta forçada cf(t) = 1 e o 
polo do sistema em –a gera a resposta natural cn(t) = -e
-at 
17 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Primeira Ordem 
 O único parâmetro é a variável a que é necessária 
para descrever a resposta em transiente 
 Quando t = 1/a: 
 
 
 ou: 
18 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Primeira Ordem 
 Considerando que: 
 
 
 
 
 
 Vamos definir três especificações de desempenho 
de resposta de transiente.... 
(1) 
(2) 
(3) 
19 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Primeira Ordem 
Constante de Tempo 
 Dizemos que 1/a é uma constante de tempo da 
resposta, Tc 
 Dada a relação (2) anterior, a constante de tempo 
pode ser descrita como o tempo para e-at decair 
para 37% do seu valor inicial 
 Da mesma forma, a constante de tempo é o tempo 
que leva para a resposta ao degrau subir para 
63% do seu valor final (considerando a relação (3) 
anterior) 
20 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Primeira Ordem 
Constante de Tempo 
21 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 O parâmetro a é chamado de frequência 
exponencial 
 A constante de tempo pode ser considerada um 
parâmetro de especificação de transiente para um 
sistema de primeira ordem já que ela está 
relacionada com a velocidade de resposta do 
sistema a um degrau de entrada 
 No gráfico de polos, o polo está localizado na 
posição oposta à constante de tempo 
 Quanto mais longe o polo estiver do eixo imaginário 
(abscissa), mais rápida a resposta de transiente 
Sistemas de Primeira Ordem 
Constante de Tempo 
22 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 O Tempo de Subida, Tr, é definido como o tempo 
que o sinal vai de 0,1 a 0,9 do seu valor final 
 O tempo de subida é encontrado resolvendo (1) 
para a diferença de tempo de c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1 
 Assim: Tr = 2,31/a – 0,11/a  Tr = 2,2/a 
 c(t) = 1 – e-at 
 0,9 = 1 – e-at  0,1 = e-at  -at = ln(0,1) = -2,31 
 t = 2,31/a 
 Para c(t) = 0,1, o mesmo cálculo leva a 0,11/a 
Sistemas de Primeira Ordem 
Tempo de Subida – Rise Time 
23 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 O Tempo de Acomodação, Ts, é definido como o 
tempo que a resposta alcança e fica dentro de 
uma faixa de 2% do seu valor final 
 Fazendo c(t) = 0,98 em (1) e resolvendo para t, 
encontramos Ts = 4/a 
Sistemas de Primeira Ordem 
Tempo de Acomodação – Settling Time 
24 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Problema: Um sistema tem função de 
transferência: 
 
 
 Encontre a constantede tempo, Tc, o tempo de 
acomodação, Ts, e o tempo de subida, Tr 
 Solução: 
 Tc = 1/a = 1/50 = 0,02 seg 
 Ts = 4/a = 4/50 = 0,08 seg 
 Tr = 2,2/a = 2,2/50 = 0,044 seg 
Sistemas de Primeira Ordem 
25 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Diferente de sistemas de primeira ordem, sistemas 
de segunda ordem têm uma grande variedade de 
respostas que precisam ser analisadas 
 Enquanto apenas variar o parâmetro de um 
sistema de primeira ordem muda sua velocidade 
de resposta, mudanças nos parâmetros de 
sistemas de segunda ordem podem mudar a forma 
da resposta 
 Por exemplo, considere o sistema genérico: 
Sistemas de Segunda Ordem 
R(s)=1/s 
G(s) 
C(s) 
26 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Polos: 
-7,854 
-1,146 
Sistema Sobreamortecido 
(Overdamped) 
Exemplo 1: 
27 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Polos: 
-1 + j8 
-1 - j8 
Sistema Subamortecido 
(Underdamped) 
Exemplo 2: 
28 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Polos: 
 j3 
-j3 
Sistema Não-Amortecido 
(Undamped) 
Exemplo 3: 
29 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Polos: 
 -3 (polo duplo) 
Sistema Criticamente 
Amortecido 
(Critically Damped) 
Exemplo 4: 
30 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
31 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Um sistema sobreamortecido se aproxima 
rapidamente do valor final 
 A resposta de um sistema subamortecido é 
sempre mais lenta, qualquer que seja o sinal de 
entrada 
 O sistema criticamente amortecido é o que 
apresenta resposta mais rápida 
 Vamos agora analisar cada tipo de resposta e 
mostrar como podemos usar os polos para 
determinar a natureza dessa resposta sem 
precisar usar expansão em frações parciais e 
transformada inversa de Laplace.... 
Sistemas de Segunda Ordem 
32 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 No exemplo 1 anterior, temos: 
 
