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LISTA DE EXERCÍCIOS 2014-2 (FSC5122) 1) Identifique o número de algarismos significativos em cada caso a seguir: a) 2,557 => 4 algarismos significativos (A. S.) b) 0,1416 => 4 A. S. c) 220×10 3 => 3 A. S. d) 0,0025 => 2 A. S. 2) Efetue as operações a seguir e arredonde segundo os critérios de arredondamento a) 5,64 + 12,394 =18,034=18,03 b) 125 - 23,15 = 101,85 = 102 c) 12,45 × 7,2 = 89,568 = 90 e) 3,52×4,7÷112 = 16,544 ÷ 112 = 0,147714285 = 0,15 f) 25,9 + 33,44 × 13,84 - 5,211 = 59,34 × 8,629 = = 59,34 × 2,937515957 = 174,3121969 = 174 2 2 3,5 2,456 6,031936 g) ln(250) × e + = 5,521460918× 33,11545196+ = 6,70820393345,0 = 182,8456738 + 0,899187928 = 183,7448617 = 1,8×10 3) Uma massa M é suspensa em uma mola, de massa m s e constante elástica k, e posta a oscilar. Se a massa m s não for desprezível, o período T do movimento será dado por s m (M + ) 3 T = 2π k . A seguir você encontra valores de período T e massa M medidos em laboratório: T (s) 0,720 0,001 0,718 0,001 0,725 0,001 0,717 0,001 0,720 0,001 M (kg) 100,21 0,01 100,05 0,01 99,86 0,01 99,98 0,01 100,00 0,01 Com base na tabela fornecida, e com m s = (15,00 0,01) g, determine: a) O valor mais provável de T e M; b) o erro aleatório provável de T e M; c) o valor da constante elástica k; d) o erro propagado no cálculo de k. e) Escreva todos os resultados de acordo com a teoria de erros. a) T = 0,7200s; M = 100,02kg b) (T) = 0,003082207001s m (T) 0,003082207001 (T) = = = 0,001378404875 2,2360679785 a E (T) = 0,001s (M) = 0,12708265kg 5 m (M) 0,12708265 (M) = = = 0,056833088 2,236067978 a E (M) = 0,06kg c) 2s s 2 m m (M + ) 4π (M + ) 3 3 T = 2π k = k T 2 2 2 0,001500 4π (100,02 + ) 4π (100,020500) 3948,6510683 k = = = = 7616,996659 0,7200 0,5184 0,5184 2 k = 7617kg/s = 7617N/m d) s s k k k k T+ M + m T M m esc a esc a s esc s T = E (T) + E (T) = 0,001 + 0,001 = 0,002s M = E (M) + E (M) = 0,01 + 0,06 = 0,07kg m = E (m ) = 0,00001kg 0 002 0 07 0 00001 2 2 2 -3s 2 2 m 4π 4π k 4π (M + )(-2T ) , + , + , 3 T 3T 2 2 3 2 0,0015 -8π (100,02 + ) 4π3 k 0,002+ 0,07 + 25,38478498 0,00001 0,7200 0,7200 k -21158,32405 0,002+ 76,15435495 0,07 + 25,38478498 0,00001 1 2 1 k 42,31664811+ 5,330804846 + 0,0002538478498 k = 47,6477068 k = 5×10 kg/s = 5×10 N/m e) 3 T = (0,720 ± 0,002)s; M = (100,02 ± 0,07)kg; k = (7,62 0,05)×10 N/m 4) Linearize as equações abaixo, ou seja, reescreva as equações propostas na forma Y = A + B.X, especificando Y, X, A (coeficiente linear) e B (coeficiente angular) em cada caso. a) f = G m com G uma constante. f = G . m + 0 Y= B . X + A Y = f X = m A = 0 B = G ) 1 1 2 2 2 k F = C + com C e k constantes. r F = C + k. r Y = A + B.X Y = F X = r A = C B = k b 2 2 2 2 2 k 1 1 2 k 1 k k 1 1 1 c) T = k .a onde k e k são constantes. Aplicando logaritmo nos dois lados da equação T = k .a , temos: log T = log(k .a ) = log k + log a log T = log k + k .log a Y = A 1 2 + B . X Y = log T X = log a A = log k B = k 1 .v 0 0 .v 0 .v 0 0 0 d) F = F e onde F e constantes. Aplicando logaritmo natural aos dois lados da equação F = F e : ln F = ln F + lne = ln F + .v lne ln F = ln F + .v Y = A + B.X 0 Y = lnF X = v A = ln F B = 0 0 0 0 0 ) . . . . 