OBMEP

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1. A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é
de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do
carro no momento de partida e no momento de chegada
de uma viagem feita por João. Quantos litros de gasolina
João gastou nesta viagem?
(A) 10
(B) 15
(C) 18
(D) 25
(E) 30
2. Uma folha de papel retangular, de 10 cm de largura por
24 cm de comprimento, foi dobrada de forma a obter uma
folha dupla, de 10 cm de largura por 12 cm de comprimento.
Em seguida, a folha dobrada foi cortada ao meio,
paralelamente à dobra, obtendo-se assim três pedaços
retangulares. Qual é a área do maior desses pedaços?
(A) 30 cm2
(B) 60 cm2
(C) 120 cm2
(D) 180 cm2
(E) 240 cm2
3. Dois amigos partem ao mesmo tempo do ponto P e se
afastam em direções que formam um ângulo de 60o,
conforme mostra a figura. Eles caminham em linha reta,
ambos com velocidade de 6 km/h. Qual será a distância
entre eles 1 minuto após a partida?
(A) 80 m
(B) 90 m
(C) 95 m
(D) 100 m
(E) 105 m
Nível 3 Ensino Médio
1ª FASE - 16 de agosto de 2005
É com grande alegria que recebemos a sua participação, a de seus professores e a de sua escola na OBMEP.
Encare as questões desta prova como quebra-cabeças interessantes e divirta-se com a busca de suas soluções.
Desejamos que você faça uma boa prova!
INSTRUÇÕES
1. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta (é preferível a caneta).
2. Preencha o cartão resposta com seu nome e data de nascimento e não se esqueça de assiná-lo.
3. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
4. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E), e apenas uma delas é correta.
5. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão resposta, preenchendo o espaço dentro do círculo correspondente.
6. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja a correta.
7. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
8. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
9. Ao final da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão resposta.
Nome do aluno (a):
P
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 C
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FR
J
A C D E
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
 
 
OBMEP 2005 NÍVEL 3 2
4. Para testar a qualidade de um combustível composto
apenas de gasolina e álcool, uma empresa recolheu oito
amostras em vários postos de gasolina. Para cada amostra
foi determinado o percentual de álcool e o resultado é
mostrado no gráfico abaixo. Em quantas dessas amostras
o percentual de álcool é maior que o percentual de gasolina?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
5. Mariana entrou na sala e viu no quadro-negro algumas
anotações da aula anterior, parcialmente apagadas,
conforme a figura. Qual número foi apagado na linha de
cima do quadro-negro?
(A) 11
(B) 12
(C) 13
(D) 20
(E) 22
6. Quantos números inteiros, múltiplos de 3, existem entre
1 e 2 005?
(A) 664
(B) 665
(C) 667
(D) 668
(E) 669
7. Os médicos recomendam, para um adulto, 800 mg de
cálcio por dia. Sabe-se que 200 ml de leite contêm 296 mg
de cálcio. Quando um adulto bebe 200 ml de leite, qual é o
percentual da dose diária recomendada de cálcio que ele está
ingerindo?
(A) 17%
(B) 27%
(C) 37%
(D) 47%
(E) 57%
8. Uma formiga está no ponto A da malha mostrada na figura.
A malha é formada por retângulos de 3 cm de largura por 4
cm de comprimento. A formiga só pode caminhar sobre os
lados ou sobre as diagonais dos retângulos. Qual é a menor
distância que a formiga deve percorrer para ir de A até B?
(A) 12 cm
(B) 14 cm
(C) 15 cm
(D) 17 cm
(E) 18 cm
9. Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 000 a 9 999.
Marcelo comprou todos os bilhetes nos quais o algarismo
sete aparece exatamente três vezes e o zero não aparece.
Quantos bilhetes Marcelo comprou?
(A) 32
(B) 36
(C) 45
(D) 46
(E) 48
10. No Brasil, usa-se a escala Celsius para medir
temperaturas e, em outros países, usa-se a escala
Fahrenheit. Para converter uma temperatura da escala
Fahrenheit para a Celsius , subtrai-se 32 do valor da
temperatura em graus Fahrenheit e multiplica-se o resultado
por 5/9. Qual dos gráficos representa a relação entre as
medidas de uma mesma temperatura em graus Fahrenheit
(indicados por oF) e em graus Celsius (indicados por oC)?
(A)
(B)
(C)
32 ºF
ºC
32 ºF
ºC
32
ºF
ºC
32 ºF
ºC
B
4
3
A
32
ºF
ºC
D)
(E)
 
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3OBMEP 2005 NÍVEL 3
11. Para fazer 24 pães, um padeiro usa exatamente
1 quilo de farinha de trigo, 6 ovos e 200 gramas de
manteiga. Qual é o maior número de pães que ele
conseguirá fazer com 12 quilos de farinha, 54 ovos e 3,6
quilos de manteiga?
(A) 200
(B) 216
(C) 228
(D) 300
(E) 432
12. Uma parede de 3 metros de altura por 9 metros de
comprimento foi inteiramente coberta com azulejos
quadrados de 10 cm de lado. Foram usados dois tipos de
azulejos: um totalmente branco e o outro preto e branco. A
figura representa o padrão usado, a partir do canto inferior
esquerdo da parede. Qual é a área da parede coberta com a
cor branca?
(A) 21 m2
(B) 22 m2
(C) 23 m2
(D) 24 m2
(E) 25 m2
13. Para cercar um terreno retangular de 60 metros
quadrados com uma cerca formada por dois fios de arame
foram usados 64 metros de arame. Qual é a diferença entre
o comprimento e a largura do terreno?
(A) 4 m
(B) 7 m
(C) 11 m
(D) 17 m
(E) 28 m
14. Uma escola resolveu construir uma pista de corrida,
formada por dois trechos retos de comprimento C e dois
trechos semicirculares de raio igual a 10 metros, conforme
indicado na figura (não se leva em conta a largura da pista).
Os alunos da escola propuseram cinco valores para C:
20 m, 25 m, 30 m, 35 m e 40 m. Para qual desses valores
de C a soma dos comprimentos dos trechos retos está mais
próxima da soma dos comprimentos dos trechos
semicirculares?
(A) 20 m
(B) 25 m
(C) 30 m
(D) 35 m
(E) 40 m
15. Na casa de Manoel há uma caixa d’água vazia com
capacidade de 2 metros cúbicos. Manoel vai encher a caixa
trazendo água de um rio próximo, em uma lata cuja base é
um quadrado de lado 30 cm e cuja altura é 40 cm, como
na figura. No mínimo, quantas vezes Manoel precisará ir
ao rio até encher completamente a caixa d’água?
(A) 53
(B) 54
(C) 55
(D) 56
(E) 57
20
C
C
 
 
40
30
OBMEP 2005 NÍVEL 3 4
16. Partindo do mesmo ponto, Ana e Beatriz começam, ao
mesmo tempo, uma corrida de bicicleta de ida e volta entre
duas cidades distantes 150 km uma da outra. Ana e Beatriz
mantêm velocidades constantes e Beatriz percorre, a
cada hora, 10 km a mais que Ana. Beatriz completa o
percurso de ida e inicia o de volta. Elas se cruzam no
momento em que Beatriz completa 30 km no percurso de
volta. Qual é a velocidade de Ana?
(A) 5 km/h
(B) 10 km/h
(C) 15 km/h
(D) 20 km/h
(E) 25 km/h
17. O topo de uma escada de 25 m de comprimento está
encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada
está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura.
Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao longo
da parede, qual será o deslocamento do pé da escada?
(A) 4 m
(B) 8 m
(C) 9 m
(D) 13 m
(E) 15 m
18. A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados
consecutivos quaisquer são perpendiculares. O ponto G está
sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E. Os
comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros.
Qual é o perímetro do polígono ABCG ?
(A) 22 cm
(B) 23 cm
(C) 24 cm
(D) 25 cm
(E) 26 cm
es
ca
da
7
8
6
F 3
B
4
D G C
E
A
19. Brasil e Argentina participam de um campeonatointernacional de futebol no qual competem oito seleções. Na
primeira rodada serão realizadas quatro partidas, nas quais
os adversários são escolhidos por sorteio. Qual é a
probabilidade de Brasil e Argentina se enfrentarem na primeira
rodada?
(A) 1/8
(B) 1/7
(C) 1/6
(D) 1/5
(E) 1/4
20. Regina, Paulo e Iracema tentam adivinhar quantas bolas
estão dentro de uma caixa fechada. Eles já sabem que
este número é maior que 100 e menor que 140. Eles fazem
as seguintes afirmações:
· Regina: Na caixa há mais de 100 bolas e menos de 120 bolas.
· Paulo: Na caixa há mais de 105 bolas e menos de 130 bolas.
· Iracema: Na caixa há mais de 120 bolas e menos de 140 bolas.
Sabe-se que apenas uma dessas afirmações é correta.
Quantos são os possíveis valores para o número de bolas
dentro da caixa?
(A) 1
(B) 5
(C) 11
(D) 13
(E) 16
Nome do(a) aluno(a): _____________________________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, data de nascimento, série e turno que estuda
e não se esqueça de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão resposta, preenchendo todo o espaço dentro do
círculo correspondente a lápis ou a caneta (é preferível a caneta).
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja a correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
8. Ao final da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
_____________________________________________________________________________________________________
É com grande alegria que contamos com a sua participação, a de seus professores e a de sua escola na 2 a OBMEP.
Encare as questões desta prova como quebra-cabeças interessantes e divirta-se com a busca de suas soluções.
Desejamos que você faça uma boa prova!
 
 
 
 
 F
 u
nd
aç
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 C
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C
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ga
s
A C D E
Ensino Médio
1a FASE −−−− 29 de agosto de 2006
Nível3
1. No retângulo ao lado, A, B
e C são pontos médios de
seus lados e O é o ponto de
encontro de suas diagonais. A
área da região sombreada é
(A) 4
1 da área do retângulo.
(B) 3
1 da área do retângulo.
(C) 2
1 da área do retângulo.
(D) 5
3 da área do retângulo.
(E) 3
2 da área do retângulo.
2. Qual dos seguintes números está mais próximo de 1?
(A) 2
11+
(B) 8
11−
(C) 5
11+
(D) 3
11−
(E) 10
11+
3. A figura representa parte de uma régua graduada de
meio em meio centímetro, onde estão marcados alguns
pontos. Qual deles melhor representa o número 22 −x ?
(A) R
(B) S
(C) T
(D) U
(E) V
4. Uma tira de papel retangular é dobrada ao longo da
linha tracejada, conforme indicado, formando a figura
plana da direita. Qual o valor do ângulo x ?
 50
O X
(A) 30°
(B) 50°
(C) 80°
(D) 100°
(E) 130o
A
B
C
O
0 1 2 3
R U Vx TS
OBMEP 2006 07/07/06 - 09:32 NÍVEL 3 2
5. Os comprimentos dos lados do triângulo da figura são
números inteiros. Junto a cada vértice aparece o
produto dos comprimentos dos lados a ele adjacentes.
Qual é o perímetro do
triângulo?
(A) 20
(B) 24
(C) 28
(D) 30
(E) 34
6. No gráfico estão representadas as populações das
cidades I, II, III, IV e V em 1990 e 2000, em milha-
res de habitantes. Por exemplo, em 1990 a população
da cidade II era de 60 000 habitantes e em 2000 a
cidade IV tinha 150 000 habitantes.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
1990
2000
I II III IV V
Qual cidade teve o maior aumento percentual de popu-
lação de 1990 a 2000?
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
7. Qual é a soma dos algarismos do número
00620052004232 1010101010101 +++++++ L ?
(A) 1
(B) 10
(C) 2 006
(D) 2 007
(E) 20 060
8. A figura mostra um círculo de área 36 cm2 sobre o
qual estão desenhados quatro triângulos eqüiláteros
com um vértice comum no centro
do círculo. Qual é a área da
região sombreada?
(A) 9 cm2
(B) 12 cm2
(C) 15 cm2
(D) 20 cm2
(E) 24 cm2
9. Vera preencheu com os algarismos 1, 2, 3 e 4 as
onze casas que estão sem algarismo na tabela, de
modo que em nenhuma linha e
em nenhuma coluna apareces-
sem dois algarismos iguais. Qual
a soma dos números que Vera
colocou nas casas marcadas
com bolinhas pretas?
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) 14
10. Um trabalho de Matemática tem 30 questões de
Aritmética e 50 de Geometria. Júlia acertou 70% das
questões de Aritmética e 80% do total de questões.
Qual o percentual das questões de Geometria que ela
acertou?
(A) 43%
(B) 54%
(C) 58%
(D) 75%
(E) 86%
• 2
1 •
2 • 3
1 •
84
60
140
OBMEP 2006 07/07/06 - 09:32 NÍVEL 3 3
11. Para montar um cubo, Guilherme
recortou um pedaço de cartolina
branca e pintou de cinza algumas
partes, como na figura ao lado.
Qual das figuras abaixo representa o
cubo construído por Guilherme?
 
 (A) (B) (C)
 (D) (E)
12. Na figura os quatro círculos são tangentes e seus
centros são vértices de um
quadrado de lado 4 cm. Qual é
o comprimento, em centíme-
tros, da linha destacada?
(A) 2π
(B) 4π
(C) 6π
(D) 8π
(E) 10π
13. Os termos de uma seqüência são formados usando-
se apenas os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, como segue:
1o termo: 123454321
2o termo: 12345432123454321
3o termo: 1234543212345432123454321
e assim por diante.
Quantas vezes o algarismo 4 aparece no termo que tem
8001 algarismos?
(A) 1000
(B) 1001
(C) 2000
(D) 2001
(E) 4000
14.
 
 I II III
 
 IV V
Paulo usou quatro peças diferentes dentre as cinco
acima para montar a figura indicada. Em qual das peças
está o quadradinho marcado com X?
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
15. Quantos são os números menores que 10 000 tais
que o produto de seus algarismos seja 100? Por exem-
plo, 455 é um destes números, porque 100554 =×× .
(A) menos de 10
(B) 18
(C) 21
(D) 28
(E) mais de 30
16. Uma caixa contém cinco bolas numeradas de 1 a 5.
Dela são retiradas ao acaso duas bolas. Qual a pro-
babilidade de que o maior número assim escolhido seja
o 4?
(A) 10
1
(B) 5
1
(C) 10
3
(D) 5
2
(E) 2
1
X
OBMEP 2006 07/07/06 - 09:32 NÍVEL 3 4
17. Uma formiguinha parte do centro de um círculo e
percorre uma só vez, com velocidade constante, o
trajeto ilustrado na figura.
0
Qual dos gráficos a seguir representa a distância d da
formiguinha ao centro do círculo em função do tempo t ?
d
t
d
t
d
t
 (A) (B) (C)
d
t
d
t
 (D) (E)
18. No dia de seu aniversário em 2006, o avô de Júlia
disse a ela: “Eu nasci no
ano x 2 e completei x
anos em 1980. Quantos
anos eu completo hoje?”.
A resposta certa é:
(A) 61
(B) 64
(C) 67
(D) 70
(E) 72
19. No triângulo ABC, o comprimento dos lados AB, BC
e CA, nessa ordem, são números inteiros e conse-
cutivos. A altura relativa
a BC divide este lado em
dois segmentos de com-
primentos m e n, como
indicado.
Quanto vale m − n?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 6
20. O número abcde tem cinco algarismos distintos e
diferentes de zero, cada um deles representado por
uma das letras a, b, c, d, e. Multiplicando-se este
número por 4 obtém-se número de cinco algarismosedcba. Qual o valor de a + b + c + d + e?
(A) 22
(B) 23
(C) 24
(D) 25
(E) 27
A
B C
n m
Leite
OBMEP 2007 NÍVEL 3 2
B
1 cm
A
C
I II
III IV
D
IV
A B C D
10. Duas formigas partem do ponto A e vão até o ponto D, 
andando no sentido indicado pelas flechas. A primeira 
percorre o semicírculo maior; a segunda, o segmento AB, o 
semicírculo menor e o segmento CD. Os pontos A, B, C e D 
estão alinhados e os segmentos AB e CD medem 1 cm cada 
um. Quantos centímetros a segunda formiga andou menos 
que a primeira?
OBMEP 2007 NÍVEL 3 3
Branco
AzulVerde Rosa
cada coluna. Além disso, a soma dos números em cada 
uma das diagonais é o mesmo número par. Qual é essa 
soma? 
OBMEP 2007 NÍVEL 3 4
A
Figura I
B
Figura II
A
B
..
..
3NívelEnsino Médio1ª FASE – 26 de agosto de 2008
Nome do(a) aluno(a): ______________________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, data de nascimento, série e turno em que estuda, 
e não se esqueça de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
8. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
É com grande alegria que contamos com sua participação, de seus professores e de sua escola na 4ª OBMEP. Encare as 
questões desta prova como quebra-cabeças interessantes e divirta-se com a busca de suas soluções.
Desejamos que você faça uma boa prova!
1. Carlos poderá aposentar-se quando a soma de sua idade 
com o número de anos que ele trabalhou for 100. Quando 
Carlos fez 41 anos, ele já havia trabalhado 15 anos. Qual é a 
idade mínima que ele deverá ter para poder se aposentar?
(A) 59
(B) 60
(C) 61
(D) 62
(E) 63
2. Os discos A, B, C e D representam polias de diâmetros 
8, 4, 6 e 2 cm, respectivamente, unidas por correias que se 
movimentam sem deslizar. Quando o disco A dá uma volta 
completa no sentido horário, o que acontece com o disco D?
(A) Dá 4 voltas no sentido 
horário
(B) Dá 3 voltas no sentido 
horário
(C) Dá 6 voltas no sentido 
anti-horário
(D) Dá 4 voltas no sentido 
anti-horário
(E) Dá 3 voltas no sentido 
anti-horário
3. Os quadradinhos do tabuleiro da fi gura devem ser pre-
enchidos de modo que:
• nos quadradinhos de cada uma das regiões em 
forma de apareçam os números 1, 3, 5 e 7 ou 
os números 2, 4, 6 e 8; 
• em quadradinhos com um lado comum não apareçam 
números consecutivos.
Qual é a soma dos números que vão aparecer nos 
quadradinhos cinza?
(A) 12
(B) 14 
(C) 16
(D) 18 
(E) 20
4. Com quadradinhos de lado 1 cm, constrói-se uma se-
qüên cia de retângulos acrescentando-se, a cada etapa, 
uma linha e duas colunas ao retângulo anterior. A fi gura 
mostra os três primeiros retângulos dessa seqüência. Qual 
é o perímetro do 100º retângulo dessa seqüência? 
(A) 402 cm
(B) 472 cm
(C) 512 cm
(D) 598 cm
(E) 634 cm
2 NÍVEL 3 OBMEP 2008
5. A fi gura mostra um quadrado ABCD de lado 1 cm e 
arcos de circunferência DE, EF, FG e GH com centros A, B, 
C e D, respectivamente. Qual é a soma dos comprimentos 
desses arcos?
(A) cm
(B) cm
(C) cm
(D) cm
(E) cm 
6. Ronaldo quer cercar completamente um terreno retan-
gular de 900 m2. Ao calcular o comprimento da cerca 
ele se enganou, fez os cálculos como se o terreno fosse 
quadrado e comprou 2 metros de cerca a menos que o 
necessário. Qual é a diferença entre o comprimento e a 
largura do terreno?
(A) 2 m 
(B) 4 m
(C) 7 m
(D) 9 m
(E) 11 m
7. Em certo ano bissexto (isto é, um ano que tem 366 dias) 
o número de sábados foi maior que o número de domingos. 
Em que dia da semana caiu o dia 20 de janeiro desse ano?
(A) segunda-feira
(B) terça-feira
(C) quarta-feira
(D) quinta-feira
(E) sexta-feira
8. Uma tira retangular de cartolina, branca na frente e cinza 
atrás, foi dobrada como na fi gura, formando um polígono de 
8 lados. Qual é o perímetro desse polígono? 
(A) 96 cm
(B) cm
(C) cm
(D) 72 cm 
(E) cm
9. Lúcia está correndo, sempre no mesmo sentido, em uma 
pista circular. Qual dos gráfi cos melhor descreve o número 
m de voltas completas que ela dá em função da distância x 
que ela corre? 
 (A) (B) (C)
 (D) (E)
 
10. Pedrinho preencheu a tabela com números inteiros de 
forma que em cada linha, coluna ou diagonal, o número do 
meio é a média aritmética dos outros dois. Qual é a soma 
dos números que apareceram nas casas em cinza?
(A) 16
(B) 17
(C) 18
(D) 19
(E) 20
3NÍVEL 3OBMEP 2008
11. Os 535 alunos e os professores de uma escola fi zeram 
um passeio de ônibus. Os ônibus, com capacidade para 
46 passageiros cada, fi caram lotados. Em cada ônibus 
havia um ou dois professores. Em quantos ônibus havia 
dois professores? 
(A) 3
(B) 5
(C) 6 
(D) 8
(E) 9
12. Uma formiguinha está no ponto A do quadriculado da 
fi gura e quer chegar ao ponto B passando pelo ponto R, 
andando sobre os lados dos quadradinhos e apenas para a 
direita ou para baixo. De quantas maneiras ela pode fazer 
esse trajeto?
(A) 20
(B) 24
(C) 40
(D) 48
(E) 60
13. No segmento AB da fi gura existem vários pontos de 
coordenadas inteiras, como por exemplo (164,110). Quantos 
pontos com as duas coordenadas inteiras existem nesse 
segmento, contando os extremos?
(A) 218
(B) 249
(C) 268 
(D) 289 
(E) 301
14. O trapézio ABCD foi divido em dois retângulos AEGF 
e FGCD, um triângulo GHC e um trapézio EBHG. As áreas 
dos dois retângulos e do triângulo, em cm2, estão indicadas 
na fi gura. Qual é a área do trapézio EBHG?
(A) 15 cm2
(B) 18 cm2 
(C) 21 cm2 
(D) 22 cm2
(E) 24 cm2
15. Ari, Bruna e Carlos almoçam juntos todos os dias e 
cada um deles pede água ou suco. 
• Se Ari pede a mesma bebida que Carlos, então 
Bruna pede água.
• Se Ari pede uma bebida diferente da de Bruna, então 
Carlos pede suco. 
• Se Bruna pede uma bebida diferente da de Carlos, 
então Ari pede água.
• Apenas um deles sempre pede a mesma bebida.
Quem pede sempre a mesma bebida e que bebida é 
essa?
(A) Ari; água 
(B) Bruna; água
(C) Carlos; suco 
(D) Ari; suco
(E) Bruna; suco
4 NÍVEL 3 OBMEP 2008
16. Na fi gura vemos dois 
quadrados, sendo M o ponto 
médio de CD. Uma formiguinha 
parte de um ponto qualquer P do 
segmento AB e quer chegar ao 
ponto M andando apenas sobre 
os lados dos quadrados pelo 
menor caminho possível. Qual dos gráfi cos abaixo melhor 
representa a distância y que a formiguinha vai percorrer em 
função da distância x = AP? 
 (A) (B) (C)
 (D) (E)
17. A fi gura mostra quatro círculos de raio 1 cm dentro de 
um triângulo. Os pontos marcados são pontos de tangência. 
Qual é o comprimento do menor lado desse triângulo?
(A) 4 cm
(B) cm
(C) 5 cm 
(D) cm
(E) cm
18. Uma papelaria monta estojos. Dentro de cada estojo são 
colocadas 3 canetas, que podem ser azuis ou vermelhas, 
numeradas com 1, 2 e 3. Cada estojo recebe uma etiqueta 
com a letra A se as cores das canetas 1 e 2 são iguais, uma 
com a letra B se as cores das canetas 1 e 3 são iguais e uma 
com a letra C se as cores das canetas 2 e 3 são iguais(o 
mesmo estojo pode receber mais de uma etiqueta). Em certo 
dia foram utilizadas 120 etiquetas A, 150 etiquetas B e 200 
etiquetas C, e exatamente 200 estojos receberam apenas 
uma etiqueta. Quantos estojos foram montados nesse dia?
(A) 220 
(B) 230 
(C) 260 
(D) 290 
(E) 310
19. Um ônibus transporta 31 estudantes, baianos e mineiros, 
para um encontro de participantes da OBMEP. Entre os 
baianos, são homens e, entre os mineiros, são mulheres. 
Entre todos os estudantes quantas são as mulheres?
(A) 12
(B) 14
(C) 15
(D) 18
(E) 21
20. Em um jogo, Pedro lança uma moeda para decidir 
quantas casas avançar. Quando sai cara, ele avança uma 
casa; quando sai coroa, ele avança duas casas. O jogo 
acaba quando Pedro alcança ou ultrapassa a última casa. 
Faltam três casas para Pedro terminar o jogo. Qual é a 
probabilidade de que ele tire coroa em sua última jogada? 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
Operacionalização:
3NívelEnsino Médio1ª FASE – 18 de agosto de 2009
Nome do(a) aluno(a): _____________________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, data de nascimento, série e turno em que estuda, 
e não se esqueça de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
8. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
É com grande alegria que contamos com sua participação, de seus professores e de sua escola na 5ª OBMEP. Encare as 
questões desta prova como quebra-cabeças interessantes e divirta-se com a busca de suas soluções.
Desejamos que você faça uma boa prova!
1. Daniela fez uma tabela mostrando a quantidade de água 
que gastava em algumas de suas atividades domésticas.
Atividade Consumo Frequência
Lavar roupa 150 litros por lavagem 1 vez ao dia
Tomar um banho 
de 15 minutos 90 litros por banho 1 vez ao dia
Lavar o carro com 
mangueira
100 litros por 
lavagem
1 vez na 
semana
Para economizar água, ela reduziu a lavagem de roupa a 3 
vezes por semana, o banho diário a 5 minutos e a lavagem 
semanal do carro a apenas um balde de 10 litros. Quantos 
litros de água ela passou a economizar por semana?
A) 1010 
B) 1110 
C) 1210 
D) 1211 
E) 1310
2. Para achar o número de seu sapato, Maurício mediu 
o comprimento de seu pé em centímetros, multiplicou a 
medida por 5, somou 28, dividiu tudo por 4 e arredondou 
o resultado para cima, obtendo o número 40. Qual das 
alternativas mostra um possível comprimento do pé do 
Maurício?
A) 24 cm
B) 25 cm
C) 26 cm
D) 27 cm
E) 28 cm
3. Joãozinho inventou uma operação matemática com números 
inteiros, para a qual ele usa o sinal ∗ . Ela funciona assim:
a∗b = (a + 1) (b − 1)
Por exemplo, (5 1) 13 (3 1) 65∗ × − == + . Se a e b são inteiros 
positivos tais que a∗b = 24 e b∗a = 30, quanto vale a + b? 
A) 11
B) 12
C) 15
D) 16
E) 18
2 NÍVEL 3 OBMEP 2009
4. Arnaldo, Beto, Celina e Dalila 
formam dois casais. Os quatro 
têm idades diferentes. Arnaldo 
é mais velho que Celina e mais 
novo que Dalila. O esposo de 
Celina é a pessoa mais velha. É 
correto afi rmar que: 
A) Arnaldo é mais velho que Beto e sua esposa é Dalila.
B) Arnaldo é mais velho que sua esposa Dalila.
C) Celina é a mais nova de todos e seu marido é Beto.
D) Dalila é mais velha que Celina e seu marido é Beto.
E) Celina é mais velha que seu marido Arnaldo.
5. O diâmetro de uma pizza grande é o dobro do diâmetro de 
uma pizza pequena. A pizza grande é cortada em 16 fatias 
iguais. A que fração de uma pizza pequena correspondem 
3 fatias da pizza grande?
A) 
1
3
B) 
3
8
C) 
1
2
D) 
3
4
E) 
5
8
6. O quadrado da fi gura tem um vértice na origem, outro no 
ponto (10,7) e um terceiro no ponto ( , )a b . Qual é o valor de 
a + b?
A) 20
B) 21
C) 22 
D) 23
E) 24 (10,7)
(a,b)
7. Qual é o valor de 53532 - 28282 ?
A) 25252
B) 35352
C) 45452
D) 45652
E) 53352
8. Na fi gura, ABCD e AMPN são quadrados e BD
(
 e MN
(
 são 
arcos de círculos de centro A. Qual é a razão entre a área 
sombreada e a área do quadrado ABCD?
A)
 4
π
 
