Matematica basica

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PROF: ARTUR PASSOS DIAS LIMA 
 
 
 
 
 
 
 CURSO 
 
 DE 
 
 EXTENSÃO 
 
DE 
 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
Lista de Figuras 
 
Figura1: Gráfico do polinômio 8423)( 234 +−+−−= xxxxxf . 17 
Figura2: Gráfico da função constante. 19 
Figura 3: Gráfico da função identidade. 20 
Figura 4: Gráfico da segunda bissetriz. 20 
Figura 5: Gráfico da primeira bissetriz. 21 
Figura 6: Gráfico da função do primeiro grau decrescente. 22 
Figura 7: Gráfico da função do primeiro grau crescente. 24 
Figura 8: Gráfico da função .682)( 2 +−= xxxf 35 
Figura 9: Gráfico da função ( ) xxf = . 40 
Figura 10: Gráfico da função ( ) xxf = . 40 
Figura 11: Gráfico da função ( ) 3−= xxf . 41 
Figura 12: Gráfico da função exponencial crescente. 44 
Figura 13: Gráfico da função exponencial decrescente. 44 
Figura 14: Gráfico da função xxf 2)( = . 45 
Figura 15: Gráfico da função 42)( −= xxf . 46 
Figura 16: Gráfico da função 42)( −= xxf . 46 
Figura 17: Gráfico da função 242)( −−= xxf . 47 
Figura 18: Gráfico da função logarítmica crescente. 51 
Figura 19: Gráfico da função logarítmica decrescente. 51 
Figura 20: Gráfico da função ( )5log 5,0 += xy . 51 
Figura 21: Gráfico da função 2)5(log 5,0 −+= xy . 52 
Figura 22: Gráfico da função 2)5(log 5,0 −+= xy . 52 
Figura 23: Gráfico de uma senóide. 65 
Figura 24: Gráfico de uma cossenóide. 66 
 
 
 
 
 
i 
Sumário 
 
1ª Parte 
 
1 – Potenciação 1 
2 – Radicais 2 
3 – Racionalização de Denominadores 5 
4 – Produtos Notáveis 6 
5 – Fatoração 7 
6 – Polinômios 11 
7 – Recursos do Matlab 16 
 
2ª Parte 
 
8 – Função do 1º grau 19 
9 – Função do 2º grau 30 
10 – Função Modular 38 
11 – Função Exponencial 44 
12 – Função Logarítmica 50 
 
3ª Parte 
 
13 – Função Trigonométrica 60 
14 – Bibliografia 83 
 
 
 
 
 
ii 
Introdução 
 
O que seria da vida sem a matemática? Há muitos anos atrás os grandes estudiosos como 
Gauss, Newton, Kepler e muitos outros, dedicaram suas vidas a formulações matemáticas e 
até os dias de hoje, utilizamos suas descobertas para o crescimento da humanidade e 
explicações dos fenômenos da natureza. O estudo da matemática requer muita persistência 
e lógica, pois relacionar números e letras em determinados problemas como: o cálculo da 
energia elétrica, a distância da terra até o sol, a formação do calendário perante a rotação 
da terra, por que o celular funciona? Por que o avião fica suspenso no ar? Não é de um dia 
para o outro. A leitura é um fator primordial no entendimento dos fenômenos, narrar o 
acontecido, raciocinar como e por que acontece é bem mais que uma terapia. Um grande 
cientista precisa de embasamento teórico e para isso, as bibliografias são indispensáveis na 
sua cultura. A utilização dos nossos neurônios é pouca, pois nunca se descobre tudo e o 
mundo que os nossos olhos enxergam é bastante limitado, mas mesmo assim somos 
vencedores quando ligamos a imaginação à realidade. Com a invenção do computador, 
muitos softwares foram lançados no mercado, facilitando ainda mais a matemática e um 
deles é o Matlab. Esta extraordinária ferramenta é muito usada pelos engenheiros, a qual 
utilizo em algumas simulações mostrando o entendimento das respostas dos problemas 
propostos neste livro. Procuro retratar alguns assuntos da matemática do 2º grau, e sendo 
coordenador do curso de nivelamento, espero facilitar o entendimento da matemática, para 
que os futuros engenheiros da Faculdade Área1, concluam o curso só no intuito de 
aprender, pois o aprendizado nunca se perde, ele se acumula em toda a nossa vida. 
Agradeço ao professor e mestre Álvaro Fernandes pelo apóio e revisão deste módulo e 
ao professor e doutor Eduard Montgomery que me incentivou a fazer este livro. Todo o 
embasamento teórico deste módulo foi tirado de diversos livros que estão disponíveis na 
bibliografia. 
 
O autor 
 
 Artur Passos Dias Lima 
 16 de dezembro de 2005 
 
 
 “A verdadeira riqueza é o conhecimento e a sabedoria” 
 Artur Passos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii 
 
1ª Parte 
 
1 - Potenciação 
 
A potenciação é utilizada em muitos cálculos em matemática e o objetivo é estudar as seis 
propriedades, para serem utilizadas nos conteúdos deste livro. 
 
1.1 Multiplicação de mesma base 
 
 Multiplicação de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes: 
 
 
mnmn aaa +=. 
 
1.2 Divisão de mesma base 
 
Divisão de mesma base conserva-se a base e subtraem os expoentes: 
 
 
mnmn aaa −=: 
 
 1.3 As regras a seguir valem as igualdades: 
 
 a) ( ) mmm baba .. = 
 b) ( ) nmmn aa .= 
 c) ( ) n pmpn m AA .= 
 d) nmm n AA .= 
 
Exercícios de Potenciação 
 
01) Resolva as seguintes potências 
 
 a) 
2
2
1






 b) 
3
4
1






 c) 
9
5
.
5
3 2






 d) 2
3
1
2
1
+





 e) 
32
5
:
4
1 3






 f) 
8
9
.
3
21
3






+ 
 
g) 
10
1
25
9
:
5
3 3
+





 h) 
024
4
3
4
1
:
2
1






−











 i) 











+−





+





2
5
:1
3
5
.
5
22.
2
1
2
1 23
 
 
j) 
2
1
2
1
2
1 23
+





+





 l) 
8
3
:
2
1
2
9
.
3
1 42






+





 m) 2
2
3
11
3
11






+






−
 n) 
4
2
1
2
2
1
2
3
+





+





 
 
1 
o) 
2
1
9
5
.
5
3






+ p) 
9
1
:
3
21
5
9
.
3
1
2
1 32






−+





+ q)
3
2
2
3
1
4
11:7:
2
14 





+





−














− 
 
r) 
22
5
41:
5
1
3
4
.
2
11 





−+





− 
 
 2 - Radicais 
 
 2.1 Considerações preliminares 
 
Como nn BABA =⇔= devido à existência da operação inversa entre potenciação e 
radiciação, tem-se que )2/( ≥∈ nNn . 
 
 2.2 Propriedades dos radicais 
 
1. A raiz n-ésimas de um produto é igual ao produto das raízes da cada fator, desde 
que sejam positivos. 
Assim, temos: 
 
 
nnn BABA .. = ( )0, ≥BA 
 
2. A raiz n-ésima de um quociente é igual ao quociente entre as raízes n-ésimas do 
dividendo e do divisor, desde que A seja positivo e B estritamente positivo. 
Assim, temos: 
 
 
n
n
B
A
B
A
= ( )0≥A e ( )0>B 
 
3. Quando o expoente do radicando é igual (ou múltiplo) ao índice da raiz, pode ser 
retirado do radical, bastando para tanto dividir o expoente pelo índice da raiz, 
quociente este que é novo expoente do fator retirado do radical. 
Assim, temos: 
 
 
nmnn nmn nm BABABA ... .. == ( )0, ≥BA 
 
4. A introdução de um fator, dentro do radical, baseia-se no caso anterior,bastando 
para tanto fazermos o inverso, isto é, ao invés de dividir, devemos multiplicar o 
expoente do fator considerado pelo índice da raiz, produto este que é o expoente do 
fator introduzido no radical. 
Assim, temos: 
 
 
n nmnn mnnm BABABA ... .. == ( )0, ≥BA 
 
 
2 
5. Expoente fracionário 
 
Consiste em: 
 
 
d nd
n
AA = , 0≥A e 0≠n 
 
ou seja: o denominador (d) do expoente fracionário é o índice da raiz, a base passa 
a ser o radicando elevado ao numerador (n) do expoente fracionário. 
Assim, temos: 
3 23
2
77 = 
 
2.3 Simplificação de radicais 
 
Consiste em: 
 
 
kn kmn m AA : := , ,0≠K 0≥A ; 
 
Assim, temos: 
 
 
3 22;6 2:46 4 555 == 
 
2.4 Redução de radicais ao mesmo índice 
 
Dados: 
 
 
p kmn CBA ;; 
 
MMC ( ) pnmpmn ..,, = 
 
 Logo: 
 
 
pnm nmkpnm pnpnm pm CBA .. .... ... . ;; 
 Assim, temos: 
 
 
4 33 5;2;3 
 
 MMC ( ) 124,3,2 = 
 
 
12 912 412 6 5;2;3 
 
 
 
 
3 
2.5 Comparação de radicais 
 
 Baseia-se no caso anterior, isto é, depois de reduzi-los ao mesmo índice, será maior o 
que contiver o maior radicando e menor o que contiver o menor radicando. 
 
