SL Lab5 2015 SLITCs e EDLCCs

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S ISTEMAS L INEARES 1
SLITCs e EDLCCs 
 
Objetivos 
 
• Aplicar métodos de solução das Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes (EDLCCs); 
• Representar Sistemas Lineares Invariantes no Tempo Contínuo (SLITCs) por EDLCCs; 
• Analisar estabilidades externa e interna de SLITCs via solução das EDLCCs. 
 
Fundamentação Teórica 
 
O circuito com Amplificador Operacional (Amp-Op) mostrado na Figura 1 será modelado matematicamente 
por uma EDLCC que relacione saída do sistema (tensão na saída do Amp-Op) e entrada (tensão entre R3 e C2). Os 
modos característicos do sistema fornecem informações sobre o comportamento do circuito. 
 
Supondo um Amp-Op ideal (ganho diferencial infinito, impedância de entrada infinita e impedância de 
saída nula), usamos a Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) no nó A, compartilhado por R1 e R3: 
 
 0)()(0)()()()( 2
123
=−
−
+
−
+
−
dt
tdvC
R
tv
R
tvty
R
tvtx
 (1) 
 
Usamos também a LCK na entrada inversora do Amp-Op, nó B: 
 
 0)()( 1
1
=+
dt
tdyC
R
tv
 (2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Sistema dinâmico de interesse, a ser modelado matematicamente por uma EDLCC. 
 
 Isolando a variável v(t) na Eq. 2: 
dt
tdyCRtv )()( 11−= (3) 
 Usando a Eq. 3 na Eq. 1: 
 0)()()()()()( 2
2
2111
2
11
23
11
3
=+++++
dt
tydCCR
dt
tdyC
dt
tdy
R
CR
R
ty
dt
tdy
R
CR
R
tx
 
 
Combinando e simplificando as equações da LCK, temos: 
 
)(1)(1)(1111)(
213121213212
2
2
tx
CCRR
ty
CCRRdt
tdy
RRRCdt
tyd −
=+






+++ 
 
 R2 
 
 
 C1 
y(t) C2 v(t) 
x(t) 
 R3 R1 A B 
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 Essa é a EDLCC que relaciona a tensão de entrada no circuito com a tensão de saída. 
 
 O polinômio característico é dado por: 
 
011111 21
2
0
21213212
2
=++=+






+++ aaa
CCRRRRRC
λλλλ 
 
 As raízes características desse polinômio, 21 e λλ estabelecem a natureza e os modos característicos do 
circuito: tt ee 21 e λλ . 
 
Análise de Estabilidade do SLITC a partir de seus Modos Característicos: 
 
 Se para cada entrada limitada o SLITC produzir uma saída limitada, o sistema é dito ser estável no sentido 
BIBO (Bounded-Input Bounded-Output). A estabilidade BIBO é a estabilidade vista pelos terminais externos do 
sistema, e por isso ela é chamada de estabilidade externa (ou estabilidade de estado nulo). Outra forma de analisar 
a estabilidade BIBO de um SLITC é verificar se a sua resposta impulsiva é absolutamente integrável. 
 
 A estabilidade interna (ou estabilidade de entrada nula) analisa o comportamento do sistema visto por 
dentro. Se alguma condição inicial é aplicada ao sistema e ele eventualmente retornar ao estado nulo, então ele é dito 
ser assintoticamente estável (ou estável no sentido Lyapunov). Se a resposta do sistema crescer sem limite, ele é 
dito ser instável. Se o sistema não retornar ao estado nulo e a resposta não crescer indefinidamente, o sistema é dito 
ser marginalmente instável. 
 