B)
 5
π
 
C)
 6
π
 
D)
 7
π
 
E)
 8
π
 
9. Na fi gura, o paralelogramo ABCD tem área 40 cm2. 
Os pontos P, Q, R, S são pontos médios dos lados do 
paralelogramo e T está no segmento RS. Qual é a área do 
triângulo PQT?
A) 10 cm2 
B) 12 cm2 
C) 14 cm2 
D) 16 cm2
E) 18 cm2
A BM
D C
N P
A
D
S
P
R
T
B
C
Q
13. Na fi gura, as duas circunferências têm centro O e os 
quadradinhos do quadriculado têm lado 1 cm. Há 20 pontos 
do quadriculado na região delimitada pelas circunferências. 
Quantos pontos do quadriculado estão na região delimitada 
por duas circunferências de centro O e raios 4 cm e 5 cm?
A) 32
B) 34
C) 36
D) 38
E) 40
14. Os seis triângulos da fi gura são retângulos e seus 
ângulos com vértice no ponto A são iguais. Além disso, 
AB = 24 cm e AC = 54 cm. Qual é o comprimento de AD? 
A) 30 cm
B) 34 cm
C) 36 cm
D) 38 cm
E) 39 cm
15. Luciana tem três canetas pretas e três vermelhas. Ontem 
ela pegou, ao acaso, uma dessas canetas e colocou-a na 
bolsa. Hoje ela colocou uma caneta preta na bolsa. Se ela 
retirar uma dessas duas canetas da bolsa, sem olhar, qual 
a probabilidade de essa caneta ser preta?
A) 
1
2
B) 
2
3
C) 
3
5
D) 
3
4
E) 
4
π
3NÍVEL 3OBMEP 2009
10. Duas formiguinhas andam em sentidos contrários sobre 
uma circunferência. Enquanto uma delas dá nove voltas na 
circunferência, a outra dá seis. Em quantos pontos distintos 
da circunferência elas se cruzam?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
11. Na fi gura, ABCD é um paralelogramo e o segmento EF 
é paralelo a AB. Qual é a soma das áreas dos triângulos 
cinzentos? 
A) 2 cm2
B) 4 cm2
C) 6 cm2
D) 8 cm2
E) 10 cm2
12. A fi gura mostra um quadrado de lado 1 m dividido em 
dois retângulos e um quadrado. As áreas do quadrado Q e 
do retângulo R são iguais. Qual é a área do retângulo S?
A) 5 2− m2
B) 
1
5 
m2
C) 3 5− m2
D) 
1
3 
m2
E) 
5
3 
m2
Q S
R
O
A B
D
C
54 cm
24 cm
7
4
D C
E F
4 cm
4 cm
2 cm
A B
4 NÍVEL 3 OBMEP 2009
Operacionalização:
16. Felipe construiu uma sequência de fi guras com 
quadradinhos; abaixo mostramos as quatro primeiras 
fi guras que ele construiu. Qual é a primeira fi gura que tem 
mais de 2009 quadradinhos?
A) A 30ª
B) A 31ª
C) A 32ª
D) A 33ª 
E) A 34ª
17. Com exatamente dois segmentos de reta, podemos 
fazer fi guras diferentes unindo os vértices de um pentágono. 
Cinco dessas fi guras estão ilustradas a seguir. 
Incluindo essas cinco, quantas fi guras diferentes podemos 
fazer desse modo?
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
18. A fi gura mostra a planta de uma escola que tem seis 
salas, indicadas pelas letras de A até F. Joãozinho entrou 
na escola, percorreu todas as salas e foi embora, tendo 
passado exatamente duas vezes por uma das portas e 
uma única vez por cada uma das outras. A porta pela qual 
Joãozinho passou duas vezes liga:
A) as salas A e B.
B) as salas C e E.
C) as salas E e F.
D) a sala D e o lado defora da escola.
E) a sala F e o lado de 
fora da escola.
1 quadradinho
1ª
2ª
3ª
4ª
5 quadradinhos
13 quadradinhos
25 quadradinhos
A B
C
D E
F
19. O semicírculo da fi gura tem 
centro O e diâmetro 2PQ = cm. O 
raio OR é perpendicular a PQ. Por 
um ponto qualquer M de OR traça-
se a corda AB perpendicular a OR. 
Sejam x o comprimento de RM, em 
cm, e y a área do quadrado de lado 
AB, em cm2. Qual dos gráfi cos abaixo 
expressa a relação entre x e y?
A) B) C) 
D) E)
20. Um torneio de futebol com 57 times será disputado com 
as seguintes regras:
• Nenhum jogo pode terminar empatado.
• O time que perder duas partidas será eliminado.
• O torneio termina quando sobrar apenas um time, 
que será o campeão.
Se o time campeão perder uma vez, quantas partidas serão 
disputadas no torneio?
A) 56
B) 57
C) 58
D) 112 
E) 113
A
P
Q
B
M
R
x
Área = y
O
y
x1
4
y
x1
4
y
x1
4
y
x1
4
y
x1
4
3NívelEnsino Médio1ª FASE – 8 de junho de 2010
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, data de nascimento, série e turno em que estuda, 
e não se esqueça de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
8. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
É com grande alegria que contamos com sua participação, de seus professores e de sua escola na 6ª OBMEP. Encare as 
questões desta prova como quebra-cabeças interessantes e divirta-se com a busca de suas soluções.
Desejamos que você faça uma boa prova!
Ministério
da Educação
Ministério da
Ciência e Tecnologia
SOCIEDADE
BRASILEIRA
DE MATEMÁTICA
1. Cada quadradinho na fi gura deve ser preenchido com um 
sinal de adição (+) ou de multiplicação (×). Qual é o maior 
valor possível da expressão obtida depois de preenchidos 
todos os quadradinhos?
2 3 0 8 9 1
A) 77
B) 78
C) 79
D) 80
E) 81
2. Para qual valor de x a igualdade 63 0
84
1 x
− =
−
+
 é 
verdadeira?
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7
3. Carmem tem duas caixas, A e B, cada uma com 4 bolas 
brancas e 10 bolas pretas. Se ela retirar 6 bolas da caixa 
A e as colocar na caixa B, qual será o menor percentual 
possível de bolas pretas na caixa B?
A) 50%
B) 55%
C) 60%
D) 65%
E) 70%
4. A estrada que passa pelas cidades de Quixajuba e 
Paraqui tem 350 quilômetros. No quilômetro 70 dessa 
estrada há uma placa indicando Quixajuba a 92 km. No 
quilômetro 290 há uma placa indicando Paraqui a 87 km. 
Qual é a distância entre Quixajuba e Paraqui?
A) 5 km
B) 41 km
C) 128 km
D) 179 km
E) 215 km
2 NÍVEL 3 OBMEP 2010
5. O gráfi co mostra 
a temperatura média 
e a precipitação de 
chuva em Quixajuba 
em cada um dos 
meses de 2009. 
Qual das afi rmativas 
abaixo está correta?
A) O mês mais 
chuvoso foi 
também o mais 
quente.
B) O mês menos chuvoso foi também o mais frio.
C) De outubro para novembro aumentaram tanto a 
precipitação quanto a temperatura.
D) Os dois meses mais quentes foram também os de 
maior precipitação.
E) Os dois meses mais frios foram também os de menor 
precipitação.
6. Saci, Jeca, Tatu e Pacu comeram 52 bananas. Ninguém 
fi cou sem comer e Saci comeu mais que cada um dos outros. 
Jeca e Tatu comeram ao todo 33 bananas, sendo que Jeca 
comeu mais que Tatu. Quantas bananas Tatu comeu? 
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
7. Na fi gura, x é a média aritmética dos números que estão 
nos quatro círculos claros e y é a média aritmética dos 
números que estão nos quatro círculos escuros. Qual é o 
valor de x y− ?
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
E) 4
8. João vai de bicicleta ao encontro de sua namorada 
Maria. Para chegar na hora marcada, ele deve sair às 
8 horas e pedalar a 10 km/h ou sair às 9 horas e pedalar a 
15 km/h. A que horas é o encontro dos namorados? 
A) 10h 
B) 10h30min 
C) 11h 
D) 11h30min 
E) 12h
9. O gráfi co mostra a operação de três trens na cidade 
de Quixajuba de 8h às 8h30min. O eixo horizontal mostra 
o horário e o eixo vertical mostra a distância a partir da 
Estação Alfa. Qual das alternativas é correta?
A) O trem de passageiros leva 6 minutos para ir da Estação 
Beta à Estação Alfa.
B) O trem expresso para na Estação Beta.
C) Entre as Estações Alfa e Beta, o trem de carga é mais 
rápido que o trem expresso.
D) O trem expresso ultrapassa o trem de carga quando 
este último está parado.
E) O trem de passageiros para 10 minutos na Estação 
Beta.
10. Na fi gura ao lado os pontos destacados sobre a reta 
estão igualmente espaçados. Os arcos que ligam esses 
pontos são semicircunferências e a região preta tem área 
igual a 1. Qual é a área da região cinza?
A) 15 
B) 18 
C) 25 
D) 30 
E) 36
5
49
16 23
24
3
yx
Jan
°C
FevMar Abr Mai Jun Jul Ago Set
mm
10010
20020
30030
OutNovDez
1 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Figura 1
Figura 2
3NÍVEL 3OBMEP 2010
11. Adriano, Bruno, Carlos e Daniel participam de uma 
brincadeira na qual cada um é um tamanduá ou uma 
preguiça. Tamanduás sempre dizem a verdade e preguiças 
sempre mentem.
• Adriano diz: “Bruno é uma preguiça”.
• Bruno diz: “Carlos é um tamanduá”.
• Carlos diz: ”Daniel e Adriano são diferentes tipos de 
animais”.
• Daniel diz: “Adriano é uma preguiça”.
Quantos dos quatro amigos são tamanduás?
A) 0
B) 1 
C) 2 
D) 3 
E) 4
12. Joana tem 10 pares diferentes de meias, guardados 
dentro de uma gaveta. Três meias estão furadas, sendo 
duas do mesmo par. Quantas meias ela deve tirar da gaveta, 
uma de cada vez e sem olhar, para ter certeza de que entre 
elas haja um par sem defeito?
A) 5 
B) 6
C) 10
D) 11
E) 13
13. Uma tira de papel retangular, branca de um lado e 
cinza do outro, foi dobrada como na fi gura. Qual é a medida 
do ângulo α ?
A) 110º 
B) 115º 
C) 120º 
D) 125º 
E) 130º 
 
14. Carolina tem três cartões brancos numerados de 1 a 
3 e três cartões pretos, também numerados de 1 a 3. Ela 
escolheu, ao acaso, um cartão branco e um preto. Qual 
é a probabilidade de a soma dos números dos cartões 
escolhidos ser par?
A) 3
5 
 
B) 5
9
 
C) 1
2
 
D) 2
3
 
E) 3
4
15. A fi gura 1 mostra um dado com as faces numeradas de 
1 a 6. Com 27 desses dados montou-se um cubo, como na 
fi gura 2. Qual é a maior soma possível de todos os números 
que aparecem nas seis faces do cubo?
A) 162 
B) 288 
C) 300 
D) 316 
E) 324
16. Os círculos que formam as fi guras A, B e C são 
todos iguais. Os comprimentos dos contornos das 
fi guras, indicados com linhas mais grossas, são a, b e c, 
respectivamente. Qual das alternativas é verdadeira?
A) a b c= = 
B) a b c< = 
C) acb <<
D) a c b= < 
E) cba <= Figura A Figura B Figura C
1
c
m
2
cm
1
cm
4 NÍVEL 3 OBMEP 2010
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
17. Tio Paulo trouxe cinco presentes diferentes, entre os 
quais uma boneca, para distribuirentre suas sobrinhas 
Ana, Bruna, Cecília e Daniela. De quantos modos ele pode 
distribuir os presentes entre as sobrinhas de modo que 
todas ganhem pelo menos um presente e a boneca seja 
dada para Ana?
A) 20 
B) 32 
C) 60 
D) 72 
E) 120
18. A fi gura mostra três circunferências de raios 1, 2 e 3, 
tangentes duas a duas nos pontos destacados. Qual é o 
comprimento do segmento AB?
A) 1 
B) 2 
C) 1 5
2
+ 
D) 3
2
 
E) 3 
19. Duas folhas de papel, uma retangular e outra quadrada, 
foram cortadas em quadradinhos de 1 cm de lado. Nos dois 
casos obteve-se o mesmo número de quadradinhos. O 
lado da folha quadrada media 5 cm a menos que um dos 
lados da folha retangular. Qual era o perímetro da folha 
retangular? 
A) 48 cm 
B) 68 cm 
C) 72 cm 
D) 82 cm 
E) 100 cm
20. Na fi gura, ABCD e AEFG são retângulos e o ponto F 
pertence à diagonal AC. A área do triângulo cinza é igual 
a 1
18 
da área do retângulo AEFG. Qual é o valor de AF
AC
?
A) 3
5
 
B) 3
8
 
C) 8
13
 
D) 11
18
 
E) 
4
3
 
A B A G D
FE
B C
3NívelEnsino Médio1ª FASE – 16 de agosto de 2011
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, endereço eletrônico, data de nascimento, ano e 
turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
8. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
É com grande satisfação que preparamos essa nova edição da OBMEP e que podemos contar com a sua participação, 
de seus professores e de sua escola. Desejamos que você se divirta buscando as soluções das questões dessa prova e 
que ela sirva de estímulo para que você goste cada vez mais de Matemática.
1. A fi gura mostra dois homens erguendo um piano com 
uma corda. Se um dos homens puxar 15 m de corda e o 
outro puxar 25 m, quantos metros o piano vai subir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
2. Na malha retangular ao lado, o perímetro da fi gura A 
é 156 cm e o da fi gura B é 144 cm. Qual é o perímetro da 
fi gura C?
A) 125 cm
B) 144 cm
C) 160 cm
D) 172 cm
E) 175 cm
3. A tartaruga e o coelho disputaram uma corrida de 800 
metros e o coelho ganhou. Os gráfi cos representam a 
relação entre a distância percorrida e o tempo para cada 
um deles. Pode-se afi rmar que
A) durante o primeiro minuto e meio, a tartaruga fi cou 
sempre na frente do coelho.
B) a tartaruga fi cou atrás do coelho por pelo menos dois 
minutos.
C) o coelho terminou a corrida em dois minutos e meio.
D) a tartaruga fi cou à frente do coelho por pelo menos 30 
segundos.
E) o coelho cruzou a linha de chegada 50 metros à frente 
da tartaruga. 
3NívelEnsino Médio1ª FASE – 16 de agosto de 2011
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, endereço eletrônico, data de nascimento, ano e 
turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
8. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
É com grande satisfação que preparamos essa nova edição da OBMEP e que podemos contar com a sua participação, 
de seus professores e de sua escola. Desejamos que você se divirta buscando as soluções das questões dessa prova e 
que ela sirva de estímulo para que você goste cada vez mais de Matemática.
1. A fi gura mostra dois homens erguendo um piano com 
uma corda. Se um dos homens puxar 15 m de corda e o 
outro puxar 25 m, quantos metros o piano vai subir?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
2. Na malha retangular ao lado, o perímetro da fi gura A 
é 156 cm e o da fi gura B é 144 cm. Qual é o perímetro da 
fi gura C?
A) 125 cm
B) 144 cm
C) 160 cm
D) 172 cm
E) 175 cm
3. A tartaruga e o coelho disputaram uma corrida de 800 
metros e o coelho ganhou. Os gráfi cos representam a 
relação entre a distância percorrida e o tempo para cada 
um deles. Pode-se afi rmar que
A) durante o primeiro minuto e meio, a tartaruga fi cou 
sempre na frente do coelho.
B) a tartaruga fi cou atrás do coelho por pelo menos dois 
minutos.
C) o coelho terminou a corrida em dois minutos e meio.
D) a tartaruga fi cou à frente do coelho por pelo menos 30 
segundos.
E) o coelho cruzou a linha de chegada 50 metros à frente 
da tartaruga. 
SBM
22 NÍVEL 3 OBMEP 2011
4. Quatro times disputaram um torneio de futebol em 
que cada um jogou uma vez contra cada um dos outros. 
Se uma partida terminasse empatada, cada time ganhava 
um ponto; caso contrário, o vencedor ganhava três pontos 
e o perdedor, zero. A tabela mostra a pontuação fi nal do 
torneio. Quantos foram os empates? 
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
5. Pedro tem dois cubos com faces numeradas, com os 
quais ele consegue indicar os dias do mês de 01 a 31. Para 
formar as datas, os cubos são colocados lado a lado e 
podem ser girados ou trocados de posição. A face com o 
6 também é usada para mostrar o 9. Na fi gura ao lado, os 
cubos mostram o dia 03. Qual é a soma dos números das 
quatro faces não visíveis no cubo da esquerda? 
A) 15
B) 16
C) 18
D) 19
E) 20
6. Márcia cortou quatro tiras retangulares de mesma 
largura, cada uma de um dos lados de uma folha de papel 
medindo 30 cm por 40 cm. O pedaço de papel que sobrou 
tem 68% da área da folha original. Qual é a largura das 
tiras?
A) 1 cm
B) 2 cm
C) 3 cm
D) 4 cm
E) 5 cm
Time Pontos
Cruzínthians 5
Flameiras 3
Nauritiba 3
Greminense 2
7. Na fi gura, os dois semicírculos são tangentes e o lado do 
quadrado mede 36 cm. Qual é o raio do semicírculo menor?
A) 8 cm
B) 9 cm
C) 10 cm
D) 11 cm
E) 12 cm
8. Tia Geralda sabe que um 
de seus sobrinhos Ana, Bruno, 
Cecília, Daniela ou Eduardo comeu 
todos os biscoitos. Ela também 
sabe que o culpado sempre mente 
e que os inocentes sempre dizem 
a verdade.
• Bruno diz: “O culpado é Eduardo ou Daniela.” 
• Eduardo diz: “O culpado é uma menina.” 
• Por fi m, Daniela diz: “Se Bruno é culpado então 
Cecília é inocente.” 
Quem comeu os biscoitos? 
A) Ana
B) Bruno
C) Cecília
D) Daniela
E) Eduardo
9. Com os algarismos 1, 4, 6 e 8 pode-se formar vários 
números de três algarismos distintos. Qual é a soma de 
todos esses números?
A) 12654
B) 12740
C) 13124
D) 13210
E) 13320
33NÍVEL 3OBMEP 2011
10. Afi gura representa uma pirâmide de base quadrada 
cujas arestas medem 1 m. Uma formiga e uma aranha 
estão nas posições indicadas, a 25 cm dos vértices A e B, 
respectivamente. Qual é a menor distância que a aranha 
deve percorrer para chegar até a formiga, andando somente 
sobre as faces triangulares da pirâmide?
A) 1 m
B) 
2
31+ m
C) 
2
3
 