2.6 Operações com radicais 
 
2.6.1 Adição e subtração 
 
Opera-se separadamente para cada radical. Assim, temos os exemplos a seguir: 
 
 a) 333 3233 =+ 
 b) 2382 =+ 
 Observe que no caso do exemplo b, foi necessário fatorar o número 8 = 2.22 23 = . 
 
2.6.2 Multiplicação e Divisão 
 
 
mn nmmn nmn mmn BABABA ... ... == 
 
mn nmmn nmn mmn BABABA ... ::: == , 0≠B 
 
 Em ambos os casos, só haverá solução, se os índices forem iguais. Caso contrário 
reduz-se primeiramente ao mesmo índice e depois se efetua a operação indicada. 
 Assim, temos: 
 
 
666 236 26 33 729.83.23.23.2 ==== 
 
66 2266 33 9:1253:35:53:5 === 
 
 
Exercícios de Radicais 
 
01) Efetue os seguintes radicais. 
 a) 22328 ++ b) 33 3432 − c) 55
2
15254 −+− d) 33 + 
 
 e) 333 44245 ++ f) 5253 − g) 3250218 ++ h) 1237548 −+ 
 
i) 872983505182 +−+− j) 12520
2
154 +− 
 
l) ( )( )25.6 m) ( )( )10.16 n) ( )( )( )444 3.5.7 o) 5 x ( )23 + 
 
p) ( ) 22. yxyx −+ q) 33 18:36 r) 2:8 s) 3 4:6 t) 3 2 
 
4 
u) 3 5 v) 3 x) 32 z) 4
2
1
 
 
3 - Racionalização de Denominadores 
 
 Racionalização é a operação que consiste na eliminação de radicais em denominadores. 
 Aqui, serão vistos alguns casos: 
 
 I ) 
3
3.5
3.3
35
3
3
.
3
5
3
5
=== 
 
 II ) 
5
5.4
5.5
5.4
5
5
.
5
4
5
4 3 2
3 23
3 2
3 2
3 2
33
=== 
 
 III ) 
6
2.7
2.3
2.7
2.2.3
2.7
2
2
.
2.3
7
2.3
7 5 25 2
5 25 3
5 2
5 2
5 2
5 35 3
==== 
 
 IV ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
23
25.3
225
25.3
25
25.3
25.25
25.3
25
25
.
25
3
25
3
22
−
=
−
−
=
−
−
=
−+
−
=
−
−
+
=
+
 
 
 V ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2
35.7
35
357
35
35.7
35
35
.
35
7
35
7
22
+
=
−
+
=
−
+
=
+
+
−
=
−
 
 
 VI ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
15
32.3.2
32.9
32.3.2
32.3
323.2
323323
323.2
323
323
.
323
2
323
2
22
+
=
−
+
=
−
+
=
+−
+
=
+
+
−
=
−
 
 
Exercícios de Racionalização de Denominadores 
 
01)Racionalize as expressões: 
 
a) 
35
2
−
 b) 
73
1
+
 c) 
ba
b
+3
 d) 
25
4
+
 e) 
31
3
−
 
 
f) 
24
2
+
−
 g) 
ba
a
2−
 h) 
5235
10
−
 i) 
15
2
−
 j) 
17
3
+
 
 
l) 
yx
x
+
 m) 
2
3
 n) 
5
5
 o) 
12
7
 p) 
19
15
 q) 
5
7
 r)
b
ab
2
6
 
 
 
5 
s) 
y
xx
2
32
 t) 
4 38
8
a
 u) 
5 3227 yx
xy
 v) 
6 525x
x
 x) 
5 342
22
cba
ba
 z) 
8 375
3
zbx
bx
 
 
 
 
 4 - Produtos Notáveis 
 
4.1 Quadrado da soma de dois termos 
 
Vamos algebricamente, calcular ( ) ( )( ) 222 . bbaababababa +++=++=+ como 
baab = temos que abbaab 2=+ , então: 
 
 ( ) 222 2 bababa ++=+ 
 
4.2 Quadrado da diferença de dois termos 
 
Da mesma forma, ( ) :2ba − 
 
 ( ) ( )( ) 222 . bbaababababa +−−=−−=− como abbaab 2−=−− , temos: 
 
 ( ) 222 2 bababa +−=− 
 
4.3 Produto da soma pela diferença de dois termos 
 
Utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, vamos calcular: 
 
 ( )( ) 2222. babbaabababa −=−+−=−+ 
 
 ( )( ) 22. bababa −=−+ 
 
4.4 Cubo da soma de dois termos 
 
Utilizando as propriedades de potências, podemos escrever que: 
 
 ( ) ( )( )23 . bababa ++=+ 
desenvolvendo ( )2ba + , e aplicamos a propriedade distributiva: 
 
 ( ) ( )( )223 2. babababa +++=+ temos: 
 
 ( ) 3222233 22 babbaabbaaba +++++=+ 
 
 
6 
 
 ( ) 32233 33 babbaaba +++=+ 
 
4.5 Cubo da diferença de dois termos 
 
O processo algébrico é idêntico ao processo utilizado para o cubo da soma: 
 
 ( ) ( )( )23 . bababa −−=− 
 
 ( ) ( )( )223 2. babababa +−−=− 
 
 ( ) 3222233 22 babbaabbaaba −+−+−=− 
 
 ( ) 32233 33 babbaaba −+−=− 
 
 
 
Exercício de Produtos Notáveis 
 
01) Resolva os seguintes produtos notáveis: 
 
 a) ( 2x + 4 ) 2 b) (x 3 + y 2 ) 3 c) ( 3x 2 y 3 + a 2 ) 2 d) ( 2x – y ) 2 e) ( x 2 - a) 3 
 
f) ( x + y + a ) 2 g) ( 223 )4 y+ h) ( 33 )69 − i) ( a –y) . (a + y) j) ( x 2 - y) 4 
 
l) ( )( )5.32 ++ xx m) ( )22nm + n) ( )22 bx + o) ( )23 bx + p) ( ) ( )222 −++ mm 
 
q) ( )( ) 21823.3 abbaba −+−+ r) 22 2
2
2
2






−−





+
a
a
a
a
 s) ( )3mxa ++ 
 
t) ( ) ( ) bababa 222 −+−++ u) ( ) ( ) 121 22 −−+−++ ababa 
 
v) ( ) 4632 9273 aaa −−−+ x) ( )25++ pm z) ( ) 131 81234 ++−− mmm 
 
 5 - Fatoração 
 
O processo de fatoração consiste em transformar uma expressão algébrica em produto. Em 
aritmética esta operação é bastante simples, por exemplo: 
 
• Fatorar o número 120 
 
 5.3.2120 3= 
7 
• Fatorar o número 250 
 
 
35.2250 = 
 
 Observe os exemplos a seguir, as expressões algébricas fatoradas: 
 
 ( )yxxxyx 8.2162 2 +=+ 
 ( )( )3.392 −+=− xxx 
 ( )( ) ( )22 33.396 +=++=++ xxxxx 
 
Note que, se aplicarmos a propriedade distributiva ao 2º membro, obtemos a expressãodo 
1º membro. 
Para fatorar expressões algébricas, a análise deve ser feita tendo em vista os seguintes 
casos: 
 
5.1 Fator comum 
 
Neste caso, devemos observar se cada parcela apresenta um fator comum, que deverá ser 
colocado em evidência, conforme os exemplos: 
 
 a.1) xaax 293 + fator comum ax3 
 ( )aaxxaax 31.393 2 +=+ 
Os resultados obtidos dentro dos parênteses são provenientes da divisão de cada parcela 
pelo fator comum, ou seja: 
 
 1
3
3
=
ax
ax
 a
ax
xa 3
3
9 2
= 
 
 a.2) 2432 84 xaxa − fator comum 224 xa 
 
 x
xa
xa
=22
32
4
4
 
2
22
24
2
4
8
a
xa
xa
−=
−
 
 
temos, então: 
 
 ( )2222432 2.484 axxaxaxa −=− 
 
Obs: o fator comum da parte literal são as letras comuns com o menor expoente. 
 
 
5.2 Agrupamento 
 
Aqui os fatores comuns aparecem em grupos, observe: 
 
 
8 
 
4342143421
comumfatoréycomumfatoréx
byyabxxa
...
2
...
2 +++ 
 
 =+++ byyabxxa 22 
( ) ( )
( )
( )( )yxbabaybax
comumfatoréba
++=+++=
+
...
2
...
22
2
444 3444 21
 
 
Note que, se aplicarmos a propriedade distributiva à última igualdade, obteremos a 
expressão algébrica inicial. 
 
Exercício resolvido: 
 
 
1. Fatorar as expressões: 
 
a) 4334 bbaaba −−+ 
 
 Resolução: 
 Note que os dois primeiros termos têm a como fator comum, e os dois 
últimos têm b como fator comum. Colocamos em evidência: 
 
 =−−+ 4334 bbaaba 
 
 ( ) ( ) =+−+= 3333 .. babbaa ( )
43421
comumfatoré
ba
..
33 + 
 = ( )( )baba −+ .33 
 
b) 22232252 36812 pnmpnmpnm −+ 
 
 Resolução: 
 mnp é fator comum da parte literal. Colocando em evidência as letras 
com os menores expoentes, temos então que pnm 22 é fator comum. Na parte numérica 
colocamos em evidência o maior divisor comum entre 12,8 e 36, que é o número 4. 
 