 
 A função tem um polo na origem que vem do 
degrau de entrada e dois polos reais que vêm da 
função de transferência do sistema 
 Assim, a saída pode ser escrita como: 
 
 Gerando o gráfico do exemplo 1 que é chamado 
de sobreamortecido 
Sistemas de Segunda Ordem 
Resposta Sobreamortecida 
33 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 No exemplo 2 anterior, temos: 
 
 
 A função tem um polo na origem que vem do 
degrau de entrada e dois polos complexos que 
vêm da função de transferência do sistema 
 Polos em s = -1  j8 
 Encontramos c(t): 
 
Sistemas de Segunda Ordem 
Resposta Subamortecida 
Parte real = expoente da exponencial: controla 
o decaimento da amplitude da senóide 
Parte complexa = frequência 
de oscilação da senóide 
tg-1(Re/Img) 
34 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 A resposta em transiente consiste de uma 
amplitude decaindo exponencialmente gerada pela 
parte real do polo do sistema vezes uma onda 
senoidal gerada pela parte imaginária do polo do 
sistema 
 O valor da parte imaginária é a frequência real da 
senóide (chamada frequência de oscilação 
amortecida - d) 
 A resposta do estado estacionário (degrau unitário) 
foi gerada pelo polo da entrada localizado na 
origem (chamada resposta subamortecida) 
Sistemas de Segunda Ordem 
Resposta Subamortecida 
35 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Resposta Subamortecida 
36 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Resposta Subamortecida 
e-t 
cos(8*t) 
e-t*cos(8*t) 
37 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Exemplo: Por inspeção, escreva a forma da 
resposta ao degrau do sistema abaixo: 
 
 
 
 Solução: 
 A forma da resposta forçada é um degrau 
 Os polos do sistema são s = -5  j13,23 
 A parte real, -5, é a frequência da exponencial 
 A parte imaginária, 13,23, é a frequência em radianos para as 
oscilações da senóide 
  
Sistemas de Segunda Ordem 
Resposta Subamortecida 
R(s)=1/s 
G(s) 
C(s) 
38 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Exemplo (cont.): 
 Solução: 
 
 
 
 
 
 
 Assim, c(t) é uma constante mais um senóide 
exponencialmente amortecida 
Sistemas de Segunda Ordem 
Resposta Subamortecida 
39 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 No exemplo 3 anterior, temos: 
 
 
 A função tem um polo na origem que vem do 
degrau de entrada e dois polos imaginários que 
vêm da função de transferência do sistema 
 Polos: s = j3 
 Trata-se de uma classe do caso anterior onde a 
parte real tem valor igual a zero 
 Assim, a exponencial será e-0t = 1 
 A resposta é dita não amortecida 
Sistemas de Segunda Ordem 
Resposta Não Amortecida 
40 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 No exemplo 4 anterior, temos: 
 
