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Distribuição de Probabilidade Contínua. Unidade II - Aula 09 Disciplina: Introdução à Estatística Professor: ELMIRO UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA 2014-2 Continuação... Exemplo: Foi determinado o peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas ao acaso em uma população. Os dados obtidos foram dispostos em uma distribuição de frequência com sete classes e sua representação gráfica (histograma) esta representada abaixo: Continuação... Da análise do histograma, observamos que: a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg; a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85); existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%). Vamos definir a seguinte variável aleatória X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população(exemplo anterior). Vem a pergunta: Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a distribuição de probabilidades de X ? Continuação... A curva contínua [f(x)] da figura acima denomina-se Curva Normal. Continuação... A distribuição Normal é uma das mais importantes distribuições de probabilidade contínuas tendo em vistas que: Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima a essa distribuição. Exemplos: 1.altura; 2.pressão sanguínea; 3.peso. Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades para outras distribuições, como por exemplo, para a distribuição Binomial: Distribuição Normal A v. a. X tem distribuição Normal com parâmetros e 2 se sua função densidade de probabilidade é dada por: f x = 1 σ 2π e −1 2 x−μ σ 2 para −∞<x<+∞ Pode ser mostrado que: 1. é o valor esperado (média) de X ( - < < ); 2. 2 é a variância de X ( 2 > 0). Notação: X ~ N( ; 2) Obs: f(x) é simétrica em relação a . Continuação... Propriedades da distribuição normal E(X) = e Var(X) = 2 A distribuição é simétrica em torno de sua média (). A área total sob curva é igual a um. f(x) 0 quando x x = é ponto de máximo de f(x) - e + são pontos de inflexão de f(x) Continuação... Influência de na curva Normal Curvas Normais com mesma variância 2 mas com médias diferentes (2 > 1). Continuação... Influência de 2 na curva Normal Curvas Normais com mesma variância mas com médias diferentes (2 2 > 1 2). N(;1 2) N(;2 2) 2 2 > 1 2 Continuação... Cálculo de probabilidades Integrar a função de densidade (utilização de métodos numéricos). P(a < X < b) Área sob a curva acima do eixo horizontal (x) entre a e b. a b PROBLEMAS: Continuação... Transformar qualquer distribuição Normal (µ , 2) em uma distribuição normal com parâmetros fixos (Normal Padrão), através de uma mudança de variável e tabelar as probabilidades. Assim: SOLUÇÃO: Se X ~ N( ; 2), definimos: Z = X − μ σ então: E(Z) = 0 Var(Z) = 1 Continuação... 0 z f(z) a – b – Z ~ N(0 ; 1) a b x f(x) X ~ N( ; 2) A v.a. Z ~ N(0;1) denomina-se normal padrão ou reduzida. Portanto, Continuação... Uso da tabela da normal padrão Denotamos por: Φ(z) = P(Z ≤ z). Estes valores estão tabelados para a normal padrão. Continuação... Exemplo: Seja Z ~ N (0; 1), calcular a) P(Z ≤ 0,32) P(Z ≤ 0,32) = Φ(0,32) Encontrar o valor de Φ(0,32) na Tabela N(0;1): Continuação... z 0 1 2 0,0 0,5000 0,5039 0,5079 0,1 0,5398 0,5437 0,5477 0,2 0,5792 0,5831 0,5870 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 ⁞ ⁞ ⁞ ⁞ Portanto: P(Z ≤ 0,32) = Φ(0,32)=06255 Continuação... b) P(Z ≤ –1,3) P(Z ≤ –1,3) = Φ(-1,3) = 0,0968 c) P(Z ≥ 1,5) P(Z ≥ 1,5) = 1- P(Z ≤1,5) = 1 - Φ(1,5) = 1 – 0,9332 = 0,0668 Tabela Continuação... c) P(0 < Z 1,71) P(0 < Z 1,71)=P(Z 1,71)–P(Z < 0) = Φ(1,71) – Φ(0) = 0,9564 – 0,5 = 0,4564 OBS.