 =−+ 23232252 36812 pnmpnmpnm 
 ( )nppnpnm 923.4 2322 −+= 
 
c) 25309 2 ++ xx 
 
 Resolução: 
 Temos, neste exercício, um trinômio. Verificaremos se o termo do meio é o 
dobro das raízes quadradas dos outros, assim poderemos compor o quadrado da soma 
de dois termos. 
 
 
9 
 ( )22 5325309 +=++ xxx 
 
2. Simplifique: 
 
 a) 
12 −
+++
x
nmnxmx
 
 
Resolução: 
 Lembre-se que, para simplificar frações, devemos ter as expressões 
algébricas fatoradas. Observe que: 
 
• no numerador podemos fatorar por agrupamento; 
• no denominador temos uma diferença de dois quadrados. 
 
 
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( ) 11.1
1.
1.1
.
12 −
+
=
−+
++
=
−+
+++
=
−
+++
x
nm
xx
xnm
xx
nmnmx
x
nmnxmx
 
 
 b) 32
22
2 . bba
abba
aba
ba
−
−
−
+
 
 
 Resolução: 
 
 ( )
( )
( ) =−
−
−
+
=
−
−
−
+
2232
22
2
.
.
.
.
.
bab
baab
baa
ba
bba
abba
aba
ba
 
 
 ( )
( )
( )( ) bababab
baab
baa
ba
−
=
+−
−
−
+
=
1
..
.
.
.
 
 
 c) 
53
62
259
9
2
2
+
+
−
−
x
x
x
x
 
 
 Resolução: 
 
 =
+
+
−
−
=
+
+
−
−
62
53
.
259
9
53
62
259
9
2
22
2
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
( )( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
106
3
53.2
3
3.2
53
.
53.53
3.3
−
−
=
−
−
=
+
+
−+
−+
=
x
x
x
x
x
x
xx
xx
 
 
 
10 
Exercício de Fatoração 
 
01) Fatore as seguintes expressões: 
 
 a) ( x 44 y− ) b) ( x 22 y− ) c) x 32 y - z xyzx +32 d) x x82 + e) 7x x422 − 
 
 f) ( x + 1 ) 2 + ( x + 1 ) 2 g) x 2 - 9 h) ( x + 2 ) 2 - 4x – 13 i) (x + 2)(x + 3) –(5x +7) 
 
 j) 9x 2 - 4 l) 5x 2 - 45 m) x 2 - 6x n) x ( x +1) – 4x o) ( x +3) 2 - 9 p) x 2 - 4x +3 
 
 
 6 - Polinômios 
 
 6.1 Definição 
 
Sejam dois polinômios, f(x) como dividendo e g(x) como divisor, como g(x) 0≠ . Dividir 
f(x) por g(x) é determinar outros dois polinômios: o quociente q(x) e o resto r(x), tais que: 
 
1º) f(x) = g(x).q(x) + r(x) 
2º) grau r < grau g ou r(x) 0≡ 
 
Um possível esquema de divisão é apresentado a seguir: 
 
 
 f(x) g(x) 
 dividendo divisor 
 r(x) q(x) 
 quociente 
 resto 
 
 
 6.2 Teorema do resto 
 
Seja )(xp um polinômio tal que grau p 1≥ . O resto da divisão de )(xp por ax − é igual a 
)(ap , ou seja, )(apr = . 
 
Demonstração 
 
 Temos: 
 ( ) ( ) rxqaxxp +−= .)( 
Obs: o valor de r pertence ao conjunto dos números complexos. 
Calculando o valor numérico do polinômio acima para ax = , vem: 
 
 
 
11 
 ( ) ( ) ,.)( raqaaap +−= 
isto é ( ) ( )aprraqap =⇒+=
=
321
0
.0)( 
 
Exemplo 1 
 
Podemos determinar o resto da divisão de 23)( 34 +−= xxxf por 1)( −= xxg sem 
efetuar a divisão. Basta notar que: 
 
* A raiz do divisor é .101 =⇒=− xx 
* Pelo teorema do resto, temos que: 
 ( ),1fr = isto é, .4211.3 34 =+−=r 
 
Exemplo 2 
 
Da mesma forma que no exemplo anterior, para determinar o resto da divisão de 
( ) 235 +−= xxxp por 3)( += xxh , fazemos: 
 
* A raiz de )(xh é .303 −=⇒=+ xx 
* Utilizando o teorema do resto, vem: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) .2142272432333 35 −=+−−−=+−−−=−= pr 
 
Explicaremos dois métodos importantes na divisão de polinômios: o Teorema de 
D’Alembert e o Dispositivo de Briot-Ruffini. 
 
 6.3 Teorema de D’ Alembert 
 
Um polinômio f (x) é divisível por ax − se, e somente se, a é raiz de f (x). 
 
Demonstração 
 
Há duas implicações a provar: 
 
1º - f(x) é divisível por ax − a⇒ é raíz de f (x). 
 Da hipótese, sabemos que o resto da divisão de f (x) por ax − é igual a 0. Mas, 
pelo teorema do resto, r = f(a). Então f (a) = 0. Logo, a é raiz de f . 
2º - a é raiz de )()( xfxf ⇒ é divisível por ax − . 
 
Se a é raiz de )(xf , então 0)( =af . Mas, pelo teorema do resto, )(af é o resto da 
divisão de )(xf por .ax − Então, ,0=r o que mostra que )(xf é divisível por .ax − 
 
Exemplo 3 
 
Vamos determinar m de modo que 54)( 23 −+−= mxxxxf seja divisível por :3−x Pelo 
teorema de D’ Alembert, 3=x é raiz de )(xf , isto é, ( ) 03 =f . Daí: 
12 
 
3
140143053.3.43 23 =⇒=−⇒=−+− mmm 
 
Exemplo 4 
 
Sejam 5 e 2, respectivamente, os restos da divisão de um polinômio )(xf por 3−x e por 
1+x . É possível, através do que vimos, determinar o resto da divisão de )(xf por 
( )( ) :1.3 +− xx 
Pelo teorema do resto, temos que: 
 () 53 =f (I) e ( ) 21 =−f (II) 
 
Quando dividimos )(xf por ( ) ( )( ) 321.3 2 −−=+−= xxxxxg , temos que grau 1=r (pois 
grau r < grau g e grau g =2),isto é, o grau do resto é no máximo 1. Assim, escrevemos 
( ) .baxxr += Devemos determinar a e b. Temos:? 
 
 
( ) ( )( ) ( ) 3214434421
)()(
.3.1
xrxg
baxxqxxxf ++−+= 
 
Calculando o valor numérico desse polinômio em 3=x e em 1−=x , vem: 
 
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) 211.31.111
533.3.33.13)3(
0
0
=+−⇒+−+−−−+−=−
=+⇒++−+=
=
=
babaqf
babaqf
II
I
444 3444 21
44 344 21
 
Resolvendo o sistema acima, encontramos 
4
3
=a e 
4
11
=b . Dessa forma, o resto é 
.
4
11
4
3)( += xxr 
 
 6.4 Método de Briot-Ruffini 
 
Sejam ( ) ( )0... 0111 ≠++++= −− nnnnn aaxaxaxaxf e ( ) .axxg −= 
Consideremos a divisão de ( )xf por ( )xg . 
O quociente ( )xq dessa divisão é um polinômio de grau 1−n ( pois grau q = f – grau g = 
1−n ), dado por: 
 
 ( ) 012211 .... qxqxqxqxq nnnn ++++= −−−− 
O resto r dessa divisão é um número complexo (independente de x); de fato, como grau r 
< grau g e grau g = 1, segue que grau r = 0. 
Nosso objetivo é determinar o resto da divisão e os coeficientes ( ) 121 ,...,,: qqqxq nn −− e 0q . 
Temos: 
 ( ) ( ) ( ) ,. rxqxgxf += 
 
13 
isto é, 
 
( )( )
( )
( ) raqxaqxaqxaq
xqxqxqxq
rqxqxqxqax
axaxaxa
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+++++−
−++++=
=+++++−=
=++++
−
−
−
−
−
−−
−
−
−
−
−
−
01
2
2
1
1
0
2
1
1
21
01
2
2
1
1
01
1
1
...
....
....
...
 
Agrupando os monômios de mesmo grau: 
 
 ( ) ( ) ( )raqxaqqxaqqxq
axaxaxa
n
nn
n
n
n
n
n
n
+−+−++−+=
=++++
−
−−−
−
−
010
1
121
01
1
1
...
...
 
 
Da identidade de polinômios segue que: 
 








+=⇒+−=
+=⇒−=
+=⇒−=
=
−−−−−−
−
0000
110101
112121
1
..*
..*
..*
*
qaarrqaa
qaaqqaqa
qaaqqaqa
aq
nnnnnn
nn
M 
 
A determinação do resto da divisão de )(xf por )(xg e dos coeficientes de )(xq torna-se 
mais rápida com a aplicação do dispositivo prático de Briot-Ruffini. 
Consideremos a divisão de 254)( 23 −+−= xxxxf por 3)( −= xxg , ambos escritos 
segundo potências decrescentes de x. Para construir o dispositivo, sigamos o seguinte 
roteiro: 
 
• 1° Passo: calcular a raiz do divisor )(xg e, ao seu lado, colocar os coeficientes 
ordenados do dividendo )(xf . 
 raiz de )(xg : 303 =⇒=− xx 
 
 3 1 -4 5 -2 
 
 
• 2° Passo: abaixar o 1º coeficiente do dividendo (1) e multiplicá-lo pela raiz do 
divisor )331( =x . 
 