 
 A função tem um polo na origem que vem do 
degrau de entrada e dois múltiplos polos reais que 
vêm da função de transferência do sistema 
 Polos: s = -3 
 Esses dois polos geram uma exponencial e uma 
exponencial multiplicada pelo tempo 
 Assim, a saída pode ser estimada como: 
Sistemas de Segunda Ordem 
Resposta Criticamente Amortecida 
41 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Em resumo: 
 Respostas Sobreamortecidas 
 Polos: dois polos reais em –a e –b 
 Resposta natural: duas exponenciais com constantes de tempo 
iguais à localização dos polos: c(t) = K1e
-at + K2e
-bt 
 Respostas Subamortecidas 
 Polos: dois polos complexos em –a j 
 Resposta natural: Senóide amortecida com um envelope 
exponencial cuja constante de tempo é igual à parte real do 
polo. A frequência em radianos da senóide é igual à parte 
imaginária dos polos: c(t) = Ke-atcos(t - ) 
Sistemas de Segunda Ordem 
42 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Em resumo: 
 Respostas Não Amortecidas 
 Polos: dois polos imaginários em j 
 Resposta natural: Senóide não amortecida com frequência em 
radianos igual à parte imaginária dos polos: c(t) = Kcos(t - ) 
 Mesmo caso anterior com a = 0 
 Respostas Criticamente Amortecidas 
 Polos: dois polos reais em –a 
 Resposta natural: Um termo é uma exponencial com constante 
de tempo igual ao polo e o outro termo é uma mesma 
exponencial multiplicada pelo tempo: c(t) = K1e
-at + K2te
-at 
Sistemas de Segunda Ordem 
43 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
44 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Definição: Medidas necessárias para descrever as 
características da resposta de transiente de 
sistemas de segunda ordem 
 Como a constante de tempo define para sistemas de 
primeira ordem 
 1) Frequência Natural 
 2) Coeficiente de Amortecimento 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
45 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 1) Frequência Natural, n 
 A frequência natural de um sistema de segunda ordem é 
a frequência de oscilação do sistema sem 
amortecimento 
 2) Coeficiente de Amortecimento,  (zeta) 
 O coeficiente de amortecimento pode ser entendido 
como uma comparação entre a frequência de 
decaimento exponencial e a frequência natural 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
 = Frequência de decaimento exponencial 
Frequência natural (rad/segundos) 
46 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Vamos usar esses conceitos na definição de 
sistemasde segunda ordem 
 Considere o sistema geral: 
 
 
 Sem amortecimento, os polos estariam no eixo 
imaginário e a resposta seria uma senóide não 
amortecida 
 Para os polos serem puramente imaginários, 
teríamos a = 0: 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
47 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 n é frequência de oscilações do sistema 
 Como os polos estão em jb: n = b  b = n
2 
 Assim, o coeficiente b está associado à frequência 
natural; e o coeficiente a? 
 Considerando um sistema subamortecido, os polos 
complexos têm uma parte real, , igual a –a/2 
 A magnitude desse valor é o decaimento 
exponencial: 
 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
 = Frequência de decaimento exponencial = || = a/2 
Frequência natural (rad/segundos) n n 
 a = 2n 
48 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Assim, a equação geral de um sistema de segunda 
ordem é: 
 
 Exemplo: 
 Se 
 
 Quem são  e n? 
 n
2 = 36  n = 6 
 2 n = 4,2   = 0,35 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
49 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Resolvendo a equação geral para sistemas de 
segunda ordem em busca de seus polos temos: 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
50 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
51 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
52 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Exemplos: 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
a = 2n e n = b 
  = a/(2b) 
 
 n = 12 = 3,46 
  = 8/(212) = 1,15 > 1  Sobreamortecido 
53 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Exemplos: 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
a = 2n e n = b 
  = a/(2b) 
 
 n = 16 = 4 
  = 8/(216) = 1  Criticamente amortecido 
54 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Exemplos: 
Sistemas de Segunda Ordem Gerais 
a = 2n e n = b 
  = a/(2b) 
 
 n = 20 = 4,47 
  = 8/(220) = 0,89 < 1  Subamortecido 
55 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Vamos analisar a resposta ao degrau de um 
sistema subamortecido: 
 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
 < 1 (sistema subamortecido): 
 
