MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

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Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Nesta unidade, conheceremos as principais medidas de posição. Será nosso 
foco a obtenção dessas medidas através das distribuições de frequências que foram 
estudadas na unidade anterior. Também abordaremos as medidas separatrizes que 
são medidas que ocupam determinados lugares na distribuição de frequências. 
 
INTRODUÇÃO: A Estatística também é chamada de a ciência das médias, portanto 
vamos estudar nesta unidade as medidas de posição que são bastante utilizadas na 
prática. Torna-se necessário, após a tabulação dos resultados e da representação 
gráfica, encontrar valores que possam representar a distribuição como um todo. São 
as chamadas medidas de tendência central ou medidas de posição. 
 
CONCEITO: as medidas de posição ou também conhecidas como medidas de 
tendência central compõem-se de um número que representa um conjunto particular 
de informações. Geralmente se localizam em torno do centro da distribuição, onde a 
maior parte das observações tende a concentra-se. 
 
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES: consiste em somar todas as observações ou 
medidas dividindo-se o resultado pelo número total de valores. 
1. Quando estamos trabalhando com dados brutos: 
 
n
x
n
xxx
n
i
i
nX

 
 121  
 
onde: 
 – é a média aritmética; 
 
ix
– são os valores das observações; 
 n – número de observações. 
Exemplo 1: seja o conjunto X = {8, 9, 10, 10, 8}, calcule a média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X
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PROPRIEDADES DA MEDIA ARITMÉTICA 
 
a) A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula: 
 
.0)(  Xxi
 
 
Ex: voltando ao exemplo 1, temos que a média é 9, então calculando os desvios 
em torno da média tem-se: 
 
 
 
 
 
 
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: é uma média aritmética na qual será atribuído 
um peso a cada valor da série. 









n
i
i
n
i
ii
n
i
i
nn
f
xf
f
xfxfxf
X
1
1
1
2211  
 – é a média aritmética ponderada; 
if
 – frequência simples; 
 n – número de observações. 
 
Observação: se os valores forem distribuídos em classes o xi será o ponto 
médio de cada classe. 
Exemplo: Uma escola adotou os seguintes pesos para as notas bimestrais: 
 
1o bimestre peso 1 3obimestre peso 3 
2o bimestre peso 2 4obimestre peso 4 
 
Qual será a média de um aluno que obteve as seguintes notas de 
Matemática: 5, 4, 3 e 2 nos respectivos bimestres? 
 
 
 
 
 
 
 
 
X
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MEDIANA (Me): é o valor central em um rol, ou seja, a Mediana de um conjunto de 
valores ordenados, ou ainda a Mediana divide a distribuição ao meio. 
 
Mediana de valores brutos 
 
Ordenar os valores em ordem crescente (Rol); 
Verifica se o número de elementos é par ou ímpar; 
Se n for ímpar, posição da mediana no conjunto, será o valor localizado na posição 
dada por: 21 nP 
Se n for par, o conjunto terá dois valores centrais, neste caso, a mediana será igual 
à média aritmética dos valores centrais, cujas posições são dadas por: 
 
P1 = n / 2 e P2 = (n / 2) + 1 
 
Exemplo 1: Calcule a Mediana dos valores: 2; 5; 7; 15; 13; 4; 10. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Em um grupo de 6 pessoas cujas as alturas medidas em centímetros 
fossem as seguintes: 183 cm, 170 cm, 165 cm, 180 cm, 185 e 160 cm, qual a altura 
Mediana deste grupo de pessoas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mediana de valores tabelados 
h
f
FAA
lMe
i
n
i
if
i 


















2
1
 
li = 
FAA = 
fi = 
h = 
Limite inferior da classe da mediana; 
Frequência acumulada anterior da classe da Me; 
Frequência simples da classe da mediana; 
Intervalo de classe. 
 
Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 
 
1º passo Calcula-se a posição 
 
;
2
1

 
n
i
if
p 
 
2º passo: Identifica-se a classe Mediana pela coluna das Frequências Acumuladas; 
 
3º passo: Aplica-se a fórmula: 
 
Exemplo: Calcule a Mediana da distribuição dada abaixo: 
 
NOTAS fi 
1 |-- 3 
3 |-- 5 
5 |-- 7 
5 
7 
8 
Total 20 
 
 
 
 
 
 
MODA (Mo): é aquilo que está em evidencia, o valor que mais aparece num 
conjunto de informações ou o de maior frequência em uma tabela. 
Observação: a Moda pode não ser única ou até mesmo pode não existir. 
 
Moda de valores brutos: Basta observar o valor que mais aparece no conjunto. 
Exemplo: 3; 3; 6; 8; 10; 10; 10; 11; 11; 12. Mo = 10. 
 
 
 
Moda de valores tabelados: Numa distribuição de frequência chamamos classe 
modal à classe que possui maior frequência. Como o ponto médio é representativo 
de qualquer classe de frequências, chamamos moda bruta ao ponto médio da classe 
modal. 
 
 MODA PELO PROCESSO DE CZUBER 
 
 
h
fff
ff
lMo
postantMo
antMo
i 











2
 
 
Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 
 
li= 
fpost = 
fant = 
h = 
fmo = 
Limite inferior da classe modal; 
Frequência simples posterior à classe modal; 
Frequência simples anterior à classe modal; 
Intervalo de classe; 
Frequência modal. 
 
Exemplo: Calcular a moda da distribuição dada abaixo: 
 
NOTAS fi 
1 |-- 3 
3 |-- 5 
5 |-- 7 
5 
7 
8 
Total 20 
 
 
Exercícios 
 
 
1) Considere os valores dos pesos de 32 alunos de uma classe apresentados 
abaixo: 
64 68 63 67 65 64 67 64 66 67 70 67 67 66 69 66 70 62 71 64 69 
65 71 66 63 70 68 69 71 68 68 68. Obtenha a tabela de Freqüência e 
determine: 
a) A média 
b) Mediana 
c) Moda 
 
 
2) A poluição causada por óleo em mares e oceanos estimula o crescimento de 
certos tipos de bactérias. Uma contagem de microorganismos presentes no 
petróleo (número de bactérias por 100 mililitros), em 10 porções de água do 
mar, indicou as seguintes medidas: 
49 70 54 67 59 40 71 67 67 52 Determine a média, a mediana e a 
moda. 
 
 
3) Na tabela abaixo, determine a média, a mediana e a moda. 
 Nascidos vivos segundo o peso ao nascer, em quilogramas 
Classe Fi fac xi Fi*xi 
1,5I---2,0 3 
2,0I---2,5 16 
2,5I---3,0 31 
3,0I---3,5 34 
3,5I---4,0 11 
4,0I---4,5 4 
4,5I---5,0 1 
total 
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4) Com base nos dados da tabela abaixo, calcule o peso médio dos ratos em 
cada idade. 
 
Peso em gramas, de ratos machos da raça Wistar segundo a idade, em dias. 
 
Número 
de ratos 
Idade 
 
 30d 34d 38d 42d 46d 
1 76,2 95,5 99,2 122,7 134,6 
2 81,5 90,0 101,2 125,9 136,2 
3 50,0 60,0 62,3 72,4 85,3 
4 47,5 50,0 57,5 72,5 84,0 
5 63,5 79,2 82,1 94,1 110,0 
6 65,1 75,7 79,3 88.7 98,7 
7 63,2 74,8 79,0 96,3 100,0 
8 64,5 74,1 92,6 88,1 98,3 
 
5) Determine a mediana nos casos abaixo: 
 
a) Percentual de água em cérebro de cobaias machos com 90 dias de idade, 
80,06 68,97 79,85 79,87 79,86 68,86 79,90 79,91 79,55 79,25 
 
b) Taxa de glicose, em miligramas por 100 ml de sangue, em ratos machos 
da raça Wistar, com 20 dias de idade. 100,0 100,0 97,5 80,0 97,5 85,0 
80,0