0 0 0 0 L = L 1 T com L e constantes. L = L 1 T = L + L T L = L + L T Y = A + B . X Y = L X = T A = L B = L e 5) Em uma experiência mediu-se a massa (m) e o volume (V) de diversos corpos do mes- mo material, obtendo-se a tabela a seguir. m (g) 42,00 67,15 83,93 100,80 125,90 151,90 168,00 V (cm 3 ) 5,0 8,0 10,0 12,0 15,0 18,0 20,0 A relação entre essas grandezas é dada pela equação m μ = V , onde µ é a massa específica do material. Assumindo a massa como variável dependente: a) Linearize a equação, identificando os coeficientes linear e angular da mesma. b) Construa, em papel milimetrado, o gráfico para a equação linearizada. c) Usando o método de triangulação (não utilize mínimos quadrados), determine a massa específica do material utilizado na experiência. a) Isolando m na equação da massa específica, obtemos m = μ .V . Comparando com a equação da reta, obtemos: m = μ .V + 0 Y = B . X + A Y = m X = V A 0 B = μ b) GRÁFICO: Determinação das escalas: Assumindo o papel com o eixo horizontal com 18cm e o vertical com 28cm (papel milime- trado comum), temos 3 x 3 20,0 - 5,0 E = = 0,833333cm /cm do eixo. 18 Escolhemos então uma escala onde 1cm de papel corresponde a 1cm de volume. y 168,00 - 42,00 E = = 4,5g/cm do eixo. 28 Escolhemos então uma escala onde 1cm de papel corresponde a 5g de massa. Com essas escalas, podemos iniciar o eixo Y em 40,00g e o eixo X em 4,0 cm 3 . O gráfico obtido está na página seguinte. c) A partir do gráfico, escolhemos os pontos P 1 (6,0; 50,30) e P 2 (19,0; 159,50). Como 32 1 2 1 3 Y -Y 159,50-50,30 109,20 B = = = = 8,4000g/cm X -X 19,0-6,0 13,0 = B = 8,4000g/cm . Como não calculamos o erro no parâmetro angular, usamos o critério de que o número de algarismos significativos de B não será menor que o da medida da tabela com o menor número de algarismos significativos nem maior que o da medida com o maior número de algarismos significativos. Neste exercício, B pode ter de 2 a 5 algarismos significativos. O cálculo do parâmetro linear não foi pedido e, na linearização, foi assumido como A = 0. Escolhendo o ponto P 2 , temos: 159,50 = A + 8,4000 19,00 A = 159,50 - 159,60 A = - 0,10g. Esse resultado de A está relacionado ao fato de que nossas medições não são exatas. GRÁFICO QUESTÃO 5 6) Sabe-se que a posição S de um objeto varia com o tempo de acordo com a tabela de dados abaixo: S (cm) 20,20 28,17 40,00 51,28 95,24 t (s) 1,214 1,451 1,717 1,919 2,715 A equação teórica que deve relacionar essas duas variáveis pode ser escrita na forma: 2 0 1 S = S + a t 2 , onde S 0 e a são duas constantes. a) Linearize a equação acima, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os coeficientes linear e angular. b) Para os dados obtidos, determine a equação da melhor reta através do método dos mínimos quadrados. Forneça os valores dos coeficientes angular e linear com as suas respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos. c) Faça um gráfico a partir dos dados. d) Represente no mesmo gráfico do item anterior, a melhor reta ajustada. e) A partir dos resultados encontrados para a melhor reta,escreva os valores de S 0 e a com suas unidades e número adequado de algarismos significativo. 