 
 
 
 
56 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
57 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Outros parâmetros associados com a resposta 
subamortecida: 
 Tempo de subida (Rise Time – Tr): O tempo necessário 
para a forma de onda ir de 0,1 a 0,9 do seu valor final 
 Tempo de pico (Peak Time – Tp): O tempo necessário 
para atingir o primeiro pico 
 Porcentagem sobressinal (Percent Overshoot - %OS): O 
máximo valor de pico da curva de resposta, expresso 
como uma porcentagem do estado estacionário 
 Tempo de Acomodação (Settling Time - Ts): O tempo 
necessário para que a curva de resposta alcance (e 
permaneça dentro) cerca de 2% do valor estacionário 
 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
58 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
59 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Cálculos: 
 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
Tr é calculado fazendo c(t) = 0,9 e c(t) = 0,1 e 
subtraindo os valores de tempo encontrados. 
60 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 A tabela abaixo é usada para cálculo aproximado 
de Tr dependendo do valor de  : 
 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
Exemplo:  = 0,75  Tr  2,3 seg 
Tr = (1,768
3 - 0,4172 + 1,039 + 1)/n 
61 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Vamos relacionar essas variáveis à localização 
dos polos que geram as características do sistema 
 Vemos abaixo um gráfico de polos para um 
sistema de segunda ordem geral subamortecido: 
 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
cos =  
d = parte imaginária do polo 
d = magnitude da parte real do polo 
62 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Das equações anteriores de TP e TS, podemos 
concluir que: 
 TP é inversamente proporcional à parte imaginária do 
polo 
 Como linhas horizontais no plano-s são linhas de valor 
imaginário constante, elas também são linhas de tempo de pico 
constante 
 TS é inversamente proporcional à parte real do polo 
 Como linhas verticais no plano-s são linhas de valor real 
constante, elas também são linhas de tempo de acomodação 
constante 
 Como  = cos, linhas radiais são linhas com  
constante (ou seja, %OS constante, já que só depende 
de ) 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
63 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
64 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
Se os polos se movem na vertical, a frequência aumenta, 
mas o envelope permanece o mesmo já que a parte real 
dos polos não muda. 
65 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
Se os polos se movem na horizontal, a frequência 
permanece constante. Um movimento para a esquerda 
aumenta a velocidade do amortecimento. O tempo de 
pico é constante porque a parte imaginária também é 
constante. 
66 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
Movendo os polos em uma linha radial constante a 
porcentagem de sobressinal permanece constante. 
Quanto mais distante da origem estiverem os polos, mais 
rápida a resposta. 
67 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Exemplo 1: Ache , n, TS, TP, Tr e %OS para o 
sistema com função de transferência: 
Sistemas de Segunda Ordem 
Subamortecidos 
omegan = 19 
zeta = 0.4211 
Ts = 0.5000 
Tp = 0.1823 
pos = 23.2620 
Tr = 0.0787 
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 Os parâmetros anteriores podem ser usados para 
cálculos apenas em sistemas com um ou dois 
polos, mas não para sistemas com mais polos ou 
com zeros 
 Sob certas condições, um sistema com mais polos 
ou com zeros pode ser aproximado para um 
sistema de segunda ordem que tem apenas dois 
polos complexos dominantes 
 Vamos analisar o efeito de um polo adicional em 
um sistema de segunda ordem 
Resposta de Sistema com Polos 
Adicionais 
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 Vamos analisar as condições que devem existir 
para aproximar o comportamento de um sistema 
de três polos para um de dois polos 
 Considere um sistema de três polos com polos 
complexos e um polo real 
 Considere os polos complexos em: 
 - n  jn1 - 
2 
 e o real em -r 
 A saída é então: 
 
 ou: 
Resposta de Sistema com Polos 
Adicionais 
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 A exponencial com expoente r é o termo novo 
derivado do fato do sistema ter três polos, 
portanto, é o elemento a ser analisado 
 Consideraremos três casos: 
 Caso I: r = r1 e não é muito maior que n 
 Caso II: r = r2 >> n 
 Caso III: r →  
Resposta de Sistema com Polos 
Adicionais 
Termo 1 Termo 2 Termo 3 
71 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 
 
