Lista 02 - Geometria Analítica 2015.1

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ENGENHARIA CIVIL
	1º Período
	 Lista 02 2015.1
	 Lista 02 – Geometria Analítica
	 1º Semestre 2015.1
	Aluno(a):
	
	10.03.15 
	Prof. Daniell
 
VETORES EM SISTEMAS DE COORDENADAS
Seja 
qualquer vetor no plano e suponha, como na figura, que 
 tenha sido posicionado com seu ponto inicial na origem do sistema de coordenadas retangulares. As coordenadas 
 do ponto final 
 são chamadas componentes de 
e escrevemos
Exemplo. Observe o vetor 
representado no plano cartesiano ortogonal com origem sobre o ponto 0.
Observação: Às vezes um vetor não está posicionado com seu ponto inicial na origem. Se o vetor 
tem o ponto inicial 
 e ponto final 
, então
Exemplo:
Sejam os pontos 
. Determine:
a) 
Para determinarmos os vetor 
 deveremos subtrair o ponto de origem do vetor do ponto de extremidade do mesmo. Ou seja, é necessário subtrair as coordenadas do vetor N das coordenadas do vetor M. 
b) 
c) 
EXERCÍCIOS
01 – Esboce no plano cartesiano ortogonal cada um dos pontos abaixo:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
�
02 – Esboce no plano cartesiano ortogonal cada um dos vetores abaixo com ponto inicial na origem do sistema:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j)
�
03 – Dados A = (-1, 2) e B = (3, 4), ache 
 e redesenhe-o (a) na posição padrão e (b) com o ponto inicial no ponto C = (2, -1).
04 – Esboce no plano cartesiano ortogonal cada um dos vetores abaixo com ponto inicial na origem do sistema:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
�
05 – Dados os pontos 
determine e esboce no plano cartesiano ortogonal cada um dos vetores abaixo:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
�
06 – Dados 
, calcule e desenhe 
.
07 – Se 
, determine e desenhe 
.
08 – Desenhe os seguintes vetores em posição padrão em IR2:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
09 – Desenhe os vetores do exercício anterior com suas origens no ponto (-2, -3).
VETORES NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL
Assim como os vetores no plano podem ser descritos por pares de números reais, os vetores no espaço podem ser descritos por ternos de números reais utilizando um sistema de coordenadas retangulares. Para construir um tal sistema de coordenadas, selecionamos um ponto O, denominado a origem e escolhemos três retas mutuamente perpendiculares passando pela origem, denominadas eixos coordenados. Designe estes eixos x, y e z e selecione um sentido positivo para cada eixo coordenado, bem como uma unidade de comprimento para medir tamanhos.
Cada par de eixos coordenados determina um plano chamado plano coordenado. Referimo-nos aos planos coordenados como os planos xy, xz e yz. A cada ponto P no espaço tridimensional associamos um terno (x, y, z) de números, chamados coordenadas de P, como segue: passe três planos por P paralelos aos planos coordenados e denote os pontos de intersecção destes planos com os três eixos coordenados por X, Y e Z conforme a figura (b).
Tomemos o paralelepípedo da figura:
Com base nesta figura, temos:
a) A(2, 0, 0) - um ponto P (x, y, z) está no eixo dos x, quando y = 0 e z = 0;
b) C (0, 4, 0) - um ponto está no eixo dos y, quando x = 0 e z = 0;
c) E(0, 0, 3) - um ponto está no eixo dos z , quando x = 0 e y = 0;
d) B(2, 4, 0) - um ponto está no eixo dos xy quando z = 0;
e) F (2, 0, 3) - um ponto está no eixo dos xz, quando y = 0;
f) D(0, 4, 3) - um ponto está no eixo dos yz, quando x = 0.
O ponto B é a projeção de P no plano xy, assim D e F são as projeções de P nos planos yz e xz, respectivamente. 
O ponto A(2, 0, 0) é a projeção de P (2, 4, 3) no eixo dos x, assim como C (0, 4, 0) e E(0, 0, 3) são as projeções de P nos eixos dos y e dos z ,respectivamente.
Como todos os pontos da face:
a) PDEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele, são pontos de cota z = 3, isto é, são pontos do tipo (x, y, 3);
b) PBCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele, são pontos de ordenada y = 4, isto é, são pontos do tipo (x, 4, z );
c) PFAB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele, são pontos de abscissa x = 2, isto é, são pontos do tipo (2, y, z ).
Ao desejarmos marcar um ponto no espaço, digamos A(3, −2, 4), procedemos assim:
1º) Marca-se o ponto A′ (3, −2) no plano xy;
2º) Desloca-se A′ paralelamente ao eixo dos z , 4 unidades para cima (se fosse −4 seriam 4 unidades para baixo) para obter o ponto A.
EXERCÍCIOS
01 – Esboce no sistema de coordenadas retangulares cada um dos pontos abaixo:
�
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
�
02 – Esboce no sistema de coordenadas retangulares cada um dos vetores abaixo com ponto inicial na origem do sistema:
�
a) 
 d) 
 g) 
b) 
 e) 
 h) 
c) 
 f) 
 i) 
�
� PAGE \* MERGEFORMAT �1�
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