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Solução da Lista de Exercícios 14.2

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LISTA DE EXERCÍCIOS 2014-2 (FSC5122) 
 
 
1) Identifique o número de algarismos significativos em cada caso a seguir: 
a) 2,557 => 4 algarismos significativos (A. S.) 
b) 0,1416 => 4 A. S. 
c) 220×10
3 
=> 3 A. S. 
d) 0,0025 => 2 A. S. 
 
2) Efetue as operações a seguir e arredonde segundo os critérios de arredondamento 
a) 
5,64 + 12,394 =18,034=18,03
 
b) 
125 - 23,15 = 101,85 = 102
 
c) 
12,45 × 7,2 = 89,568 = 90
 
e) 
3,52×4,7÷112 = 16,544 ÷ 112 = 0,147714285 = 0,15
 
     f) 25,9 + 33,44 × 13,84 - 5,211 = 59,34 × 8,629 =
 = 59,34 × 2,937515957 = 174,3121969 = 174
 
2
2
3,5
2,456 6,031936
g) ln(250) × e + = 5,521460918× 33,11545196+ =
6,70820393345,0
 = 182,8456738 + 0,899187928 = 183,7448617 = 1,8×10
 
 
3) Uma massa M é suspensa em uma mola, de massa m
s
 e constante elástica k, e posta a 
oscilar. Se a massa m
s
 não for desprezível, o período T do movimento será dado por 
s
m
(M + )
3
T = 2π 
k
. A seguir você encontra valores de período T e massa M medidos 
em laboratório: 
T (s) 0,720  0,001 0,718  0,001 0,725  0,001 0,717  0,001 0,720  0,001 
M (kg) 100,21  0,01 100,05  0,01 99,86  0,01 99,98  0,01 100,00  0,01 
 
Com base na tabela fornecida, e com m
s
 = (15,00 0,01) g, determine: 
a) O valor mais provável de T e M; 
b) o erro aleatório provável de T e M; 
c) o valor da constante elástica k; 
d) o erro propagado no cálculo de k. 
e) Escreva todos os resultados de acordo com a teoria de erros. 
 
a) 
T = 0,7200s; M = 100,02kg
 
b) 
(T) = 0,003082207001s 
 
m
(T) 0,003082207001
(T) = = = 0,001378404875
2,2360679785
 
 
a
E (T) = 0,001s
 
 
(M) = 0,12708265kg
 
5
m
(M) 0,12708265
(M) = = = 0,056833088
2,236067978
 
 
a
E (M) = 0,06kg
 
c) 
2s s
2
m m
(M + ) 4π (M + )
3 3
T = 2π k = 
k T

 
2
2
2
0,001500
4π (100,02 + )
4π (100,020500) 3948,6510683
k = = = = 7616,996659 
0,7200 0,5184 0,5184
 
2
k = 7617kg/s = 7617N/m
 
d) 
s
s
k k k
k T+ M + m
T M m
   
  

  
 
 
esc a
esc a
s esc s
T = E (T) + E (T) = 0,001 + 0,001 = 0,002s
M = E (M) + E (M) = 0,01 + 0,06 = 0,07kg
m = E (m ) = 0,00001kg



 
 
0 002 0 07 0 00001
2 2
2 -3s
2 2
m 4π 4π
k 4π (M + )(-2T ) , + , + ,
3 T 3T
 
 
 
2
2
3 2
0,0015
-8π (100,02 + )
4π3
k 0,002+ 0,07 + 25,38478498 0,00001
0,7200 0,7200
  
 
k -21158,32405 0,002+ 76,15435495 0,07 + 25,38478498 0,00001 
 
 
1 2 1
k 42,31664811+ 5,330804846 + 0,0002538478498
k = 47,6477068
k = 5×10 kg/s = 5×10 N/m




 
e) 
3
T = (0,720 ± 0,002)s; M = (100,02 ± 0,07)kg; k = (7,62 0,05)×10 N/m
 
 
4) Linearize as equações abaixo, ou seja, reescreva as equações propostas na forma 
Y = A + B.X, especificando Y, X, A (coeficiente linear) e B (coeficiente angular) em cada 
caso. 
a) f = G m com G uma constante.
 f = G . m + 0
 Y= B . X + A
Y = f
X = m 
 
A = 0
B = G







 
)
1
1
2
2
2
k
 F = C + com C e k constantes.
r
 F = C + k.
r
 Y = A + B.X
Y = F
X = 
 r
A = C
B = k
b