 
 Caso II: r = r2 >> n 
 O termo 3 tende a decair bem mais rápido que o termo 2 que 
traz a resposta ao degrau subamostrada 
 Assim, o sistema tende a um sistema de segunda ordem puro 
 Caso III: r→  
 Igual a antes, o termo 3 decai rapidamente e tendemos a ter um 
sistema de segunda ordem puro 
 Caso I: 
 O sistema não pode ser aproximado para um de segunda ordem 
Resposta de Sistema com Polos 
Adicionais 
Termo 1 Termo 2 Termo 3 
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Resposta de Sistema com Polos 
Adicionais 
73 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Vamos adicionar um zero a um sistema de 
segunda ordem 
 Como vimos antes, os zeros afetam a amplitude 
da resposta 
 Considere por exemplo o sistema: 
 
 
 e analisar seu comportamento para a = 3, 5 e 10 
 Polos: -1  j2,828 
Resposta de Sistema com Zeros 
74 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
Resposta de Sistema com Zeros 
deng = [1 2 9]; 
Ta = tf([1 3]*9/3, deng); 
Tb = tf([1 5]*9/5, deng) ; 
Tc = tf([1 10]*9/10, deng); 
T= tf(9,deng); 
step (T, Ta, Tb, Tc) 
text (0.5, 0.6, 'no zero') 
text (0.4, 0.7, 'zero at -10') 
text (0.35, 0.8, 'zero at -5') 
text (0.3, 0.9, 'zero at -3') 
75 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 À medida que o zero se afasta dos polos 
dominantes (aumenta seu valor absoluto), a 
resposta se aproxima de um sistema de segunda 
ordem 
 Quanto mais perto ele estiver, mais afeta a 
resposta transitória 
 Considere um sistema com resposta C(s) sem 
zeros 
 Adicionar um zero ao sistema é o mesmo que 
termos: (s + a)C(s) = sC(s) + aC(s) 
 Ou seja, a derivada da resposta original e uma versão 
em escala da resposta original 
Resposta de Sistema com Zeros 
76 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Se a, o negativo do zero, é muito grande, a 
transformada de Laplace será aproximadamente 
aC(s), ou seja, apenas a versão em escala da 
resposta original 
 Se a não for tão grande, a resposta tem um 
componente adicional que é a derivada da 
resposta original 
 À medida que a diminui, o termo derivativo 
contribui mais e mais com a resposta e aumenta 
seu efeito como pode ser visto na figura anterior 
Resposta de Sistema com Zeros 
77 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
 Se a for negativo, o zero passa a estar no semi-
plano direito, o resultado para um sistema de 
segunda ordem pode ser visto a seguir, onde a 
resposta começa negativa até alcançar um valor 
de estado estacionário positivo 
 Tal sistema é chamado de sistema de fase não-
mínima 
 Se um carro é um sistema de fase não-mínima, ele 
vai primeiro virar um pouco para a esquerda 
quando receber o comando para virar à direita 
Resposta de Sistema com Zeros 
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Resposta de Sistema com Zeros 
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Exercícios Sugeridos (Nise) 
 Cap. 4, Problemas: 
 2, 8, 10, 17, 18, 20, 28, 29, 33, 35, 36, 45 (mas usando 
os conceitos da seção 4.10 e não 4.11) 
 
 No MatLab: 
 3, 9, 11, 21, 46 (idem ao comentário da questão 45) 
80 Prof. Adriano Lorena I. Oliveira – alio@cin.ufpe.br 
A Seguir.... 
 Redução de Múltiplos Subsistemas

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