 3 1 -4 5 -2 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
14 
• 3°Passo: somar o produto obtido com o coeficiente seguinte ( )( )143 −=−+ . O 
resultado é colocado abaixo desse coeficiente. 
 3 1 -4 5 -2 
 
 1 -1 
 
• 4° Passo: com esse resultado, repetir as operações ( multiplicar pela raiz e somar 
com o coeficiente seguinte), e assim por diante. 
 
 3 1 -4 5 -2 
 1 -1 2 4 
 
O último dos resultados obtidos no algoritmo de Briot-Ruffini é o resto da divisão. Assim, 
4=r . Os demais resultados obtidos no algoritmo correspondem aos coeficientes 
ordenados do quociente da divisão. Dessa maneira, 2)2).(11()( 22 +−=+−= xxxxxq . 
 
Exemplo 5 
 
Vamos, através do dispositivo de Briot-Ruffini, obter o quociente e o resto da divisão de 
423)( 235 ++−= xxxxf por 1)( += xxg : 
Convém inicialmente notarmos que 40230)( 2345 +++−+= xxxxxxf . 
Assim, construímos o algorítmo: 
 
 1 1 0 -3 2 0 4 
 1 -1 -2 4 -4 8 
 
Assim:



−+−−=
=
442)(
8
234 xxxxxq
r
 
 
 
Exemplo 6 
 
Vamos obter a para que o resto da divisão de axxxxf −−−= 23)( 23 por 2)( −= xxg 
seja igual a 5: 
Construímos o dispositivo de Briot-Ruffini: 
 
 2 1 -3 -2 -a 
 1 -1 -4 -a-8 
 
Assim, devemos ter 5=r , isto é, 1358 −=→=−− aa . 
 
 
 
 
 
 
15 
Exemplo 7 
 
Vamos determinar m para que mxxxxf +−+−= 242)( seja divisível por 1)( −= xxg : 
 
 1 -2 0 1 -1 m 
 -2 -2 -1 -2 -2 + m 
 
Do enunciado, vem 2020 =⇒=+−⇒= mmr . 
 
Exercício de Polinômio 
 
a) ( ) ( )axmaxm −−+ 22 27 b) ( ) ( )75272 233 ++−+− yyyy c) ( ) 222 yyam −+ 
 
d) ( )( )mmm −− 12 e) ( )( ) ( )( )[ ] 133.1.1.1 22 ++−+++− aaaaaa 
 
f) ( )( )( )4.2.12 +−−+ aaaa g) ( )( )1.1 22 −+ aa h) ( )( )xxxx ++− 23 2.2 
 
i) ( ) ( )21072 −÷+− xxx j) ( ) ( )1562 −÷+− xxx l) ( ) ( )392 −÷− xx 
 
m) ( ) ( )2164 −÷− xx n) ( ) ( )115 −÷− xx o) ( ) ( )4122 −÷−− xxx 
 
 
7 - Recursos do Matlab 
 
O Matlab contém diversas funções para a manipulação de polinômios. Os polinômios são 
facilmente diferenciados e integrados, e é fácil encontrar raízes polinomiais. Entretanto, 
polinômios de ordem elevada criam dificuldades numéricas em muitas situações e, assim, 
devem ser usados com precaução. Em alguns casos especiais é necessário dividir um 
polinômio por outro. No Matlab, isso pode ser feito com a função deconv. Por exemplo: 
No exemplo 1 queremos dividir 23)( 34 +−= xxxf por 1)( −= xxg , então utilizamos os 
comandos do Matlab, para acharmos o quociente e o resto da divisão. 
 
>> a=[3 -1 0 0 2]; b=[1 -1]; 
>> [q,r]=deconv(a,b) 
 
q = 
 3 2 2 2 
 
r = 
 0 0 0 0 4 
 
Note que no Matlab utilizamos os coeficientes dos polinômios do dividendo e do divisor, 
com isso o Matlab mostrará também o coeficiente do polinômio do quociente e o valor do 
resto. 
 
16 
No exemplo 5 utilizamos os mesmos comandos: 
 
>> a=[1 0 -3 2 0 4]; b=[1 1]; 
>> [q,r]=deconv(a,b) 
 
q = 
 1 -1 -2 4 -4 
 
r = 
 0 0 0 0 0 8 
 
No Matlab também podemos calcular os polinômios utilizando os seguintes comandos 
representados pelo gráfico na Figura1: 
Queremos calcular o polinômio 8423)( 234 +−+−−= xxxxxf . 
>> p=[-3 -2 4 -1 8]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados 
>> title('Função : -3x{^4}-2x{^3} +4x{^2}-x{^1}+8') % Título do texto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura1: Gráfico do polinômio 8423)( 234 +−+−−= xxxxxf . 
 
 
Exercícios Gerais da 1ª Parte 
 
01) Calcule os seguintes radicais (Neste caso você deve primeiramente simplificar a 
expressão dada e logo após substituir o valor de x dado) 
 
a) 1,
1
1
=
−
−
x
x
x
 b) 0,
3
11
=
−−+
x
x
xx
 c) 1
2
1 2
−=
++
−x
xx
x
 
 
 
 
17 
d) 1,
1
32
3 =
−
−+
x
x
x
 e) 4,
51
53
=
−−
+−
x
x
x
 f) 4,
4
2
=
−
−
x
x
x
 
 
 
g) 4,
2
53
=
−
−−−
x
x
xx
 h) 64,
4
8
3
=
−
−
x
x
x
 i) 0;, >=
−
−
aax
ax
ax
 
 
 
j) 7,
49
32
2 =
−
−−
x
x
x
 l) 2,
24
22
=
+−
−+
x
x
x
 m) 3,
124
33
=
−
−
x
x
x
 
 
 
02) Neste exercício você deve primeiramente simplificar a expressão dada e logo após 
substituir o valor de x dado: 
 
a) 2,
2
4
2
2
=
−
−
x
xx
x
 b) 2,
443
82
2
2
=
−−
−
x
xx
x
 c) 1,
1
12
3
2
=
−
+−
x
x
xx
 
 
 
d) 
2
1
,
18
232
3
2
=
−
−+
x
x
xx
 e) 2,
2
83
=
−
−
x
x
x
 f) 2,
443
4
2
2
−=
−+
−
x
xx
x
 
 
 
g) 0,,
23 22
22
≠=
−−
−
aax
aaxx
ax
 h) ( ) xaax
ax
axax
≠=
−
++−
,,
1
33
2
 
 
 
i) 5,
56
2502
2
3
=
+−
−
x
xx
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
2ª Parte 
 
8 - Função do 1º grau 
 
 8.1 Definição 
 
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de ℜ em 
ℜ dada por uma lei da forma ( ) baxxf += , onde a e b são números reais dados e 0≠a . 
Na função ( ) baxxf += , o número a é chamado de coeficiente de x ou coeficiente 
angular da reta, determinando sua inclinação e o número b é chamado termo constante ou 
coeficiente linear, determinando a intersecção da reta com o eixo Oy. 
O domínio e a imagem da função do primeiro grau para 0<a e 0>a será ℜ . Para uma 
função constante, o domínio será ℜ e a imagem o próprio valor de b. 
 
A função de 1º grau pode ser classificada de acordo com seus gráficos. Considere sempre a 
forma genérica ( ) baxxf += . 
 
8.2 Função constante: se 0=a , então by = , ℜ∈b . Desta forma, 4=y é função 
constante, pois, para qualquer valor de x , o valor de y ou ( )xf será sempre 4. 
Utilizando o recurso do Matlab podemos obter o gráfico representado pela Figura2 
da função 4=y . 
 
>> p=[0 4]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao: y=4') % Título do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura2: Gráfico da função constante. 
 
 
 
19 
8.3 Função identidade: se 1=a e 0=b , então xy = . Nesta função x e y têm sempre 
os mesmos valores. Temos utilizando o recurso do Matlab o respectivo gráfico 
representado pela Figura 3. 
 
>> p=[1 0]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y=x') % Título do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3: Gráfico da função identidade. 
 
A reta xy = ou ( ) xxf = é denominada bissetriz dos quadrantes ímpares. Mas, se 1−=a e 
0=b , temos então xy −= . A reta determinada por esta função é a bissetriz dos 
quadrantes pares, conforme mostra o gráfico representado pela Figura 4: 
 
>> p=[-1 0]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y=-x') % Título do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4: Gráfico da segunda bissetriz. 
 
 
20 
Obs: x e y têm valores em módulo, porém com sinais contrários. 
 
8.4 Função linear: é a função de 1º grau quando 0=b , 0≠a e 1≠a , a e b ∈ ℜ . 
Exemplos: 
 
 ( ) ( ) xyxyxxfxxf 10,2,
2
1
,5 =−=== 
 Obs: Para construir os gráficos deste exemplo, utilize o recurso mostrado nos itens a e b 
deste tópico. 
 