m 
D) 
3
5 m
E) 
5
4
 
m
11. Um grupo de crianças quer comprar pizzas com 12 
pedaços cada uma. Três pizzas não são sufi cientes para 
que cada menino coma 7 pedaços e cada menina coma 2 
pedaços. Por outro lado, quatro pizzas são sufi cientes para 
que cada menino coma 8 pedaços, cada menina coma 4 
pedaços e ainda sobrem pedaços. Quantas crianças há no 
grupo? 
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 4
12. Três amigas possuem, cada uma, três blusas: uma 
amarela, uma branca e uma preta. Se cada amiga escolher 
ao acaso uma de suas blusas, qual é a probabilidade de 
que as cores das blusas escolhidas sejam todas diferentes?
A) 
9
1
B) 
8
1 
C) 
9
2
D) 
8
3
E) 
4
3
13. Na fi gura, AEFD é um retângulo, ABCD é um 
quadrado cujo lado mede 1 cm e os segmentos BF e DE 
são perpendiculares. Qual é a medida, em centímetros, do 
segmento AE?
A) 2
B) 
2
3
C) 2
D) 
5
8
E) 
2
51+
14. Alberto, Bernardo e Carlos disputaram uma corrida, 
na qual cada um deles correu com velocidade constante 
durante todo o percurso. Quando Alberto cruzou a linha de 
chegada, Bernardo e Carlos estavam 36 e 46 metros atrás 
dele, respectivamente. Quando Bernardo cruzou a linha 
de chegada, Carlos estava 16 metros atrás dele. Qual é o 
comprimento da pista?
A) 96 m
B) 100 m
C) 120 m
D) 136 m
E) 144 m
15. Uma caixa contém 105 bolas pretas, 89 bolas cinzentas 
e 5 bolas brancas. Fora da caixa há bolas brancas em 
quantidade sufi ciente para efetuar repetidamente o seguinte 
procedimento, até que sobrem duas bolas na caixa:
• retiram-se, sem olhar, duas bolas da caixa;
• se as bolas retiradas forem de cores diferentes, a de 
cor mais escura é devolvida para a caixa;
• caso contrário, descartam-se as bolas retiradas e 
coloca-se na caixa uma bola branca.
Sobre as cores das duas bolas que sobram, pode-se 
garantir que
A) as duas serão brancas.
B) as duas serão cinzentas.
C) as duas serão pretas.
D) exatamente uma será preta.
E) exatamente uma será cinzenta.
Sobre as cores das duas bolas que sobram, pode-se 
E) exatamente uma será cinzenta.
4 NÍVEL 3 OBMEP 2011
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
16. A fi gura mostra um retângulo de área 42 cm2 com os 
pontos médios dos lados em destaque. Qual é a área, em 
cm2, da região cinza? 
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
17. Dois carros saíram juntos de Quixajuba pela estrada 
em direção a Paraqui. A velocidade do primeiro carro era 
50 km/h e a do segundo carro era 40 km/h. Depois de 30 
minutos um terceiro carro saiu de Quixajuba pela mesma 
estrada, também com velocidade constante, e alcançou o 
primeiro carro uma hora e meia depois de ultrapassar o 
segundo. Qual era a velocidade do terceiro carro?
A) 30 km/h
B) 45 km/h
C) 60 km/h
D) 70 km/h
E) 75 km/h
18. Na divisão indicada na fi gura, os asteriscos representam 
algarismos, iguais ou não. Qual é o algarismo representado 
pelo asterisco apontado pela fl echa? 
A) 8
B) 7
C) 6
D) 3
E) 0
19. Escreva os algarismos de 0 até 9 em uma linha, 
na ordem que você escolher. Na linha de baixo junte os 
vizinhos, formando nove números novos, e some esses 
números como no exemplo:
Qual é a maior soma que é possível obter desse modo?
A) 506
B) 494
C) 469
D) 447
E) 432
20. Uma aranha encontra-se no ponto A de sua teia e 
quer chegar ao ponto B sem passar mais de uma vez por 
um mesmo segmento da teia. Além disso, ao percorrer 
um segmento radial (em traço mais fi no), ela deve seguir 
o sentido indicado pela fl echa. Quantos são os caminhos 
possíveis? 
A) 523 ×
B) 23 511 �
C) 35
D) 311
E) 352×
2 1 3 7 4 9 5 8 0 6
21 13 37 74 49 95 58 80 06
43368058954974371321 ���������
4 NÍVEL 3 OBMEP 2011
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
16. A fi gura mostra um retângulo de área 42 cm2 com os 
pontos médios dos lados em destaque. Qual é a área, em 
cm2, da região cinza? 
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
17. Dois carros saíram juntos de Quixajuba pela estrada 
em direção a Paraqui. A velocidade do primeiro carro era 
50 km/h e a do segundo carro era 40 km/h. Depois de 30 
minutos um terceiro carro saiu de Quixajuba pela mesma 
estrada, também com velocidade constante, e alcançou o 
primeiro carro uma hora e meia depois de ultrapassar o 
segundo. Qual era a velocidade do terceiro carro?
A) 30 km/h
B) 45 km/h
C) 60 km/h
D) 70 km/h
E) 75 km/h
18. Na divisão indicada na fi gura, os asteriscos representam 
algarismos, iguais ou não. Qual é o algarismo representado 
pelo asterisco apontado pela fl echa? pelo asterisco apontado pela fl echa? 
A) 8
B) 7
C) 6
D) 3
E) 0
19. Escreva os algarismos de 0 até 9 em uma linha, 
na ordem que você escolher. Na linha de baixo junte os 
vizinhos, formando nove números novos, e some esses 
números como no exemplo:
Qual é a maior soma que é possível obter desse modo?
A) 506
B) 494
C) 469
D) 447
E) 432
20. Uma aranha encontra-se no ponto A de sua teia e 
quer chegar ao ponto B sem passar mais de uma vez por 
um mesmo segmento da teia. Além disso, ao percorrer 
um segmento radial (em traço mais fi no), ela deve seguir 
o sentido indicado pela fl echa. Quantos são os caminhos 
possíveis? 
A) 523 ×
B) 23 511 �
C) 35
D) 311
E) 352×
2 1 3 7 4 9 5 8 0 6
21 13 37 74 49 95 58 80 06
43368058954974371321 ���������
3NívelEnsino Médio1ª FASE – 5 de junho de 2012
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, endereço eletrônico, data de nascimento, ano e 
turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
8. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
É com grande satisfação que preparamos essa nova edição da OBMEP e que podemos contar com a sua participação, 
de seus professores e de sua escola. Desejamos que você se divirta buscando as soluções das questões dessa prova e 
que ela sirva de estímulo para que você goste cada vez mais de Matemática.
3NívelEnsino Médio1ª FASE – 5 de junho de 2012
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, endereço eletrônico, data de nascimento, ano e 
turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa,perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
8.
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
 Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
É com grande satisfação que preparamos essa nova edição da OBMEP e que podemos contar com a sua participação, 
de seus professores e de sua escola. Desejamos que você se divirta buscando as soluções das questões dessa prova e 
que ela sirva de estímulo para que você goste cada vez mais de Matemática.
SBM
1. Um quadrado de lado 1 cm roda em torno de um 
quadrado de lado 2 cm, como na fi gura, partindo da posição 
inicial e completando um giro cada vez que um de seus 
lados fi ca apoiado em um lado do quadrado maior. 
Qual das fi guras a seguir representa a posição dos dois 
quadrados após o 2012º giro? 
posição
inicial
posição após
o 1º giro
posição após
o 2º giro
A)
D)
B)
E)
C)
2. Renata montou uma sequência de triângulos com 
palitos de fósforo, seguindo o padrão indicado na fi gura. Um 
desses triângulos foi construído com 135 palitos de fósforo. 
Quantos palitos tem um lado desse triângulo?
A) 6 
B) 7 
C) 8 
D) 9 
E) 10
3. Júlio escreveu todos os números de 1 a 1000. Depois 
ele apagou o número 3 e, em ordem crescente, prosseguiu 
apagando os números que eram soma de dois números 
não apagados. Quantos números restaram quando Júlio 
terminou a tarefa?
A) 333 
B) 335 
C) 337 
D) 340 
E) 345
1 2 3 4 5 6 7 8 ...
6. Dois pontos na superfície de um cubo são opostos se 
o segmento de reta que os liga passa pelo centro do cubo. 
Na fi gura vemos uma planifi cação de um cubo, na qual as 
faces destacadas em cinzento foram divididas em nove 
quadradinhos iguais. Quando o cubo for montado, qual será 
o ponto oposto ao ponto P?
A) A 
B) B 
C) C
D) D 
E) E
7. Quantas vezes 217 deve aparecer dentro do radicando 
na igualdade 2 22 22 217 17 ... 17 17 17 17+ + + = + + para 
que ela seja verdadeira?
A) 9 
B) 51 
C) 289 
D) 861 
E) 2601
8. A fi gura mostra um retângulo ABCD decomposto em 
dois quadrados e um retângulo menor BCFE. Quando BCFE 
é semelhante a ABCD, dizemos que ABCD é um retângulo 
de prata e a razão 
AB
AD
 é chamada razão de prata. Qual é 
o valor da razão de prata?
A) 1 
B) 2
C) 1 2+
D) 3
E) 1 3+
22 NÍVEL 3 OBMEP 2012
A
D
E
F
B
C
B
A
50
1 2 3 4 5
100
d
is
tâ
n
c
ia
(
)
k
m
tempo
( )h
150
4. Cinco cartas, inicialmente 
dispostas como na fi gura, 
serão embaralhadas. Em cada 
embaralhamento, a primeira 
carta passa a ser a segunda, 
a segunda passa a ser a 
quarta, a terceira passa a ser 
a primeira, a quarta passa a 
ser a quinta e a quinta passa 
a ser a terceira. Qual será a 
primeira carta após 2012 embaralhamentos?
A) B) C) 
D) E) 
5. Dois carros A e B 
partem de Quixajuba, 
ao mesmo tempo, 
pela estrada que vai 
para Pirajuba. No 
gráfi co ao lado, a linha 
contínua e a linha 
pontilhada representam, 
respectivamente, a 
distância de A e B a 
Quixajuba, ao longo da estrada, em função do tempo. Qual 
dos gráfi cos abaixo representa a distância entre os dois 
carros, ao longo da estrada, em função do tempo?
50
1 2 3 4 5
100
k
m
h
50
50
50
1
1
1 2
2
2 3
3
3 4
4
4 5
5
5
100
100
100
k
m
k
m
k
m
50
1 2 3 4 5
100
k
m
h
h
h
h
A)
D)
B)
E)
C)
33NÍVEL 3OBMEP 2012
9. No quadriculado 5 5× ao lado colocam-se os números 
de 1 a 25, um em cada casa, de modo que a soma dos 
números que aparecem em cada linha, coluna e diagonal é 
a mesma. Sabe-se que a soma dos números que aparecem 
nas casas cinzentas é 104. Qual é o número que aparece 
na casa central?
A) 13 
B) 14 
C) 15 
D) 16 
E) 17
10. Na fi gura, ABCD é um quadrado de lado 1 e os arcos 
BD e AC têm centros A e B, respectivamente. Os círculos 
tangenciam esses arcos e um lado do quadrado, como 
indicado. Qual é a razão entre os raios do círculo maior e 
do círculo menor?
A) 4,5 
B) 5 
C) 5,5 
D) 6 
E) 6,5
11. Dois trens viajam com velocidades constantes. Em 
comparação com o trem mais rápido, o trem mais lento 
demora 5 minutos a mais para percorrer 6 km e, num 
intervalo de 20 minutos, percorre 4 km a menos. Qual é a 
velocidade, em quilômetros por hora, do trem mais rápido? 
A) 21 
B) 27 
C) 30 
D) 33 
E) 36
?
12. A fi gura mostra um trapézio ABCD de bases AB e CD; 
o ponto E é o ponto de encontro de suas diagonais. Os 
triângulos ABE e CDE têm áreas a e b, respectivamente. 
Qual é a área do trapézio?
A) ( )22 a b+
B) 
 
3
2
(a + b)
 
C) ( )2a b+
D) ( )2 a b+
E) ab 
13. Para fazer várias blusas iguais, uma costureira 
gastou R$ 2,99 para comprar botões de 4 centavos e 
laços de 7 centavos. Ela usou todos os botões e laços 
que comprou. Quantas blusas ela fez?
A) 2
B) 5
C) 10
D) 13
E) 23
14. Na fi gura, os segmentos AC, CE e EB têm o mesmo 
comprimento, os ângulos ACE e BCD são retos e a área do 
triângulo CDE é 1. Qual é a área do triângulo ABC? 
A) 2
B) 2 
C) 2 1+
D) 2 2
E) 3
A
D
B
C
A B
CD
E
^ ^
A D E B
C
( (
4 NÍVEL 3 OBMEP 2012
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
4 NÍVEL 3 OBMEP 2012
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
15. Para a decoração da festa junina, Joana colocou 
em fi la 25 bandeirinhas azuis, 14 brancas e 10 verdes, 
sem nunca deixar que duas bandeirinhas de mesma cor 
fi cassem juntas. O que podemos concluir, com certeza, 
dessa informação?
A) Nas extremidades da fi la 
aparecem uma bandeirinha 
azul e uma branca.
B) Há cinco bandeirinhas 
consecutivas nas quais não 
aparece a cor verde.
C) Há pelo menos uma 
bandeirinha branca ao lado 
de uma verde.
D) Pelo menos quatro bandeirinhas azuis têm uma branca 
de cada lado.
E) Não existe um grupo de três bandeirinhas consecutivas 
de cores todas diferentes.
16. Três casais fi zeram compras em uma livraria. Vitor 
comprou 3 livros a mais do que Lorena e Pedro comprou 
5 livros a mais do que Cláudia. Cada um dos homens comprou 
4 livros a mais do que a respectiva esposa. Lorena e Cláudia 
compraram mais livros do que Bianca, que só comprou 
3 livros. Qual das seguintes afi rmações é verdadeira?
A) Vitor comprou mais livros do que Pedro.
B) Pedro é marido de Cláudia.
C) Pedro foi o marido que comprou o maior número de 
livros.
D) Cláudia comprou um livro a mais do que Lorena.
E) Vitor é marido de Bianca.
17. Na fi gura, as retas r e s são paralelas e a distância 
entre elas é 2 cm. A reta t forma um ângulo de 45° com 
a reta r. Os círculos com centro em A e C tangenciam a 
reta t nos pontos B e D, respectivamente, e tangenciam as 
retas r e s. Qual é a área, em centímetros quadrados, do 
quadrilátero ABCD?
A) 2
B) 2
C) 1 2+
D) 2 2
E) 3
A
D
C
B
t
r
s
18. Seis amigos, entre eles Alice e Bernardo, vão jantar 
em uma mesa triangular, cujos lados têm 2, 3 e 4 lugares, 
como na fi gura. De quantas maneiras esses amigos podem 
sentar-se à mesa de modo que Alice e Bernardo fi quem 
juntos e em um mesmo lado da mesa?
A) 288 
B) 6720 
C) 10080 
D) 15120 
E) 60480
19. André partiu de Pirajuba, foi até Quixajuba e voltou sem 
parar, com velocidade constante. Simultaneamente, e pela 
mesma estrada, Júlio partiu de Quixajuba, foi até Pirajuba e 
voltou, também sem parar e com velocidade constante. Eles 
se encontraram pela primeira vez a 70 km de Quixajuba 
e uma segunda vez a 40 km de Pirajuba, quando ambos 
voltavampara sua cidade de origem. Quantos quilômetros 
tem a estrada de Quixajuba a Pirajuba? 
A) 120 
B) 145 
C) 150 
D) 170 
E) 180 
20. Pedro vai participar de um programa de prêmios 
em que há uma urna contendo quatro bolas com valores 
diferentes e desconhecidos por ele, que serão sorteadas 
uma a uma até que ele decida fi car com uma delas. Ele 
observa o valor das duas primeiras bolas sorteadas e as 
descarta. Se o valor da terceira bola sorteada for maior que 
os das duas primeiras, ele fi cará com ela e, caso contrário, 
fi cará com a bola que restou. Qual é a probabilidade de 
Pedro fi car com a bola de maior valor?
A) 1
4
B) 
 
1
3
C) 
 
3
8
D) 
5
12
E) 
 
1
2
3NívelEnsino Médio1ª FASE – 4 de junho de 2013
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, CPF, endereço eletrônico, data de nascimento, 
ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
8. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
1. O pai de Carolina mediu o comprimento da mesa da 
sala com sua mão e contou 8 palmos. Ela também mediu 
a mesa do mesmo modo e contou 11 palmos. Qual é o 
tamanho do palmo de Carolina, se o palmo de seu pai mede 
22 centímetros? 
A) 12 cm 
B) 13 cm 
C) 14 cm 
D) 16 cm 
E) 19 cm
2. Quantos sinais de adição foram utilizados na expressão 
2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 2013+ + + + + + + + + + + + + + + = ?
A) 503 
B) 1342 
C) 2012 
D) 2013 
E) 2016
3. O gráfi co mostra o número de casos notifi cados de 
dengue, a precipitação de chuva e a temperatura média, 
por semestre, dos anos de 2007 a 2010 em uma cidade 
brasileira. Podemos afi rmar que:
A) O período de maior precipitação foi o de maior 
temperatura média e com o maior número de casos de 
dengue notifi cados.
B) O período com menor número de casos de dengue 
notifi cados também foi o de maior temperatura média.
C) O período de maior temperatura média foi também o de 
maior precipitação.
D) O período de maior precipitação não foi o de maior 
temperatura média e teve o maior número de casos de 
dengue notifi cados.
E) Quanto maior a precipitação em um período, maior o 
número de casos de dengue notifi cados.
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7. Gabriel passou com seu triciclo 
sobre uma faixa de tinta fresca pintada 
no chão. O diâmetro da roda dianteira do 
triciclo é 50 cm e o das rodas traseiras 
é 20 cm. Qual das alternativas a seguir 
melhor representa as marcas deixadas 
no chão após a passagem do triciclo?
A) B)
C) D)
E)
8. Marcos fez cinco provas de Matemática. Suas notas, 
em ordem crescente, foram 75, 80, 84, 86 e 95. Ao digitar 
as notas de Marcos na ordem em que as provas foram 
realizadas, o professor notou que as médias das duas 
primeiras provas, das três primeiras, das quatro primeiras e 
das cinco provas eram números inteiros. Qual foi a nota que 
Marcos tirou na última prova? 
A) 75 
B) 80 
C) 84 
D) 86 
E) 95
9. Iara gastou R$10,00 
para comprar açúcar 
e chocolate. A relação 
entre as quantidades 
desses ingredientes que 
podem ser compradas 
com essa quantia é dada 
pelo gráfi co. Qual das 
seguintes afi rmativas é verdadeira, independentemente das 
quantidades compradas?
A) Iara comprou mais açúcar do que chocolate.
B) Iara comprou quantidades diferentes de açúcar e 
chocolate.
C) Iara gastou mais em chocolate do que em açúcar.
D) O preço de um quilo de chocolate é maior que o preço 
de um quilo de açúcar.
E) Iara comprou duas vezes mais chocolate do que de 
açúcar.
22 NÍVEL 3 OBMEP 2013
4. Elisa empilha seis dados em uma mesa, como na 
ilustração, e depois anota a soma dos números de todas as 
faces que ela consegue ver quando dá uma volta ao redor 
da mesa. As faces de cada dado são numeradas de 1 a 6 
e a soma dos números de duas faces opostas é sempre 7. 
Qual é a maior soma que Elisa pode obter?
A) 89 
B) 95
C) 97 
D) 100 
E) 108
5. Dois quadrados de papel se sobrepõem como na fi gura. 
A área não sobreposta do quadrado menor corresponde 
a 52% da área desse quadrado e a área não sobreposta 
do quadrado maior corresponde a 73% da área desse 
quadrado. Qual é a razão entre os lados do quadrado menor 
e do quadrado maior?
A) 
 
3
4
 
B) 
 
5
8
 
C) 
 
2
3
 
D) 
 
4
7
 
E) 4
5
6. A fi gura mostra quatro circunferências, todas de 
comprimento 1 e tangentes nos pontos indicados. Qual 
é a soma dos comprimentos dos arcos destacados em 
vermelho?
A) 3
2
 
B) 2 
C) 9
4
 
D) 8
3
 
E) 3
10. Uma escada com 2,9 metros de comprimento e uma 
articulação central C possui a extremidade B fi xa no chão 
e a extremidade A móvel, conforme a fi gura. A escada, 
inicialmente estendida no chão, foi dobrada de tal forma 
que a extremidade A deslizou 2 centímetros. A quantos 
centímetros do chão fi cou a articulação C? 
A) 2 
B) 4 
C) 8 
D) 11 
E) 17
11. Ana quer fazer duas aulas de natação por semana, 
uma de manhã e a outra à tarde. A escola de natação tem 
aulas de segunda a sábado às 9h, 10h e 11h e de segunda 
a sexta às 17h e 18h. De quantas maneiras distintas Ana 
pode escolher o seu horário semanal, de modo que ela não 
tenha suas aulas no mesmo dia nem em dias consecutivos?
A) 96 
B) 102 
C) 126 
D) 144 
E) 180
12. Duas formiguinhas partiram ao mesmo tempo e em 
direções diferentes de um mesmo vértice de um triângulo 
equilátero de lado 2 cm. Elas 
andaram sobre os lados do triângulo 
à velocidade de 1 cm/s, até retornar 
ao vértice inicial. Qual dos gráfi cos 
abaixo descreve a distância d entre 
as duas formiguinhas em função do 
tempo?
A) B)
C) D)
E)
33NÍVEL 3OBMEP 2013
13. Durante a aula, 
dois celulares tocaram 
ao mesmo tempo. 
A professora logo 
perguntou aos alunos: 
“De quem são os 
celulares que tocaram?” 
Guto disse: “O meu 
não tocou”, Carlos disse: “O meu tocou” e Bernardo disse: 
“O de Guto não tocou”. Sabe-se que um dos meninos disse 
a verdade e os outros dois mentiram. Qual das seguintes 
afi rmativas é verdadeira?
A) O celular de Carlos tocou e o de Guto não tocou.
B) Bernardo mentiu.
C) Os celulares de Guto e Carlos não tocaram.
D) Carlos mentiu.
E) Guto falou a verdade.
14. Um dado foi construído usando a planifi cação da 
fi gura. Qual é a probabilidade de obtermos dois resultados 
diferentes quando jogamos esse dado duas vezes?
A) 1
2
B) 11
18
C) 2
3
D) 5
6
E) 31
36
 
15. Em um mesmo dia, Cláudia partiu de Quixajuba 
para Pirajuba, enquanto Adílson partiu de Pirajuba para 
Quixajuba. O gráfi co mostra a distância de cada um deles 
ao respectivo ponto de partida durante todo o trajeto, em 
função do tempo. A que horas eles se encontraram na 
estrada?
A) 8h45min 
B) 10h15min
C) 10h30min
D) 11h00min
E) 11h45min
NÍVEL 3 OBMEP 2013
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
NÍVEL 3 OBMEP 2013
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
416. Na fi gura, as retas DE e DF são paralelas, 
respectivamente, aos lados AC e BC do triângulo ABC. Os 
triângulos ADF e DBE têm áreas 16 e 9, respectivamente. 
Qual é a área do quadrilátero CFDE?
A) 18 
B) 21 
C) 24 
D) 25 
E) 27
17. Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. De quantas 
maneiras ele pode pintar as regiões da bandeira da fi gura, 
cada uma com uma única cor, de modo que cada cor 
apareça pelo menos uma vez e que regiões adjacentes 
sejam pintadas com cores diferentes?
A) 336 
B) 420 
C) 576 
D) 864 
E) 972
18. O número de alunos matriculados na Escola Municipal 
de Pirajuba permanece o mesmo desde 2011. Em 2012, 
foram construídas 5 novas salas de aula e, com isso, 
a média de alunos por sala foi reduzida em 6 alunos em 
relação à média de 2011. Em 2013, foram construídas mais 
5 salas de aula e, com isso, a média de alunos por sala foi 
reduzida em 5 alunos em relação à média de 2012. Quantos 
alunos tem a Escola Municipal de Pirajuba?
A) 3150 
B) 3180 
C) 3240 
D) 3300 
E) 3350
19. Duas circunferências são tangentes internamente, 
como na fi gura. Os segmentos AB e CD são perpendiculares 
e o ponto O é o centro da circunferência maior. Os segmentos 
AP e CQ medem, respectivamente, 4 e 3 centímetros. Qual 
é a medida do raio do círculo menor?
A) 2,25 cm 
B) 2,5 cm 
C) 2,75 cm 
D) 3 cm 
E) 3,5 cm 
20. Adão gosta de construir sequências de quadriculados 
3x3, de acordo com as seguintes regras:
• o primeiro quadriculado tem todos seus quadradinhos 
pintados de cinza;
• para passar ao quadriculado 3x3 seguinte, escolhe-
se um quadriculado 2x2 e, neste quadriculado, os 
quadradinhos cinza passam a ser azuis, os azuis 
passam a ser amarelos e os amarelos passam a ser 
cinza.
Veja um exemplo de uma das sequências do Adão, na qual 
os quadriculados 2x2 escolhidos aparecem em destaque.
Um dia, ao construir uma sequência, Adão foi interrompido 
e o quadriculado que ele estava pintando fi cou incompleto, 
conforme a fi gura. Os pontos de interrogação 
indicam os quadradinhos que Adão não teve 
tempo de pintar. Qual das alternativas abaixo 
representa o preenchimento correto desse 
quadriculado?
A) B) C) 
D) E)
3NívelEnsino Médio1ª FASE – 27 de maio de 2014
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, CPF, endereço eletrônico, data de nascimento, 
ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: (A), (B), (C), (D) e (E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
8. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
1. Após lançar 2014 vezes uma moeda, Antônio contou 
997 caras. Continuando a lançar a moeda, quantas caras 
seguidas ele deverá obter para que o número de caras fi que 
igual à metade do número total de lançamentos?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 30
E) 40
2. Dois números x e y estão localizados na reta numérica 
como abaixo. 
Onde está localizado o produto xy?
A) À esquerda de 0.
B) Entre 0 e x.
C) Entre x e y.
D) Entre y e 1.
E) À direita de 1.
3. Cinco meninas não estão totalmente de acordo sobre a 
data da prova de Matemática.
• Andrea diz que será em agosto, dia 16, segunda-
feira; 
• Daniela diz que será em agosto, dia 16, terça-feira;
• Fernanda diz que será em setembro, dia 17, terça-
feira; 
• Patrícia diz que será em agosto, dia 17, segunda-
feira; 
• Tatiane diz que será em setembro, dia 17, segunda-
feira.
Somente uma está certa, e as outras acertaram pelo menos 
uma das informações: o mês, o dia do mês ou o dia da 
semana. Quem está certa?
A) Andrea
B) Daniela 
C) Fernanda 
D) Patrícia 
E) Tatiane
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997 caras. Continuando a lançar a moeda, quantas caras 
seguidas ele deverá obter para que o número de caras fi que 
igual à metade do número total de lançamentos?
0
x y
1 21�
7. Um retângulo ABCD de papel branco, com área de 20 cm2, 
é dobrado como mostra a fi gura, formando o pentágono 
BCD’EF com área de 14 cm2. Se pintarmos de azul os dois 
lados do papel dobrado e desfi zermos a dobra, o retângulo 
fi cará com uma região não pintada. Qual é a área dessa 
região?
A) 10 cm2
B) 12 cm2
C) 14 cm2
D) 16 cm2
E) 18 cm2
8. Começando com um quadrado de 1 cm de lado, 
formamos uma sequência de fi guras, como na ilustração. 
Cada fi gura, a partir da segunda, é formada unindo-se três 
cópias da anterior. Os contornos destacados em vermelho 
das quatro primeiras fi guras medem, respectivamente, 
4 cm, 8 cm, 20 cm e 56 cm. Quanto mede o contorno da 
Figura 6?
A) 88 cm
B) 164 cm
C) 172 cm
D) 488 cm
E) 492 cm
9. O professor Michel aplicou duas provas a seus alunos 
e divulgou as notas por meio do gráfi co mostrado abaixo. 
Por exemplo, o aluno A obteve 
notas 9 e 8 nas provas 1 e 2, 
respectivamente; já o aluno B 
obteve notas 3 e 2. Para um 
aluno ser aprovado, a média 
aritmética de suas notas deve 
ser igual a 6 ou maior do que 6. 
Qual dos gráfi cos representa a 
região correspondente às notas 
de aprovação?
A) B) C)
D) E)
0 5
5
10
10
0 5
5
10
10
0 5
5
10
10
0 5
5
10
10
22 NÍVEL 3 OBMEP 2014
4. Guilherme precisa chegar em 5 minutos ao aeroporto, 
que fi ca a 5 km de sua casa. Se nos 2 primeiros minutos 
seu carro andar a uma velocidade média de 90 km/h, qual 
é a menor velocidade média que ele terá que desenvolver 
nos próximos 3 minutos para não chegar atrasado ao 
aeroporto?
A) 35 km/h
B) 40 km/h
C) 45 km/h
D) 50 km/h
E) 60 km/h
5. Na fi gura ao lado, ABCD e EFGC são quadrados de 
áreas R e S, respectivamente. Qual é a área da região 
cinza?
A) 
2
R S+
 