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5. d) P(1,32 < Z 1,79) P(1,32 < Z 1,79)= P(Z1,79)–P(Z1,32) = Φ(1,79) - Φ 1,32) = 0,9633 - 0,9066 = 0,0567 Continuação... d) P(-1,5 Z 1,5) P(–1,5Z1,5) P(Z1,5)–P(Z–1,5) = Φ(1,5)–Φ(–1,5) = 0,9332 – 0,0668 = 0,8664 e) P(–1,32 < Z < 0) = P(Z 0) – P(Z -1,32) = Φ(0) – Φ(-1,32) = 0,5 - 0,0934 = 0,4066 Continuação... f) P(-2,3 < Z -1,49) P(-2,3 < Z -1,49) = P(Z-1,49)–P(Z-2,3) = Φ(-1,19) – Φ(-2,3)= = 0,0681 - 0,0107 = 0,0574 g) P(Z<-3,2)= Φ(-3,2)= 0 Continuação... h) Encontre o valor de z na distribuição N(0 ; 1) de modo que: i) P(Z<z)=09750 z é tal que Φ(z) = 0,9750. Pela tabela, z = 1,96. ii) P(Z<z)=09975 z é tal que Φ(z) = 0,9975. Pela tabela, z = 2,81 Continuação... iii) P(Z>z)=0,3 P(Z>z) = 1-P(Z<z) = P(Z<z) = 1-P(Z>z) = = 1- 0,3 = 0,7 z é tal que Φ(z) = 0,7. Pela tabela, z = 0,53 Exercícios: Seja X ~ N(10 ; 64) ( = 10, σ2 = 64 e σ= 8 ), Calcular: (a) P(6 X 12) (c) k tal que P( X k) = 0,05. (b) P( X 8 ou X > 14) (d) k tal que P( X k) = 0,025 Continuação... Solução: (a) P(6 X 12) P(6 X 12) = 𝑃 6−𝜇 𝜎 < 𝑋−𝜇 𝜎 < 12−𝜇 𝜎 = = 𝑃 6−10 8 < 𝑋−10 𝜎 < 12−10 8 = 𝑃 −0,5 < 𝑧 < 0,25 = (0,25) - (-0,5) = 0,5987- 0,3085 = 0,2902 (b) P( X 8 ou X > 14) P( X 8 ou X > 14) = P( X 8)+P(X >14) =𝑃 𝑋−10 8 < 8−10 8 + 𝑋−10 8 > 14−10 8 = P(z <-0,25)+P(Z> 0,5) =(-0,25) – (1- (0,5)) = 0,4013 + 1 - 0,6915 = 0,7098 Continuação... (c) k tal que P( X < k) = 0,05 P(X < k)=0,05 𝑃 𝑋−10 8 < 𝑘−10 8 =0,05 𝑃 𝑍 < 𝑘−10 8 = 0,05 Então: 𝑘−10 8 = -1,96 k= -1,96x8 +10 k=10-15,68=-5,68 k=-5,68 Continuação... Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com média 120 min e desvio padrão 15 min. 1. Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine o exame antes de 100 minutos? 2. Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado? 3. Qual é o intervalo central de tempo, tal que 80% dos estudantes gastam para completar o exame? Continuação... Solução: a) P(X<100)=𝑃 𝑋−120 15 < 100−120 15 =𝑃 𝑍 < −1,33 = (-1,33) = 0,0918 b) P(X < k) = 0,95 𝑃 𝑋−120 15 < 𝑘−120 15 = 0,95 𝑃 𝑍 < 𝑘−120 15 = 0,95 Então: 𝑘−120 15 = 1,64 k= 1,64 x 15 +120 k= 24,6 + 120 = 144,6 k= 144,6 minutos Continuação... Exercício 1: O tempo gasto com todas as etapas da produção de um novo produto tem distribuição Normal, com média 6 minutos e desvio padrão 1,5 minutos. a) Uma empresa estuda a possibilidade de gratificar seus funcionários quando o tempo total gasto com a produção do produto não ultrapassar 5 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário receber essa gratificação ao executar essa tarefa? b) Ao mesmo tempo a empresa pretende penalizar os funcionários com tempo total gasto com a produção superior a 7 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário ser penalizado ao executar essa tarefa? c) Um dos funcionários da empresa sugeriu ao diretor da empresa que estabelece-se um intervalo de tempo satisfatório para executar tal tarefa entre 4 e 8 minutos. Qual a probabilidade de um funcionário executar essa tarefa no intervalo de tempo sugerido? d) Qual é o tempo que o diretor da empresa deveria estipular tal que 20% dos funcionários recebessem a gratificação? Continuação... Exercício 2: Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos a umtratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma distribuição normal, com média 15 e desvio padrão 3 (em dias). a) Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias para se recuperar? b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso, presentar tempo de cura inferior a 20 dias? c) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dos pacientes? d) Considere um grupo de 100 pacientes escolhidos ao acaso, qual seria o número esperado de doentes curados em menos de 11 dias? Tabela da Normal Padrão Continuação...
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