8.5 Função afim: é a função de 1º grau quando 0≠a , 0≠b , a e b ∈ ℜ . Exemplos: 
 
 ( ) ( ) .5,24,13 +−=−=+= xxfxyxxf 
 
8.6 Gráfico da função do 1º grau 
 
A representação geométrica da função de 1º grau é uma reta, portanto, para determinar o 
gráfico é necessário obter dois pontos desta reta. Em particular, procuraremos os pontos 
em que a reta corta os eixos Ox e Oy. 
Por exemplo, na função 12 += xy , o ponto do eixo Ox é determinado pela equação 
012 =+x , onde 
2
1
−=x . O ponto procurado é, portanto, 





− 0,
2
1
. 
Analogamente, para determinar o ponto do eixo Oy, 1;10.2 =+= yy . O ponto procurado é 
( )1,0 e o gráfico desta função será representado pela Figura 5: 
 
>> p=[2 1]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y= 2x+1') % Título do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 5: Gráfico da primeira bissetriz. 
 
21 
Da mesma forma, na função ( ) 42 +−= xxf , temos: 
2
42
042
=
−=−
=+−
x
x
x
 
Que será o ponto do eixo Ox ( )0,2 , e Oy é ( )4,0 , sendo representado pela Figura 6. 
 
>> p=[-2 4]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y= -2x+4') % Título do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 6: Gráfico da função do primeiro grau decrescente. 
 
De modo geral, dada a função ( ) baxxf += , para determinarmos a intersecção da reta 
com os eixos, procedemos do seguinte modo: 
 
1º) igualamos y a zero, então 
a
b
xbax −=⇒=+ 0 , no eixo Ox encontramos o ponto 






− 0,
a
b
. 
 
2º) igualamos x a zero, então ( ) ( ) bxfbaxf =⇒+= 0. , no eixo Oy encontramos o ponto 
( )b,0 . 
 
De onde concluímos que: 
 
( )xf é crescente se a é um número positivo ( )0>a ; 
( )xf é decrescente se a é um número negativo ( )0<a . 
 
 
 
22 
8.7 Raiz ou zero da função de 1º grau 
 
A raiz ou zero da função de 1º grau é o valor de x para o qual ( ) 0== xfy . Graficamente 
é o ponto em que a reta “corta”o eixo Ox. Portanto, para determinar a raiz da função basta 
igualarmos a zero: 
 
 
( )
a
b
x
baxbax
baxxf
−=
−=⇒=+
+=
0 
 
Exemplo 1 
 
Determine a raiz da função ℜ→ℜ:f tal que ( ) 13 += xxf . 
 
Resolução 
 Igualamos f(x) a zero, portanto: 
3
1013 −=⇒=+ xx . Quando determinamos a(s) 
raiz(es) de uma função, o(s) valor(es) encontrado(s)deve(m) ser expresso(s) sob a forma 
de conjunto, denominado conjunto-verdade (v) ou conjunto solução (S), da seguinte 
forma: 
 






−=
3
1S 
 
Exemplo 2 
 
Determine m para que -5 seja a raiz da função ℜ→ℜ:f dada por mxxf 3)( +−= . 
 
Resolução 
 
 Se -5 é a raiz, então para x=-5 temos que f(x)=0; substituímos estes dados na 
função: 
 
 
( )
( )
3
5
53
350
350
3
−=
−=
+=
+−−=
+−=
m
m
m
m
mxxf
 
 
 
 
 
 
23 
8.8 Estudo do sinal da função de 1º grau 
 
Estudar o sinal de uma função de 1º grau é determinar os valores de x para que y seja 
positivo, negativo ou zero. 
 
Estudemos, por exemplo, o sinal da função ℜ→ℜ:f dada por y=2x-1. 
Vamos construir o gráfico da função representado pela Figura 7. 
Se x = 0 então 110.2 −=⇒−= yy . Ponto ( )1,0 − . 
Se y = 0 então 
2
112012 =⇒=⇒=− xxx . Ponto 




 0,
2
1
 
>> p=[2 -1]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X')%legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y')% Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y= 2x-1') % Título do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 7: Gráfico da função do primeiro grau crescente. 
 
Observe que a função é crescente ( )2=a . Analisando o gráfico podemos concluir que: 
 
• se 
2
1
<x então y < 0; 
• se 
2
1
>x então 0>y ; 
• se 
2
1
=x então y = 0 




 funçãodaraizé ...
2
1
 
 
Esta análise é o estudo do sinal da função, porém, para efetuá-la podemos recorrer apenas a 
um esboço do gráfico, conforme mostra a figura: 
 
 
 
24 
 
 
 Sinal de y 
 + para x > 1/ 2 
 
 Sinal de y 1/ 2 
 para x < 1/ 2 
 raiz 
 
8.9 Regra prática para o estudo de sinal da função ( ) baxxf += : 
 
1º) Determinamos a raiz da função, igualando-a a zero. 
 
 





−=
a
b
xraiz : 
 
2º) Verificamos se a função é crescente ( )0>a ou decrescente ( )0<a ; temos então duas 
possibilidades: 
 
 
 
 a > 0 a < 0 
 
 + + 
 
 
a
b
− 
a
b
− 
 
 
Então podemos resumir no quadro o estudo do sinal da função do 1º grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
a) a função é crescente b) a função é decrescente 
 
Se 
a
b
x −= então 0=y Se 
a
b
x −= então 0=y 
 
Se 
a
b
x −< então 0<y Se 
a
b
x −< então 0>y 
 
Se 
a
b
x −> então 0>y Se 
a
b
x −> então 0<y 
Exemplo 1 
 
Estude o sinal da função ( ) 13 += xxf 
 
 Resolução 
 Raiz da função: 
3
1013 −=⇒=+ xx o coeficiente de x é positivo ( )3=a , portanto 
a função é crescente, façamos o esboço: 
 
 se 
3
1
−=x então 0=y 
 + se 
3
1
−<x então 0<y 
 
3
1
−
 se 
3
1
−>x então 0>y 
 
 
 
8.10 Inequação do 1º grau 
 
A inequação se caracteriza pela presença de um dos seguintes sinais de desigualdades: > , 
<, ≥≤ ou . 
Vamos recordar algumas propriedades das desigualdades: 
 
1º) Somando ou subtraindo um número a cada um dos membros, a desigualdade não se 
altera: 
 
 
 
41
2221
21
<
+<+−
<−
 
122
5753
73
−>−
−>−
−>
 
 
2º) Multiplicando ou dividindo os dois membros da desigualdade por um número positivo, 
a desigualdade não se altera: 
 
 ( ) ( )
164
2.82.2
82
<−
<−
<−
 
21
5
10
5
5
105
−>
−>
−>
 
 
3º) Multiplicando ou dividindo os dois membros da desigualdade por um número negativo, 
é necessário inverter a desigualdade para que a sentença seja verdadeira: 
 
 
 
 
26 
 ( ) ( )
014
2.02.7
07
>
−>−−
<−
 
31
3
9
3
3
93
<−
−
−
<
−
−>
 
 
Estas propriedades são validas para a resolução de inequação do 1º grau. 
 
São exemplos de inequações: 
 
 Produto ( )( ) 042.63 <−− xx 
 
 Quociente 0
1
3 ≥
−
+
x
x
 
 
Vamos resolvê-las: 
 
1º) ( )( ) 042.63 <−−
43421321
gf
xx 
 
 Sinal de f: Sinal de g: 
 
( )
2
063
63
=
=−
−
x
x
xxf
 
( )
2
1
042
42
=
=−
−=
x
x
xxg
 
 + + 
 2 
2
1
 
Vazemos agora o “jogo” do sinal: 
 
 1 / 2 2 
 f x 
 - - + 
 g 
 + - - 
 - + - 
 f.g o o 
 
 x < 1 / 2 ou x > 2 
 
Então a solução da inequação é 
 
2º) 
}
{
0
1
3 ≥
−
+
g
f
x
x
 
 
27 
 Sinal de f: Sinal de g: 
 
 
( )
3
03
3
−=
=+
+=
x
x
xxf
 
( )
1
01
1
=
=−
−=
x
x
xxg
 
 
 + + 
 
 -3 1 
 
 
 
 
Fazemos agora o “jogo” do sinal:-3 1 
 
 f - + + 
 
 g + + - 
 
 
g
f
 - o + • - 
 
 
Note que o número 1 foi excluído da solução, pois anula o denominador. 
 
 { }13/ <≤−ℜ∈= xxS 
 
8.11 Domínio de uma função 
 Determinar o domínio de uma função é obter o conjunto de todos os valores de x 
para que a função exista. 
 
 Exemplos 
 
1) O domínio da função 2)( xxf = é ℜ , pois todo número real pode ser elevado ao 
quadrado. 
2) O domínio da função xxg =)( é +ℜ , pois só podemos extrair a raiz quadrada de 
um número real não negativo. 
3) O domínio da função 
x
xh 1)( = é *ℜ , pois não existe divisão por zero. 
4) O domínio da função 3 1)( −= xxf é ℜ , pois podemos extrair raiz cúbica de 
qualquer número real. 
 