B) 
2
R S−
 
C) 
2
RS
 
D) RS 
E) 2 2R S+ 
6. Todos os números de 1 a 24 devem ser escritos nas 
faces de um cubo, obedecendo-se às seguintes regras: 
• em cada face devem ser escritos quatro números 
consecutivos;
• em cada par de faces opostas, a soma do maior 
número de uma com o menor número da outra deve 
ser igual a 25. 
Se os números 7 e 23 estiverem escritos no cubo como na 
fi gura, qual é o menor número que pode ser escrito na face 
destacada em cinza?
A) 1
B) 5
C) 9
D) 11
E) 17
A B
F
GCD
E
23
7
AA
DD E E
D’ D’
CC C
BB BF F
Prova 1
P
ro
v
a
 2
0
A
B
5
5
10
10
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 ...
0 5
5
10
10
13. Em uma orquestra de cordas, sopro e percussão, 
23 pessoas tocam instrumentos de corda, 18 tocam 
instrumentos de sopro e 12 tocam instrumentos de 
percussão. Nenhum de seus componentes toca os três 
tipos de instrumentos, mas 10 tocam instrumentos de 
corda e sopro, 6 tocam instrumentos de corda e percussão 
e alguns tocam instrumentos de sopro e percussão. No 
mínimo, quantos componentes há nessa orquestra?
A) 31
B) 33
C) 43
D) 47
E) 53
14. Na cidade de Isabel e Talia, o preço de uma corrida 
de táxi, registrado no taxímetro, é calculado multiplicando-
se um certo valor pelo número de quilômetros percorridos, 
acrescentando-se R$ 4,00 a esse total.O taxímetro sempre 
inicia a corrida marcando esses R$ 4,00. Elas pegaram um 
mesmo táxi e combinaram dividir o valor total da corrida de 
forma proporcional à distância que cada uma percorreria. 
Quando o taxímetro marcava R$ 28,00, Isabel desceu sem 
pagar nada. O táxi prosseguiu com Talia, que pagou no fi nal 
o valor de R$ 44,00 registrado no taxímetro, correspondente 
a todo o percurso. Quanto Talia deve receber de Isabel?
A) R$ 4,00
B) R$ 9,00
C) R$ 13,50
D) R$ 14,00
E) R$ 16,50
 
15. Quantos números inteiros e positivos de cinco 
algarismos têm a propriedade de que o produto de seus 
algarismos é 1000? 
A) 10
B) 20
C) 25
D) 30
E) 40
10. Gustavo possui certa quantidade de moedas de 1, 10, 
25 e 50 centavos, tendo pelo menos uma de cada valor. É 
impossível combiná-las de modo a obter exatamente 1 real. 
Qual é o maior valor total possível para suas moedas?
A) 86 centavos
B) 1 real e 14 centavos
C) 1 real e 19 centavos
D) 1 real e 24 centavos
E) 1 real e 79 centavos
11. Quatro circunferências de mesmo raio estão dispostas 
como na fi gura, determinando doze pequenos arcos, todos 
de comprimento 3. Qual é o comprimento de cada uma 
dessas circunferências?
A) 18
B) 20
C) 21
D) 22
E) 24
12. O símbolo n! é usado para representar o produto dos 
números naturais de 1 a n, isto é, ! ( 1) 2 1n n n= ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Por 
exemplo, 4! 4 3 2 1 24= ⋅ ⋅ ⋅ = . Se 15 6 3 2! 2 3 5 7 11 13n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , 
qual é o valor de n?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 18
33NÍVEL 3OBMEP 2014
3
19. Dois dados têm suas faces pintadas de vermelho ou 
azul. Ao jogá-los, a probabilidade de observarmos duas 
faces superiores de mesma cor é 11/18. Se um deles tem 
cinco faces vermelhas e uma azul, quantas faces vermelhas 
tem o outro?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5 
20. Rodrigo brinca com uma fi ta de dois metros, com 
marcas de centímetro em centímetro. Começando pela 
ponta de marca 0 cm, ele dobra a fi ta várias vezes em 
zigue-zague, como na fi gura, sobrepondo pedaços de fi ta 
de mesmo tamanho até dobrar um último pedaço, que pode 
ser menor do que os demais. Ele observa que as marcas 
de 49 cm e de 71 cm fi caram sobrepostas em pedaços 
vizinhos. Ele observa também que a marca de 139 cm fi cou 
alinhada com elas. Com qual marca do penúltimo pedaço a 
ponta fi nal da fi ta fi cou sobreposta?
A) 160 cm
B) 176 cm
C) 184 cm
D) 190 cm
E) 196 cm
NÍVEL 3 OBMEP 2014
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
19. Dois dados têm suas faces pintadas de vermelho ou 
azul. Ao jogá-los, a probabilidade de observarmos duas 
faces superiores de mesma cor é 11/18. Se um deles tem 
cinco faces vermelhas e uma azul, quantas faces vermelhas 
tem o outro?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5 
20. Rodrigo brinca com uma fi ta de dois metros, com 
marcas de centímetro em centímetro. Começando pela 
ponta de marca 0 cm, ele dobra a fi ta várias vezes em 
zigue-zague, como na fi gura, sobrepondo pedaços de fi ta 
de mesmo tamanho até dobrar um último pedaço, que pode 
ser menor do que os demais. Ele observa que as marcas 
de 49 cm e de 71 cm fi caram sobrepostas em pedaços 
vizinhos. Ele observa também que a marca de 139 cm fi cou 
alinhada com elas. Com qual marca do penúltimo pedaço a 
ponta fi nal da fi ta fi cou sobreposta?
A) 160 cm
B) 176 cm
C) 184 cm
D) 190 cm
E) 196 cm
NÍVEL 3 OBMEP 2014
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
4
16. O paralelogramo ABCD tem área 24 cm2 e os 
pontos E e F são os pontos médios dos lados AB e BC, 
respectivamente. Qual é a área do quadrilátero EFGH?
A) 4 cm2
B) 5 cm2
C) 6 cm2
D) 7 cm2
E) 8 cm2
17. Mônica tem três dados nos quais a soma dos números 
em faces opostas é sempre 7. Ela enfi leira os dados de modo 
que as faces em contato tenham o mesmo número, obtendo 
um número de três algarismos nas faces superiores. Por 
exemplo, o número 436 pode ser obtido como mostrado 
na fi gura; já o número 635 não pode ser obtido. Quantos 
números diferentes ela pode obter?
A) 72
B) 96
C) 168
D) 192
E) 216
18. Um triângulo equilátero ABC 
gira uma vez em torno do vértice C 
e outra vez em torno do vértice B, 
sempre se apoiando em uma reta, 
como na fi gura ao lado. 
Qual das alternativas representa a 
trajetória descrita pelo ponto A?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
um número de três algarismos nas faces superiores. Por 
exemplo, o número 436 pode ser obtido como mostrado 
na fi gura; já o número 635 não pode ser obtido. Quantos 
números diferentes ela pode obter?
A
H
G
B
E
F C
D
A
C
B
A
C B
A C
B
A
C
B
A
C
B
ponta fi nal da fi ta fi cou sobreposta?
A lista de classifi cados para a 2ª Fase será divulgada a partir de 13 de agosto. 
A prova da 2ª Fase será realizada no dia 13 de setembro. Fique atento!
3NívelEnsino Médio1a FASE – 2 de junho de 2015
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, CPF, endereço eletrônico, data de nascimento, 
ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: A), B), C), D) e E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente, a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Não é permitido o uso de celulares, tablets ou quaisquer outros equipamentos eletrônicos.
8. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
9. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
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1. Para assar um frango são necessários 15 minutos para 
aquecer o forno e mais 12 minutos para assar cada meio 
quilo de frango. Paula comprou um frango de 2,5 kg. A que 
horas ela deve ligar o forno para que o frango fi que pronto 
às 20 horas? 
A) 18h
B) 18h15min
C) 18h30min
D) 18h45min
E) 19h
2. Na reta abaixo, a distância entre dois pontos consecutivos 
é sempre a mesma. Qual é o valor dessa distância?
A) 3
4 
 B) 1
4 
C) 2
3
 D) 2
5 
E) 1
3. Os números inteiros positivos foram escritos em 
sequência, como indicado na fi gura. Observe que na 
primeira linha foi escrito o número 1 e que nas seguintes há 
dois números a mais do que na linha anterior. Em qual linha 
foi escrito o número 2015?
A) 43
B) 44
C) 45
D) 46
E) 47
4. O retângulo da fi gura possui área igual a 640 cm2. 
Os pontos B e F são pontos médios dos lados AC e AE, 
respectivamente. Qual é a área do triângulo BDF?
A) 100 cm²
B) 120 cm²
C) 160 cm²
D) 220 cm²
E) 240 cm²
A C
E
B
D
F
x x
2
3x
linha 1 1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
linha 2
linha 3
linha 4
linha 5
...
22 NÍVEL 3 OBMEP 2015
5. Em uma Olimpíada de Matemática, foram distribuídas 
várias medalhas de ouro, várias de prata e várias de bronze. 
Cada participante premiado pôde receber uma única 
medalha. Aldo, Beto, Carlos, Diogo e Elvis participaram 
dessa olimpíada e apenas dois deles foram premiados. 
De quantas formas diferentes pode ter acontecido essa 
premiação?
A) 20
B) 30
C) 60
D) 90
E) 120
6. Joãozinho tem um tabuleiro como o da fi gura, no qual 
há uma casa vazia, uma casa com uma peça preta e as 
demais casas com peças cinzentas. Em cada movimento, 
somente as peças que estão acima, abaixo, à direita ou àesquerda da casa vazia podem se movimentar, com uma 
delas ocupando a casa vazia. Qual é o número mínimo 
de movimentos necessários para Joãozinho levar a peça 
preta até a casa do canto superior esquerdo, indicada pelas 
setas?
A) 13
B) 21
C) 24
D) 36
E) 39
7. A soma de dois números é 3 e a soma de seus cubos é 
25. Qual é a soma de seus quadrados?
A) 77
9
B) 99
7
C) 7
D) 9
E) 7
9
8. Marcelo gasta 24 minutos para ir andando de casa até 
o ponto de ônibus, ou 12 minutos, se for correndo. Ele sai 
de casa andando, às 15 horas, para pegar um ônibus às 
15h30min. No caminho, percebe que esqueceu a carteira 
e volta para casa correndo. Ele perde 3 minutos para 
encontrar a carteira e retorna correndo para o ponto de 
ônibus, chegando exatamente às 15h30min. A que horas 
Marcelo percebeu que estava sem a carteira? 
A) 15h08min
B) 15h10min
C) 15h12min
D) 15h15min
E) 15h18min
9. Júlia dobrou várias vezes uma tira retangular de papel 
com 3 cm de largura, como na fi gura. Todas as dobras 
formam um ângulo de 45º com os lados da tira. Qual é o 
comprimento dessa tira? 
A) 21 cm
B) 27 cm
C) 30 cm
D) 33 cm
E) 36 cm
10. Maria desenhou duas circunferências e duas retas, 
determinando 11 pontos de intersecção, como mostra a 
fi gura. Se ela desenhar mais três retas distintas entre si e 
também das demais, qual será, no total, o maior número 
possível de pontos de intersecção?
A) 17
B) 24
C) 32
D) 40
E) 54
3 cm
4 cm
5 cm
13. Um quadrado ABCD tem área 1. Um ponto P desloca-
se ao longo da semirreta AB, partindo do ponto A para 
a direita, conforme mostra a fi gura. Se S é a área da 
região compreendida entre os quadrados ABCD e APQR, 
destacada em cinza, qual é o gráfi co que melhor representa 
a variação de S em função de x? 
A) B) C)
D) E) 
14. Abaixo temos três fi guras pentagonais: a primeira 
com 5 pontos, a segunda com 12 pontos e a terceira com 
22 pontos. Continuando esse processo de construção, a 
vigésima fi gura pentagonal terá 651 pontos. Quantos pontos 
terá a vigésima primeira fi gura? 
A) 656
B) 695
C) 715
D) 756
E) 769
33NÍVEL 3OBMEP 2015
11. Uma sequência de números é defi nida por 1 3a = e
2
1n n na a a+ = + 
para todo número natural 1n ≥ . Por exemplo: 
2 2
2 1 1 3 3 12a a a= + = + = . Qual é o algarismo das unidades 
de 2015a ? 
A) 2
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
12. Na fi gura, o círculo das centenas está dividido em 
três setores, um semicircular e outros dois de mesma 
área. Cada um dos outros dois círculos está dividido em 
setores de mesma área. As setas nesses círculos, quando 
giradas, param ao acaso em algum setor, determinando 
um número de três algarismos. Por exemplo, na fi gura elas 
determinaram o número 331.
 
Qual é a probabilidade de que o número determinado pelas 
setas, após serem giradas, seja maior do que 260?
A) 45%
B) 55%
C) 60%
D) 65%
E) 70%
5 12 22
AA
DD
BB P
QR
xx
CC
P
QR
S
1
1 x
S
1
1 x
S
1
1 x
S
1
1 x
S
1
1 x
NÍVEL 3 OBMEP 2015
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
NÍVEL 3 OBMEP 2015
O
pe
ra
ci
on
al
iz
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ão
:
4
A lista de classifi cados para a 2a Fase será divulgada a partir de 12 de agosto. 
A prova da 2a Fase será realizada no dia 12 de setembro. Fique atento!
15. Daniel e mais quatro amigos, todos nascidos em 
estados diferentes, reuniram-se em torno de uma mesa 
redonda. O paranaense sentou-se tendo como vizinhos o 
goiano e o mineiro. Edson sentou-se tendo como vizinhos 
Carlos e o sergipano. O goiano sentou-se tendo como 
vizinhos Edson e Adão. Bruno sentou-se tendo como 
vizinhos o tocantinense e o mineiro. Quem é o mineiro?
A) Adão
B) Bruno
C) Carlos
D) Daniel
E) Edson
16. João colocou 100 moedas iguais em um pote e pediu a 
seus fi lhos, de idades distintas, que cada um deles colocasse 
no pote uma moeda para cada irmão mais velho e retirasse 
do pote duas moedas para cada irmão mais novo. Quando 
todos os fi lhos terminaram de fazer isso, restaram no pote 
22 moedas. Quantos são os fi lhos de João?
A) 5
B) 7
C) 10
D) 13
E) 15
17. Na fi gura, ABCD é um trapézio inscrito numa 
circunferência. A base maior do trapézio mede 16 cm, a 
base menor 10 cm e a altura 9 cm. Qual é a medida, em 
centímetros, do raio da circunferência?
A) 7
3
B) 25
3
C) 35
3 
D) 40
3
E) 50
3
18. Três amigas foram a uma livraria com seus namorados. 
Coincidentemente, cada pessoa pagou, por livro, um 
preço em reais igual à quantidade de livros que comprou. 
Além disso, cada mulher gastou 32 reais a mais que seu 
respectivo namorado. Ao fi nal das compras, as mulheres 
compraram, ao todo, oito livros a mais que os homens. 
Quantos livros foram comprados no total?
A) 32
B) 36
C) 40
D) 44
E) 48
19. Dado o conjunto A = {1, 2, 3, ..., 2015}, forma-se um 
subconjunto B, com a maior quantidade possível de 
elementos, tal que todo elemento de B é múltiplo ou divisor 
de qualquer outro elemento de B. Quantos elementos há no 
conjunto B?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
20. Uma lata cilíndrica, fechada embaixo e aberta na 
parte de cima, tem altura de 17 cm e sua borda é uma 
circunferência de comprimento 30 cm. Na superfície interna 
da lata, a 4 cm da borda superior, há uma mosca parada 
(ponto M). Na superfície externa da lata, a 1 cm da base e 
no mesmo plano que passa pela mosca e que divide a lata 
em duas partes iguais, encontra-se uma aranha (ponto A), 
como na fi gura. A aranha anda pela superfície da lata até 
chegar à mosca, fazendo o caminho mais curto entre elas. 
Quantos centímetros a aranha anda pela superfície interna 
da lata?
A) 1 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 5
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
A B
CD
3NívelEnsino Médio1a FASE – 7 de junho de 2016
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, CPF, endereço eletrônico, data de nascimento, 
ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: A), B), C), D) e E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente, a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Não é permitido o uso de celulares, tablets ou quaisquer outros equipamentos eletrônicos.
8. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
9. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
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1. A soma dos números das faces opostas de um dado é 
sempre 7. O dado da fi gura é girado sucessivamente sobre 
o caminho indicado até parar na última posição, destacada 
em cinza. Nessa posição, qual é o número que está na face 
superior do dado?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2. Em uma fi la com 30 pessoas estão Ana, Beatriz e Carla. 
Há 19 pessoas à frente de Ana e 12 pessoas entre Ana e 
Beatriz. Entre Beatriz e Carla há uma pessoa a mais do que 
entre Ana e Carla. Em que ordem elas estão na fi la?
A) Ana está à frente de Carla, que está à frente de Beatriz.
B) Beatriz está à frente de Ana, que está à frente de Carla.
C) Beatriz está à frente de Carla, que está à frente de Ana.
D) Carla está à frente de Ana, que está à frente de Beatriz.
E) Carla está à frente de Beatriz,que está à frente de Ana.
3. Na fi gura, as áreas dos quadrados P e R são iguais 
a 24 cm2 e 168 cm2, respectivamente. Qual é a área do 
quadrado Q?
A) 96 cm2
B) 100 cm2
C) 121 cm2
D) 144 cm2
E) 156 cm2
4. O gráfi co representa o 
percentual de aumento do preço 
de dois produtos, A e B, em 
uma mercearia no primeiro e 
no segundo semestres do ano 
passado. As afi rmativas abaixo 
referem-se ao período completo 
do ano passado. Qual delas é a 
correta?
A) O aumento percentual do preço de B foi maior do que o 
de A.
B) O aumento percentual dos preços dos dois produtos foi 
o mesmo.
C) O aumento percentual do preço de A foi de exatamente 
13%.
D) O preço de A diminuiu e o de B aumentou. 
E) O aumento percentual do preço de B foi maior do que 12%.
em cinza. Nessa posição, qual é o número que está na face 
P
R
Q
7% 7%
6%
5%
1º semestre 2º semestre
A AB B
22 NÍVEL 3 OBMEP 2016
5. No refeitório da escola de Quixajuba, na hora do almoço, 
130 alunos comeram carne e 150 comeram macarrão, 
sendo que 1/6
 
