Fundamentos da Matemática

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FÍSICA – LICENCIATURA – EAD 
Prof. Sebastião Fernandes – UNIFEI – Itajubá – MG 
 
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 
AULA 40 – TEORIA DAS PROBABILIDADES: 
 
40.1 – INTRODUÇÃO: 
 
Como introdução desta aula, vamos adaptar resumidamente um breve histórico a respeito 
desta teoria, que é apresentado no livro: 
 
“MATEMÁTICA , Walter Facchini, Editora Saraiva, São Paulo-SP, 2a Edição, 1997. 
 
Historicamente, os primeiros estudos matemáticos sobre “chances” ou “probabilidades” foram 
feitos pelos italianos Gerônimo Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) e eram 
relacionados com jogos de dados. 
Em 1654, quando Pascal dedicava-se a uma obra chamada “As Cônicas”, um amigo seu, 
jogador profissional, chamado Chevalier de Meré, propôs questões do tipo: “Em oito lances de um 
dado, um jogador deve tentar lançar o número 1, mas, depois de três tentativas fracassadas, o 
jogo é interrompido por seu oponente. Como poderia ele ser indenizado?” 
Tendo resolvido as dificuldades de Meré, Pascal escreveu a seu amigo Pierre de Fermat 
(matemático francês, 1601-1665) expondo-lhe vários problemas. A correspondência entre eles, na 
qual encontram-se inúmeros problemas probabilísticos resolvidos, foi o verdadeiro ponto de 
partida da moderna teoria das probabilidades. As idéias de Cardano, que já tinham cem anos, 
foram esquecidas. 
Pascal e Fermat nada publicaram a respeito, mas o matemático holandês Christiaan Huygens 
(1629-1695), tendo conhecimento desses estudos, passou a interessar-se e publicou, em 1657, 
um pequeno livro com o título “De ratiociniis in ludo aleae” (Sobre o raciocínio em jogos de dados), 
sendo este o primeiro livro sobre a teoria das probabilidades. 
Dentre os matemáticos que contribuíram para a evolução dessa teoria, destacamos: Jacob 
Bernouilli (suíço, 1654-1705); Abraham de Moivre (francês, 1667-1754); Pierre Simon de Laplace 
(francês, 1749-1827), que publicou “Théorie analytique de probabilités (Teoria analítica das 
probabilidades); Pafnuti L. Tchebycheff (russo, 1821-1894) e Andrei Andreyevitch Markov (russo, 
1856-1922). 
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Hoje, a teoria das probabilidades tem uma importância muito grande em aplicações na 
estatística, economia, engenharia, física, química, teoria dos jogos estratégicos, sociologia, 
psicologia, biologia e vários outros campos da ciência. 
 
Nesta aula nos propomos a fazer uma breve introdução a este assunto, já que ele é muito 
vasto e é objeto de estudos mais avançados quando deve ser aplicado à resolução de problemas 
mais complexos. 
 
40.2 – EXPERIMENTO ALEATÓRIO: 
 
Chama-se de Experimento Aleatório a todo e qualquer experimento, cujo resultado é 
imprevisível, pois depende unicamente do acaso. 
Por exemplo, são experimentos aleatórios: 
• O lançamento de uma moeda; 
• O lançamento de um dado; 
• A retirada de uma carta de um baralho com 52 cartas, tendo as faces voltadas para 
baixo. 
No primeiro exemplo, temos 2 possibilidades: dar cara ou coroa. 
No segundo exemplo, temos 6 possibilidades, pois a face do dado voltada para cima pode 
apresentar qualquer número de 1 a 6. 
No terceiro exemplo, temos a possibilidade de tirar 52 cartas diferentes. 
É importante observar que, para ser aleatório, o experimento não pode sofrer influência 
externa nenhuma. 
Assim, por exemplo, o baralho não pode ter cartas marcadas. 
 