 O critério de estabilidade interna, em termos da localização das raízes características do sistema pode ser 
assim resumido: 
 
• Um SLITC é assintoticamente estável se e somente se todas as raízes características estiverem no 
semi-plano esquerdo (parte real negativa). As raízes podem ser repetidas ou não. 
• Um SLITC é instável se e somente se uma ou ambas as condições seguintes existirem: 
(i) pelo menos uma raiz está no semi-plano direito (parte real positiva); 
(ii) existirem raízes repetidas no eixo imaginário. 
• Um SLITC é marginalmente estável se e somente se não existirem raízes no semi-plano direito (parte 
real positiva) e existirem raízes não repetidas no eixo imaginário. 
 
Material 
 
Software de simulação de circuitos lineares – Python, Matlab ou equivalente: Octave, Scilab, Freemat. 
 
 
Procedimento Prático 
 
Cálculo dos Modos Característicos: 
 
1. Vamos calcular os modos característicos para o circuito da Figura 1, usando resistores de 10 k� e 
capacitores de 1 �F. 
>>> R = numpy.array([10000, 1e4, 10e3]) # R1 = R2 = R3 = 10000 Ohm 
>>> C = numpy.array([0.000001, 1e-6]) # C1 = C2 = 0.000001 F 
>>> a0 = 1. 
>>> a1 = (1./R[0] + 1./R[1] + 1./R[2])/C[1] 
>>> a2 = 1./(R[0] * R[1] * C[0] * C[1]) 
>>> A = numpy.array([a0, a1, a2]) 
>>> raizes = numpy.roots(A) 
>>> print raizes 
[-261.80339887 -38.19660113] 
 
2. Crie um arquivo script com os comandos do item anterior, com o nome circ1.py, e que solicita ao usuário 
os valores dos componentes R1, R2, R3, C1 e C2. Experimente valores diferentes... 
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3. Determine os valores dos componentes que gerem raízes negativas, pelo menos uma positiva e raízes com 
parte real nula. 
 
4. O que se pode dizer a respeito da estabilidade do SLITC (circuito com Amp-Op) considerado no item 1? 
E sobre a estabilidade do SLITC modificado, usando C1 = 1 mF e R2 = 500 k�? 
 
5. Determine a saída do sistema da Figura 1 nas três configurações de estabilidade apuradas no item 3 
(estável, instável e marginalmente estável) para uma entrada x(t) = u(t-1), considerando 0,0 � t � 5,0s. 
Considere as seguintes condições iniciais: y(0) = 0 e dy(0)/dt = 1. 
 
 
Exercícios 
 
1. Calcule a saída do sistema y(t) do sistema do item 1 do procedimento prático, usando o método clássico, 
com condições iniciais: d2y(0)/dt2 = -1 e dy(0)/dt = 2 e entrada x(t) = u(t) – u(t-3). 
 
2. Sabendo-se que o intervalo de tempo decorrido entre a aplicação do sinal na entrada do sistema e o início 
da resposta na saída do sistema é chamado de Constante de Tempo do Sistema, e é igual à duração da sua 
resposta ao impulso, Th, calcule a frequência de corte de um SLITC com h(t) = u(t) – u(t - 0,3). 
Dica: ver item 2.7-4 do livro-texto, Lathi. 
 
 
 
Questões 
 
1) Um SLITC com resposta ao impulso h(t) recebe uma entrada x(t): 
a. Determine e trace o gráfico da saída de estado nulo do sistema. 
b. Este sistema é estável? Este sistema é causal? Justifique suas respostas. 
 
)]2()([)(
)2()2()(
−−=
−−+=
tututtx
tututh
 
 
 
2) Dados digitais são transmitidos na taxa de 1 milhão de pulsos por segundo (Mbaud) em um certo canal de 
comunicação. A resposta ao degrau unitário s(t) deste canal é mostrada na Figura 2. 
a. Este canal pode transmitir os dados na taxa necessária? Explique sua resposta. 
b. Um sinal de áudio, com componentes frequenciais até 15 kHz, pode ser transmitido neste canal 
com uma fidelidade razoável? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Resposta ao Degrau Unitário do SLITC. 
 
 
 
 
s(t) 
 10-5 t