dos alunos comeram carne e também 
macarrão. Além disso, 70 alunos não comeram carne 
nem macarrão. Quantos alunos comeram carne mas não 
comeram macarrão?
A) 80
B) 90
C) 100
D) 120
E) 130
6. A fi gura mostra os cartões com as respostas de Ana, 
Beatriz e Cecília para uma prova de múltipla escolha, com 
cinco questões e alternativas A, B, C, D e E. Ana acertou 
quatro questões, Beatriz acertou uma e Cecília acertou 
três. Qual foi a questão que Ana errou?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
7. Numa corrida de 2 000 metros, André, Bento e Carlos 
correram com velocidades constantes. André chegou em 
primeiro lugar, 200 metros à frente de Bento e 290 metros à 
frente de Carlos. Quando Bento cruzou a linha de chegada, 
quantos metros ele estava à frente de Carlos?
A) 80 
B) 85 
C) 90 
D) 95 
E) 100 
8. Na fi gura, os pontos C e F pertencem aos lados BD e 
AE do quadrilátero ABDE, respectivamente. Os ângulos B 
e E são retos e os segmentos AB, CD, DE e FA têm suas 
medidas indicadas na fi gura. Qual é a área do quadrilátero 
ACDF?
A) 16 
B) 21 
C) 31 
D) 33
E) 40
9. Joãozinho distribuiu bolas em caixas numeradas de 1 
a 2016. Ele fez isso de forma que o número total de bolas, 
em quaisquer cinco caixas consecutivas, fosse sempre o 
mesmo. Na fi gura abaixo estão indicadas as quantidades 
de bolas em algumas caixas; a fi gura também mostra que 
Joãozinho colocou 3 e 7 bolas em duas caixas vizinhas. 
Quantas bolas ele colocou na última caixa?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
10. O quadrado da fi gura está inscrito no semicírculo e o 
círculo está inscrito no quadrado. O círculo tem área igual a 
10 cm2. Qual é a área do semicírculo?
A) 25 cm2
B) 30 cm2 
C) 35 cm2
D) 40 cm2
E) 45 cm2
E
D
C
6
7
2
10
F
AB
Caixa 2 Caixa 3 Caixa 4 Caixa 5 Caixa 2016Caixa 1
bolas bolas bola bolas bolas
5 9 1 ? ... ...3 7 ??
33NÍVEL 3OBMEP 2016
11. Os quadrados da fi gura têm lados 
paralelos e o mesmo centro. O quadrado 
maior tem lado 10 e o menor tem lado x. 
Qual é o gráfi co que expressa a área da 
região cinza em função de x?
A) B) C) D) E) 
12. Dois triângulos retângulos, ambos com catetos de 
medidas a e b , com a b> , são sobrepostos como na 
fi gura. Qual é a área do quadrilátero sombreado? 
A) 
2 2( )a a b
a b
+
+
B) 
2 2( )b a b
a b
+
+
C) 
2( )b a b
a b
−
+
D) 
2 2
2( )
a b
a b+
E) 
2a b
a b+
13. Uma função f é tal que (1 ) 2 ( ) 3f x f x x− + = , para todo 
x real. Qual é o valor de (0)f ? 
A) – 2 
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
14. Na fi gura, ABEF é um retângulo e BC = CD = DE. 
Qual é a razão entre as áreas do pentágono CDGHI e do 
retângulo ABEF?
A) 2
15
B) 1
6
C) 1
8
D) 3
10
E) 1
12
15. O retângulo ABCD foi dividido em nove retângulos 
menores, alguns deles com seus perímetros indicados na 
fi gura. O perímetro do retângulo ABCD é 54 cm. Qual é o 
perímetro do retângulo cinza? 
A) 15 cm
B) 19 cm 
C) 20 cm 
D) 22 cm
E) 24 cm
16. A professora decidiu premiar, por sorteio, dois dentre 
os 20 alunos da turma de João. Para o sorteio, 20 bolas 
com os números dos alunos foram colocadas em uma 
caixa. A primeira bola sorteada pela professora caiu no 
chão e se perdeu, sem que ninguém visse seu número. Ela 
decidiu fazer o sorteio com as bolas restantes. Qual é a 
probabilidade de que João tenha sido um dos dois alunos 
sorteados?
A) 1
10
B) 2
19
C) 19
200
D) 39
380
E) 37
342
16 cm
18 cm
A
D
B
C
26 cm
14 cm
x x x x x
10
x
A F
EB
I
H
G
DC
NÍVEL 3 OBMEP 2016
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
NÍVEL 3 OBMEP 2016
O
pe
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on
al
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4
A lista de classifi cados para a 2a Fase será divulgada a partir de 10 de agosto. 
A prova da 2a Fase será realizada no dia 10 de setembro. Fique atento!
17. Quantos são os números naturais n tais que 5 12
8
n
n
−
− é também um número natural?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
18. O símbolo proposto para os Jogos Escolares de 
Quixajuba é formado por seis anéis entrelaçados como 
na fi gura. Cada um dos anéis deve ser pintado com uma 
das três cores da bandeira da cidade (azul, verde ou rosa), 
de modo que quaisquer dois anéis entrelaçados tenham 
cores diferentes. Quantas são as maneiras de pintar esse 
símbolo?
A) 24
B) 36
C) 48
D) 60
E) 72
19. Bruno tem 5 fi gurinhas idênticas com a bandeira 
da Alemanha, 6 com a bandeira do Brasil e 4 com a da 
Colômbia. Ele quer fazer um pacote com pelo menos 3 
dessas fi gurinhas. De quantas maneiras ele pode fazer 
esse pacote?
A) 110
B) 120
C) 200
D) 201
E) 210
20. João tem cinco saquinhos de balas. Escolhendo-se, 
de todos os modos possíveis, quatro desses saquinhos e 
contando o total de suas balas, obtêm-se apenas quatro 
resultados: 23, 24, 26 ou 29. Qual é o maior número de 
balas em um saquinho?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
3NívelEnsino Médio1.ª FASE – 6 de junho de 2017
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, CPF, endereço eletrônico, data de nascimento, 
ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: A), B), C), D) e E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente, a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.
6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Não é permitido o uso de celulares, tablets ou quaisquer outros equipamentos eletrônicos.
8. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
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1. Na fi gura abaixo, D, E e F são pontos médios dos lados 
do triângulo ABC, e G, H e I são pontos médios dos lados 
do triângulo FBE. A área do triângulo ABC é 48 cm2. Qual é 
a área da região destacada em amarelo?
A) 16 cm2
B) 18 cm2
C) 20 cm2
D) 22 cm2
E) 24 cm2
2. Se 1a b− = e 1ab = , qual é o valor de 2 2a b+ ?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
3. Um ponto está a 1 cm de uma fi gura quando a menor 
distância desse ponto aos pontos da fi gura é 1 cm. Celinha 
traçou com uma caneta vermelha todos os pontos que 
estão a 1 cm de distância do círculo daFigura 1. A seguir, 
ela fez o mesmo para a região quadrada da Figura 2. Qual 
é o desenho que ela vai obter se traçar todos os pontos que 
estão a 1 cm de distância da região poligonal da Figura 3?
A) B) 
C) D) E) 
C
D
E
I
BHFA
G
Figura 1 Figura 2 Figura 3
2 NÍVEL 3 OBMEP 2017
4. Zequinha tem três dados iguais, com letras O, P, Q, R, S 
e T em suas faces. Ele juntou esses dados como na fi gura, 
de modo que as faces em contato tivessem a mesma letra. 
Qual é a letra na face oposta à que tem a letra T?
A) S
B) R
C) Q
D) P
E) O
5. Ana, Beatriz e Cristina treinam numa pista de corrida. Ana 
corre sempre com o dobro da velocidade de Beatriz e com 
o triplo da velocidade de Cristina. Um dia, Ana partiu do fi m 
da pista, correndo em sentido contrário ao de suas amigas, 
no mesmo instante em que Beatriz e Cristina partiram do 
início da pista. Após o treino, Ana disse para suas amigas 
que tinha percorrido 20 metros desde o momento em que 
cruzou com Beatriz até o momento em que cruzou com 
Cristina. Quantos metros tem a pista?
A) 200 metros
B) 220 metros
C) 240 metros
D) 300 metros
E) 360 metros
6. Somando 1 a um certo número natural, obtemos um 
múltiplo de 11. Subtraindo 1 desse mesmo número, obtemos 
um múltiplo de 8. Qual é o resto da divisão do quadrado 
desse número por 88?
A) 0
B) 1
C) 8
D) 10
E) 80
7. Se 2( ) 5f x x ax b= + + , com a b≠ , ( )f a b= e ( )f b a= , 
qual é o valor de a b+ ?
A) 5−
B) 1
5
−
C) 0
D) 1
5
E) 5
8. Na fi gura, o arco AC é um 
quarto de uma circunferência 
de centro D e o arco AB é um 
oitavo de uma circunferência 
de centro C. O segmento AD 
mede 2 cm. Qual é a área em 
cm2 da região verde? 
A) 2 
B) π
C) 4
D) 2π
E) 4π
9. A maior potência de 2 que divide o produto 
1 2 2023 2024× × × × é 22017. Qual é a maior potência de 2 
que divide o produto 1 2 4047 4048× × × × ?
A) 22018
B) 24034
C) 24041
D) 26051
E) 28068
10. No interior do quadrado ABCD de lado 9 cm, foram 
traçadas as semicircunferências de centros E, F e G, 
tangentes como indicado na fi gura. Qual é a medida de AG?
A) 11
5 
cm
B) 18
5 
cm
C) 19
5 
cm
 D) 11
4 
cm 
E) 27
8 
cm
P STQ
B
C A
D
D F C
G
E
A B
11. Em uma competição, 
as partidas têm duração 
de 60 minutos, e cada time 
tem sempre 5 jogadores em 
campo. Em determinada 
partida, um time inscreveu 8 atletas e foram feitas várias 
substituições de modo que cada um deles jogou a mesma 
quantidade de tempo. Quanto tempo cada um deles jogou 
nessa partida?
A) 27 minutos e 30 segundos
B) 30 minutos
C) 37 minutos e 30 segundos
D) 40 minutos
E) 42 minutos e 30 segundos
12. Por duas vezes Benício juntou, como na fi gura, três 
dados com faces numeradas de 1 a 6, de tal modo que 
faces em contato tivessem o mesmo número. Em cada uma 
das vezes ele somou os números de todas as faces que 
não fi caram em contato entre si. A diferença entre as somas 
obtidas foi 16. Quais são os números das faces que nunca 
fi caram em contato entre si? 
A) 1 e 4
B) 1 e 6
C) 2 e 5
D) 3 e 4 
E) 2 e 6
13. Na fi gura, os ângulos ˆABC e ˆBCD medem 120°, o 
ângulo ˆBAD é reto, e os segmentos BC e CD medem 4 cm 
e 8 cm, respectivamente. Qual é a área do quadrilátero 
ABCD em cm2? 
A) 14 3
B) 28 3
C) 32 3
D) 36 3
E) 40 3 
3NÍVEL 3OBMEP 2017
14. Uma caixa contém 10 bolas verdes, 10 bolas amarelas, 
10 bolas azuis e 10 bolas vermelhas. Joãozinho quer retirar 
uma certa quantidade de bolas dessa caixa, sem olhar, 
para ter a certeza de que, entre elas, haja um grupo de 
sete bolas com três cores diferentes, sendo três bolas de 
uma cor, duas bolas de uma segunda cor e duas bolas de 
uma terceira cor. Qual é o número mínimo de bolas que 
Joãozinho deve retirar da caixa?
A) 11
B) 14
C) 21
D) 22
E) 23
15. Na fi gura abaixo, BHEG é um retângulo com BG BH> , 
e A, C, D, F são pontos médios de seus respectivos lados. 
Um ponto P desloca-se ao longo da poligonal ABCDEF, 
partindo de A até o ponto F. 
Qual é o gráfi co que melhor representa a área R(x) do 
triângulo APF em função da distância x percorrida pelo 
ponto P ao longo dessa poligonal?
A) R
x 
B) R
x
C) R
x 
D) R
x
E) R
x
A B
C
D
8 cm
4 cm
120°
120°
E
F
GA
D
P
H
C
B
NÍVEL 3 OBMEP 2017
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
NÍVEL 3 OBMEP 2017
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
A lista de classifi cados para a 2.ª Fase será divulgada a partir de 11 de agosto. 
A prova da 2.ª Fase será realizada no dia 16 de setembro. Fique atento!
4
16. João tem 148 copos 
dispostos em fi la, cada um 
contendo um grão de feijão. 
Em etapas, João reduz a 
quantidade de copos da fi la da 
seguinte maneira: 
• se em uma etapa a quantidade de copos for par, ele coloca 
os feijões do último copo no primeiro, do penúltimo no 
segundo, do antepenúltimo no terceiro e assim por diante, 
descartando os copos vazios;
• se em uma etapa a quantidade de copos for ímpar, ele 
coloca os feijões do último copo no segundo, do penúltimo 
no terceiro, do antepenúltimo no quarto e assim por diante, 
também descartando os copos vazios.
Quando a fi la se reduzir a dois copos, quantos feijões 
estarão no primeiro copo?
A) 4
B) 10
C) 16
D) 20
E) 36
17. Ana e Beto foram os únicos candidatos na eleição para 
a presidência do grêmio estudantil da escola em que ambos 
estudam. Nessa eleição, votaram ao todo 1450 alunos. 
Durante a apuração, houve um momento em que Ana teve 
a certeza de que, ao fi nal, ela teria pelo menos a metade 
dos votos válidos. Naquele momento, os percentuais eram 
os seguintes: 
• votos não válidos: 20% dos votos apurados;
• votos em Ana: 60% dos votos válidos;
• votos em Beto: 40% dos votos válidos.
Quantos votos tinham sido apurados até aquele momento? 
A) 1110
B) 1150
C) 1200
D) 1250
E) 1300
18. Para quantos conjuntos }{ , ,a b c de três números 
naturais é verdade que 2310a b c× × = ?
A) 24
B) 30
C) 32
D) 36
E) 40 
19. Uma caixa contém nove bolas idênticas numeradas de 
1 a 9. Uma primeira bola é sorteada, seu número é anotado 
e a bola é devolvida à caixa. Repete-se esse procedimento 
mais duas vezes, anotando-se também os números da 
segunda e terceira bolas sorteadas. Qual é a probabilidade 
de que a soma dos números nas duas primeiras bolas 
sorteadas não seja um múltiplo de 3 e a soma dos números 
nas três bolas sorteadas seja um múltiplo de 3?
A) 2
9
B) 1
3
C) 2
3
D) 6
9
E) 7
9
20. Sérgio quer numerar de 1 a 
16 os triângulos da Figura 1 de tal 
modo que números consecutivos 
fi quem em triângulos que têm um 
lado comum. Por exemplo, ele pode 
numerar os triângulos como na 
Figura 2.
De quantas maneiras Sérgio pode 
fazer isso? 
A) 16
B) 32
C) 48
D) 56
E) 64
Figura 1
1
2
3
4
5
6
7
8 9
10
11
12
13
14
15
16
Figura 2
3NívelEnsino Médio1.ª FASE – 5 de junho de 2018
Nome completo do(a) aluno(a): _________________________________________________________________
INSTRUÇÕES
1. Preencha o cartão-resposta com seu nome completo, sexo, telefone, CPF, endereço eletrônico, data de nascimento, 
ano e turno em que estuda, e lembre-se de assiná-lo.
2. A duração da prova é de 2 horas e 30 minutos.
3. Cada questão tem cinco alternativas de resposta: A), B), C), D) e E) e apenas uma delas é correta.
4. Para cada questão marque a alternativa escolhida no cartão-resposta, preenchendo todo o espaço dentro do círculo 
correspondente, a lápis ou a caneta esferográfi ca azul ou preta (é preferível a caneta). 
5. Marque apenas uma alternativa para cada questão. Atenção: se você marcar mais de uma alternativa, perderá os 
pontos da questão, mesmo que uma das alternativas marcadas seja correta.6. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou quaisquer fontes de consulta.
7. Não é permitido o uso de celulares, tablets ou quaisquer outros equipamentos eletrônicos.
8. Os espaços em branco na prova podem ser usados para rascunho.
9. Ao fi nal da prova, entregue-a ao professor junto com o cartão-resposta.
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Visite nossas 
páginas na Internet:
1. Na tabela abaixo, a soma dos números da primeira linha 
é igual à soma dos números da segunda linha. Qual é o 
valor de x?
1.ª Linha 35 36 37 38 39 40 2018
2.ª Linha 31 33 35 37 39 41 x
A) 43
B) 1009
C) 2019
D) 2020
E) 2027
2. Na igualdade abaixo, a, b e c são números inteiros 
positivos. Qual é o valor de c?
10 1
17
a
b
c
= +
+
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 7
3. Os produtos A, B e C foram avaliados pelos consumidores 
em relação a oito itens. Em cada item os produtos receberam 
notas de 1 a 6, conforme a fi gura. De acordo com essas 
notas, qual é a alternativa correta?
A) O produto B obteve a maior nota no item propaganda.
B) O produto de maior utilidade é o menos durável.
C) O produto C obteve a maior pontuação em quatro itens.
D) O produto de melhor qualidade é o de melhor assistência 
técnica.
E) O produto com a melhor avaliação em propaganda é o 
de pior aparência.
Aparência
Utilidade
Preço
Propaganda
Assistência
técnica
Atendimento
Qualidade
Durabilidade
Produto C
Produto B
Produto A
6
5
4
3
2
1
2 NÍVEL 3 OBMEP 2018
4. Alice colocou um litro (1000 cm3) de água em uma jarra 
e mediu o nível da água. Depois ela colocou um objeto 
maciço de prata na jarra e mediu novamente o nível da 
água, conforme a fi gura. A massa de um centímetro cúbico 
de prata é 10,5 gramas. Qual é a massa desse objeto? 
A) 1050 g
B) 1500 g
C) 1800 g
D) 2100 g
E) 3000 g
5. De quantas maneiras podemos trocar uma nota de 
R$ 20,00 por moedas de R$ 0,10 e R$ 0,25?
A) 21
B) 36
C) 38
D) 41
E) 56
6. Na igualdade (EU)2 = MEU, as letras E, M e U 
representam algarismos não nulos. Nessa expressão, 
EU é um número de dois algarismos, e MEU é 
um número de três algarismos. Qual é o valor de 
M + E + U?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
7. Sabendo-se que 
2 2
2
7
12( )
x y
x y
+
=
+
, qual é o valor de x y
y x
+ ?
A) 2,0
B) 2,2
C) 2,4
D) 2,6
E) 2,8
8. A fi gura mostra o gráfi co da função defi nida por 2y x= . 
O ponto A tem coordenadas (0, p). Qual é o valor de p?
A) 5
B) 5,5
C) 6
D) 6,25
E) 6,5
9. A fi gura mostra três regiões, a, b e c, determinadas por 
um quadrado de centro O, e suas circunferências inscrita 
e circunscrita. Qual das igualdades a seguir é verdadeira?
A) c = a + b
B) c = a – b
C) c = 2a + b
D) c = a + 2b
E) c = 2a – b
O
a
b
c
A
y = x
2
y
x
– 2 3
3NÍVEL 3OBMEP 2018
10. Um estacionamento tem 10 vagas, uma ao lado da 
outra, inicialmente todas livres. Um carro preto e um carro 
rosa chegam a esse estacionamento. De quantas maneiras 
diferentes esses carros podem ocupar duas vagas de forma 
que haja pelo menos uma vaga livre entre eles? 
A) 56
B) 70
C) 71
D) 72
E) 80
11. Qual é o maior valor possível para o máximo divisor 
comum de dois números naturais cujo produto é 6 000?
A) 10
B) 20
C) 30
D) 40
E) 60
12. A fi gura mostra um quadrilátero convexo ABCD de 
área 1 e pontos P, Q, R e S tais que 
3
ABAP = , 
3
BCBQ = , 
3
CDCR = e 
3
DADS = . 
Qual é a área do quadrilátero PQRS?
A) 1/3
B) 5/9
C) 2/3
D) 7/9
E) 6/7
A
P
B
Q
C
R
D
S
13. Observe que na igualdade 360 = 90 + 120 + 150 
as parcelas são proporcionais a 3, 4 e 5. De quantas 
maneiras podemos escrever 360 como a soma de três 
parcelas inteiras, em ordem crescente, e proporcionais a 
três números inteiros positivos consecutivos?
A) 12
B) 15
C) 20
D) 60
E) 120
14. Vovó Vera quis saber 
qual de suas cinco netinhas 
tinha feito um desenho 
na parede de sua sala. 
As netinhas fi zeram as 
seguintes declarações:
• Emília: Não fui eu.
• Luísa: Quem desenhou foi a Marília ou a Rafaela.
• Marília: Não foi a Rafaela nem a Vitória.
• Rafaela: Não foi a Luísa.
• Vitória: Luísa não está dizendo a verdade.
Se apenas uma das netinhas mentiu, quem fez o desenho?
A) Emília 
B) Luísa
C) Marília
D) Rafaela
E) Vitória
15. Um polígono simples com 2018 lados é desenhado a 
partir de um vértice P no interior de um quadrado. Nenhum 
vértice do polígono está sobre qualquer lado do quadrado, 
e nenhum vértice do quadrado está sobre qualquer lado do 
polígono. Dentre as alternativas abaixo, qual é a única que 
pode corresponder ao número de intersecções entre lados 
do quadrado e lados do polígono?
A) 816
B) 911
C) 1015
D) 2017
E) 4036 
A
P
D
B
C
Um polígono é 
simples quando 
não há intersecção 
de lados não 
adjacentes.
NÍVEL 3 OBMEP 2018
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
NÍVEL 3 OBMEP 2018
O
pe
ra
ci
on
al
iz
aç
ão
:
A lista de classifi cados para a 2.ª Fase será divulgada a partir de 13 de agosto. 
A prova da 2.ª Fase será realizada no dia 15 de setembro. Fique atento!
4
19. Tomás tem duas caixas, cada uma com cinco bolas 
numeradas de 1 a 5. As dez bolas são idênticas, exceto 
pelo seu número. Ele sorteia uma bola da primeira caixa e a 
coloca na segunda. Em seguida, ele sorteia duas bolas da 
segunda caixa. Qual é a probabilidade de que a soma dos 
números das duas bolas sorteadas da segunda caixa seja 
igual a 6?
A) 1/5
B) 4/15
C) 11/30
D) 7/45
E) 1/3
20. Em um quadrilátero ABCD, os lados AB e CD não 
são paralelos, e suas medidas são iguais a 2 cm e 12 cm, 
respectivamente. Dentre as opções abaixo, qual é a única 
que pode representar a medida do segmento que une os 
pontos médios dos lados AD e BC?
A) 4,5 cm
B) 5,0 cm
C) 6,5 cm
D) 7,0 cm
E) 7,5 cm
16. João tem o estranho hábito de mentir às segundas, 
terças e quartas. Nos outros dias da semana ele fala a 
verdade. Todos os dias João diz a Maria se vai mentir ou 
não no dia seguinte. Em quantos dias da semana João 
pode dizer: “Ontem eu disse a Maria que mentiria hoje”?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
17. Gabriel brinca com números de dois ou mais algarismos. 
Ele substitui os dois primeiros algarismos à esquerda do 
número pela soma desses algarismos, e repete esse 
procedimento até obter um número de um algarismo. Por 
exemplo, partindo do número 2018 ele obtém o número 2, 
pois 2018 218 38 11 2→ → → → . Quantos são os números 
de três algarismos a partir dos quais Gabriel pode obter o 
número 1? 
A) 9
B) 10
C) 56
D) 80
E) 100
18. Helena tem três caixas com 10 bolas em cada uma. As 
bolas dentro de uma mesma caixa são idênticas, e as bolas 
em caixas diferentes possuem cores distintas. De quantos 
modos ela pode escolher 15 bolas dessas três caixas?
A) 91
B) 136
C) 150
D) 200
E) 210
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande
satisfação que contamos agora com sua participação na 2ª Fase.
Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja um estímulo
para aumentar seu gosto e alegria em estudar Matemática.
Um abraço da equipe da OBMEP!
· Verifique se os dados da etiqueta acima estão corretos. Escreva e assine o seu
nome nos locais indicados e assine a lista de presença.
· A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
· A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala de prova 20 minutos
após o início da prova. Ao terminar a prova, entregue-a ao aplicador.
· A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para ela, de maneira
organizada e legível.
· Na correção serão considerados todos os raciocínios que você apresentar.
· O que você escrever na página de rascunhonão será considerado.
· Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção.
· Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer fonte de
consulta.
· Não é permitido comunicar-se com outras pessoas além do aplicador.
· Não escreva nos espaços sombreados.
Nome do(a) aluno(a):
Assinatura do(a) aluno(a):
INSTRUÇÕES
“Grande coisa é haver recebido do céu uma partícula de sabedoria, o dom de achar a relação
das coisas, a faculdade de as comparar e o talento de concluir.”
Os nomes usados nesta prova são de personagens da obra do grande escritor brasileiro Machado de Assis.
Nível3Ensino Médio
2ª FASE - 8 de outubro de 2005
1
2
3
4
5
6
TOTAL
 Nota 1 Nota 2
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
2NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas. OBMEP 2005
QUESTÃO 1
Quincas Borba uniu quatro blocos retangulares de madeira, cada um com 4 cm de comprimento,
1 cm de largura e 1 cm de altura, formando o objeto mostrado na figura.
A) Qual é o volume deste objeto?
B) Quantas arestas tem este objeto?
C) Qual a área da superfície deste objeto?
A)
B)
C)
4 cm
1 cm
1 cm
TOTAL
 3NÍVEL 3
OBMEP 2005 Respostas sem justificativa não serão consideradas.
QUESTÃO 2
A seqüência 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21, ... é formada a partir do número 0 somando-se alternadamente 3 ou 4 ao termo
anterior, isto é: o primeiro termo é 0, o segundo é 3 a mais que o primeiro, o terceiro é 4 a mais que o segundo, o quarto
é 3 a mais que o terceiro, o quinto é 4 a mais que o quarto e assim sucessivamente.
0 , 3 , 7 , 10 , 14 , ...
 +3 +4 +3 +4
A) Escreva os 20 primeiros termos desta seqüência.
B) Qual é o 1000º termo desta seqüência?
C) Algum termo desta seqüência é igual a 2 000? Por quê?
A)
B)
C)
TOTAL 4NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas. OBMEP 2005
QUESTÃO 3
Numa certa cidade existem apenas duas empresas de táxi, a Dona
Leopoldina e a Dom Pedro II. A Dona Leopoldina cobra uma taxa fixa de
R$ 3,00 mais R$ 0,50 por quilômetro rodado. Já a Dom Pedro II cobra uma
taxa fixa de R$ 1,00 mais R$ 0,75 por quilômetro rodado.
Os amigos Bento, Sofia e Helena trabalham nessa cidade e sempre voltam
de táxi do trabalho para casa. Para pagar menos, Helena sempre usa os
táxis da Dona Leopoldina e, pelo mesmo motivo, Bento só usa os da Dom
Pedro II. Sofia usa os táxis das duas empresas, porque paga o mesmo
preço em ambas.
A) Quanto Sofia paga para ir de táxi do trabalho para casa?
B) Qual dos três amigos percorre, de táxi, a menor distância entre seu trabalho e sua casa?
A)
B)
Tarifas de Táxi
Dona Leopoldina Dom Pedro II
Taxa de R$ 3,00 Taxa de R$ 1,00
mais mais
R$ 0,50 por km rodado R$ 0,75 por km rodado
TOTAL
 5NÍVEL 3
OBMEP 2005 Respostas sem justificativa não serão consideradas.
QUESTÃO 4
Um prefeito quer construir uma praça quadrada de 10 m de lado, que terá quatro
canteiros triangulares de pedra e um canteiro quadrado de grama, como na figura. O
prefeito ainda não decidiu qual será a área do canteiro de grama, e por isso o
comprimento do segmento AB está indicado por x na figura.
A) Calcule a área do canteiro de grama para x = 2.
B) Escreva a expressão da área do canteiro de grama em função de x.
Sabe-se que o canteiro de grama custa R$ 4,00 por metro quadrado e os canteiros
de pedra custam R$ 3,00 por metro quadrado. Use esta informação para responder
aos dois itens a seguir.
C) Qual a menor quantia que o prefeito deve ter para construir os cinco canteiros?
D) Se o prefeito tem apenas R$ 358,00 para gastar com os cinco canteiros, qual é a área do maior canteiro de grama que
a praça poderá ter?
A)
B)
C)
D)
xA B
10 grama
p
ed
ra
pedra
pedra p
ed
ra
TOTAL 6NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas. OBMEP 2005
QUESTÃO 5
Em um jogo, cada participante recebe um cartão com 4 números distintos de 1 a 20, dispostos em duas linhas e duas colunas.
Os números são sucessivamente sorteados de uma caixa que contém 20 bolas idênticas, que foram numeradas de 1 a 20.
Ganha o participante cujo cartão for o primeiro a ter sorteados dois números de uma linha ou dois números de uma coluna.
A) Os cartões e são equivalentes, porque se um deles ganha o jogo então o outro ganha também.
Descreva todos os cartões equivalentes ao cartão .
B) Qual é a probabilidade de que o cartão ganhe logo na segunda bola sorteada?
A)
B)
 1 5
12 3
12 1
 3 5
 7 2
 9 4
 1 5
12 3
TOTAL
 7NÍVEL 3
OBMEP 2005 Respostas sem justificativa não serão consideradas.
QUESTÃO 6
Capitu cortou uma folha de papel retangular em 9 pedaços quadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 e 18 centímetros
cada um.
A) Qual era a área da folha antes de ser cortada?
B) Quais eram as dimensões da folha antes de ser cortada?
C) Capitu precisa montar a folha de novo. Ajude-a mostrando, com um desenho, como fazer esta montagem.
A)
B)
C)
TOTAL
ATENÇÃO: O que você escrever nessa página não será considerado na correção.
3
Nı´vel
Ensino Me´dio
2a FASE – 18 de novembro de 2006
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Parabe´ns pelo seu desempenho na 1aFase da OBMEP. E´ com grande satisfac¸a˜o que contamos agora
com sua participac¸a˜o na 2aFase. Desejamos que voceˆ fac¸a uma boa prova e que ela seja um estı´mulo
para aumentar seu gosto e alegria em estudar Matema´tica.
Um abrac¸o da equipe da OBMEP!
Ministe´rio
da Cieˆncia e
Tecnologia
Ministe´rio da
Educac¸a˜o
SOCIEDADE
BRASILEIRA
DE MATEMA´TICA
INSTRUC¸O˜ES
1. Verifique se os dados da etiqueta acima esta˜o corretos. Escreva
seus dados (nome e enderec¸o completos) e assine no local indicado.
Assine tambe´m a lista de presenc¸a.
2. A prova pode ser feita a la´pis ou a caneta.
3. A durac¸a˜o da prova e´ de 3 horas. Voceˆ so´ podera´ deixar a sala
de prova 25 minutos apo´s o inı´cio da prova. Ao terminar a prova,
entregue-a ao aplicador.
4. A soluc¸a˜o de cada questa˜o deve ser escrita na pa´gina reservada
para ela, de maneira organizada e legı´vel. Evite escrever soluc¸o˜es
na folha de rascunho.
5. Na correc¸a˜o sera˜o considerados todos os raciocı´nios que voceˆ apre-
sentar. Tente resolver o maior nu´mero possı´vel de itens de todas as
questo˜es.
6. Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas na correc¸a˜o.
7. Na˜o e´ permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou
qualquer fonte de consulta.
8. Na˜o e´ permitido comunicar-se com outras pessoas ale´m do aplica-
dor.
9. Na˜o escreva nos espac¸os sombreados.
“Na˜o quero ter a terrı´vel limitac¸a˜o de quem vive apenas do que e´ possı´vel fazer sentido. Eu na˜o: quero e´ uma verdade inventada.”
Os nomes usados nesta prova sa˜o de personagens da obra da grande escritora brasileira Clarice Lispector.
Nome completo do aluno
Enderec¸o completo do aluno
Complemento CEP
Cidade UF
Assinatura
DDD Telefone (opcional)
1 2 3 4 5 6 Total
Correc¸a˜o Regional
1 2 3 4 5 6 Total
Correc¸a˜o Nacional
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas
2
(1) Raimundo e Macabe´a foram a um restaurante que cobra R$ 1,50 por cada 100 gramas
de comida para aqueles que comem ate´ 600 gramas e R$ 1,00 por cada 100 gramas para
aqueles que comem mais de 600 gramas.
(a) Quanto paga quem come 350 gramas?E quem come 720 gramas?
(b) Raimundo consumiu 250 gramas mais que Macabe´a, mas ambos pagaram a mesma quan-
tia. Quanto cada um deles pagou?
(c) Desenhe o gra´fico que representa o valor a ser pago em func¸a˜o do peso da comida. Mar-
que nesse gra´fico os pontos que representam a situac¸a˜o do item (b).
(a)
(b)
(c)
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
valor pago (R$)
peso da comida (g)
TOTAL
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas
3
NI´VEL 3
(2) A figura representa o trac¸ado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C e D
sa˜o usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distaˆncias entre postos
vizinhos, em quiloˆmetros, esta˜o indicadas na figura e as corridas sa˜o realizadas no
sentido indicado pela flecha.
Por exemplo, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida em D e chegada
em A.
b
b
b
b
A
B
C
D
1 2
6
4
(a) Quais sa˜o os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quiloˆmetros?
(b) E para uma corrida de 100 quiloˆmetros, quais sa˜o esses postos?
(c) Mostre que e´ possı´vel realizar corridas com extensa˜o igual a qualquer nu´mero inteiro de quiloˆmetros.
(a)
(b)
(c)
TOTAL
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas
4
(3) Na figura, os triaˆngulos ABC e BDE sa˜o congruentes e os aˆngulos BbAC e DbBE sa˜o retos.
(a) Ache a raza˜o entre a a´rea do triaˆngulo BDF e a a´rea do quadrila´tero AEFC.
(b) Determine a medida do aˆngulo BbFE .
(c) Sabendo que AB = 12 e AC = 5, calcule a a´rea do triaˆngulo EFB.
b
A
b
B
b
C
b
D
b
E
b
F
(a)
(b)
(c)
TOTAL
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas
5
NI´VEL 3
(4) O quadrado da figura I e´ chamado especial porque
1. ele esta´ dividido em 16 quadrados iguais;
2. em cada linha e em cada coluna aparecem os algarismos 1, 2, 3 e 4;
3. em cada um dos quadrados A, B, C e D (como na figura II) aparecem os alga-
rismos 1, 2, 3 e 4.
C D
A B
2 4 3 1
3 1 4 2
1 3 2 4
4 2 1 3
III
(a) Complete o quadrado abaixo de modo que ele se torne especial.
2
1
3 4
2
(b) E´ possı´vel completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial? Por queˆ?
1
2
3 4
1 2
(c) Exiba todas as maneiras de completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial.
1
3 4
1 2
(d) Quantos quadrados especiais existem?
TOTAL
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas
6
(5)
(a) Severina escreveu um nu´mero inteiro positivo em cada lado de um quadrado. Em seguida, escreveu em cada ve´rtice o produto
dos nu´meros escritos nos lados que se encontram nesse ve´rtice. A soma dos nu´meros escritos em dois lados opostos e´ 60 e
a soma dos nu´meros escritos nos outros lados e´ 85. Qual e´ a soma dos nu´meros escritos nos ve´rtices?
(b) Catarina, por sua vez, escreveu em cada face de um cubo um nu´mero inteiro positivo. Em seguida, escreveu em cada ve´rtice
o produto dos nu´meros escritos nas treˆs faces que se encontram nesse ve´rtice. Se a soma dos nu´meros escritos nos ve´rtices
e´ 105, qual e´ a soma dos nu´meros escritos nas faces?
(a)
(b)
TOTAL
Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas
7
NI´VEL 3
(6) Rodrigo coloca la´pis cilı´ndricos de 15 cm de comprimento e 1 cm de diaˆmetro em caixas na forma de bloco retangular com
base de dimenso˜es 6 cm por 15 cm. Ele empilha os la´pis nas caixas usando dois me´todos diferentes, ilustrados a seguir:
No me´todo A, os centros dos cı´rculos formam quadrados e, no me´todo B, triaˆngulos equila´teros, como na figura.
(a) Mostre que cada camada de la´pis empilhados pelo me´todo B, exceto a primeira, acrescenta
√
3
2
cm a` altura da pilha.
Para resolver os pro´ximos itens, use a aproximac¸a˜o 0, 87 para
√
3
2
.
(b) Rodrigo quer colocar 90 la´pis em uma caixa. Qual a menor altura que a caixa deve ter se ele usar o me´todo A? E se ele usar o
me´todo B?
(c) Olı´mpico mostrou a Rodrigo como empacotar 90 la´pis em uma caixa de altura 14, 5 cm. Como isso pode ser feito?
(a)
(b)
(c)
TOTAL
Atenc¸a˜o: Escreva aqui apenas o seu rascunho!
R
A
S
C
U
N
H
O
 