 
2
2
2
2 2
k
1 1 2
k
1
k k
1 1
1
c) T = k .a onde k e k são constantes.
 Aplicando logaritmo nos dois lados da equação T = k .a , temos:
 log T = log(k .a ) = log k + log a 
 log T = log k + k .log a
 Y = A 
1
2
 + B . X
Y = log T
X = log a
 
A = log k
B = k






 
1
.v
0 0
.v
0
.v
0 0
0
d) F = F e onde F e constantes.
 Aplicando logaritmo natural aos dois lados da equação F = F e :
 ln F = ln F + lne = ln F + .v lne
 ln F = ln F + .v
 Y = A + B.X
 






0
Y = lnF
X = v
 
A = ln F
B = 






 
 
 
  0 0
0 0
0
) .
. .
.
0 0
0
0
 L = L 1 T com L e constantes.
 L = L 1 T = L + L T
 L = L + L T
 Y = A + B . X
Y = L
X = T
 
A = L 
B = L
e  
 


 
  


 



 
 
5) Em uma experiência mediu-se a massa (m) e o volume (V) de diversos corpos do mes-
mo material, obtendo-se a tabela a seguir. 
m (g) 42,00 67,15 83,93 100,80 125,90 151,90 168,00 
V (cm
3
) 5,0 8,0 10,0 12,0 15,0 18,0 20,0 
A relação entre essas grandezas é dada pela equação 
m
μ = 
V
, onde µ é a massa específica 
do material. Assumindo a massa como variável dependente: 
a) Linearize a equação, identificando os coeficientes linear e angular da mesma. 
b) Construa, em papel milimetrado, o gráfico para a equação linearizada. 
c) Usando o método de triangulação (não utilize mínimos quadrados), determine a massa 
específica do material utilizado na experiência. 
 
a) Isolando m na equação da massa específica, obtemos 
m = μ .V
. Comparando com a 
equação da reta, obtemos: 
m = μ .V + 0
Y = B . X + A
Y = m
X = V
A 0
B = μ






 
b) GRÁFICO: 
Determinação das escalas: 
Assumindo o papel com o eixo horizontal com 18cm e o vertical com 28cm (papel milime-
trado comum), temos 
3
x
3
20,0 - 5,0
E = = 0,833333cm /cm do eixo.
18
Escolhemos então uma escala onde 1cm de papel corresponde a 1cm de volume.
 
y
168,00 - 42,00
E = = 4,5g/cm do eixo.
28
Escolhemos então uma escala onde 1cm de papel corresponde a 5g de massa.
 
Com essas escalas, podemos iniciar o eixo Y em 40,00g e o eixo X em 4,0 cm
3
. 
O gráfico obtido está na página seguinte. 
 
c) A partir do gráfico, escolhemos os pontos P
1
(6,0; 50,30) e P
2
(19,0; 159,50). Como 
32 1
2 1
3
Y -Y 159,50-50,30 109,20
B = = = = 8,4000g/cm
X -X 19,0-6,0 13,0
 = B = 8,4000g/cm .
 
Como não calculamos o erro no parâmetro angular, usamos o critério de que o número de 
algarismos significativos de B não será menor que o da medida da tabela com o menor 
número de algarismos significativos nem maior que o da medida com o maior número de 
algarismos significativos. Neste exercício, B pode ter de 2 a 5 algarismos significativos. 
O cálculo do parâmetro linear não foi pedido e, na linearização, foi assumido como A = 0. 
Escolhendo o ponto P
2
, temos: 
159,50 = A + 8,4000 19,00 A = 159,50 - 159,60
A = - 0,10g.
 
 
Esse resultado de A está relacionado ao fato de que nossas medições não são exatas. 
 
 
GRÁFICO QUESTÃO 5 
 
 
6) Sabe-se que a posição S de um objeto varia com o tempo de acordo com a tabela de 
dados abaixo: 
S (cm) 20,20 28,17 40,00 51,28 95,24 
t (s) 1,214 1,451 1,717 1,919 2,715 
 
A equação teórica que deve relacionar essas duas variáveis pode ser escrita na forma: 
2
0
1
S = S + a t
2
, onde S
0
 e a são duas constantes. 
a) Linearize a equação acima, identificando as variáveis dependente e independente, bem 
como os coeficientes linear e angular. 
b) Para os dados obtidos, determine a equação da melhor reta através do método dos 
mínimos quadrados. Forneça os valores dos coeficientes angular e linear com as suas 
respectivas unidades e número adequado de algarismos significativos. 
c) Faça um gráfico a partir dos dados. 
d) Represente no mesmo gráfico do item anterior, a melhor reta ajustada. 
e) A partir dos resultados encontrados para a melhor reta,escreva os valores de S
0
 e a 
com suas unidades e número adequado de algarismos significativo. 
 