 
 
28 
Exercício da Função do 1º grau 
 
01) O gráfico de f é o segmento de reta que une os pontos (-2, 2) e (2 ,0) . O valor de 
f 





2
1 é: 
02) Determine o domínio da função f definida por f(x) = 
3
1
−
−
x
x
. 
03) A função f do 1º grau é definida por f(x) = -3x + K. O valor de K para que o gráfico 
corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é : 
 
04) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e f(3) = - 3. Então, f(0) e a raiz da função 
valem, respectivamente. 
 
 
05)O esboço ao lado refere-se ao gráfico da função real definida por f(x) = mx + 1 
.Determine o valor de m 
 
 
 
 -2 0 
 
06) O gráfico da função real dada por f(x) = mx + p intercepta o eixo das abscissas em 
(3,0). Qual é o valor de 3 m + p? 
 
07) Se f 1− é a função inversa da função f, de R em R, definida por f(x) = 3x – 2 então f 1− 
(-1) é igual a: 
 
08) Seja b um número positivo. Considere a função f: R em R dada por 
 
 
 f (x) = 
 
 
Se 97
2
=










 bff o valor de b é? 
 
 09) Se f é uma função real tal que f(3 x +1) = x , então quem é f(x) ? 
 
 10) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x 2 - 1 e g(x) = x +1. Então 
( )( ) ( )( )xfgxgf − é igual a: 
 
 11) Resolva as seguintes inequações: 
 
 a) 0)34)(2)(25( ≥+−+ xxx 
 
29 
 b) 





−−>−−
+<
−<+
)5(31)3(211
10348
2723
xx
xx
xx
 c) 3
1
23
−≤
−
−
x
x
 
 
12) Determine o domínio da função: 
 
 
2
2
3253)( x
x
x
xxf +
−
+
+−= 
 
13) As funções f e g são dadas por 1
5
3)( −= xxf e axxg +=
3
4)( . Sabe-se que 
( ) ( )
3
100 =− gf . O décuplo do valor de ( ) 





−
5
1
.33 gf é: 
14) A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano Atlântico (ao nível do 
equador) em função da profundidade: 
 
Profundidade Superfície 100 m 500 m 1000 m 3000 m 
Temperatura 27ºC 21ºC 7ºC 4ºC 2,8ºC 
 
Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas 
medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400 m 
é: 
 
9 - Função do 2º grau 
 
 9.1 Definição 
 
Chama-se função do 2º grau ou função quadrática, de domínio ℜ e contra-domínio ℜ , a 
função ( ) cbxaxxf ++= 2 onde a, b e c são números reais e 0≠a . 
 
 a é o coeficiente de 2x 
 b é o coeficiente de x 
 C é o termo independente 
Chama-se função completa àquela em que a, b e c são não nulos, e função incompleta 
àquela em que b ou c são nulos. 
 
São exemplos de funções de 2º grau: 
 
* ( ) 132 2 ++= xxxf (a = 2, b = 3 e c = 1) 
* ( ) 28 2 −−= xxxf (a = 8, b = -1 e c =-2) 
* ( ) xxxf 22 +−= (a = -1, b = 2 e c = 0) 
* ( ) 4
3
1 2
−= xxf (a = 
3
1
, b = 0 e c = -4) 
30 
Obs: Toda função do 2º grau tem por gráfico uma parábola. 
 
 9.2 Revisando equação do 2º grau 
 
Raízes – Fórmula de Bháskara 
 
Os pontos onde o gráfico da função cbxaxy ++= 2 corta o eixo x são as raízes ou zeros 
dessa função. Nesses pontos, devemos obter os valores de x para os quais y = 0. 
Assim devemos resolver a seguinte equação do 2º grau: 
 
 02 =++ cbxax (multiplicando por 4a) 
 0444 22 =++ acabxxa (somando nos lados 2b ) 
 
2222 0444 bbacabxxa +=+++ 
 acbbabxxa 444 2222 −=++ (fatorando o 1º membro) 
 ( ) acbbax 42 22 −=+ 
 acbbax 42 2 −±=+ 
 acbbax 42 2 −±−= 
 
a
acbb
x
2
42 −±−
= (Fórmula de Bháskara) 
 
O número acb 42 − é chamado de discriminante, e indica-se por ∆ (letra grega delta). 
 
Se ∆ >0, a equação 02 =++ cbxax possui duas raízes reais e distintas, isto signfica que 
a parábola corta em dois pontos o eixo x. 
Se ∆ =0, a equação 02 =++ cbxax possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla), isto 
significa que a parábola tangencia o eixo x. 
Se ∆ < 0, a equação 02 =++ cbxax não possui raízes reais, isto significa que a parábola 
não corta o eixo x. 
 
 9.3 Soma e Produto das Raízes 
 
Vamos ver o que acontece quando somamos e multiplicamos as duas raízes da equação 
02 =++ cbxax . 
 
a
b
a
b
a
bb
a
b
a
b
xxS −=−=∆+−∆−−=∆+−+∆−−=+=
2
2
22221
 
 
 
( ) ( ) ( )
a
c
a
ac
a
acbb
a
acbb
a
b
a
b
a
b
a
b
xxP ==+−=−−=∆−=∆−−=





 ∆+−







 ∆−−
== 22
22
2
22
2
2
2
22
21 4
4
4
4
4
4
442
.
2
.
 
Através da soma e do produto das raízes, podemos achar as raízes da equação. 
 
 
31 
Vamos encontrar as raízes da equação 0652 =+− xx . 
Como a = 1, b = -5 e c = 6, então: 
 
 5
1
5
=
−
−=−=
a
bS e 6
1
6
===
a
cP 
 
Quais são os números cujo produto é 6 e a soma 5? 
Verifica-se que esses números são 2 e 3, pois 2.3=6 e 2+3 = 5. Assim as raízes são 2 e 3. 
 
Exemplo 1 
 
Determine, em ℜ , as raízes das equações: 
 
 a) 0167 2 =++− xx 
 
 Resolução 
 Sempre que tivermos uma equação completa, utilizaremos a fórmula de 
Bháskara para resolver: 
 
 
( ) ( )
a
b
x
acb
2
8
642836
1.7.46
4
2
2
∆±−
=
=∆
=+=∆
−−=∆
−=∆
 
 
 
 
7
1
14
2
14
86
1
−
=
−
=
−
+−
=x 
 
14
86
−
±−
=x 
 
 1
14
14
14
86
2 =
−
−
=
−
−−
=x 
 
b) 02 2 =− xx 
 
 Resolução 
 Quando a equação é incompleta, podemos dispensar Bháskara e resolvemos 
do seguinte modo: 
 
 02 2 =− xx 
 ( ) 012 =−xx (equação produto) 
 
32 
 Para que o produto seja zero, é necessário que pelo menos um dos fatores seja zero, 
assim: 
 0=x ou 
2
1012 =⇒=− xx 
 






=
2
1
,0S 
 
c) 0243 2 =−x 
 
{ }22,22
22
8
8
243
2
2
−=
±=
±=
=
=
S
x
x
x
x
 
 
 9.4 Vértice daParábola 
 
O vértice da parábola é o seu ponto de máximo (quando 0<a ) ou de mínimo 
(quando 0>a ) da função. 
A reta paralela ao eixo y que passa pelo vértice é o eixo de simetria da parábola. 
Sendo cbxaxy ++= 2 , para x = 0 teremos y = c, isto é, a parábola corta o eixo y no ponto 
de ordenada c. Existe outro ponto de ordenada igual a c. Vamos achar a sua abscissa. 
 
 ccbxax =++2 
 02 =+ bxax 
 ( ) 0=+ baxx 0=x já encontrado ou 0=+ bax , assim 
a
b
x −= 
Por simetria da parábola, a abscissa do vértice é: 
 
 
a
b
x
a
b
x vv 22
0
−
=⇒





 −
+
= 
 
Para obtermos a ordenada do vértice basta substituir 
a
b
xv 2
−
= em cbxaxy ++= 2 . Então, 
 
( )
aa
acb
a
acb
a
acbb
c
a
b
a
b
c
a
b
a
abyc
a
bb
a
b
ay vv 44
4
4
4
4
42
242422
2222222
2
22 ∆−
=
−−
=
+−
=
+−
=+−=+−=⇒+




 −
+




 −
=
 
 
Logo, 




 ∆
−−=
aa
bV
4
,
2
 
 
33 
Obs: O domínio de uma função do 2º grau, para 0>a e 0<a será ℜ , com isso a imagem 
depende do vy , ficando: 
Para 0>a a imagem será { }vyyy ≥ℜ∈=Im 
Para 0<a a imagem será { }vyyy ≤ℜ∈=Im 
 
Exemplo 2 
 
1) Faça o gráfico da seguinte função 682 2 +−= xxy destacando: 
 
a) as raízes, se existirem 
b) as coordenadas do vértice 
c) a intersecção com o eixo y 
d) e dê o conjunto imagem 
 
 Solução 
 
 





=
−=
=
+−=
6
8
2
682 2
c
b
a
xxy 
 
* Raízes: 
 
( ) 1648646.2.48
4
0682
2
2
2
=−=−=∆
−=∆
=+−
acb
xx
 
 
 11 =x 
 
( )
4
48
2.2
48
2
±
=
±−−
=
∆±−
=
a
b
x 
 32 =x 
 
 
*coordenadas do vértice 
 
( )
2
2.4
16
4
2
2.2
8
2
−=
−
=
∆−
=
=
−−
=
−
=
a
y
a
b
x
v
v







( )2,2 −V 
 
 
 
 
34 
Convém destacar que se a função cbxaxy ++= 2 possui duas raízes reais e distintas, 
( )21 .. xex , podemos obter a abscissa do vértice, fazendo a média aritmética entre as duas 
raízes, isto é: 
 2
2
31
2
21
=
+
=
+
=
xx
xv 
 
substituindo x por 2 na função 682 2 +−= xxy , temos vy . Então: 
 
 262.82.2 2 −=+−=vy 
 
*Intersecção com o eixo y: 
 
 Nesse ponto 0=x , então 6=y . Temos o ponto ( )6,0 . 
 
