SL Lab4 2015 Assoc. de SLITCs (1)

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S ISTEMAS L INEARES 1
Associação de SLITCs1 
 
Objetivo 
 
Estudar a associação de SLITCs; 
Relacionar as propriedades Comutativa, Associativa e Distributiva com a associação de SLITCs; 
Estudar a resposta dos SLITCs ao Degrau Unitário. 
 
Fundamentação Teórica 
 
 Vamos ver a resposta ao impulso de sistemas interconectados e a relação com as propriedades dos SLITCs. 
 
• Conexão de SLITCs em Paralelo 
 
 Consideremos dois SLITCs determinados por suas respostas impulsivas, h1(t) e h2(t), conectados em 
paralelo, como ilustra a Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Sistemas conectados em Paralelo 
 
 A saída desta forma de conexão de sistemas, y(t), é a soma da saída de cada sistema: 
 
)(*)()(*)(
)()()(
21
21
thtxthtx
tytyty
+=
+=
 (1) 
 
 Substituindo o operador de convolução por sua integral, teremos: 
 
∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
−+−= ττττττ dthxdthxty )()()()()( 21 
∫
+∞
∞−
−+−= ττττ dththxty )]()()[()( 21 
 
)(*)()()()( thtxdthxty =−= ∫
+∞
∞−
τττ
 (2) 
 
em que h(t) = h1(t) + h2(t), que é a resposta ao impulso da conexão paralela de dois sistemas, como descrito na 
Figura 2. Assim, podemos dizer que a resposta ao impulso equivalente aos dois sistemas conectados em paralelo é a 
soma das respostas individuais ao impulso. 
 
 
 
 
Figura 2 – Sistema equivalente à conexão em Paralelo 
 
 Esta associação de SLITCs está relacionada à Propriedade Distributiva: 
 
)}()({*)()(*)()(*)( 2121 ththtxthtxthtx +=+ (3) 
 
1
 SLITC – Sistema Linear Invariante no Tempo Contínuo 
Exper. 
��
h1(t) + h2(t) x(t) y(t) 
+ 
+ 
h1(t) 
x(t) y(t) 
h2(t) y2(t) 
y1(t) 
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• Conexão de SLITCs em Série (ou Cascata) 
 
 Consideremos agora a conexão de dois SLITCs em série, como mostra a Figura 3. Admitamos que z(t) é a 
saída do primeiro sistema, e que, por conseguinte, é a entrada do segundo sistema na conexão em cascata. 
 
 
 
 
Figura 3 – Sistemas conectados em Série (Cascata). 
 
 A saída y(t) pode ser calculada em termos de z(t) como: 
 
∫
+∞
∞−
−== τττ dthzthtzty )()()(*)()( 22 (4) 
 
 Porém, z(t) é a saída do primeiro sistema e pode ser obtida em termos da entrada x(t) como: 
 
∫
+∞
∞−
−== υυυ dthxthtxtz )()()(*)()( 11 (5) 
 
 Aqui, υ é usado como a variável de integração. Substituindo a Equação (5) na Equação (4), obtemos: 
 
τυτυυ ddththxty )()()()( 21 −−= ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
 (6) 
 
 Agora, realizando a mudança de variável υη −= t e permutando as integrais, obtemos: 
 
υηηυηυ ddthhxty ∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞− 



−−= )()()()( 21 (7) 
 
 A integral interna é identificada como a convolução de h1(t) com h2(t) avaliada em υ−t , ou seja, se 
definirmos )(*)()( 21 ththth = , então 
∫
+∞
∞−
−=−− )()()( 21 υηηυη thdthh (8) 
 
 A substituição dessa relação na Equação (7) produz: 
∫
+∞
∞−
=−= )(*)()()()( thtxdthxty υυυ
 (9) 
 
 Consequentemente, a resposta ao impulso equivalente aos dois SLITCs conectados em cascata é a 
convolução das respostas impulsivas de cada um dos sistemas. A conexão em cascata é equivalente em termos de 
entrada-saída ao SLITC representado pela resposta ao impulso h(t), como mostra a Figura 4. 
 
 
 
 
Figura 4 – Sistema equivalente à conexão em Cascata. 
 
 A substituição de z(t) = x(t) * h1(t) na expressão de y(t) dada na Equação (4) e h(t) = h1(t) * h2(t) na 
expressão alternativa para y(t) dada na Equação (9), demonstra que a convolução possui a Propriedade Associativa: 
 
)}(*)({*)()(*)}(*)({ 2121 ththtxththtx = (10) 
 
h1(t) h2(t) z(t) x(t) y(t) 
h1(t) * h2(t) x(t) y(t) 
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 A terceira propriedade relacionada à conexão de sistemas trata da ordem em que os SLITCs estão 
conectados. Escrevendo a convolução )(*)()( 21 ththth = em termos de sua definição (integral), temos: 
∫
+∞
∞−
−= τττ dthhth )()()( 21 (11) 
 
Fazendo uma mudança de variável do tipo τυ −= t : 
 
∫
+∞
∞−
=−= )(*)()()()( 1221 ththdhthth υυυ (12) 
 
 Ou seja, a saída de uma conexão de SLITCs em cascata independe da ordem em que os sistemas estão 
conectados. Matematicamente, dizemos que a operação de convolução possui a Propriedade Comutativa: 
 
)(*)()(*)( 1221 thththth = (13) 
 
• Resposta ao Degrau 
 
 A resposta de um SLITC a uma entrada do tipo degrau unitário mostra como o sistema responde a 
mudanças repentinas em sua entrada. A resposta de um SLITC ao degrau unitário, s(t), pode ser obtida a partir de 
sua resposta ao impulso unitário: 
∫
∞−
=
t
dhts ττ )()(
 (14) 
 
 Podemos inverter estas relações para expressar a resposta ao impulso, em termos da resposta ao degrau: 
 
)()( ts
dt
d
th = (15) 
 
 
 
Material Utilizado 
 
Software/Linguagem para simulação de circuitos lineares: matlab/Python. 
 
 
 
Procedimento Prático 
 
 Para os itens que se seguem, considere os seguintes sinais e sistemas: 
 
 }1,1,1,1,0,0{][hou ]6[]2[][
}1,1,1,1,1{][hou ]5[][][
}3,2,1,0{][ou ]}4[][.{][
22
11
=−−−=
=−−=
=−−=
nnununh
nnununh
nxnununnx
 (16) 
 
1) Demonstre com simulações computacionais (gráficos) que a convolução é distributiva. 
 
2) Demonstre com simulações computacionais (gráficos) que a convolução é associativa. 
 
3) Demonstre com simulações computacionais (gráficos) que a convolução é comutativa. 
 
4) Determine os primeiros 50 valores da resposta ao degrau do SLITC descrito por sua resposta ao impulso, 
][)9,0(][ nunh n−= . Trace os gráficos dos sinais envolvidos em um único plano cartesiano. 
 
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Questões 
 
1) Considere dois SLITCs definidos por respectivas respostas ao impulso unitário: 
 
 





=−
=
=


 ≤≤
=
contráriocaso ,0
3,1,4/1
2,0 ,4/1
][
contráriocaso ,0
30 ,4/1][
2
1
n
n
nh
n
nh
 
 
 Trace um gráfico da resposta ao degrau de cada um dos sistemas, considerando 0 � n � 20. 
 
 
2) Considerando os SLITCs da questão anterior, determine os sistemas equivalentes às associações em 
paralelo e em série (cascata), apresentando os gráficos das respostas ao impulso e ao degrau unitários, 
considerando 0 � n � 20.