2
0
2
0
1
a) S = S + a.t 
2
 Y = A + B . X 
Y = S
X = t
 A = S
1
B = a
2







 
 
b) Cálculo da equação da melhor reta: 
 
 Como vemos, a variável X corresponde a t
2
; assim, precisamos construir uma nova 
tabela, com as variáveis linearizadas: 
 
 
Y [= S (cm)] 20,20 28,17 40,00 51,28 95,24 
X [= t
2
 (s
2
)] 1,474 2,105 2,948 3,683 7,371 
 
Com os dados da tabela acima e com as equações para A e B da melhor reta, obtemos os 
valores a seguir. 
 
 
2
2
2
X = 17,581
X = 309,091561
X = 83,190535
XY = 1097,87093
Y = 234,89
N = 5
A = 2,236135643cm
B = 12,72449359cm/s
 r = 0,99902





 
Equação da melhor reta: 
2
S = 2,24 + 12,72 t
. 
c) GRÁFICO: Construímos o gráfico para os dados da tabela linearizada. Com os valores 
máximos e mínimos de cada uma das variáveis, determinamos as escalas para os eixos 
X (= t
2
) e Y (= S), encontrando: 
2
x
2
7,371 - 1,474
E = = 0,327777777s /cm do eixo.
18
Escolhemos então uma escala onde 1cm de papel corresponde a 0,4s .
 
y
95,24 - 20,20
E = = 2,68cm/cm do eixo.
28
Escolhemos então uma escala onde 1cm de papel corresponde a 4cm de deslocamento.
 
d) REPRESENTAÇÃO DA MELHOR RETA: Construímos o gráfico com essas escalas e re-
presentamos os pontos da tabela já linearizada. Com a equação obtida no item anterior, 
calculamos dois pontos da melhor reta, P
1
(1,800; 25,14); P
2
(6,200; 81,13). Encontra-
mos esses pontos no gráfico (representados por um quadrado cada um) e traçamos a reta 
passando por eles. 
e) Da linearização, 
0
2
A = S = 2,24cm
1
 B = a a = 2B = 2 × 12,72 = 25,44cm/s .
2

 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DA QUESTÃO 6 
 
 
7) Em uma reação química, a massa (m) de um determinado produto da reação cresce 
como função do tempo (t), de acordo com a tabela abaixo: 
m (g) 2,0 3,4 5,2 8,4 13,0 20,6 32,4 50,1 80,6 126,0 
t (s) 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0 100,0 
 
Um modelo teórico propõe a expressão 
k t
0m = m e
 para descrever o crescimento da mas-
sa da amostra. 
a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente, 
bem como os parâmetros linear e angular. 
b) Construa o gráfico para a tabela anterior, em papel semilog (monolog). 
c) Determine a partir do gráfico, os valores de m
0
 e k, com suas respectivas unidades e 
número adequado de algarismos significativos. 
 
k.t
0
k.t
0 0
1
0
a) Linearização
 Aplicando logaritmo natural aos dois lados da equação m = m e :
 ln m = ln m + lne = ln F + k.t lne
 ln m = ln m + k.t
 Y = A + B.X
Y = ln m
X = t
 
A = ln m
0
B = k






 
b) GRÁFICO (na próxima página). 
A partir da tabela encontramos para X (linear) uma escala 1:10; na escala logarítmica (Y), 
representamos os valores de m diretamente (como a escala está logaritmada, ela represen-
ta os valores dos logaritmos). NÃO SE CALCULA OS LOGARITMOS DA TABELA!!! 
Uma vez representados todos os pontos experimentais, traçamos uma reta que passe entre 
eles (não é preciso calcular a melhor reta). Escolhemos então dois pontos (que não per-
tençam à tabela) dessa reta e calculamos os parâmetros A e B correspondentes à lineari-
zação. 
 