 1 2 3 4 5 6 Total 
 
Correção Regional 
 
 
 1 2 3 4 5 6 Total 
 
 
Correção Nacional 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos agora 
com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja um estímulo 
para aumentar seu gosto e alegria em estudar Matemática. 
 
Um abraço da Equipe da OBMEP! 
 
 
 
 
INSTRUÇÕES 
1. Verifique se os dados da etiqueta acima estão corretos. Escreva 
seu nome e endereço completos no quadro abaixo e assine no local 
indicado. Assine também a lista de presença. 
 
2. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta. 
 
3. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala 45 
minutos após o início da prova. Ao terminar a prova entregue-a ao 
aplicador. 
 
4. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada 
para ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções 
na folha de rascunho. 
 
5. Na correção serão consideradas todos os raciocínios que você 
apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas 
as questões. 
 
6. Respostas sem justificativa não serão consideradas na correção. 
 
7. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras 
ou qualquer fonte de consulta. 
 
8. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do 
aplicador. 
 
9. Não escreva nos espaços sombreados. 
“Eu não tenho o hábito da leitura. Eu tenho paixão da leitura. O livro sempre foi para mim uma fonte de encantamento. Eu leio com 
prazer, leio com alegria.” 
 
 
Os nomes usados nesta prova são de personagens da obra do grande escritor brasileiro Ariano Suassuna, 
que a OBMEP homenageia por ocasião de seu 80º aniversário. 
 
Dados do aluno 
 
Endereço completo do aluno 
 
Complemento CEP 
 
Cidade UF 
 
Assinatura DDD Telefone (opcional) 
 
 
 Nível 
Ensino Médio 
2ª
 
FASE – 20 de outubro de 2007 3 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas 
 
 
 
2 
(1) A calculadora do Dodó tem uma tecla especial com o símbolo a. Se o visor mostra um número x diferente de 
2, ao apertar a aparece o valor de 2 3
2
x
x
−
− . 
(a) Se o Dodó colocar 4 no visor e apertar a, qual número vai aparecer? 
 
(b) Dodó colocou um número no visor e, ao apertar a, apareceu o mesmo número. Quais são os 
números que ele pode ter colocado no visor? 
 
(c) Dodó percebeu que, colocando o 4 no visor e apertando a duas vezes, aparece de novo o 4; 
da mesma forma, colocando o 5 e apertando a duas vezes, aparece de novo o 5. O mesmo vai 
acontecer para qualquer número diferente de 2? Explique. 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas. NÍVEL 3 
 
 
 
 
 
3 
(2) A figura mostra a planta do quarto do Pinhão. Todos 
os ângulos entre paredes sãoretos e a porta tem 90 cm de 
largura. Nessa questão, não consideramos a espessura das 
paredes. 
 
(a) Uma lâmpada foi colocada no teto, na posição indicada na 
figura. Desenhe na planta a parte do chão que não será 
iluminada diretamente por essa lâmpada e calcule a área 
dessa parte. 
 
 
(b) A cama do Pinhão mede 
2,00 m por 1,60 m e foi colocada na posição indicada na figura ao lado. Nessa situação, 
é possível abrir a porta sem que ela toque na cama? Por quê? 
 
 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas 
 
 
 
4 
(3) Os times A, B, C, D e E disputaram, entre si, um torneio de futebol com as seguintes regras: 
• o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha nada; 
• em caso de empate cada um dos times ganha 1 ponto; 
• cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros. 
 
O campeão do torneio foi o time A, seguido na classificação por B, C, D e E, nessa 
ordem. Além disso 
• o time A não empatou nenhuma partida; 
• o time B não perdeu nenhuma partida; 
• todos os times terminaram o torneio com números diferentes de pontos. 
 
(a) O time A ganhou, perdeu ou empatou sua partida contra o time B? Por quê? 
 
(b) Com quantos pontos o time A terminou o torneio? Por quê? 
 
(c) Explique porque o time B obteve um número par de pontos nesse torneio. 
 
(d) Na tabela, cada coluna representa uma partida. Sabendo que ocorreram exatamente 5 empates nesse torneio, 
desenhe, em cada coluna da tabela, um círculo em volta do nome do time ganhador ou em volta do ×, em caso de 
empate. 
 
(a) 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) 
 
 
 
 
 
 
A A A A B B B C C D 
× × × × × × × × × × 
B C D E C D E D E E 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas. NÍVEL 3 
 
 
 
 
 
5 
(4) Fernando e Isaura inventaram um jogo diferente, cujas regras são as 
seguintes: 
1. eles começam uma partida com 128 palitos cada um; 
2. em cada jogada, eles tiram par ou ímpar; se sai par, Fernando dá 
metade dos palitos que tem para Isaura e, se sai ímpar, Isaura dá a 
metade dos palitos que tem para Fernando. 
3. eles repetem o procedimento da regra 2 até que um deles fique com 
um número ímpar de palitos, quando a partida acaba. Ganha quem 
ficar com maior número de palitos. 
 
Veja o que acontece em uma partida onde a seqüência das três primeiras jogadas 
é par, ímpar, par: 
 
Fernando Isaura Fernando Isaura Fernando Isaura Fernando Isaura 
128 128 →1 jogadaa par 64 192 →2 jogadaaímpar 160 96 →3 jogadaa par 80 176 ... 
 
(a) Complete o esquema com o número de palitos de Fernando e Isaura, de acordo com as jogadas indicadas. 
 
(b) Uma partida acabou quando Fernando ficou com 101 palitos. Na última jogada saiu par ou ímpar? 
 
(c) Qual foi a seqüência de pares e ímpares da partida que acabou quando Fernando ficou com 101 palitos? 
 
(d) Mostre que qualquer partida acaba com exatamente sete jogadas. 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fernando Isaura Fernando Isaura Fernando Isaura Fernando Isaura (a) 
128 128 
ímpar
a→1 jogada →2 jogadaaímpar →3 jogadaa par ... 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas 
 
 
 
6 
(5) O Grêmio Estudantil de Taperoá vai dar uma festa, vendendo ingressos a R$ 6,00. Para estimular a compra 
antecipada de ingressos, os diretores do Grêmio decidiram que: 
• os ingressos serão numerados a partir do número 1 e vendidos obedecendo 
à ordem crescente de sua numeração; 
• ao final da festa, cada participante receberá R$ 0,01 para cada ingresso 
vendido que tenha um número maior que o número do seu ingresso. 
 
(a) Se forem vendidos 100 ingressos, quanto vai receber, ao final da festa, a pessoa 
que comprou o ingresso com o número 1? E a que comprou o ingresso com o 
número 70? 
 
(b) Qual será o lucro do Grêmio se forem vendidos 100 ingressos? 
 
(c) Quantos ingressos o Grêmio deve vender para ter o maior lucro possível? 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas. NÍVEL 3 
 
 
 
 
 
7 
(6) Dado um pentágono regular, dizemos que um ponto é legal quando: 
• ele é um dos vértices do pentágono, ou 
• ele é a interseção de segmentos cujos extremos são pontos legais; esses segmentos são chamados 
segmentos legais. 
 
A figura mostra como triangular legalmente (isto é, decompor em partes triangulares usando somente segmentos 
legais) um pentágono em 3, 5, 9 e 11 triângulos. Os pequenos círculos indicam os pontos legais que aparecem a cada 
etapa. Note que a decomposição na quinta etapa não é uma triangulação legal, pois uma de suas partes é um 
quadrilátero. 
 
(a) Desenhe uma triangulação legal do pentágono em 7 triângulos. 
 
(b) Mostre como triangular legalmente o pentágono em qualquer número ímpar (maior que 1) de 
triângulos (a figura ao lado pode ajudar). 
 
(c) Mostre que não é possível triangular legalmente o pentágono em um número par de triângulos. 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas 
 
 
 
8 
 
3NívelEnsino Médio2ª FASE – 08 de novembro de 2008
INSTRUÇÕES
 1. Verifique se os dados da etiqueta acima estão corretos. Escreva 
seus dados no quadro (nome e endereço completos) e assine no 
local indicado. Assine também a lista de presença.
2. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
3. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala 
de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova 
entregue-a ao aplicador.
4. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada 
para ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções 
na folha de rascunho. 
5. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você 
apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de 
todas as questões.
6. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção.
7. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou 
qualquer fonte de consulta.
8. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do 
aplicador.
9. Não escreva nos espaços sombreados.
 
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que 
contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e 
que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
1 2 3 4 5 6 Total
1 2 3 4 5 6 Total
Correção Regional
Correção Nacional
“Liberdade - essa palavra que o sonho humano alimenta: não há ninguém que explique, e ninguém que não entenda!” 
Homenagem à grande escritora e poetisa brasileira Cecília Meireles.
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno
Complemento CEP
Cidade UF
Assinatura
Telefone (opcional)DDD
2 NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
5 2
7
(1) Os círculos da figura abaixo foram preenchidos com 
os números de 1 a 7, de modo que todas as flechas apontam 
de um número menor para um maior. Neste caso, dizemos 
que a figura foi bem preenchida. 
(a) Complete a figura abaixo com os números de 1 a 9 de 
modo que ela fique bem preenchida.
(b) De quantas maneiras a figura ao lado pode ser bem preenchida com os números de1 a 5? 
(c) De quantas maneiras a figura ao lado pode ser bem preenchida com os números de 1 a 7?
ToTAL
1
3
4
7
6
52
ToTAL
(2) Numa folha de papel marcamos pontos igualmente espaçados na horizontal 
e na vertical, de modo que o quadrado A tenha área 1 cm2, como na figura. Dizemos 
que um quadrado é legal se seus vértices são quatro desses pontos; por exemplo, os 
quadrados A e B são legais.
(a) Qual é a área do quadrado B?
(b) Desenhe ao lado um quadrado legal de área 13 cm2.
(c) Existe um quadrado legal de área 41 cm2? E de área 43 cm2? Justifique sua 
resposta.
(d) Mostre que para cada quadrado legal existe outro quadrado legal com o dobro de sua área.
1 cm²
A
1 cm²
B
3NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
ToTAL
(3) Na figura, o triângulo ABC e o retângulo 
PQRS têm a mesma área e a mesma altura 1. Para 
cada valor de x entre 0 e 1 desenha-se o trapézio 
ABED de altura x e depois o retângulo PQNM de 
área igual à do trapézio, como na figura. Seja f a 
função que associa a cada x a altura do retângulo 
PQNM. 
(a) Qual é a razão entre AB e PQ?
(b) Qual é o valor de 





2
1
ff ?
(c) Ache a expressão de ( )f x e desenhe o gráfico de f.
1
A B P Q
N
M
ED
RC S
1
f x( )
x
4 NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
1
1 x
y
Figura 2
A
B
espelho I
esp
elho
II
DC

ToTAL
(4) Quando um raio de luz incide sobre um espelho plano, ele é refletido de 
modo a fazer ângulos iguais com o espelho, conforme ilustrado na figura 1. 
A figura 2 mostra dois espelhos que se encontram formando um ângulo α. Um 
raio de luz, paralelo ao espelho I, atinge o espelho II no ponto A e é refletido três 
vezes, até incidir perpendicularmente ao espelho I no ponto D. 
(a) Qual é a medida do ângulo α ?
(b) Seja AB perpendicular ao espelho I, como na figura 2. Se 10AB = cm, qual é o comprimento de CD?
Figura 1
raio de luz
espelho
5NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
ToTAL
(5) No brinquedo ilustrado na figura, bolinhas são colocadas nas entradas A, 
B ou C e movem-se sempre para baixo, terminando em uma das caixas 1, 2 ou 3. 
Ao atingir um dos pontos marcados com , as bolinhas têm chances iguais de ir 
para cada um dos dois lados. 
(a) Se uma bolinha for colocada em C, em quais caixas ela pode parar? E se ela 
for colocada em B?
(b) Se uma bolinha for colocada em A, qual é a probabilidade de que ela vá parar 
na caixa 2? E se ela for depositada em B, qual é essa probabilidade?
(c) Se colocarmos uma bolinha em cada entrada (uma de cada vez), qual é a probabilidade de que, no final, haja uma 
bolinha em cada caixa?
6 NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
1
A
2
B
3
C
ToTAL
(6) Considere uma pilha de cartas numeradas de 1 a 
104. Um embaralhamento dessa pilha consiste em intercalar 
as 52 cartas de cima com as 52 de baixo, de modo que a 
carta que estava no topo fique em segundo lugar de cima 
para baixo. A figura mostra dois embaralhamentos seguidos 
a partir da situação inicial, na qual as cartas estão dispostas 
em ordem crescente de cima para baixo. 
(a) Complete a tabela.
(b) Partindo da situação inicial, qual será a posição da carta de número n após um embaralhamento?
(c) Partindo da situação inicial, ache duas cartas que trocam de lugar uma com a outra a cada embaralhamento.
(d) Um grupo de três cartas que trocam de lugar entre si a cada embaralhamento é chamado trio invariante. Partindo da 
situação inicial, encontre todos os trios invariantes.
número de embaralhamentos 
a partir da situação inicial
1 2 3 4 5 6
posição da carta de número 5 
a partir do topo da pilha
10ª
7NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
Operacionalização:
R
A
S
C
U
N
H
o
3NívelEnsino Médio2ª FASE – 24 de outubro de 2009
 
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
“Espera, espera, tive uma idéia e uma idéia não se deixa fugir.”
Homenagem da OBMEP ao grande escritor brasileiro Euclides da Cunha, por ocasião do centenário de sua morte.
INSTRUÇÕES
1. Verifique se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. Caso as infor­
ma ções não estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente. 
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro abaixo. 
Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho 
e deixando um espaço em branco entre cada palavra. 
3. Lembre­se de assinar o quadro abaixo e a lista de presença. 
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala 
de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova, 
entregue­a ao aplicador.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para 
ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na 
folha de rascunho. 
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você 
apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas 
as questões.
8. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção.
9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou 
qualquer fonte de consulta.
10. Não é permitido comunicar­se com outras pessoas, além do aplicador.
11. Não escreva nos espaços sombreados.
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que 
contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e 
que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
Correção 
Regional
1
Correção 
Regional
2
Correção 
Regional
3
Correção 
Regional
4
Correção 
Regional
5 6
Correção 
Regional
Total
Correção 
Nacional
1
Correção 
Nacional
2
Correção 
Nacional
3
Correção 
Nacional
4
Correção 
Nacional
5
Correção 
Nacional
6
Correção 
Nacional
Total
Correção Regional
Correção Nacional
Assinatura
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)
Complemento
CEPCidade UF
TelefoneDDD
Bairro
Telefone (outro)DDD
Endereço eletrônico (email)
Preencha
 
e confira 
 
os dados 
 
acima com
 
muita aten
ção!
Correção 
Regional
2 NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(1) Em uma caixa foram colocados um cartão no qual está escrito o número 1, dois cartões nos quais está escrito o 
número 2, três cartões com o número 3 e assim por diante, até dez cartões com o número 10.
(a) Quantos cartões foram colocados na caixa?
(b) Explique como escolher 19 cartões da caixa sem que três deles tenham o mesmo número.
(c) Qual é o menor número de cartões que pode ser retirado da caixa, ao acaso, para que se tenha certeza que cinco deles 
têm o mesmo número? Justifique sua resposta.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
3NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(2) Um número inteiro n é simpático quando existem inteiros positivos a, b e c tais que � �a b c e 2 2 2b cn a + −= . 
Por exemplo, os números 1 e 2 são simpáticos, pois 2 2 27 81 4 + −= e 2 2 211 12 5 2+ −= .
(c) Mostre que o número 4 é simpático.
(a) Verifique que � � �� �2 2 2(4 2) (5 )(3 1 2) x xx é igual a �2 1x , qualquer que seja x.
(b) Encontre números inteiros m e n tais que � � �� � �2 2 2(4 ) (( ) 25 )3 5x m x n x x , qualquer que seja x.
(d) Mostre que todos os números inteiros positivos são simpáticos.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
NacionalTOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
4 NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
 (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.
TOTAL
(3) No jogo do Troca-Cor usa­se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, 
cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice­versa. As casas da 1a linha são numeradas 
com os números ímpares e as da 2a linha com os números pares. Em cada jogada aperta­se uma casa 
e, então, essa casa e as casas vizinhas mudam de cor. Uma partida completa começa com todas as 
casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos de partidas completas (os 
números acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): 
(b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2
 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas. NÍVEL 1 
 
 
 
7 
(6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem 
mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1a linha são numeradas com os números ímpares e as da 2a 
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas adjacentes mudam de 
cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos 
de partidas completas (os números acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): 
post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum 
 
Tabuleiro Partida completa Jogadas 
2 3×
 
 
1 e 6 
2 2×
 
 
1, 2, 4 e 3 
 
Tabuleiro Jogadas 
 (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado. 
 
 
 
 
 
 
(b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2 100× . 
 
 
 
 
(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 101× . 
 
 
 
 
 
 
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 101× . 
 
 
 
 
 
TOTAL 
100.
(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2
 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas. NÍVEL 1 
 
 
 
7 
(6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem 
mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1a linha são numeradas com os números ímpares e as da 2a 
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas adjacentes mudam de 
cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos 
de partidas completas (os números acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): 
post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum 
 
Tabuleiro Partida completa Jogadas 
2 3×
 
 
1 e 6 
2 2×
 
 
1, 2, 4 e 3 
 
Tabuleiro Jogadas 
 (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado. 
 
 
 
 
 
 
(b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2 100× . 
 
 
 
 
(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 101× . 
 
 
 
 
 
 
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 101× . 
 
 
 
 
 
TOTAL 
101.
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2
 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas. NÍVEL 1 
 
 
 
7 
(6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem 
mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1a linha são numeradas com os números ímpares e as da 2a 
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas adjacentes mudam de 
cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos 
de partidas completas (os números acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): 
post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum 
 
Tabuleiro Partida completa Jogadas 
2 3×
 
 
1 e 6 
2 2×
 
 
1, 2, 4 e 3 
 
Tabuleiro Jogadas 
 (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado. 
 
 
 
 
 
 
(b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2 100× . 
 
 
 
 
(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 101× . 
 
 
 
 
 
 
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 101× . 
 
 
 
 
 
TOTAL 
101. 
 
Casas 
vizinhas sãο 
casas que têm 
um lado comum.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
1 e 6
1, 2, 4 e 3
1
1 2 4 3
6
 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas. NÍVEL 1 
 
 
 
7 
(6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem 
mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1a linha são numeradas com os números ímpares e as da 2a 
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas adjacentes mudam de 
cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos 
de partidas completas (os números acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): 
post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum 
 
Tabuleiro Partida completa Jogadas 
2 3×
 
 
1 e 6 
2 2×
 
 
1, 2, 4 e 3 
 
Tabuleiro Jogadas 
 (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado. 
 
 
 
 
 
 
(b) Explique como jogar uma partida completa no tabuleiro 2 100× . 
 
 
 
 
(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 101× . 
 
 
 
 
 
 
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 101× . 
 
 
 
 
 
TOTAL 
 
 Respostas sem justificativa não serão consideradas. NÍVEL 1 
 
 
 
7 
(6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casas podem 
mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1a linha são numeradas com os números ímpares e as da 2a 
linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas adjacentes mudam de 
cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinzas. Veja dois exemplos 
de partidas completas (os números acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): 
post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum 
 
Tabuleiro Partida completa Jogadas 
2 3×
 
 
1 e 6 
2 2×
 
 
1, 2, 4 e 3 
 
Tabuleiro Jogadas 
 (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado. 
 
 
 
 
 
 
(b) Explique como jogar umapartida completa no tabuleiro 2 100× . 
 
 
 
 
(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 101× . 
 
 
 
 
 
 
(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 101× . 
 
