CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 3 Semestre
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CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 3 Semestre


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CALCULO DE FUNÇÕES DE
VARIAS VARIÁVEIS
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H
E
7
ALEXANDRE D. FRUGOLI
CHRISTIANE M. DOI
MIRTES V. MARIANO
ÍNDICE
CAPÍTULO 1. REVISÃO. DERIVADAS. INTEGRAIS
CAPITULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
CAPÍTULO 3. DERIVADAS PARCIAIS
CAPÍTULO 4. DERIVADAS DIRECIONAIS
CAPÍTULO 5. INTEGRAIS MÚLTIPLAS
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PAG.61
PAG.73
CAPITULO 1. REVISÃO
1. 1. DERIVADAS
1.1.1 Regras e Prooriedades
(cy= 0 , onde c é uma constante
rea l
(Xy= l
(x"y= (cos xy= -senx
(exy = ©x
(tgxy= seca x
(sec xy = sec tgx
(senxy = cos x
(axy= a* Ina
(cotgxy = -cossec: x (cos sec xy = - cos sec x. cot gx
(f(x) + g(x)y = f' (x) + g' (x)
(cf(x)y = cf (x)
Exemplo l.Aderivadade y=4x2 5x+6é y' =::;8x-5
Exemplo 2. Aderivadade y=1/x =xjé y' = dy : l
Exemplo 3. A derivada de f(x) = senx +4cosxé f(x) = cosx-4senx
Exemplo 4. A derivada de f(x)=41nxé g; = 4
Exemplo 5. A derivada de
Exemolo 6. A derivada de } : 4x-'é y' :: - 4.(-Q.x-S : -:Xy; X
4
Exemplo 7. A derivada de y x + tgxé y
1.1.2. Regra do Produto e Refira do Quociente
Regra do Produto
(u.vy = u' v + uv'
Reg ra do Quociente
:l : -'F"l
Exemplo 1. Considere a função y = xJ cosx . Para encontrarmos a derivada dessa
função, devemos utilizar a regra do produto: (u.vy= u'.v + uv
Fazemos u = x3, com u' = 3x2, e v = cosx, com v' = --seno
Assim :
y' = 3x2 cos x . x3senx
y'= x2(3cosx xsenx)
Exemplo 2. Considere a função y - senx . Para encontrarmos a derivada dessa
x' + 2x
Fazemos u= senx, com u' = cosx, e v= x2+2x, com v' = 2x+2
Assim:
cos x.(xz + 2x) - senx.(2x + 2)
(x2 + 2x)2
função, devemos utilizar a regra do quociente: u' .v -- u.v'U
V
y
1. 1.3. Reta Tangente
A neta tangente a uma função y=f(x) em x=a é a reta que passa pelo ponto
(a, f(a)) e tem inclinação igual a f'(a).
5
Exemplo 1. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = xz 5x +6 no
ponto de abscissa x=2
Equação da reta: y=a.x+b, onde a é o coeficiente angular da reta (inclinação) e
b é o seu coeficiente linear.
a = f' (2)
f(X) = x2 - 5X + 6
f' (x) = 2x - 5
f' (2) : 2.2 - 5 : -1
f(x) = x2 - 5x + 6
f(2) = 22 - 5.2 + 6
f(2) = 0
(2. 0) ponto comum a reta e a parábolaa
Logo, y=-lx+b e. para encontrarmos o coeficiente linear, basta substituirmos
um ponto da reta na equação. O ponto (2, 0) pertence a neta
y = -x + b
0 = -2 + b +::> b = 2
A rega tangente ao gráfico de y=xZ 5x+6no ponto de abscissa x=2 é
y=-x+2.
Representação Gráfica:
7
Y
6
S
4
5x + 6
\
\
\
0
y = -x + 2
1.1.4. Taxa de Variação
Considere a situação a seguir
'A posição de uma partícula é dada pela equação s(t)=t3 6t2+20t, onde té
medido em segundos e s é medido em metros.
Para determinarmos a posição da partícula no instante em t=2 segundos, basta
substituirmos t=2 na função s(t) = t3 6t2 +20t, conforme segue:
s(2) = 23 6.2Z +20.2 ; 24metros.
Para determinarmos a velocidade da partícula no instante t=2 segundos,
devemos encontrar. primeiramente, a derivada da função s(t) = t3 . 6t2 +20t .
Velocidade = taxa de variação (instantânea) do espaço pelo tempo, ou seja,
v(t)
v(t) = !1: = 3t2 - 12t + 20
V(2) = 3.22 12.2+20 = 8 m/s
Exemplo. Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O volume
de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é
dado por V(t) = 18tz - 60(1 +10000
a) Determine o volume de água no reservatório no instante t = 3 horas
V(t) = 18t2 600t + 10000
V(2) = 18.32 600.3 + 10000
v(2) = 8362 L
b) Determine a taxa de variação do volume de água no reservatório após 3 horas
do escoamento.