*Esboço do gráfico da Figura 8. 
 
Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos: 
 
>> p=[2 -8 6]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y= 2x^2-8x+6') % Título do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 8: Gráfico da função .682)( 2 +−= xxxf 
 
 9.5 Estudo do sinal 
 
Estudar o sinal de uma função significa verificar os valores de x para os quais esta função é 
positiva ou negativa. 
 
 
 
 
35 
 
 
 0>∆ 0=∆ 0<∆ 
 
 
 
 
 a>0 + + 
 
 - + + + + + 
 
 
 
 + - - - - - 
 - - 
 a<0 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
 
1) Estude o sinal da seguinte função: 
 
3103 2 +−= xxy 
 
 Solução: a=3>0 então a concavidade da parábola é para cima 
 ( ) 643.3.410 2 =−−=∆ 
 0>∆ , então existem duas raízes reais e distintas, isto é, a parábola corta o eixo x 
em dois pontos distintos. 
 
2
1
1 =x 
 Raízes: =±=
6
810
x 
 32 =x 
 
 Sinal 
 
 
 
 
⊕
 • • ⊕ 
 
3
1
 3 
 
 
36 
 para 
3
1
<x ou 3>x , temos 0>y 
 
 para 3
3
1
<< x , temos 0<y 
 
 9.6 Inequação do 2º grau 
 
Qualquer inequação do tipo 02 >++ cbxax , 02 <++ cbxax , 02 ≥++ cbxax ou 
02 ≤++ cbxax , onde a,b,c são números reais com 0≠a são chamadas inequações do 
2º grau. Resolvemos uma inequação do 2º a partir do estudo do sinal da função 
correspondente. 
 
Exemplo 4 
 Resolva a seguinte inequação: 
 
 01032 ≤++− xx 
 
 Solução 
 
 5.2
10
3
21 =−==



−=
=
xx
P
S
 
 
 01 <−=a , a parábola tem concavidade para baixo. 
 
 Sinal: 
 
 + 
 -2 5 
 - o o - 
 
 Como devemos ter 01032 ≤++− xx (destacados graficamente pela região em 
negrito), então: 
 
 
 
Exercício da Função do 2º grau 
 
01) A função f(x) = cbxax ++2 possui como raízes os números 2 e 4, e seu gráfico é uma 
parábola com o vértice (3,-3) . O valor de a + b + c é: 
 
02) Se m e n são raízes de 01062 =+− xx , então 
nm
11
+ vale: 
 
03) Seja 7 a diferença entre as raízes da equação 0204 2 =+− cxx .Então , o valor da 
constante c é : 
37 
04) O domínio da função y = 
43
4
2
2
−−
+
xx
x
 é: 
 
05) Resolva as seguintes inequações: 
 
 a) 1
2
3
−≤
−
−
x
x
x
 b) 0)16).(65).(82( 222 ≤−+−+− xxxxx 
 
06) Determine o domínio da função ( )( )
75
13)( 2
2
−−−
+−
=
xx
xx
xf 
 
07) O lucro de uma loja, pela venda diária de x peças, é dado por: 
)4).(10.(100)( −−= xxxL . O lucro máximo por dia, é obtido com a venda de n peças, 
e o valor do lucro correspondente é l. Os valores de n e l são, respectivamente. 
 
10 - Função Modular 
 
 10.1 Definição 
 
O módulo de um número real x é x, se x for positivo o oposto de x (- x), se x for negativo. 
Simbolicamente, 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 Calcule: 
 
 a) 7,5− = 5,7 
 b) 9191 = 
 c) x2 
 Neste caso da letra c, o valor numérico depende da incógnita x. Como não sabemos se 
2x é positivo ou negativo, temos que considerar os dois casos: 
 1º caso: se 2x for positivo ou zero, conserva-se o sinal, tem-se que xx 22 = . 
 2º caso: se 2x for negativo, troca-se o sinal, tem-se que xx 22 −= 
 Resumindo temos: 
 
 
 
 
 
 d) 12 −x 
 
38 
 Vamos considerar os dois casos:1ºcaso) se 12 −x for positivo ou zero, conserva os sinal. 
 
 
 2º caso)se 12 −x for negativo, troca-se o sinal. 
 
 11012 <<−⇒<− xx 
Resumindo, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
10.2 Gráfico da função modular 
 
 10.2.1 Definição 
 
 Função modular é toda função f, de domínio ℜ e contra-domínio ℜ , tal que ( ) xxf = 
ou xy = . O gráfico da função modular pode ser obtido de duas formas: 
 1º modo: a partir da definição de módulo; 
 2º modo: por simetria em relação ao eixo Ox. 
 
 Exemplo 2 
 
1) Esboçar o gráfico da seguinte função: 
 
 a) ( ) 3−= xxf 
 
 Podemos primeiro fazer o gráfico de ( ) xxf = 
 
*Esboço do gráfico da Figura 9: 
 
Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos: 
 
>> p=[1,0]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-7,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,x); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y = x') % Título do texto. 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 9: Gráfico da função ( ) xxf = . 
 
Agora faremos a seguinte função ( ) xxf = isso significa que devemos “refletir” a parte 
negativa para cima, ficando como o gráfico abaixo. 
 
*Esboço do gráfico da Figura 10: 
 
Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos: 
 
>> p=[1 0]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-8,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,abs(x)); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y = abs(x)') % Título do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 10: Gráfico da função ( ) xxf = . 
 
Finalmente fazemos o gráfico ( ) 3−= xxf , isso significa que devemos descer 3 “casas”. 
 
40 
*Esboço do gráfico da Figura 11: 
 
Utilizando o recurso do Matlab, segue os comandos: 
 
>> p=[1,0]; % os coeficientes do polinômio. 
>> x=linspace(-8,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> y=linspace(-3,10); % pontos nos quais p será calculado. 
>> v=polyval(p,(abs(x)-3)); % cálculo de p nos pontos do vetor x. 
>> plot(x,v) % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y =abs(x)-3') % Titulo do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 11: Gráfico da função ( ) 3−= xxf . 
 
10.3 Equação modular 
 
 10.3.1 Definição 
 
Para resolver equações modulares, utilizaremos basicamente a definição de módulo. 
Sempre que tivermos uma função modular devemos considerar que, dependendo do valor 
da incógnita, o valor numérico da função poderá ser positivo ou negativo. 
 
Exemplo 3 Resolver a equação modular 0122 =−+ xx 
 
 Note que, neste exercício, temos uma equação do 2º grau onde a 
incógnita é x . Para facilitar a resolução podemos utilizar uma 
mudança de variável, substituindo x , por exemplo, por y, então: 
 yx = 
 
Em função de y, temos a seguinte equação: 
 
 
 41 
 Agora que temos os valores de y, podemos calcular x : 
como x =y, então: 
x =3 
3=x ou 3−=x 
 
ou 
 
4−=x 
não existe nenhum valor de x que satisfaça a equação, pois o módulo de um número é 
sempre positivo. 
 
 
 10.4 Inequação modular 
 
As inequações modulares se caracterizam pela presença de um dos sinais de desigualdade: 
>, Observe a resolução dos exercícios seguintes. 
Verificamos que nas inequações para a>0, temos a seguinte regra: 
 
 1º) Se ,ax < então axa <<− . 
 
 2º) Se ,ax > então ax < ou ax > 
 
 
Exemplo 4 Determinar o valor de x na inequação 123 >+− x . 
Resolução: 
Aplicando a propriedade 2, tem-se que: 
 
 
33
213
123
−<−
−−<−
−<+−
x
x
x
 ou 
13
213
123
−>−
−>−
>+−
x
x
x
 
Multiplicando por -1, invertendo o sinal de desigualdade: 
 
 
1
33
>
>
x
x
 
3
1
13
<
<
x
x
 
 
 
Exemplo 5 Resolva a inequação ,3
2
1 ≤
+
−
x
x
 em ℜ . 
Solução: tem-se que 
 
42 
 3
2
13 ≤
+
−≤−
x
x
 ou 






−≥
+
−
≤
+
−
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
 
 
Solução 1 Solução 2 
0
2
72
0
2
)2(31
03
2
1
3
2
1
≤
+
−−
≤
+
+−−
≤−
+
−
≤
+
−
x
x
x
xx
x
x
x
x
 
0
2
54
0
2
)2(31
03
2
1
3
2
1
≥
+
+
≥
+
++−
≥+
+
−
−≥
+
−
x
x
x
xx
x
x
x
x
 
 
Resolvendo, tem-se que: Resolvendo tem-se que: 
 
 
 
Fazendo 21 SS ∩ ,ou seja, a intersecção entre as soluções tem-se que a solução geral da 
inequação será: 
 
 
 
Exercício da Função Modular 
 
01) Resolva as equações modulares: 
 
a) xx =− 32 b) 1432 −=+ xx c) 3
32
1
=
+
−
x
x
 
d) 021312 2 =−−−− xx e) 631 =++− xx 
 
02) Resolva as inequações modulares: 
 
 a) 242 >−− xx b) 311 ≤−< x c) 232 ≤−
x
 
 03) Determine o domínio da função 
2
3)(
−
−
=
x
x
xf 
 
 
43 
04) Esboce o gráfico das funções abaixo: 
 
 a) xxxf .)( = b) 2)( ++= xxxf 
 
11 - Função Exponencial 
 
A função exponencial f , de domínio ℜ e contra-domínio ℜ , é definida por xay = , 
sendo 0>a e 1≠a . 
 
