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Universidade do Estado do Pará (Probabilidade) Prof: Passos Página 1 Aula 1 – Introdução à Probabilidade 1.1 Processo ou Experimento Aleatório Qualquer fenômeno que gere resultado incerto ou casual é chamado de processo ou experimento aleatório. Exemplo . Os dois itens a seguir ilustram experimentos aleatórios, pois não sabemos, com certeza, o possível resultado que ocorrerá em cada um. a. Jogar uma moeda duas vezes e observar a seqüência obtida de caras e coroas. b. Jogar um dado e observar o número mostrado na face superior. 1.2 Espaço Amostral e Evento Espaço amostral (Ω) é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Todo experimento aleatório tem associado um espaço amostral. O Exemplo a seguir ilustra esse fato. Universidade do Estado do Pará (Probabilidade) Prof: Passos Página 2 Exemplo 1. Experimentos aleatórios e seus respectivos espaços amostrais. Experimento aleatório Espaço amostral a. Jogar um dado e observar o resultado Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. Lançar uma moeda duas vezes e observar as faces obtidas Ω = {CC,CK,KC,KK}, com C = Cara e K = Coroa c. Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas Ω = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Usualmente denotamos os eventos com as letras iniciais do alfabeto na forma maiúscula. Exemplo 2. Considere o experimento de jogar um dado e observar o resultado. Alguns possíveis eventos desse experimento são: A = {ocorrer a face 5} = {5} ou B = {ocorrer face par} = {2, 4, 6} etc. Existem dois eventos especiais: espaço todo (Ω) e o conjunto vazio (𝝓). Esses eventos não têm aplicações práticas, mas serão úteis para provarmos propriedades das probabilidades. Operações com eventos Utilizando o diagrama de Venn, que foi introduzido em 1881 pelo filósofo e matemático britânico John Venn, podemos ilustrar as três operações básicas com eventos, a saber, interseção, união e complementar. Assim, sejam A e B dois eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Universidade do Estado do Pará (Probabilidade) Prof: Passos Página 3 • O evento interseção de A e B, denotado por A∩B, é o evento em que A e B ocorrem simultaneamente. • O evento união de A e B, denotado por A∪B, é o evento em que A ocorre ou B ocorre (ou ambos). • O evento complementar de A, denotado por Ac, é o evento em que A não ocorre. Exemplo 3. Operações com eventos. Seja Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Considere os seguintes eventos: A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6} e C = {1, 3, 5}. Os eventos a seguir ficam assim: A ∩ B = A ∩ C = A ∪ B = A ∪ Bc = Eventos disjuntos Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos ou disjuntos se eles não podem ocorrer simultaneamente (A ∩ B = ∅). Exemplo 4. Considere os seguintes eventos: A = {o resultado do dado foi 4} e B = {o resultado do dado foi 5}. O evento A ∩ B = ∅ pois é impossível existir o evento A ∩ B = {ocorrer 4 e 5, simultaneamente, em um único lançamento do dado}. Exemplo 5. Considere o seguinte espaço amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Defina os eventos: A = número par: B = número ímpar: C = múltiplo de 3: D = maior ou igual a 6: E = maior que 8: F = menor que 5: G = menor ou igual a 3: Universidade do Estado do Pará (Probabilidade) Prof: Passos Página 4 Obtenha os seguintes eventos: a. A ∩ B = e. C ∩ D = b. A ∪ B = f. E ∪ F = c. (A ∩ B)C = g. (A ∩ G)C = d. (A ∪ B)C = h. (EC ∪ B)C = Aula 2 – Fundamentos de Probabilidades 2.1 Probabilidade Condicional A probabilidade condicional surge, por exemplo, quando se deseja calcular a probabilidade de um evento A ocorrer, sabendo que um evento B já ocorreu. Sejam A e B dois eventos associados a um mesmo espaço amostral Ω. Denota-se por P(A|B) a probabilidade condicionada do evento A, quando o evento B tiver ocorrido. Sempre que calculamos P(A|B), estamos essencialmente calculando P(A) em relação ao espaço amostral reduzido devido a B ter ocorrido, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço amostral original Ω. Assim, uma definição mais formal de probabilidade condicional é dada pela definição. Definição . Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B é representada por P(A | B) e definida por: P(A | B) = P(A⋂ B) P(B) P(B) > 0 Universidade do Estado do Pará (Probabilidade) Prof: Passos Página 5 Exemplo 1 Exemplo 2 Dado o espaço amostral Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Qual a probabilidade de ocorrer o evento 𝐴 = 𝑥 ∣ 𝑥 ≤ 6 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝐵 = 𝑥 ∣ 2 ≤ 𝑥 ≤ 10 Universidade do Estado do Pará (Probabilidade) Prof: Passos Página 6 Teorema da multiplicação. Da expressão acima, obtemos a regra do produto de probabilidades dada por P(A∩B) = P(B)P(A | B) ou P(B∩A) = P(A)P(B | A) Exemplo 3 Exemplo 4 Universidade do Estado do Pará (Probabilidade) Prof: Passos Página 7 Exemplo 5
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