2 0 2 0 1 a) S = S + a.t 2 Y = A + B . X Y = S X = t A = S 1 B = a 2 b) Cálculo da equação da melhor reta: Como vemos, a variável X corresponde a t 2 ; assim, precisamos construir uma nova tabela, com as variáveis linearizadas: Y [= S (cm)] 20,20 28,17 40,00 51,28 95,24 X [= t 2 (s 2 )] 1,474 2,105 2,948 3,683 7,371 Com os dados da tabela acima e com as equações para A e B da melhor reta, obtemos os valores a seguir. 2 2 2 X = 17,581 X = 309,091561 X = 83,190535 XY = 1097,87093 Y = 234,89 N = 5 A = 2,236135643cm B = 12,72449359cm/s r = 0,99902 Equação da melhor reta: 2 S = 2,24 + 12,72 t . c) GRÁFICO: Construímos o gráfico para os dados da tabela linearizada. Com os valores máximos e mínimos de cada uma das variáveis, determinamos as escalas para os eixos X (= t 2 ) e Y (= S), encontrando: 2 x 2 7,371 - 1,474 E = = 0,327777777s /cm do eixo. 18 Escolhemos então uma escala onde 1cm de papel corresponde a 0,4s . y 95,24 - 20,20 E = = 2,68cm/cm do eixo. 28 Escolhemos então uma escala onde 1cm de papel corresponde a 4cm de deslocamento. d) REPRESENTAÇÃO DA MELHOR RETA: Construímos o gráfico com essas escalas e re- presentamos os pontos da tabela já linearizada. Com a equação obtida no item anterior, calculamos dois pontos da melhor reta, P 1 (1,800; 25,14); P 2 (6,200; 81,13). Encontra- mos esses pontos no gráfico (representados por um quadrado cada um) e traçamos a reta passando por eles. e) Da linearização, 0 2 A = S = 2,24cm 1 B = a a = 2B = 2 × 12,72 = 25,44cm/s . 2 GRÁFICO DA QUESTÃO 6 7) Em uma reação química, a massa (m) de um determinado produto da reação cresce como função do tempo (t), de acordo com a tabela abaixo: m (g) 2,0 3,4 5,2 8,4 13,0 20,6 32,4 50,1 80,6 126,0 t (s) 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 Um modelo teórico propõe a expressão k t 0m = m e para descrever o crescimento da mas- sa da amostra. a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os parâmetros linear e angular. b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel semilog (monolog). c) Determine a partir do gráfico, os valores de m 0 e k, com suas respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos. k.t 0 k.t 0 0 1 0 a) Linearização Aplicando logaritmo natural aos dois lados da equação m = m e : ln m = ln m + lne = ln F + k.t lne ln m = ln m + k.t Y = A + B.X Y = ln m X = t A = ln m 0 B = k b) GRÁFICO (na próxima página). A partir da tabela encontramos para X (linear) uma escala 1:10; na escala logarítmica (Y), representamos os valores de m diretamente (como a escala está logaritmada, ela represen- ta os valores dos logaritmos). NÃO SE CALCULA OS LOGARITMOS DA TABELA!!! Uma vez representados todos os pontos experimentais, traçamos uma reta que passe entre eles (não é preciso calcular a melhor reta). Escolhemos então dois pontos (que não per- tençam à tabela) dessa reta e calculamos os parâmetros A e B correspondentes à lineari- zação. c) A partir do gráfico, escolhemos os pontos do gráfico: P 1 (2,0; 1,4) e P 2 (87,0; 70,0). Cálculo de B: 2 1 2 1 2 1 2 1 -1 Y - Y ln m - ln m ln 70,0 - ln1,4 ln(70,0/1,4) B = = = = X - X t - t 87,0 - 2,0 85,0 3,912023005 B = = 0,0460238s 85,0 B = 0,04602s -1 Cálculo de A e de m 0 (A = ln m 0 ): Escolhendo o ponto P 2 (87,0; 70,0): ln 70,0 = A + 0,04602 . 