c) A partir do gráfico, escolhemos os pontos do gráfico: P
1
(2,0; 1,4) e P
2
(87,0; 70,0). 
Cálculo de B: 
2 1 2 1
2 1 2 1
-1
Y - Y ln m - ln m ln 70,0 - ln1,4 ln(70,0/1,4)
B = = = = 
X - X t - t 87,0 - 2,0 85,0
3,912023005
B = = 0,0460238s
85,0
 
B = 0,04602s
-1
 
 
Cálculo de A e de m
0
 (A = ln m
0
): 
Escolhendo o ponto P
2
(87,0; 70,0): 
ln 70,0 = A + 0,04602 . 87,0 
A = 4,248495242 – 4,004070606 = 0,244755242 
A =ln m
0
 
m
0
 = e
A
 = e
0,244755242
 = 1,277308643 = 1,3g 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DA QUESTÃO 7 
 
8) A terceira lei de Kepler, também chamada lei dos períodos (T,) está relacionada com as 
distâncias médias (R) ao Sol, segundo a relação 2
4π
T = R
GM
b
, onde G = 6,67 × 10
-11 
kg 
m
3
/s
2
 é a constante universal da gravitação e M é a massa do Sol. 
 Os valores de T e R para cinco planetas do sistema solar estão colocados na tabela a 
seguir. 
 Vênus Terra Marte Júpiter Saturno 
T (s) 19,408 x 10
6
 31,557 x 10
6
 59,327 x 10
6
 375,53 x 10
6
 929,06 x 10
6 
R (m) 10,80 x 10
10
 15,00 x 10
10
 22,78 x 10
10
 77,81 x 10
10 
142,40 X 10
10 
 
a) Linearize a equação dada acima, identificando as variáveis dependente e independente, 
bem como os parâmetros linear e angular. 
b) Faça o gráfico usando papel log-log (dilog). 
c) Determine, a partir do gráfico, os valores de b e da massa do Sol. 
 
a) Linearização 
2
b
2 2
b b
2
4π
 Aplicando logaritmo nos dois lados da equação T = R , temos:
GM
4π 4π
 log T = log( R ) = log + log R 
GM GM
4π
 log T = log + b.log R 
GM
 Y = A + B . X
Y = log T
X = 
 2
log R
4π
A = log 
GM
B = b







 
b) Gráfico: a partir da linearização, representamos (em papel dilog) os valores de T no eixo 
Y e os de R no eixo X. Após encontrarmos os pontos experimentais, traçamos uma reta por 
eles (não precisa ser a melhor reta) e escolhemos dois pares de pontos da reta (que não 
pertençam à tabela), P
1
(8,80×10
10
; 14,000×10
6
) e P
2
(120,00×10
10
; 720,000×10
6
). 
c) Determinação de b e da massa do Sol: 
6 6
10 10
2 1 2 1
2 1 2 1
6 6
10 10
Y - Y log T - log T log 720,000 10 - log 14,000 10
B = = = 
X - X log R - log R log 120,00 10 - log 8,80 10
log(720,000×10 /14,000×10 ) 1,711204461
B = = =
log (120,00×10 /8,80×10 ) 1,134698574
 
 
 1,508069632
 
B pode ter 4 ou 5 algarismos significativos. 
Da linearização B = b. 
Como b é um expoente, b é adimensional. Assim, 
b = 1,5081 (adimensional). 
 
Cálculo da massa do Sol: 
Escolhendo o ponto P
2
, temos: 
6 10
2
2
-9,359280741 -10
2
-
log 720,000×10 = A + 1,5081×log120,00×10
8,857332496 = A + 1,5081×12,07918125
4π
A = log = 8,857332496 - 18,21661324 = -9,359280741
GM
4π
 = 10 = 4,37239369×10
GM
4π
M = 
G×(4,37239369×10
2 2
2
10 -10-1
30
1
4π
 = 
) ×(4,37239369×10 )
M = 3,10×10
6,67×10
kg.
 
 
OBSERVAÇÃO: Utilizando o método dos mínimos quadrados, encontramos 
-30
-30
A=-9,277908723
B=1,501307276
Com esse vaor de A encontramos, para a massa do Sol:
M = 2,13×10 kg
O valor assumido é
M = 1,99×10 kg
 
 
9) Faça as leituras das medidas nas figuras abaixo e anote os resultados de acordo com a 
teoria de erros. 
 
 Leitura: (14,81±0,01)g 
Leitura: (21,80±0,05)mm 
 Leitura: (10,523±0,005)mm

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