ℜ→ℜ:f 
xay = sendo 0>a e 1≠a 
 São exemplos de funções exponenciais: 
 
a) xy 2= b) ( )xy 3= c) xy pi= d) x





2
1
 e) 
x






3
2
 
 
De forma geral, dada a função xay = : 
 
→ se 1>a a função exponencial é crescente; 
→ se 10 << a a função exponencial é decrescente. 
 
Graficamente tem-se que: 
 
 
xay = xay = 
 
 →> 1a exponencial crescente →<< 10 a exponencial decrescente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 12: Gráfico da função exponencial crescente. Figura 13: Gráfico da função exponencial decrescente. 
 
 Domínio: { }ℜ∈= xD Domínio: { }ℜ∈= xD 
 Imagem: +ℜ= *Im Imagem: +ℜ= *Im 
 
 
 
 
44 
Exemplo 1 Construir o gráfico da seguinte função: 
 
 242)( −−= xxf 
Devemos observar que a função exponencial está dentro do módulo, com isso podemos 
seguir os seguintes passos para a construçãodo gráfico: 
 
1º) Construir a função xxf 2)( = , seguindo as regras de potenciação visto na primeira 
parte deste livro, bem como as regras para a construção de gráficos exponenciais. 
Utilizando o recurso do Matlab tem-se que: 
 
>> x=linspace(-3,3); % valores no eixo x. 
>> y=linspace(0,5); %valores no eixo y. 
>> y=2.^x; % função exponencial calculada. 
>> plot(x,y), % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y=2^x') % Titulo do texto. 
 E obtemos a Figura14 como pode ser visto abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 14: Gráfico da função xxf 2)( = . 
 
2º) Construir a função 42)( −= xxf , seguindo as regras de potenciação visto na primeira 
parte deste livro, bem como as regras para a construção de gráficos exponenciais, note 
neste caso o gráfico deverá “descer quatro casas” sendo está última a assíntota (semi-reta 
que limita a função, com o qual a função não deverá tocá-la). Utilizando o recurso do 
Matlab tem-se que: 
 
>> x=linspace(-3,3); % valores no eixo x. 
>> y=linspace(-7,5); %valores no eixo y. 
>> y=2.^x-4; % função exponencial calculada. 
>> plot(x,y), % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y=2^x-4') % Titulo do texto. 
 
 
E obtemos a Figura 15 como pode ser visto abaixo: 
 
 
 
45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 15: Gráfico da função 42)( −= xxf . 
 
3º)Construir a função 42)( −= xxf , seguindo as regras de potenciação visto no primeiro 
capítulo deste livro, bem como as regras para a construção de gráficos exponenciais, note 
neste caso será “arrebatado” para cima a parte negativa, ou seja, onde os valores de y 
são negativos. Utilizando o recurso do Matlab tem-se que: 
 
>> x=linspace(-7,5); % valores no eixo x. 
>> y=linspace(0,4); %valores no eixo y. 
>> y=abs(2.^x-4); % função exponencial calculada. 
>> plot(x,y), % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y=abs(2^x-4)') % Titulo do texto. 
 
E obtemos a Figura 16 como pode ser visto abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 16: Gráfico da função 42)( −= xxf . 
 
4º)Construir a função 242)( −−= xxf , seguindo as regras de potenciação visto no 
primeiro capítulo deste livro, bem como as regras para a construção de gráficos 
exponenciais, note neste caso o gráfico deverá “descer duas casas”. Utilizando o recurso 
do Matlab tem-se que: 
 
>> x=linspace(-7,5); % valores no eixo x. 
>> y=linspace(-4,4); %valores no eixo y. 
>> y=abs(2.^x-4)-2; % função exponencial calculada. 
>> plot(x,y), % gráfico com os resultados. 
>> xlabel('Eixo X') %legenda do eixo horizontal. 
>> ylabel('Eixo Y') % Legenda do eixo vertical. 
>> title('Funçao y=abs(2^x-4)-2') % Titulo do texto. 
46 
E obtemos a Figura 17 como pode ser visto abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 17: Gráfico da função 242)( −−= xxf . 
 
 11.1 Equação exponencial 
 
A equação exponencial caracteriza-se pela presença da incógnita no expoente. Para 
resolver estas equações, além das propriedades de potências, vistas na 1ª parte, 
utilizaremos a seguinte propriedade: 
 
 “Se duas potências são iguais, tendo as bases iguais, então os expoentes são iguais” 
 
 nmaa nm =⇔= sendo 0>a e 1≠a 
 
Exemplo 2 Resolver as seguintes equações exponenciais: 
 
 a) 2433 1 =+x b) 1255 42 =+− x 
 
resolução: 
4
15
51
33
2433
51
1
=
−=
=+
=
=
+
+
x
x
x
x
x
 resolução: 
1
1
43
34
55
1255
2
2
2
34
4
2
2
±=
−=−
−=−
=+−
=
=
+−
+−
x
x
x
x
x
x
 
 
 
 
 c) 14222 12 =+− −+ xxx 
 
resolução: aplicando a regra de potenciação tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
( )
2
22
42
7
2
.
1
142
14
2
72
14
2
1142
142122
142.222.2
14222
2
12
12
12
=
=
=
=
=





=





+−
=+−
=+−
=+−
−
−
−+
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
 
 
 11.2 Inequação exponencial 
 
A inequação exponencial caracteriza-se pela presença da incógnita no expoente e de um 
dos sinais de desigualdade: ,> ,< ,≤ ou ≥ . 
Para a função crescente, conserva-se o sinal da desigualdade para comparar os expoentes, 
desde que as bases sejam iguais. 
Para a função decrescente, inverte-se o sinal da desigualdade para comparar os expoentes, 
desde que as bases sejam iguais. 
 
 
Exemplo 3 Resolver a seguinte inequação exponencial. 
 
 a) b) 
 
( )
2
22
42
9
2
.
1
182
18
2
92
181
2
142
181222
1822.22.2
18222
2
12
12
12
≤
≤
≤
≤
≤





≤





+−
≤+−
≤+−
≤+−
−
−
−+
x
x
x
x
x
x
x
xxx
xxx
 
( )( )
6
6
24
42
1010
10
110
10000
1
10
1
0001,01,0
42
4
21
2
2
≥
−≤−
−−≤−
−≤+−
≤
≤





≤





≤
−+−
−
−
−
−
x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
 
48 
Para conhecimento 
 
 O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente 
em vários fenômenos naturais, por exemplo: 
1) crescimento populacional; 
2) crescimento de população de bactérias; 
3) desintegração radioativa. 
 Na área de Economia, é aplicada no cálculo de juros. 
 Foi o matemático inglês John Naiper (1550 – 1617) o responsável pelo 
desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é 
irracional, ou seja, não pode ser escrito sob forma de fração, e vale: 
 ...71828182,2=e 
sendo chamado de número neperiano, em homenagem ao matemático. Como o número e é 
encontrado em diversos fenômenos naturais, a função ( ) xexf = é considerada uma das 
funções mais importantes da matemática, merecendo atenção especial de cientistas de 
diferentes áreas do conhecimento humano. 
 
Exercício de Função Exponencial 
 
01) Resolva as seguintes inequações exponenciais: 
 
 a) 24022222 3211 >+−++ +++− xxxxx b) xx −−≥− 31)13.(3 
 
 
02) A expressão 3
33
22
22
−
−+
+
−
xx
xx
 é igual a: 
03) Sejam x e y os números reais que tornam verdadeiras as sentenças 




=−
=−
−
+
022
3022
yx
yx
 
 Nessas condições, o valor de x y vale? 
 
04) O valor de x que satisfaz a equação 8022 11 =+ −+ xx vale? 
 
05) O valor de 
8
3 22 





 é: 
06) A soma das raízes da equação 
9
56255 12
2
=
+− xx
 é: 
 
07) Sob certas condições, uma população de microorganismo cresce obedecendo à lei P= C 
. 3 KT na qual T é o numero de horas, P é o número de microorganismos no instante T e C e 
K são constantes reais. Se P = 486 e T = 10, então C e K valem, respectivamente: 
 
 
 
 
49 
08) Esboce os gráficos das funções, dando o domínio e imagem: 
a) 12)( −= xxf 
b) 12)( += xxf 
c) 
x
xf
2
2
1)( 





= 
d) 
xx
xf