V' (t) = 36t - 600
V' (2) - 36.3 - 600 ; -492 L/h
7
1.1.5. Derivada da função composta
Tabela de Derivadas -- Funções compostas
u=u(x)
(e' y = u'.e' (in u)'= g
U
(cos uy= -u' menu (senuy = u' cos u
(u')' = n.u'-l.u
Exemplo 1. A derivada da função y = ©5x é y': 5e5x
Exemplo 2. A derivada da função y - in(x2 +lO) é y'= 2x
x2 + lO
Exemplo 4. A derivada da função f(x) = sen(8x) é f'(x) = 8cos(8x)
Exemplo 5. A derivada da função f(x) =(x4 +2x)6 é f'(x) = 6(x4 + 2x)S(4x3 + 2)
Exemplo 3. A derivada da função y = cos é y';- l sen
Exemplo 6. O raio de um círculo cresce à razão de 2 cm/s. Qual a taxa de
crescimento da área do círculo (A = iE.r2) em relação ao tempo, quando r é igual
a 20 cm?
dA dA dr
dt dr dt
dA . dr
=-- = 2xr. =-
dt dt
80n cmz / s
1.1.6. Exercícios Propostos
1. Encontre as derivadas das funções a seguir
a) y = xõ - ./5
c) s = cos 0 + 6sen0
d) f(x)
X
e) y
f) y = xõ Ji
g) y = 2er + 16r
Vt
10
2. Encontre as derivadas das funções abaixo
a) y = (x3 +lOx)e*
b) y = 4xsenx
c) y = (5x + lO)in x
d) y cos x
'' « :Ê=
3. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = x2 +4x no ponto de
abscíssa x=3.
4. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y=x3no ponto de
abscissa x= l
9
5. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = 1 no ponto de abscissa
6. Encontre as derivadas das funções compostas a seguir
a) y = 4e2x
b) f(x) = c0,5x
c) y = 3e
d) y = sen(4x + 12)
e) y = senx2
f) f(x) + 2x)
g) y = COS(2t + 4)
h) y = in(4x l 12)
i) y = in(x2 + 8)
j) y = sen2x
1) f(x) = (4x + 9)e2*
m) y = e4* cos(2x)
n) y = x in(2x + 4)
d « - !ull:lu
n « - sEL
Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O volume de
ua no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dado
r V(t) = 16.t2 - 1500.t + 12000
Determine o volume de água no reservatório no instante t = 3 horas.
Determine a taxa de variação do volume de água no reservatório após 3 horas
escoamento
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8. Uma bola é lançada para cima e sua altura (em metros) após t segundos é
h : 12t 2,4t2
a) Encontre a velocidade da bola após t segundos.
b) Encontre a velocidade da bola quando t=2 s.
9. O deslocamento de uma partícula é dado pela equação s(t) = 12 + locos(8nt),
sendo s medido em centímetros e t, em segundos. Qual a velocidade da partícula
quando t=2 segundos?
10. Suponha o número N de pessoas afetadas por dada doença depois de t dias
do seu início seja dado pela função N = 32t l-
a) Qual é a variação do número de pessoas afetadas pela doença em função do
tempo?
b) Quantas pessoas foram afetadas pela doença depois de 4 dias dos seu início.
3
11
1.2. INTEGRAIS
1.2.1. Primitivas
Uma primitiva da função f(x)=6x2é a função F(x)=2x3+12
(2x3 + 12y= 6x2
Uma primitiva da função f(x) = 6x2é a função F(x) = 2x3+ 1 , pois(2x3 +:y
Uma primitiva da função f(x)=6xZé a função F(x)=2x3+C,
(2x3 + Cy= 6x2
Utilizamos a notação abaixo.
16x2dx - 2x3 + C
pois
6x2
pois
1.2.2. Uso da Tabela e Propriedades
Tabela 3. Primitivas Imediatas
f cdx = cx + C
r !dx = in l x l +C
Í XndX = Xn+l + C, n :e -l
f cosxdx = senx + C
Í senxdx = cos x + Cfe*dx = e* + C
r seca xdx = tgx + C r sec x.tgxdx = sec x + C
1.2.2.1. Propriedades das Integrais
Í[f(x) + g(x)]dx = J f(x)dx+ f g(x)dx
J cf(x)dx = c.J f(x)dx
12
Exemplo 1. J(4x -6)dx = 2x2 -6x+C
Exemplo 2. J(2x+16)dx= x2 +16x+C
Exemplo 3. J(5cosx 12)dx=5senx 12x+C
Exemplo 4 = Jx2dx = g #= -- c
1.2.3 Integrais Definidas
Teorema Fundamental do Cálculo
b
f f(x)dx = F(b) F(a)
a
Exemplol. z(2x-10)dx=lx2 loxli =22-10.2-(12 10.1)= 7
Exemplo 2 e2 . eo : e2
1.2.3.1. Cálculo de Áreas
'T y=f(x}/
a f(x)>0 b x
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1.2.4. Integrais Dor substituição
[ r f(g( x)g' ( x)dx r f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C
u = g(x) du = g' (x)dx
Exemplo 1. fxcosx2dx = fcosu-J- ;Jcosudu = jjsenu +c = lsenxZ + C
U = Xz
]g ; :x - d. : 2xdx e xdx : .ÇF
Exemplo2. r4x+9 x:Jldu L f} du = -L in u + C4'u 4 lln(4x + 9) + C4 ' '
u = 4x + 9
:y- : 4dx H dx = !}
Exemplo 3. jx3sen(x4 +8)