40.3 – ESPAÇO AMOSTRAL: 
 
Em todo experimento aleatório existe um conjunto finito de resultados possíveis de serem 
obtidos. Esse conjunto recebe o nome de Espaço Amostral. 
Quer dizer, o Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis num experimento 
aleatório. 
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Vamos designar esse conjunto por E e o número de elementos que ele contém por ( )En . 
Assim, por exemplo: 
• No experimento aleatório “lançamento de uma moeda” o Espaço Amostral é o conjunto 
{ }coroacaraE ,= e o número de elementos é ( ) 2=En . 
• No experimento aleatório “lançamento de um dado e leitura da face voltada para cima”, o 
Espaço Amostral é { }6,5,4,3,2,1=E e o número de elementos é ( ) 6=En . 
 
40.4 – EVENTO: 
 
Num Experimento Aleatório, cujo Espaço Amostral é E , chamamos de Evento a qualquer 
subconjunto desse Espaço Amostral. 
Indicamos o Evento por A e o seu número de elementos por ( )An . 
No lançamento de um dado e na observação da face que fica voltada para cima, temos o 
Espaço Amostral { }6,5,4,3,2,1=E , e podemos extrair desse experimento aleatório vários Eventos, 
como, por exemplo: 
• 1) a ocorrência de um número par; 
• 2) a ocorrência de um número primo; 
• 3) a ocorrência de um número menor ou igual a 4; 
• 4) a ocorrência de um número maior que 6; 
• 5) a ocorrência de um número menor que 8. 
 
Nestes exemplos, temos os Eventos: 
• 1) { } ( ) 36,4,2 =⇒= AnA ; 
• 2) { } ( ) 35,3,2 =⇒= AnA ; 
• 3) { } ( ) 44,3,2,1 =⇒= AnA ; 
• 4) { } φ== AouA (Conjunto Vazio) ( ) 0=⇒ An . 
• 5) { } ( ) 6,6,5,4,3,2,1 =⇒= AnA . 
Quando ( ) 0=An , como no exemplo (4), dizemos que o Evento é impossível e quando 
( ) ( )EnAnEA =⇒= , como no exemplo (5), dizemos que o Evento é certo. 
 
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40.5 – PROBABILIDADE: 
 
Chama-se de Probabilidade ( )AP de ocorrência de um Evento A dentro de um Experimento 
Aleatório cujo Espaço Amostral seja E ao quociente: 
 
 
 
 
PROPRIEDADES: 
 
Consideremos um Experimento Aleatório cujo Espaço Amostral E seja finito e não vazio e um 
Evento EA ⊂ . 
Nestas condições, podemos enunciar as seguintes propriedades: 
P1. A probabilidade da ocorrência de um Evento “impossível” é igual a zero. 
 ( )
( )
0
0
==
En
P φ 
P2. A probabilidade da ocorrência de um Evento “certo” é igual a um. 
 ( )
( )
( )
1==
En
En
EP 
P3. A probabilidade de ocorrer um Evento é um número que varia entre zero e um, ou que 
pode ser expresso em porcentagem entre zero e cem por cento. 
 ( ) 10 ≤≤ AP ou ( ) %100%0 ≤≤ AP 
P4. Dado um Evento A , chama-se de Evento Complementar de A ao Evento AEA −= . 
 
A Probabilidade ( )AP de ocorrência do Evento A somada à Probabilidade ( )AP de sua não 
ocorrência é igual a 1, ou seja, ( ) ( ) 1=+ APAP ou ( ) ( )APAP −= 1 . 
E 
A 
A 
AEA −= 
( )
( )
( )En
An
AP = 
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40.6 – ADIÇÃO DE PROBABILIDADES: 
 
Consideremos um Experimento Aleatório cujo Espaço Amostral E seja finito e não vazio, e 
vamos tomar dois Eventos A e B desse Espaço Amostral. 
Chamamos de Adição de Probabilidades à chance de ocorrer o Evento A ou o Evento B . 
 
