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Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Nesta unidade, conheceremos as principais medidas de posição. Será nosso foco a obtenção dessas medidas através das distribuições de frequências que foram estudadas na unidade anterior. Também abordaremos as medidas separatrizes que são medidas que ocupam determinados lugares na distribuição de frequências. INTRODUÇÃO: A Estatística também é chamada de a ciência das médias, portanto vamos estudar nesta unidade as medidas de posição que são bastante utilizadas na prática. Torna-se necessário, após a tabulação dos resultados e da representação gráfica, encontrar valores que possam representar a distribuição como um todo. São as chamadas medidas de tendência central ou medidas de posição. CONCEITO: as medidas de posição ou também conhecidas como medidas de tendência central compõem-se de um número que representa um conjunto particular de informações. Geralmente se localizam em torno do centro da distribuição, onde a maior parte das observações tende a concentra-se. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES: consiste em somar todas as observações ou medidas dividindo-se o resultado pelo número total de valores. 1. Quando estamos trabalhando com dados brutos: n x n xxx n i i nX 121 onde: – é a média aritmética; ix – são os valores das observações; n – número de observações. Exemplo 1: seja o conjunto X = {8, 9, 10, 10, 8}, calcule a média. X Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) PROPRIEDADES DA MEDIA ARITMÉTICA a) A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula: .0)( Xxi Ex: voltando ao exemplo 1, temos que a média é 9, então calculando os desvios em torno da média tem-se: MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: é uma média aritmética na qual será atribuído um peso a cada valor da série. n i i n i ii n i i nn f xf f xfxfxf X 1 1 1 2211 – é a média aritmética ponderada; if – frequência simples; n – número de observações. Observação: se os valores forem distribuídos em classes o xi será o ponto médio de cada classe. Exemplo: Uma escola adotou os seguintes pesos para as notas bimestrais: 1o bimestre peso 1 3obimestre peso 3 2o bimestre peso 2 4obimestre peso 4 Qual será a média de um aluno que obteve as seguintes notas de Matemática: 5, 4, 3 e 2 nos respectivos bimestres? X Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) MEDIANA (Me): é o valor central em um rol, ou seja, a Mediana de um conjunto de valores ordenados, ou ainda a Mediana divide a distribuição ao meio. Mediana de valores brutos Ordenar os valores em ordem crescente (Rol); Verifica se o número de elementos é par ou ímpar; Se n for ímpar, posição da mediana no conjunto, será o valor localizado na posição dada por: 21 nP Se n for par, o conjunto terá dois valores centrais, neste caso, a mediana será igual à média aritmética dos valores centrais, cujas posições são dadas por: P1 = n / 2 e P2 = (n / 2) + 1 Exemplo 1: Calcule a Mediana dos valores: 2; 5; 7; 15; 13; 4; 10. Exemplo 2: Em um grupo de 6 pessoas cujas as alturas medidas em centímetros fossem as seguintes: 183 cm, 170 cm, 165 cm, 180 cm, 185 e 160 cm, qual a altura Mediana deste grupo de pessoas? Mediana de valores tabelados h f FAA lMe i n i if i 2 1 li = FAA = fi = h = Limite inferior da classe da mediana; Frequência acumulada anterior da classe da Me; Frequência simples da classe da mediana; Intervalo de classe. Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 1º passo Calcula-se a posição ; 2 1 n i if p 2º passo: Identifica-se a classe Mediana pela coluna das Frequências Acumuladas; 3º passo: Aplica-se a fórmula: Exemplo: Calcule a Mediana da distribuição dada abaixo: NOTAS fi 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 5 7 8 Total 20 MODA (Mo): é aquilo que está em evidencia, o valor que mais aparece num conjunto de informações ou o de maior frequência em uma tabela. Observação: a Moda pode não ser única ou até mesmo pode não existir. Moda de valores brutos: Basta observar o valor que mais aparece no conjunto. Exemplo: 3; 3; 6; 8; 10; 10; 10; 11; 11; 12. Mo = 10. Moda de valores tabelados: Numa distribuição de frequência chamamos classe modal à classe que possui maior frequência. Como o ponto médio é representativo de qualquer classe de frequências, chamamos moda bruta ao ponto médio da classe modal. MODA PELO PROCESSO DE CZUBER h fff ff lMo postantMo antMo i 2 Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) li= fpost = fant = h = fmo = Limite inferior da classe modal; Frequência simples posterior à classe modal; Frequência simples anterior à classe modal; Intervalo de classe; Frequência modal. Exemplo: Calcular a moda da distribuição dada abaixo: NOTAS fi 1 |-- 3 3 |-- 5 5 |-- 7 5 7 8 Total 20 Exercícios 1) Considere os valores dos pesos de 32 alunos de uma classe apresentados abaixo: 64 68 63 67 65 64 67 64 66 67 70 67 67 66 69 66 70 62 71 64 69 65 71 66 63 70 68 69 71 68 68 68. Obtenha a tabela de Freqüência e determine: a) A média b) Mediana c) Moda 2) A poluição causada por óleo em mares e oceanos estimula o crescimento de certos tipos de bactérias. Uma contagem de microorganismos presentes no petróleo (número de bactérias por 100 mililitros), em 10 porções de água do mar, indicou as seguintes medidas: 49 70 54 67 59 40 71 67 67 52 Determine a média, a mediana e a moda. 3) Na tabela abaixo, determine a média, a mediana e a moda. Nascidos vivos segundo o peso ao nascer, em quilogramas Classe Fi fac xi Fi*xi 1,5I---2,0 3 2,0I---2,5 16 2,5I---3,0 31 3,0I---3,5 34 3,5I---4,0 11 4,0I---4,5 4 4,5I---5,0 1 total Estatística e Probabilidade (Prof: Passos) 4) Com base nos dados da tabela abaixo, calcule o peso médio dos ratos em cada idade. Peso em gramas, de ratos machos da raça Wistar segundo a idade, em dias. Número de ratos Idade 30d 34d 38d 42d 46d 1 76,2 95,5 99,2 122,7 134,6 2 81,5 90,0 101,2 125,9 136,2 3 50,0 60,0 62,3 72,4 85,3 4 47,5 50,0 57,5 72,5 84,0 5 63,5 79,2 82,1 94,1 110,0 6 65,1 75,7 79,3 88.7 98,7 7 63,2 74,8 79,0 96,3 100,0 8 64,5 74,1 92,6 88,1 98,3 5) Determine a mediana nos casos abaixo: a) Percentual de água em cérebro de cobaias machos com 90 dias de idade, 80,06 68,97 79,85 79,87 79,86 68,86 79,90 79,91 79,55 79,25 b) Taxa de glicose, em miligramas por 100 ml de sangue, em ratos machos da raça Wistar, com 20 dias de idade. 100,0 100,0 97,5 80,0 97,5 85,0 80,0
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