 
 
 
 
TOTAL 
5NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(4) Quatro times, entre os quais o Quixajuba, disputam um torneio de vôlei em que:
• cada time joga contra cada um dos outros uma única vez;
• qualquer partida termina com a vitória de um dos times; 
• em qualquer partida os times têm a mesma probabilidade de ganhar;
• ao final do torneio, os times são classificados em ordem pelo número de 
vitórias. 
(a) É possível que, ao final do torneio, todos os times tenham o mesmo número de vitórias? Por quê? 
(b) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com o Quixajuba isolado em primeiro lugar?
(c) Qual é a probabilidade de que o torneio termine com três times empatados em primeiro lugar?
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
6 NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(5) Dois triângulos retângulos isósceles com catetos de medida 2 são posicionados como mostra a figura 1. A seguir, 
o triângulo da esquerda é deslocado para a direita. Nas figuras 2 e 3, x indica a distância entre os vértices A e B dos dois 
triângulos.
Para cada x no intervalo [0,4], seja ( )f x a área da região comum aos dois triângulos (em cinza nas figuras).
(a) Calcule (1)f e (3)f .
(b) Encontre as expressões de f nos intervalos [0,2] e [2,4] e esboce o seu 
gráfico.
(c) Qual é a área máxima da região comum aos dois triângulos?
xx
Figura 2 Figura 3Figura 1
A AB B
2 2
22
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
7NÍVEL 3
Respostas sem justificativa não serão consideradas
(6) Uma folha de papel retangular ABCD de 12 cm por 16 cm (figura 1) é cortada ao longo da diagonal AC (figura 2). 
O triângulo ABC é dobrado pelo segmento BM (figura 3), sendo M o ponto de encontro das diagonais do retângulo ABCD. 
Finalmente, é feita uma dobra ao longo de MP, onde P é escolhido de modo que CM coincida com AM (figura 4).
(a) Explique porque o ângulo �BMP na figura 4 é reto.
(b) Mostre que o triângulo BMP da figura 4 é semelhante ao triângulo ABC da figura 2. 
(c) Calcule a área do triângulo BMP da figura 4.
(d) Calcule a área do quadrilátero ABMP da figura 4.
16 cm
A
M M M M
A
A A=C
B B B B
D
C C CP P
1
2
c
m
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Operacionalização:
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A
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“A palavra é o meu domínio sobre o mundo.”
Homenagem da OBMEP à grande escritora Clarice Lispector.
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Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos 
agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja 
um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
Ministério
da Educação
Ministério da
Ciência e Tecnologia
SOCIEDADE
BRASILEIRA
DE MATEMÁTICA
Assinatura
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)
Complemento
CEPCidade UF
TelefoneDDD
Bairro
Telefone (outro)DDD
Endereço eletrônico (email)
Correção 
Regional
1
Correção 
Regional
2
Correção 
Regional
3
Correção 
Regional
4
Correção 
Regional
5 6
Correção 
Regional
6
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Correção 
Nacional
1
Correção 
Nacional
2
Correção 
Nacional
3
Correção 
Nacional
4
Correção 
Nacional
5
Correção 
Nacional
6
Correção 
Nacional
6
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Correção Regional
Correção Nacional
Correção 
Regional
3NívelEnsino Médio2ª FASE – 11 de setembro de 2010
“A palavra é o meu domínio sobre o mundo.”
Homenagem da OBMEP à grande escritora Clarice Lispector.
INSTRUÇÕES
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Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos 
agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja 
um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
Ministério
da Educação
Ministério da
Ciência e Tecnologia
SOCIEDADE
BRASILEIRA
DE MATEMÁTICAAA
Assinatura
Nome completo do alunoppp
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)ççç ppp ((( )))
Complementoppp
CEPCidade UF
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Telefone (outro)((( )))DDD
Endereço eletrônico (email)ç ( )ç ( )ç ( )
Correção 
Regional
1
Correção 
Regional
2
Correção 
Regional
3
Correção 
Regional
4
Correção 
Regional
5 6
Correção 
Regional
6
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Correção 
Nacional
1
Correção 
Nacional
2
Correção 
Nacional
3
Correção 
Nacional
4
Correção 
Nacional
5
Correção 
Nacional
6
Correção 
Nacional
6
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Correção Regional
Correção Nacional
Correção 
Regional
3NívelEnsino Médio2ª FASE – 11 de setembro de 2010
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Regional
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Nacional
Correção 
Regional
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Regional
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Regional
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Nacional
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Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
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Regional
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Regional
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Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
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Regional
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Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
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Nacional
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Regional
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Correção 
Regional
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Nacional
Correção 
Regional
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Regional
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Regional
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Nacional
7NÍVEL 3
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Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
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Nacional
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Correção 
Regional
Correção 
Nacional
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Correção 
Regional
Correção 
Nacional
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Correção 
Regional
Correção 
Nacional
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1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8 9
Distância
ao ponto A
Distância
ao ponto B
d
is
tâ
n
c
ia
tempo
R
A
S
C
U
N
H
O
Operacionalização:
R
A
S
C
U
N
H
O
Operacionalização:
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
INSTRUÇÕES
1. Verifi que se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. Caso as infor-
ma ções não estejam corretas, comunique o erro ao fi scal imediatamente. 
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro acima. 
Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho 
e deixando um espaço em branco entre cada palavra. 
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença. 
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala 
de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova, 
entregue-aao aplicador.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para 
ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na 
folha de rascunho. 
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você 
apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas 
as questões.
8. Respostas sem justifi cativas não serão consideradas na correção.
9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou 
qualquer fonte de consulta.
10. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador.
11. Não escreva nos espaços sombreados.
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos 
agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja 
um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
Assinatura
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)
Complemento
CEPCidade UF
TelefoneDDD
Bairro
Telefone (outro)DDD
Endereço eletrônico (email)
Correção 
Regional
1
Correção 
Regional
2
Correção 
Regional
3
Correção 
Regional
4
Correção 
Regional
5 6
Correção 
Regional
Total
Correção 
Nacional
1
Correção 
Nacional
2
Correção 
Nacional
3
Correção 
Nacional
4
Correção 
Nacional
5
Correção 
Nacional
6
Correção 
Nacional
Total
Correção Regional
Correção Nacional
Correção 
Regional
3NívelEnsino Médio2ª FASE – 5 de novembro de 2011
SBM
Preencha
 
e confi ra 
os dados 
acima com
 
muita aten
ção!
2 NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
1. Em cada casa de um quadriculado 4 4× deve ser colocado um dos números 1, 3, 7 e 8, de modo que em cada linha, 
coluna ou diagonal apareçam os quatro números. 
a) Qual é a soma dos números nos quatro quadradinhos centrais quando o quadriculado é preenchido de acordo com o 
enunciado?
b) Suponha que 1, 3, 7 e 8 sejam colocados na diagonal, como na fi gura. De quantas maneiras é possível completar o 
quadriculado de acordo com o enunciado? 
c) Qual é o maior valor possível para a soma dos números que aparecem nas casas cinzentas quando o quadriculado é 
preenchido de acordo com o enunciado? 
1
3
7
8
3NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
2. Começando com qualquer número natural não nulo é sempre possível formar uma sequência de números que termina 
em 1, seguindo repetidamente as instruções abaixo:
• se o número for ímpar, soma-se 1;
• se o número for par, divide-se por 2.
Por exemplo, começando com o número 21, forma-se a seguinte sequência:
21→22→11→12→6→3→4→2→1
Nessa sequência aparecem nove números; por isso, dizemos que ela tem comprimento 9. Além disso, como ela começa 
com um número ímpar, dizemos que ela é uma sequência ímpar.
a) Escreva a sequência que começa com 37.
b) Existem três sequências de comprimento 5, sendo duas pares e uma ímpar. Escreva essas sequências.
c) Quantas são as sequências pares e quantas são as sequências ímpares de comprimento 6? E de comprimento 7?
d) Existem ao todo 377 sequências de comprimento 15, sendo 233 pares e 144 ímpares. Quantas são as sequências de 
comprimento 16? Dessas, quantas são pares? Não se esqueça de justifi car sua resposta.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
4 NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
3. A linha poligonal da fi gura parte da origem e passa por todos os pontos do plano que 
têm coordenadas inteiras não negativas, de acordo com o padrão indicado. A unidade de 
comprimento nos eixos é 1 cm. O comprimento da poligonal da origem até um ponto (a,b) é 
chamado de lonjura de (a,b); por exemplo, a lonjura de (1,2) é 5 cm.
a) Determine a lonjura dos pontos (3,2) e (0,4).
b) Quantos pontos de coordenadas inteiras estão contidos no interior e nos lados do quadrado cujos vértices são (0,0), 
(n,0), (n,n) e (0,n) ?
c) Explique por que a lonjura do ponto (n,n) é 2n n+ .
d) Qual é o ponto cuja lonjura é 425?
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
6
5
54321
4
3
2
1
0
5NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
4. Na fi gura, os lados do triângulo DEF são paralelos aos lados do triângulo 
retângulo ABC. Os pontos H, D, F e G estão alinhados e 0 5x≤ ≤ .
a) Calcule o comprimento de GH em função de x.
b) Mostre que 
5
4
xCG FG= =
 
cm.
c) Faça o gráfi co da área A do triângulo DEF em função de x.
B
E
F
G
25 cm
20 cm
15 cm
x cm
x cm
x cm
HA
C
D
20
0 1 2 3 4 5 6 7
40
60
80
100
120
140
160
180
200
A(cm²)
x(cm)
6 NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
5. Em uma caixa há 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. O número de cada bola 
corresponde a um dos pontos da fi gura, os quais dividem a circunferência em 10 partes iguais. 
Nos itens a seguir, considere que as bolas são retiradas ao acaso, uma a uma e sem reposição.
a) Se forem retiradas duas bolas, qual é a probabilidade de que o segmento determinado pelos 
pontos correspondentes seja um diâmetro da circunferência?
b) Se forem retiradas três bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um triângulo 
retângulo?
c) Se forem retiradas quatro bolas, qual é a probabilidade de que os pontos correspondentes sejam vértices de um 
retângulo?
Um ângulo 
inscrito em u
ma 
circunferênc
ia 
é reto se e 
somente se 
o arco 
corresponde
nte 
é uma 
semicircunfe
rência.
7NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
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Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
6. Em todas as fi guras desta questão, vemos um triângulo ABC dividido em quatro partes; 
nesses triângulos, D é ponto médio de AB, E é ponto médio de AC e FG mede 1
2
BC .
a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de 180º os quadriláteros DHFB 
e EIGC em torno de D e E, respectivamente. Explique por que os pontos M, A e N estão 
alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo MAN é igual a 180º.
b) Na fi gura, o ponto K é a interseção das retas JM e LN. Explique por que os triângulos FGI e MNK são congruentes.
d) Na fi gura o triângulo ABC tem área 9 e HJKL é um quadrado. Calcule o comprimento de EF.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
A
B C
D
F G
H
I
E
A
B C
D
F G
H
I
J
L
M N
E
A
B C
D
F G
H
I
J
K
M N
E
L
A
B C
D
F G
H
I
J
K
L
M N
E
Os itens acima mostram que HJKL é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo ABC foi dividido.
c) Mostre que LH EF= .
^
R
AS
C
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Operacionalização:
R
A
S
C
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O
Operacionalização:
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
INSTRUÇÕES
1. Verifi que se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. Caso 
as infor ma ções não estejam corretas, comunique o erro ao aplicador 
imediatamente. 
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro acima. 
Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho 
e deixando um espaço em branco entre cada palavra. 
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença. 
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala de prova 45 
minutos após o início da prova. Ao terminar a prova, entregue-a ao aplicador.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para 
ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na 
folha de rascunho. 
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você 
apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas 
as questões.
8. Respostas sem justifi cativas não serão consideradas na correção.
9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou 
qualquer fonte de consulta.
10. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador.
11. Não escreva nos espaços sombreados.
Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos 
agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja 
um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática.
Um abraço da Equipe da OBMEP!
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Complemento
CEPCidade UF
TelefoneDDD
Bairro
Telefone (outro)DDD
Endereço eletrônico (email)
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1
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Regional
3NívelEnsino Médio2ª FASE – 15 de setembro de 2012
SBM
Preencha
 
e confi ra 
os dados 
acima com
 
muita aten
ção!
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
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TOTAL
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Correção 
Nacional
Correção 
Regional
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Nacional
1. Uma empresa fabrica painéis luminosos retangulares divididos em quadrados de 1 
metro de lado. No centro de cada quadrado é colocada uma lâmpada vermelha e nos 
vértices dos quadrados são colocadas lâmpadas azuis. A fi gura ao lado mostra que um 
painel de 2 metros por 3 metros tem 6 lâmpadas vermelhas e 12 azuis, das quais 10 estão 
em sua borda.
2
c) Quantas lâmpadas estão na borda de um painel no qual foram colocadas 72 lâmpadas vermelhas e 90 azuis?
b) Quantas lâmpadas azuis há em um painel de 5 metros por 8 metros?
a) Quantas lâmpadas vermelhas há em um painel de 5 metros por 8 metros?
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
3
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Nacional
2. Uma contaminação em um tabuleiro 5 5× , formado por quadrados de 1 cm de lado, propaga-se em estágios de acordo 
com as seguintes regras:
• quadrados contaminados, indicados em cinza, permanecem contaminados no estágio seguinte;
• um quadrado não contaminado, indicado em branco, torna-se contaminado no estágio seguinte quando tem pelo 
menos dois lados comuns com quadrados contaminados; caso contrário, permanece não contaminado;
• a contaminação acaba quando não é possível contaminar novos quadrados.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
O perímetro de contaminação de um estágio é a medida do contorno da área contaminada. Por exemplo, os perímetros de 
contaminação do primeiro e do segundo estágios da contaminação ilustrada são 24 cm e 20 cm, respectivamente, como 
mostram as linhas em destaque na fi gura do item a.
e) Explique por que não é possível contaminar todo o tabuleiro a partir de um estágio com menos de 5 quadrados 
contaminados.
d) Explique por que o perímetro de contaminação nunca aumenta de um estágio para o seguinte.
c) Desenhe um estágio com apenas 5 quadrados contaminados tal que, ao fi nal da contaminação, todo o tabuleiro fi que 
contaminado.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
b) Escreva os perímetros de contaminação do terceiro e do último estágios da contaminação do item a.
a) Complete a fi gura abaixo, desenhando o terceiro e o último estágios da contaminação nos respectivos tabuleiros. 
1º estágio 2º estágio 3º estágio último estágio
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
4
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
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Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
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Correção 
Nacional
Correção 
Regional
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Nacional
3. Juca quer pintar os algarismos do número 2013, como na fi gura ao lado, de modo que cada 
região seja pintada com uma das cores branca, cinza ou preta e que regiões vizinhas tenham 
cores diferentes.
c) De quantas maneiras diferentes Juca pode pintar o algarismo 0?
b) De quantas maneiras diferentes Juca pode pintar o algarismo 3?
a) Observe que Juca pode pintar o algarismo 2 de 3 2 2× × maneiras diferentes. De quantas 
maneiras diferentes ele pode pintar o algarismo 1?
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
d) Escreva uma expressão numérica que permita calcular de quantas maneiras Juca pode pintar o número 2013.
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
4. Na fi gura ao lado, as retas r e s são paralelas. O segmento AB é perpendicular a essas 
retas e o ponto P, nesse segmento, é tal que 2AP = e 1BP = . O ponto X pertence à reta 
r e a medida do segmento BX é indicada por x. O ponto Y pertence à reta s e o triângulo 
XPY é retângulo em P. 
5
d) Determine o valor de x para o qual a área do triângulo XPY é mínima e calcule o valor dessa área.
c) Para quais valores de x a área do triângulo XPY é igual a 5
2
?
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
b) Calcule a área do triângulo XPY em função de x.
a) Explique por que os triângulos PAY e XBP são semelhantes.
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
5. Em uma caixa há 9 bolas amarelas numeradas de 1 a 9 e, em uma segunda caixa, há 9 bolas brancas, também 
numeradas de 1 a 9. Todas as bolas são idênticas, exceto por sua cor e seu número. Uma bola amarela é sorteada e 
colocada na segunda caixa; a seguir, uma bola é sorteada da segunda caixa. 
6
b) Qual é a probabilidade de que as duas bolas sorteadas tenham o mesmo número?
c) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa tenha o número 1?
a) Qual é a probabilidade de que a bola sorteada da segunda caixa seja amarela?
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
6. Uma pistade ciclismo é formada por duas circunferências tangentes. O 
comprimento da maior é 4000 m e o da menor é 2000 m; os pontos marcados 
dividem cada circunferência em quatro arcos iguais. Dois ciclistas percorrem 
esse circuito com velocidade constante, no sentido das setas, e trocam de 
circunferência ao passar por A. Cada um deles percorre a circunferência menor 
em 8 minutos. 
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
7
c) Dizemos que a distância (d) entre os ciclistas é o comprimento do menor caminho entre eles ao longo da pista, 
independente do sentido do percurso. Por exemplo, se os ciclistas estão nos pontos G e D, a distância entre eles é 
1500 m, correspondente aos arcos GA e AD. Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo dos pontos G e D e 
esboce o gráfi co da distância entre os ciclistas, em função do tempo, até que eles retornem aos seus pontos de partida.
b) Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo e se encontrem 20 minutos após a partida. Quais foram seus pontos 
de partida?
a) Suponha que os ciclistas partam ao mesmo tempo dos pontos B e D. Quanto 
tempo após a partida eles se encontram pela primeira vez?
R
A
S
C
U
N
H
O
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
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A
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A
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H
O
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Assinatura
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)
Complemento
CEPCidade UF
TelefoneDDD
Bairro
Telefone (outro)DDD
Endereço eletrônico (email)
Correção 
Regional
1
Correção 
Regional
2
Correção 
Regional
3
Correção 
Regional
4
Correção 
Regional
5 6
Correção 
Regional
Total
Correção 
Nacional
1
Correção 
Nacional
2
Correção 
Nacional
3
Correção 
Nacional
4
Correção 
Nacional
5
Correção 
Nacional
6
Correção 
Nacional
Total
Correção Regional
Correção Nacional
Correção 
Regional
3NívelEnsino Médio2ª FASE – 14 de setembro de 2013
INSTRUÇÕES
1. Verifi que se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. 
Caso as informações não estejam corretas, comunique o erro 
ao aplicador imediatamente. 
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro 
acima. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em 
cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre 
cada palavra. 
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença. 
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a 
sala de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a 
prova, entregue-a ao aplicador.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página 
reservada para ela, de maneira organizada e legível. Evite 
escrever as soluções na folha de rascunho. 
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você 
apresentar. Tente resolver o maior número 
possível de itens de todas as questões.
8. Respostas sem justifi cativas não serão 
consideradas na correção. 
9. Não escreva nos espaços sombreados.
10. Não é permitido:
a. o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou 
qualquer fonte de consulta;
b. comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador de 
provas;
c. o uso de quaisquer aparelhos eletrônicos (celulares, 
tablets, relógios com calculadora, máquinas fotográfi cas, 
etc.). 
 O não cumprimento dessas regras resultará em sua 
desclassifi cação.
Boa prova!
Preencha
 
e confi ra 
os dados 
acima com
 
muita aten
ção!
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1. Na fi gura temos um aparelho com três discos C (centenas), D (dezenas) e U 
(unidades), nos quais aparecem, em ordem, os algarismos de 0 a 9. O seu visor mostra 
um número CDU, a partir do qual é calculado o número de controle 10 C D U+ − + . 
Por exemplo, quando o visor mostra 794, o número de controle é 10 7 9 4 12+ − + = .
Quando giramos o disco C ou o disco U, o disco D gira junto; não é possível girar o 
disco D de modo independente. Por exemplo, se o visor mostra 794 e o disco C for 
girado de uma unidade de 7 para 8, o visor mostrará 804; por outro lado, se o disco 
U for girado de uma unidade de 4 para 3, o visor mostrará 783.
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
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Nacional
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Regional
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Nacional
TOTAL
2
Correção 
Regional
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Nacional
Correção 
Regional
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Nacional
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Regional
Correção 
Nacional
d) Explique por que é impossível, a partir do número 978 no visor, obter o número 555 através de giros dos discos C ou U. 
c) Explique por que o algarismo das unidades do número de controle não muda quando se gira qualquer um dos discos 
C ou U.
b) Quando o visor mostrava 690, girou-se um dos discos C ou U de uma unidade e o número de controle não se alterou. 
Qual passou a ser o número do visor?
a) Qual é o número de controle quando o visor mostra 804?
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
3
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
2. Hipácia criou duas novas operações com números naturais, 
indicadas por e , com as seguintes propriedades:
• 
• 
• 
• 
Por exemplo, . Observe na ilustração como Hipácia 
calculou .
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
c) Calcule . 
b) Calcule .
a) Calcule .
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
4
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
3. Helena brinca com tabuleiros 3 3× , preenchidos com os algarismos 0 ou 1, da 
seguinte maneira:
• ela atribui o número 0 a cada linha, coluna ou diagonal cuja soma de seus 
algarismos seja par e o número 1 a cada linha, coluna ou diagonal para a 
qual essa soma seja ímpar;
• em seguida, ela calcula a nota do tabuleiro, que é a soma dos números que 
ela atribuiu.
Por exemplo, a nota do tabuleiro na ilustração é 0 0 1 1 0 1 1 0 4+ + + + + + + = .
Correção 
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Nacional
Correção 
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Nacional
d) De quantas maneiras diferentes um tabuleiro pode ser preenchido de modo que sua nota seja ímpar?
c) Explique por que, quando se troca o número de um dos cantos de um tabuleiro de nota ímpar, sua nota torna-se par.
b) Preencha os tabuleiros abaixo de quatro maneiras diferentes e de modo que todos tenham nota 8.
a) Qual é a nota do tabuleiro abaixo?
0 0 1
1 1 1
0 0 0
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
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TOTAL
5
4. A fi gura mostra um triângulo de papel ABC, retângulo em C e cujos catetos medem 
10 cm. Para cada número x tal que 0 10x≤ ≤ , marcam-se nos catetos os pontos que 
distam x cm do ponto C e dobra-se o triângulo ao longo da reta determinada por esses 
pontos. Indicamos por ( )f x a área, em cm
2, da região onde ocorre sobreposição de 
papel. Por exemplo, na fi gura ao lado a área da região cinzenta, em cm2, é (7)f .
Correção 
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Nacional
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Nacional
d) Determine o maior valor possível para a área da região de sobreposição.
c) Faça o gráfi co de ( )f x em função de x.
b) Escreva as expressões de ( )f x para 0 5x≤ ≤ e 5 10x≤ ≤ .
a) Calcule (2)f , (5)f e (7)f .
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
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Nacional
TOTAL
6
5. Homero segura um número ímpar de barbantes idênticos e pede para 
Sofi a amarrar pares de pontas ao acaso, de cada lado de sua mão, até que 
sobre somente uma ponta de cada lado. A fi gura ilustra o procedimento 
para três barbantes. 
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c) Com cinco barbantes, qual é a probabilidade de que os barbantes fi quem unidos em um único fi o?
b) Com cinco barbantes, qual é a probabilidade de que um dos pedaços originais de barbante fi que separado dos demais?
a) Com três barbantes, qual é a probabilidade de que todos os barbantes 
fi quem unidos em um único fi o?
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
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Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
7
6. Dois grilos, Adonis e Basílio, pulam sempre para a frente; Adonis só dá pulos de 
1 cm ou 8 cm e Basílio só dá pulos de 1 cm ou 7 cm. Eles percorrem qualquer distância 
com o menor número de pulos possível. Por exemplo,Adonis percorre 16 cm com 
apenas dois pulos de 8 cm cada, enquanto Basílio precisa de quatro pulos, sendo dois 
de 7 cm e outros dois de 1 cm. Por outro lado, para percorrer 15 cm, Adonis precisa 
de oito pulos, sendo um de 8 cm e sete de 1 cm, enquanto Basílio precisa de apenas 
três pulos, sendo dois de 7 cm e um de 1 cm. 
Indicando por A(d) e B(d), respectivamente, o número de pulos que Adonis e Basílio dão para percorrer d centímetros, 
temos A(15) = 8, B(15) = 3, A(16) = 2 e B(16) = 4.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
c) Encontre o maior número d tal que B(d) = A(d).
b) Encontre um número d entre 200 e 240 tal que B(d) < A(d) (isto é, encontre uma distância entre 200 cm e 240 cm tal 
que, para percorrê-la, Basílio dá menos pulos do que Adonis).
a) Complete a tabela abaixo.
d: distância em cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A(d): número de pulos de Adonis 1 2 8 2
B(d): número de pulos de Basílio 1 2 3 4
R
A
S
C
U
N
H
O
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
R
A
S
C
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O
R
A
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C
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O
R
A
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R
A
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N
H
O
R
A
S
C
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N
H
O
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Assinatura
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº)
Complemento (casa, apartamento, bloco)
CEPCidade UF
TelefoneDDD
Bairro
Telefone (outro)DDD
Endereço eletrônico (email)
Correção 
Regional
1
Correção 
Regional
2
Correção 
Regional
3
Correção 
Regional
4
Correção 
Regional
5 6
Correção 
Regional
Total
Correção 
Nacional
1
Correção 
Nacional
2
Correção 
Nacional
3
Correção 
Nacional
4
Correção 
Nacional
5
Correção 
Nacional
6
Correção 
Nacional
Total
Correção Regional
Correção Nacional
Correção 
Regional
3NívelEnsino Médio2ª FASE – 13 de setembro de 2014
INSTRUÇÕES
1. Verifi que se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. 
Caso as informações não estejam corretas, comunique o erro 
ao aplicador imediatamente. 
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro 
acima. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em 
cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre 
cada palavra. 
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença. 
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a 
sala de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a 
prova, entregue-a ao aplicador.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página 
reservada para ela, de maneira organizada e legível. Evite 
escrever as soluções na folha de rascunho. 
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você 
apresentar. Tente resolver o maior número 
possível de itens de todas as questões.
8. Respostas sem justifi cativas não serão 
consideradas na correção. 
9. Não escreva nos espaços sombreados.
10. Não é permitido:
a. o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou 
qualquer fonte de consulta;
b. comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador de 
provas;
c. o uso de quaisquer aparelhos eletrônicos (celulares, 
tablets, relógios com calculadora, máquinas fotográfi cas, 
etc.). 
 O não cumprimento dessas regras resultará em sua 
desclassifi cação.
Boa prova!
Preencha
 