A Adição de Probabilidades será indicada por ( )BAP ∪ e será calculada tomando-se: 
 
 
 
Isto significa que teremos: 
 
 
 
 
Se φ=∩ BA , os Eventos são chamados de Eventos mutuamente exclusivos e, neste caso, 
temos: ( ) ( ) ( )BPAPBAP +=∪ . 
 
40.7 – EVENTOS INDEPENDENTES E DEPENDENTES: 
 
Dizemos que dois Eventos são Independentes se a ocorrência ou a não ocorrência de um 
deles não afetar a ocorrência do outro. 
Por exemplo, se um dado é lançado duas vezes, a ocorrência do número obtido no primeiro 
lançamento não afetará a ocorrência do número que será obtido no segundo lançamento. Assim, 
se ocorreu o número 6 no primeiro lançamento, nada impede que o número 6 apareça novamente 
no segundo lançamento. Tratam-se, então, de Eventos Independentes.A B 
E 
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )En
BAn
En
Bn
En
An
BAP
∩
−+=∪ 
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Por outro lado, dizemos que dois Eventos são Dependentes quando a ocorrência (ou não) do 
primeiro Evento afetar a ocorrência do segundo. 
Vamos considerar, por exemplo, que numa caixa existem 10 bolas, de mesmo tamanho e 
peso, numeradas de 1 a 10. 
Fazendo a retirada de duas dessas bolas, uma após a outra, e sem a devolução da primeira 
bola após a primeira retirada, vamos admitir que desejamos calcular as probabilidades de saírem 
duas bolas pares. 
Temos, neste caso, dois Eventos Dependentes, pois, na primeira retirada, haviam 5 bolas 
pares em 10 e, na segunda, apenas 4 bolas pares em 9 (caso a primeira bola retirada fosse par) 
ou 5 bolas pares em 9 (caso a primeira bola retirada fosse ímpar). 
Assim, a probabilidade de ocorrência do primeiro Evento (retirada de uma bola par) é 
2
1
10
5
=⇒= PP . 
 
Já a probabilidade de que a segunda bola retirada seja par, vai depender daquela que saiu na 
primeira retirada, ou seja: 
• Se a primeira bola é par, a probabilidade de que a segunda também seja par é 
9
4
=P . 
• Se a primeira bola é ímpar, a probabilidade da segunda ser par é 
9
5
=P . 
 
40.8 – PRODUTO DE PROBABILIDADES: 
 
Consideremos num Experimento Aleatório com Espaço Amostral E , finito e não vazio, os 
Eventos A e B . 
Chamamos de Produto de Probabilidades à probabilidade de que ocorram os Eventos A e B , 
simultaneamente. 
Para o cálculo desse produto, é importante verificar primeiramente se eles são Independentes 
ou Dependentes. 
 
 
 
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EVENTOS INDEPENDENTES: 
 
A probabilidade de ocorrência simultânea de dois ou mais Eventos Independentes é igual ao 
produto das probabilidades de ocorrência de cada um individualmente. 
Por exemplo, a probabilidade de se obter coroa em todos os três lançamentos de uma moeda 
é dada por: 
8
1
2
1
.
2
1
.
2
1
==P . 
 
EVENTOS DEPENDENTES: 
 
Vamos considerar dois ou mais Eventos Dependentes uns dos outros. 
Se a probabilidade de ocorrer o primeiro Evento é 
1
P , a probabilidade de ocorrer o segundo 
Evento após a ocorrência do primeiro é 
2
P , a probabilidade de ocorrer o terceiro Evento após a 
ocorrência do primeiro e do segundo é 
3
P , e assim por diante, então a probabilidade de que todos 
esses Eventos ocorram é obtida pelo produto: L...
321
PPPP = . 
Por exemplo, se numa caixa existem 10 bolas iguais numeradas de 1 a 10, a probabilidade de 
se retirar duas bolas pares, sucessivamente e sem reposição da primeira bola retirada, é igual a: 
9
2
9
4
.
10
5
=⇒= PP 
 
EXEMPLOS: 
 
01) Uma urna contém 50 bolas que se distinguem apenas pelas seguintes características: 
- x delas são brancas e numeradas de 1 a x ; 
- 1+x delas são azuis e numeradas de 1 a 1+x ; 
- 2+x delas são amarelas e numeradas de 1 a 2+x ; 
- 3+x delas são verdes e numeradas de 1 a 3+x . 
Retirando-se, ao acaso, uma dessas bolas, qual a probabilidade da bola retirada ser uma bola 
azul ou uma bola com o número 12? 
 