87,0 A = 4,248495242 – 4,004070606 = 0,244755242 A =ln m 0 m 0 = e A = e 0,244755242 = 1,277308643 = 1,3g GRÁFICO DA QUESTÃO 7 8) A terceira lei de Kepler, também chamada lei dos períodos (T,) está relacionada com as distâncias médias (R) ao Sol, segundo a relação 2 4π T = R GM b , onde G = 6,67 × 10 -11 kg m 3 /s 2 é a constante universal da gravitação e M é a massa do Sol. Os valores de T e R para cinco planetas do sistema solar estão colocados na tabela a seguir. Vênus Terra Marte Júpiter Saturno T (s) 19,408 x 10 6 31,557 x 10 6 59,327 x 10 6 375,53 x 10 6 929,06 x 10 6 R (m) 10,80 x 10 10 15,00 x 10 10 22,78 x 10 10 77,81 x 10 10 142,40 X 10 10 a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente, bem como os parâmetros linear e angular. b) Faça o gráfico usando papel log-log (dilog). c) Determine, a partir do gráfico, os valores de b e da massa do Sol. a) Linearização 2 b 2 2 b b 2 4π Aplicando logaritmo nos dois lados da equação T = R , temos: GM 4π 4π log T = log( R ) = log + log R GM GM 4π log T = log + b.log R GM Y = A + B . X Y = log T X = 2 log R 4π A = log GM B = b b) Gráfico: a partir da linearização, representamos (em papel dilog) os valores de T no eixo Y e os de R no eixo X. Após encontrarmos os pontos experimentais, traçamos uma reta por eles (não precisa ser a melhor reta) e escolhemos dois pares de pontos da reta (que não pertençam à tabela), P 1 (8,80×10 10 ; 14,000×10 6 ) e P 2 (120,00×10 10 ; 720,000×10 6 ). c) Determinação de b e da massa do Sol: 6 6 10 10 2 1 2 1 2 1 2 1 6 6 10 10 Y - Y log T - log T log 720,000 10 - log 14,000 10 B = = = X - X log R - log R log 120,00 10 - log 8,80 10 log(720,000×10 /14,000×10 ) 1,711204461 B = = = log (120,00×10 /8,80×10 ) 1,134698574 1,508069632 B pode ter 4 ou 5 algarismos significativos. Da linearização B = b. Como b é um expoente, b é adimensional. Assim, b = 1,5081 (adimensional). Cálculo da massa do Sol: Escolhendo o ponto P 2 , temos: 6 10 2 2 -9,359280741 -10 2 - log 720,000×10 = A + 1,5081×log120,00×10 8,857332496 = A + 1,5081×12,07918125 4π A = log = 8,857332496 - 18,21661324 = -9,359280741 GM 4π = 10 = 4,37239369×10 GM 4π M = G×(4,37239369×10 2 2 2 10 -10-1 30 1 4π = ) ×(4,37239369×10 ) M = 3,10×10 6,67×10 kg. OBSERVAÇÃO: Utilizando o método dos mínimos quadrados, encontramos -30 -30 A=-9,277908723 B=1,501307276 Com esse vaor de A encontramos, para a massa do Sol: M = 2,13×10 kg O valor assumido é M = 1,99×10 kg 9) Faça as leituras das medidas nas figuras abaixo e anote os resultados de acordo com a teoria de erros. Leitura: (14,81±0,01)g Leitura: (21,80±0,05)mm Leitura: (10,523±0,005)mm
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