e confi ra 
os dados 
acima com
 
muita aten
ção!
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1. Michel pratica arco e fl echa em um alvo como o da fi gura ao lado. Em cada rodada ele 
atira três fl echas e sua pontuação, na rodada, é a soma dos pontos obtidos com cada fl echa. 
Acertar as regiões interna, intermediária e externa vale, respectivamente, 5 pontos, 3 pontos e 
2 pontos; errar o alvo vale zero ponto. Caso a fl echa acerte uma linha que divide duas regiões, 
vale a maior pontuação dentre elas. 
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
2
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
a) Michel somou 11 pontos em uma rodada. Quais foram os pontos obtidos com cada uma 
das três fl echas?
b) Michel notou que poderia obter quase todas as pontuações de 0 a 15 em uma rodada. Quais são as pontuações 
impossíveis de se obter em uma rodada?
c) Michel somou 134 pontos em um treino. Explique por que houve pelo menos dez rodadas nesse treino.
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
3
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
2. Uma formiga anda sobre o contorno de um retângulo ABCD. Ela parte 
do ponto A, anda 20 centímetros até chegar em B, depois anda mais 10 
centímetros até chegar em C e fi naliza seu trajeto em D. Após andar x 
centímetros, a formiga está em um ponto F do contorno.
Correção 
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Correção 
Nacional
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Regional
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Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
a) Quantos centímetros a formiga anda em seu trajeto de A até D? 
d) Esboce, no plano cartesiano Oxy, o gráfi co da função que associa ao comprimento x o valor da área do triângulo ADF.
c) Qual é a maior área possível para um triângulo ADF?
b) Calcule a área do triângulo ADF quando 22x = centímetros.
x
A B
CD
F
x
y
O
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
4
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
3. Uma caixa retangular tem dimensões 60x24x24, em centímetros. Uma aranha A e uma mosca M estão nas faces 
laterais quadradas dessa caixa. Tanto a mosca quanto a aranha estão à mesma distância das outras duas faces laterais. 
A aranha está a uma distância de 2 cm da base enquanto a mosca está a uma distância de 2 cm do topo. Andando sobre 
a superfície da caixa, a aranha pode percorrer vários caminhos para chegar até a mosca, mas sempre escolhe algum que 
esteja sobre uma reta em alguma planifi cação da caixa. Na fi gura, vemos dois desses caminhos, um vermelho e outro 
azul, e suas respectivas planifi cações.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
a) Qual é a distância que a aranha irá percorrer seguindo o caminho vermelho? 
b) Desenhe na caixa a trajetória correspondente ao caminho indicado em verde na planifi cação, marcando os pontos P, 
Q, R e S onde essa trajetória intersecta as arestas da caixa.
c) Em qual dos três caminhos, vermelho, azul ou verde, a aranha andará menos? Justifi que sua resposta.
24
24
60
A
A A
M
M
M
A
M
A
P
Q
R
S
M
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
5
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
4. Seis atletas, identifi cados pelas letras A, B, C, D, E e F, participaram de uma corrida de 
Quixajuba até Pirajuba. O atleta A saiu na frente, B saiu em seguida, e assim sucessivamente, até 
o atleta F, que saiu por último. O atleta D venceu a corrida e o atleta E terminou em último lugar. 
A tabela mostra quantas vezes o atleta indicado na linha ultrapassou o atleta indicado na coluna. 
Por exemplo, o número 5 na casa rosa indica que o atleta D ultrapassou cinco vezes o atleta C 
durante a corrida. 
d) Em que ordem os atletas terminaram a corrida?
c) Qual número deverá ser escrito na casa verde?
b) Qual número deverá ser escrito na casa amarela?
a) Quantas vezes o atleta F ultrapassou o atleta B?
A
A
D
D
-
2
4
3
1
3
1
1
2
4
4
B
B
E
E
2
-
0
2 5
2
1
3
0
1 2
3 1
1 3
3 1
C
C
F
F
4
0
-
-
-
-
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
6
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
5. Fábio gosta de brincar em escadas, subindo ou descendo seus degraus da seguinte 
maneira:
• começa no degrau de número 1;
• a cada movimento ele sobe ou desce um ou dois degraus e, ao subir ou descer 
dois degraus, não pisa no degrau intermediário;
• pisa em todos os degraus exatamente uma vez.
Por exemplo, em uma escada com três degraus ele pode brincar de duas maneiras 
diferentes: 1-2-3, 1-3-2; com quatro degraus ele pode brincar de quatro maneiras 
diferentes: 1-2-3-4, 1-2-4-3, 1-3-2-4 e 1-3-4-2.
c) Há 31 e 68 maneiras diferentes de se brincar em escadas com nove e onze degraus,respectivamente. De quantas 
maneiras diferentes Fábio pode brincar em uma escada com doze degraus?
b) Explique por que sempre é possível terminar a brincadeira no degrau de número 2 em qualquer escada com dois ou 
mais degraus. 
a) Fábio pode brincar de seis maneiras diferentes em uma escada com cinco degraus. Escreva essas seis maneiras.
1
2
3
4
5
6
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
7
6. Cada uma das cem pessoas de uma fi la escolhe, ao acaso, um número de 1 a 20 e o escreve 
em um papel, mantendo esse número em segredo. Depois que todos escreveram, o primeiro da 
fi la anuncia o seu número. Em seguida, o segundo da fi la faz o mesmo, e assim sucessivamente. 
A primeira pessoa que anunciar um número igual a um número já anunciado ganha um prêmio.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
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Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
a) O primeiro da fi la não tem chance de ganhar o prêmio. Qual é a posição da próxima pessoa da 
fi la que também não tem chance alguma de ganhar o prêmio?
d) Em que posição ou posições da fi la é maior a probabilidade de ganhar o prêmio? Justifi que. 
c) Quem tem maior probabilidade de ganhar o prêmio: o sétimo da fi la ou o oitavo? Justifi que.
b) Qual é a probabilidade de que o terceiro da fi la ganhe o prêmio?
R
A
S
C
U
N
H
O
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
R
A
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C
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O
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O
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C
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H
O
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Assinatura
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., no)
Complemento (casa, apartamento, bloco)
CEPCidade UF
Bairro
Endereço eletrônico (email)
Correção 
Regional
1
Correção 
Regional
2
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Regional
3
Correção 
Regional
4
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Regional
5 6
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Regional
Total
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Nacional
1
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Nacional
2
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Nacional
3
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Nacional
4
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Nacional
5
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Nacional
6
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Nacional
Total
Correção Regional
Correção Nacional
Correção 
Regional
3NívelEnsino Médio2a FASE – 12 de setembro de 2015
INSTRUÇÕES
1. Verifi que se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. 
Caso as informações não estejam corretas, comunique o erro 
ao aplicador imediatamente. 
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro 
acima. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em 
cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre 
cada palavra. 
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença. 
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a 
sala de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a 
prova, entregue-a ao aplicador.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página 
reservada para ela, de maneira organizada e legível. Evite 
escrever as soluções na folha de rascunho. 
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você 
apresentar. Tente resolver o maior número 
possível de itens de todas as questões.
8. Respostas sem justifi cativas não serão 
consideradas na correção. 
9. Não escreva nos espaços sombreados.
10. Não é permitido:
a. usar instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer 
fonte de consulta;
b. comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador de 
provas;
c. usar quaisquer aparelhos eletrônicos (celulares, tablets, 
relógios com calculadora, máquinas fotográfi cas, etc.). 
 O não cumprimento dessas regras resultará em sua 
desclassifi cação.
Boa prova!
Preencha
 
e confi ra 
os dados 
acima com
 
muita aten
ção!
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TelefoneDDD
Telefone (outro)DDD
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
2
1. A professora Isabel aplicou uma prova com 10 questões. Cada aluno recebeu 
nota 0,0 (zero), 0,5 (meio) ou 1,0 (um) em cada questão. O desempenho de cada 
aluno foi associado a um ponto de uma malha triangular, delimitada por um triângulo 
equilátero de altura 10, como na fi gura. 
O ponto associado a um aluno é escolhido de forma que suas distâncias aos lados 
do triângulo sejam iguais às quantidades de questões em que o aluno obteve nota 
zero, meio ou um, respectivamente. Por exemplo, o aluno A tirou zero em 2 questões, 
meio em 3 questões e um em 5 questões, obtendo 6,5 na prova. O aluno B obteve 
1,5 na prova, pois tirou meio em 3 questões e zero em 7 questões. O aluno C obteve 
5,0 na prova, pois tirou meio nas 10 questões. 
c) Assinale na malha abaixo os pontos associados a alunos que obtêm nota igual a 7,0 ou maior do que 7,0.
b) Quantos pontos da malha estão associados a alunos que tiram zero em exatamente quatro questões? 
a) Qual foi a nota obtida na prova pelo aluno D?
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
3
Correção 
Regional
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Nacional
TOTAL
2. No atendimento ao cliente, um banco tem um único funcionário, que começa a trabalhar às 10 horas. Se o funcionário 
está livre quando um cliente chega, este é atendido imediatamente; caso contrário, o cliente deve aguardar sua vez em 
uma fi la. Em certa manhã, no período entre 10 e 11 horas, chegaram ao banco seis clientes. 
d) Faça o gráfi co da função que fornece, para cada 
instante entre 10 e 11 horas, o tempo total que o 
funcionário gastou atendendo clientes até aquele 
instante.
c) Quais foram os intervalos de tempo em que duas pessoas fi caram esperando juntas na fi la?
b) Qual foi o tempo médio de espera dos clientes na fi la?
a) A tabela abaixo apresenta o horário da chegada e a duração do atendimento de cada um deles. Preencha a tabela com 
o tempo de espera na fi la, horário de início e horário de término do atendimento de cada cliente.
Cliente Horárioda chegada
Duração do
atendimento
(minutos)
Tempo de
espera na fi la 
(minutos)
Horário de início 
do atendimento
Horário de 
término do 
atendimento
1 10h 06min 6
2 10h 15min 6
3 10h 19min 15
4 10h 29min 12
5 10h 34min 7
6 10h 42min 1 Correção 
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Regional
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100
0
10
20
30
40
50
60
20 30 40 50 60
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
4
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Regional
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Nacional
TOTAL
3. Mônica desenha caminhos poligonais em tabuleiros formados por quadradinhos de 1 cm de lado. 
Cada caminho começa e termina na borda do tabuleiro, contém somente esses dois pontos da borda 
e nunca passa duas vezes por um mesmo ponto.
Por exemplo, no tabuleiro 4 x 4 ao lado, ela desenhou um desses caminhos com 6 cm de comprimento.
c) Há vários tipos diferentes de tabuleiros retangulares com 100 quadradinhos. Mônica formou tabuleiros de todos 
esses tipos e, em cada um, ela desenhou um caminho com o maior comprimento possível. Qual é o comprimento do 
maior desses caminhos?
b) Explique por que o comprimento, em centímetros, do maior caminho que Mônica pode desenhar em um tabuleiro 
m x n é igual a (m–1)(n–1)+1.
a) Trace um possível caminho desenhado por Mônica no tabuleiro 4 x 6 abaixo, com 16 cm de comprimento. 
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NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
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Nacional
TOTAL
5
c) Ao cobrir um tabuleiro 8 x 8 com 21 peças, uma casa fi cará descoberta. Marque no tabuleiro as posições possíveis para 
essa casa, e justifi que por que só existem essas posições que você marcou.
b) Explique por que, quando se cobre com 5 peças um tabuleiro 4 x 4, uma das casas do canto sempre fi ca descoberta.
a) Na Figura 1 vemos uma maneira de cobrir um tabuleiro 4 x 4, deixando apenas uma casa descoberta. Desenhe na 
Figura 2 outra maneira de cobrir esse tabuleiro, deixando apenas uma casa descoberta.
Correção 
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Nacional
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Nacional
Figura 1 Figura 2
4. Gilmar brinca de cobrir tabuleiros com peças do tipo . Cada 
peça cobre perfeitamente três casas do tabuleiro, na vertical ou na horizontal. 
As casas dos tabuleiros estão pintadas e carimbadas com três cores e três 
marcas, intercaladamente,de modo que cada peça cobre sempre três cores 
diferentes e três marcas diferentes, como na fi gura.
mesma
cor
mesma
marca
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
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TOTAL
6
5. Nas fi guras, ABC é um triângulo isósceles, retângulo em A. A altura do triângulo em relação à base BC mede 1 e a 
circunferência de centro O tem raio 1. A circunferência gira, sem deslizar, pela base do triângulo. Ao girar, o ponto de 
tangência T (da circunferência com a base BC) move-se ao longo do lado BC. A Figura 1 ilustra a situação em que T é o 
ponto médio de BC. A Figura 2 ilustra uma posição genérica do ponto T. Em ambas as fi guras, P e Q são os pontos de 
interseção dos lados AB e AC, respectivamente, com a circunferência.
c) Explique por que, para qualquer posição de T, o comprimento do arco determinado pelos pontos P e Q que contém o 
ponto T é sempre o mesmo.
b) Na situação da Figura 2, seja D o ponto em que o prolongamento do cateto BA intersecta a circunferência. Mostre que 
AD = AQ.
a) Na situação da Figura 1, quantos graus mede o arco determinado pelos pontos P e Q que contém o ponto T?
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Nacional
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Regional
Correção 
Nacional
B
P Q
T C
A = O
B
P
A
D
O
Q
CT
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
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Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
7
6. Para a primeira fase de um torneio internacional de futebol foram classifi cadas 
3 equipes espanholas, 2 francesas, 1 alemã, 1 portuguesa e 1 italiana. Nessa 
fase, serão realizadas quatro partidas, com os confrontos defi nidos por sorteio. Em 
seguida, duas semifi nais serão realizadas com as quatro equipes vencedoras da 
primeira fase, também com os confrontos defi nidos por sorteio. As duas equipes 
vencedoras jogarão a partida fi nal.
c) Admitindo que em cada confronto do torneio as equipes têm, todas, iguais probabilidades de ganhar, qual é a probabilidade 
de que a fi nal seja realizada entre duas equipes de um mesmo país?
b) Qual é a probabilidade de ocorrer, na primeira fase, um confronto entre duas equipes espanholas?
a) Qual é a probabilidade de que, na primeira fase, as duas equipes francesas se enfrentem?
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Regional
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Nacional
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Regional
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Nacional
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
R
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H
O
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Assinatura
Nome completo do aluno
Endereço completo do aluno (Rua, Av., no)
Complemento (casa, apartamento, bloco)
CEPCidade UF
Bairro
Endereço eletrônico (email)
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Regional
1
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Regional
2
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3
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Regional
5 6
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Nacional
1
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Nacional
2
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Nacional
3
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Nacional
4
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5
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6
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Nacional
Total
Correção Regional
Correção Nacional
Correção 
Regional
3NívelEnsino Médio2.ª FASE – 10 de setembro de 2016
INSTRUÇÕES
1. Verifi que se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. 
Caso as informações não estejam corretas, comunique o erro 
ao aplicador imediatamente. 
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro 
acima. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em 
cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre 
cada palavra. 
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença. 
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a 
sala de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a 
prova, entregue-a ao aplicador.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página 
reservada para ela, de maneira organizada e legível. Evite 
escrever as soluções na folha de rascunho. 
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você 
apresentar. Tente resolver o maior número 
possível de itens de todas as questões, 
principalmente o item (a) de cada questão.
8. Respostas sem justifi cativas não serão consideradas na 
correção. 
9. Não escreva nos espaços sombreados.
10. Não é permitido:
a. usar instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer 
fonte de consulta;
b. comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador de 
provas;
c. usar quaisquer aparelhos eletrônicos (celulares, tablets, 
relógios com calculadora, máquinas fotográfi cas, etc.). 
 O não cumprimento dessas regras resultará em sua 
desclassifi cação.
Boa prova!
Preencha
 
e confi ra 
os dados 
acima com
 
muita aten
ção!
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TelefoneDDD
Telefone (outro)DDD
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
2
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Nacional
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Nacional
TOTAL Correção Regional
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Nacional
TOTAL
1. Um quadriculado 3x3 preenchido com números inteiros é chamado de medimágico 
quando, em cada linha horizontal, vertical ou diagonal, o termo do meio é a média aritmética 
dos outros dois. 
c) Explique por que, em qualquer quadriculado medimágico, a soma de todos os números é um múltiplo de 9.
b) O quadriculado medimágico abaixo tem os números 7, 9 e 20 nas posições indicadas. Qual é o valor de x?
a) Preencha o quadriculado abaixo para que ele seja medimágico.
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Regional
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Nacional
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Nacional
3 19
8
7
9 x
20
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
3
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TOTAL
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Nacional
2. Joãozinho pinta anéis encaixados, cada um deles dividido em seis partes iguais. No primeiro anel (o menor deles) 
Joãozinho pinta de cinza algumas partes, à sua escolha. Do segundo anel em diante, ele pinta de cinza somente as partes 
em contato com duas partes de cores diferentes do anel anterior. Observe um exemplo:
c) Explique por que, independentemente de como Joãozinho pintar o primeiro anel, os demais anéis sempre terão uma 
quantidade par de partes pintadas de cinza.
b) Na fi gura abaixo, pinte as partes do primeiro anel de modo que o segundo anel fi que todo pintado de cinza. 
a) Joãozinho pintou o primeiro anel conforme a fi gura abaixo. Continue o trabalho de Joãozinho, pintando, na mesma 
fi gura, o segundo e o terceiro anéis.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
d) Explique por que, independentemente de como Joãozinho pintar o primeiro anel, nenhum anel a partir do terceiro será 
totalmente pintado de cinza.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
...
Pintura do 1.º anel Pintura do 2.º anel Pintura do 3.º anel
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
4
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Nacional
TOTAL
3. A fi gura mostra um polígono ABCDE em que todos os lados, exceto AE, são horizontais 
ou verticais e têm os comprimentos indicados na fi gura. 
Considere, agora, uma reta vertical distante x do vértice A, com 0 < x ≤ 5. Ela divide o 
polígono ABCDE em dois polígonos, um situado à direita da reta e outro à esquerda. 
Considere a função f que associa a cada valor de x o perímetro do polígono situado à 
esquerda da reta. Por exemplo, f(3) é o perímetro do triângulo AHE, enquanto f(5) é o 
perímetro do polígono ABCDE.
c) Escreva as expressões de f(x) para 0 < x ≤ 3 e para 3 < x ≤ 5.
b) Calcule f(5).
a) Calcule f(3).
Correção 
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Nacional
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Nacional
d) Esboce o gráfi co da função f.
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D 2
2
C
E
6
BHA
5
x
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 x
f(x)
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
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Correção 
NacionalTOTAL
5
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Correção 
Nacional
TOTAL
4. Uma fi gura é construída por fi leiras horizontais de quadradinhos 1x1, dispostos 
lado a lado, sem sobreposição e sem espaçamento. Cada fi leira, com exceção da 
primeira, está encostada inteiramente na fi leira de baixo. A primeira fi leira possui um 
número ímpar de quadradinhos e cada uma das demais possui dois quadradinhos 
a menos do que a fi leira imediatamente abaixo. A última fi leira sempre contém um 
único quadradinho.
Ao lado, vemosuma fi gura na qual a primeira fi leira contém 11 quadradinhos.
c) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fi leira, a área A e o perímetro p da fi gura 
satisfazem a igualdade 2( 2) 36p A+ = .
b) Mostre que, independentemente do número de quadradinhos da primeira fi leira, o número total de quadradinhos de uma 
fi gura é o quadrado de um número natural.
a) Encontre a área e o perímetro de uma fi gura com 13 quadradinhos na primeira fi leira.
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Nacional
Correção 
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Correção 
Nacional
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
6
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Correção 
Nacional
TOTAL
5. As medidas em graus dos ângulos ˆBAD , ˆDAC , 
ˆABD e ˆDBC estão indicadas na fi gura. O ponto E é 
a interseção de BC com o prolongamento de AD, e o 
ponto F é a interseção de AB com a perpendicular a BD 
por E.
c) Qual é a medida do ângulo ˆBCD ?
b) Mostre que os triângulos ACE e AFE são congruentes.
a) Qual é a medida do ângulo ˆBDE ?
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Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
A
C
E
B
F
D
20°
20° 10°
30°
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
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Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
7
6. Seis bolas idênticas foram numeradas de 1 a 6 e colocadas em uma caixa. Joaquim 
retira, uma a uma, quatro bolas da caixa e observa seus números, sem recolocá-las na 
caixa.
c) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1 e o maior seja 5?
b) Qual é a probabilidade de que o maior número observado seja 5?
a) Qual é a probabilidade de que o menor número observado seja 1?
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Regional
Correção 
Nacional
d) Qual é a probabilidade de que o menor número observado saia na primeira bola retirada e o maior, na última bola?
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Regional
Correção 
Nacional
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
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C
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O
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.
Assinatura
Nome completo do(a) aluno(a)
Endereço completo do(a) aluno(a) (Rua, Av., no)
Complemento (casa, apartamento, bloco)
CEPCidade UF
Bairro
Endereço eletrônico (email)
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Correção 
Regional
3NívelEnsino Médio2.ª FASE – 16 de setembro de 2017
INSTRUÇÕES
1. Verifi que se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. 
Caso as informações não estejam corretas, comunique o erro 
ao aplicador imediatamente. 
2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro 
acima. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em 
cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre 
cada palavra. 
3. Lembre-se de assinar o quadro acima e a lista de presença. 
4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.
5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a 
sala de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a 
prova, entregue-a ao aplicador.
6. A solução de cada questão deve ser escrita na página 
reservada para ela, de maneira organizada e legível. Evite 
escrever as soluções na folha de rascunho. 
7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você 
apresentar. Tente resolver o maior número 
possível de itens de todas as questões, 
principalmente o item (a) de cada questão.
8. Respostas sem justifi cativas não serão consideradas na 
correção. 
9. Não escreva nos espaços sombreados.
10. Não é permitido:
a. usar instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer 
fonte de consulta;
b. comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador de 
provas;
c. usar quaisquer aparelhos eletrônicos (celulares, tablets, 
relógios com calculadora, máquinas fotográfi cas, etc.). 
 O não cumprimento dessas regras resultará em sua 
desclassifi cação.
Boa prova!
Preencha
 
e confi ra 
os dados 
acima com
 
muita aten
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TelefoneDDD
Telefone (outro)DDD
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
2
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Regional
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Nacional
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Nacional
TOTAL
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Regional
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Nacional
c) Explique por que, para qualquer número que Júlia escolher, o resultado fi nal do cálculo será sempre um múltiplo de 6.
b) Qual é o número que deve ser escolhido por Júlia para que o resultado do cálculo seja 1320?
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
1. Júlia faz o seguinte cálculo com números inteiros positivos: ela 
escolhe um número, eleva esse número ao cubo e subtrai desse cubo 
o próprio número. Veja na fi gura que o resultado do cálculo de Júlia 
com o número 2 é igual a 6. 
a) Qual é o resultado do cálculo de Júlia com o número 3?
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
3
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Regional
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Nacional
Correção 
Regional
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TOTAL
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Regional
Correção 
Nacional
2. Marcela brinca de cobrir todas as casas de tabuleiros quadriculados com peças retangulares e cada uma dessas peças 
cobre exatamente duas casas do tabuleiro. 
c) De quantas maneiras diferentes Marcela pode cobrir com dez peças o tabuleiro abaixo?
b) De quantas maneiras diferentes Marcela pode cobrir com quatro peças o tabuleiro abaixo?
a) A fi gura abaixo mostra uma maneira de cobrir um tabuleiro 2 3× utilizando três peças. Desenhe as outras duas maneiras 
de cobrir com três peças o mesmo tabuleiro. 
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
4
Correção 
Regional
Correção 
NacionalTOTAL
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Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
3. O triângulo da fi gura ao lado é equilátero e seus lados medem 10 cm. Os pontos A, B 
e C, inicialmente nos vértices do triângulo, deslocam-se sobre seus lados, de um vértice 
a outro, com a mesma velocidade. Os pontos A e C deslocam-se no sentido horário, e o 
ponto B desloca-se no sentido anti-horário. 
Seja x a distância em centímetros percorrida pelos pontos A, B e C, no intervalo 0 10x≤ ≤ . 
Seja ( )f x a área do triângulo ABC quando x é tal que A, B e C formam um triângulo e 
( ) 0f x = , caso contrário.
c) Esboce o gráfi co de ( )f x para 0 10x≤ ≤ . 
b) Para quais valores de x, 0 10x≤ ≤ , tem-se ( ) 0f x = ?
a) Calcule (2)f .
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
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Nacional
A B
C
x
xx
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
f x( )
5
10
15
20
25
30
3
3
3
3
3
3
A B
C
2
22
f (2)
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
5
Correção 
Regional
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Nacional
Correção 
Regional
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TOTAL
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Regional
Correção 
Nacional
4. Na fi gura ao lado, cada círculo branco está ligado a três círculos azuis, como indicado. 
Inicialmente todos os números de 1 a 10 devem ser distribuídos nos círculos azuis, em 
uma ordem qualquer. Em seguida, cada círculo branco deve ser preenchido com a soma 
dos três números nos círculos azuis ligados a ele.
c) Explique por que, independentemente da distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis, sempre existirão três 
círculos brancos tais que a soma de seus números é igual a 54. 
b) Explique por que não existe uma distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis de modo que nos círculos 
brancos só apareçam números menores do que 17.
a) Na fi gura abaixo é dada uma distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis. 
Um dos círculos brancos foi preenchido com o número 17, pois 17 1 10 6= + + . Preencha 
os demais círculos brancos.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
d) Explique por que não existe uma distribuição dos números de 1 a 10 nos círculos azuis de modo que nos círculos 
brancos só apareçam números menores do que 18.
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
17
1
7
8
3 4
9
5
2
610
NÍVEL 3 Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
6
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
5. A fi gura mostra três vistas de uma obra de arte feita com um pedaço de tubocircular reto e um trapézio isósceles de 
arame, fi xado no tubo em quatro pontos. 
Os lados paralelos do trapézio medem 6 cm e 24 cm, e ambos são paralelos ao plano que contém a base do cilindro. O 
plano que contém o trapézio faz ângulo de 45° com o plano que contém a base do cilindro.
c) Qual é o diâmetro do tubo?
b) Qual é o comprimento dos lados não paralelos do trapézio da Figura 2, reproduzida abaixo?
a) Qual é o comprimento dos lados paralelos do trapézio da Figura 2? 
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
d) Quantos centímetros de arame foram utilizados para construir o trapézio fi xado no tubo?
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
NÍVEL 3Respostas sem justifi cativa não serão consideradas
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
TOTAL
7
6. Joana retira bolas, sem reposição, de uma caixa com 2017 bolas numeradas de 1 a 2017.
c) Qual é a quantidade mínima de bolas que ela deve retirar para garantir que existam duas bolas de modo que a soma de 
seus números seja um múltiplo de 3 e sua diferença seja um múltiplo de 2?
b) Qual é a quantidade mínima de bolas que ela deve retirar para garantir que existam duas bolas com a soma de seus 
números igual a um múltiplo de 3?
a) Qual é a quantidade mínima de bolas que ela deve retirar para garantir que em pelo menos 
uma delas haja um número múltiplo de 3?
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Correção 
Regional
Correção 
Nacional
Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:Operacionalização:
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