 
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SOLUÇÃO: 
 
Devemos ter 1144450321 =⇒=⇒=++++++ xxxxxx . 
Portanto, existem 11 bolas brancas, 12 bolas azuis, 13 bolas amarelas e 14 bolas verdes. 
O problema em questão trata de Adição de probabilidades, uma vez que a bola a ser retirada 
pode ser azul ou ter o número 12. 
Vamos considerar, então, os Eventos: 
• =A retirada de uma bola azul ( ) 12=⇒ An . 
• =B retirada de uma bola com o número 12 ( ) 3=⇒ Bn . 
Porém, um dessas 3 bolas de número 12 é azul. 
Neste caso, ( ) 1=∩ BAn . 
Então, podemos equacionar o problema da seguinte maneira: 
( ) ( ) ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ . 
( ) ( ) ( ) ( )1212 númerocomazulPnúmeroPazulPBAP −+=∪ . 
 
Assim: ⇒−+=
50
1
50
3
50
12
P 
 
02) Em uma urna há 10 fichas idênticas, numeradas de 1 a 10. Retiram-se 2 fichas ao acaso e 
sem reposição. Qual a probabilidade de que a soma dos dois números seja igual a 10? 
 
SOLUÇÃO: 
 
Temos um problema que envolve o produto de probabilidades de ocorrência de dois Eventos 
Dependentes, pois as fichas serão retiradas sucessivamente e sem reposição. 
Porém, temos que lembrar que, para a soma das duas fichas ser igual a 10, a primeira não 
pode ser nem 10 e nem 5. 
Assim, apenas 8 das 10 fichas servem para a primeira retirada. 
 
Uma vez retirada uma dessas 8 fichas, sobram apenas 9 delas na urna e, dessas 9, apenas 
uma delas serve para ser somada à outra e resultar na soma 10. 
 
( ) ( ) %28
25
7
=∪=∪ BAPouBAP 
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Portanto, temos: 
⇒=⇒=
9
1
.
10
8
.
21
PPPP 
 
03) Um dado é jogado três vezes, uma após a outra. Qual a probabilidade de que a soma dos 
resultados seja maior ou igual a 16? 
 
SOLUÇÃO: 
 
Como cada um dos dados é numerado de 1 a 6, então o número de elementos do Espaço 
Amostral é ( ) ( ) 2166.6.6 =⇒= EnEn . 
O Evento A é que a soma dos três seja maior ou igual a 16. 
Neste caso, temos: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) 106,6,6,5,6,6,6,5,6,6,6,5,,5,5,6,5,6,5,6,5,5,4,6,6,6,4,6,,6,6,4 =⇒= AnA 
 
Portanto: ( ) ⇒=
216
10
AP 
 
04) Num programa de televisão, existem duas urnas A e B, contendo bolas destinadas a um 
sorteio de brindes, Na urna A, existem 10 bolas amarelas e 2 azuis e na urna B, 9 bolas 
amarelas e 6 azuis. Um participante é convidado a retirar uma bola de cada urna, sabendo 
que será premiado, caso retire bolas de mesma cor. Qual a probabilidade deste participante 
ser premiado? 
 
SOLUÇÃO: 
 
Supondo que as bolas retiradas sejam amarelas: 
2
1
15
9
.
12
10
==
A
P ; 
Supondo que as bolas retiradas sejam azuis: 
15
1
15
6
.
12
2
==
B
P . 
 
Portanto, a probabilidade dele ser premiado é: ⇒+=
15
1
2
1
P 
45
4
=P 
108
5
=P 
30
17
=P