Introdução à Estatística - AULA 8-Algumas Distribuições Discretas

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Algumas Distribuições de 
Probabilidade Discretas.
Unidade II - Aula 08
Disciplina: Introdução à Estatística
Professor: ELMIRO
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
2014-2
Alguns modelos probabilísticos discretos 
1. Distribuição Uniforme Discreta
Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores
são representados por x1, x2, ... ,xk. Dizemos que X segue o
modelo Uniforme se sua distribuição de probabilidade é dada
por:
1/n,  i=1, 2, 3, ... , n
0, caso contrário
Exemplo:
Considere o experimento que consiste no lançamento de
um dado, e estamos interessados na V.A. X: No da face obtida.
Neste caso todos os possíveis resultados ocorrem com a mesma
probabilidade e, assim, podemos dizer que a probabilidade se
distribui uniformemente entre os diversos resultados, ou seja,
podemos escrever a seguinte distribuição de probabilidade.
P(X=xi)=
Continuação...
x 1 2 3 4 5 6
P(X=x)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Notação: X~Ud(x1,..,xn)
OBS.: podemos mostrar que:
E(X)=
1
𝑛
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 V(X)=
1
𝑛
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
2 −
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
2
𝑛
Para o exemplo anterior:
E(X)=
1
6
(1+2+3+4+5+6)=
21
6
=3,5  E(X)=3,5
V(X)=[
1
6
(1+4+9+16+25+36) -
212
6
]=
1
6
[91 −
441
6
]=
1
6
[91-73,5]
V(X)=
1
6
17,5=2,9  V(X)=2,9
Continuação...
2. Distribuição de Bernoulli
Algumas situações tem alternativas dicotômicas e
podem ser representadas genericamente por resposta do tipo
sucesso-fracasso. Associaremos p, a probabilidade de
sucesso, ao evento que nos interessa e 1-p, será a
probabilidade de fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de
Bernoulli e originam uma v.a. com distribuição de Bernoulli.
Definição:
Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume
apenas dois valores: 1 se ocorrer sucesso(s) e 0 se ocorrer
fracasso (f), ou seja: X(s)=1 e X(f)=0. A probabilidade de
sucesso é p, 0<p<1, e a probabilidade de fracasso é 1-p. Logo
a sua distribuição de probabilidade é dada por:
Continuação...
Notação: X~Ber(p), indica que a V.A. X tem distribuição de
Bernoulli com probabilidade de sucesso “p”
Se X~Ber(p) podemos mostrar que: 
E(X)=p e Var(X)=p(1-p).
Exemplo: Considere o experimento: “Lançar um dado e
observar a face superior”. Defina o evento: “o número é
múltiplo de 3” e a variável X é definida como 1 se o evento
ocorrer (sucesso) e 0 caso contrário. Encontre a distribuição
de probabilidade de X, calcule a esperança e a variância.
x 0 1
P(X=x) p 1-p f(x)=P(X=x)= 
px 1−p 1−x se=0 1
0 caso contrário
Continuação...
3. Distribuição Binomial
Exemplo:
Suponha que um dado seja lançado 3 vezes. Seja A o evento:
obtenção de uma face maior ou igual a 5, e a obtenção de A seja
classificada como Sucesso(S), caso contrário com Fracasso(F).
Determinar a função de distribuição de probabilidade da variável
X: número de vezes em que se obtém o evento A (obtenção de
faces maiores ou iguais a 5), nos 3 lançamentos do dado.
Solução:
Sabemos A={5, 6}  P(A)=2/6  P(S)=2/6 (probabilidade de 
sucesso), consequentemente 𝐴={1, 2, 3, 4}  P(𝐴)=4/6 
P(F)=4/6 (probabilidade de fracasso)
O Espaço amostral da V.A. X, no que se refere a 
obtenção de sucesso ou fracassos é dado por:
={FFF, FFS, FSF, SFF, FSS, SFS, SSF, SSS}
Continuação...
Logo:
 Valor de X P(X=x)
FFF 0
4
6
4
6
4
6
=
4
6
3 2
6
0
FFS 1
4
6
4
6
2
6
=
4
6
2 2
6
1
FSF 1
4
6
2
6
4
6
=
4
6
2 2
6
1
SFF 1
2
6
4
6
4
6
=
4
6
2 2
6
1
SSF 2
2
6
2
6
4
6
=
4
6
1 2
6
2
SFS 2
2
6
4
6
2
6
=
4
6
1 2
6
2
FSS 2
4
6
2
6
2
6
=
4
6
1 2
6
2
SSS 3
2
6
2
6
2
6
=
4
6
0 2
6
3
logo:
Portanto a distribuição de probabilidade de X é dada por:
f x =P X=x =
3
x
2
6
x
4
6
3−x
para x=0,1,2 ou 3
Onde: 
3
x
=
3!
x! 3−x !
x=0,1,2 ou 3
Continuação...
Valor de X P(X=x) Valor de X P(X=x)
0
2
6
0
4
6
3
0 3
0
2
6
0
4
6
3
1 3
2
6
1
4
6
2
ou 1 3
1
2
6
1
4
6
2
2 3
2
6
2
4
6
1
2 3
2
2
6
2
4
6
1
3
2
6
3
4
6
0
3 3
3
2
6
3
4
6
0
Generalizando:
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli
independentes e todos com a mesma probabilidade de
sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de
sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de
variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua
função de probabilidade é dada por:
f x =P X=x =
n
x
px(1−p)
n−x
, x=1, 2, …, n
onde:
n
x
=
n!
x! n−x !
Notação, X~B(n, p), para indicar que V.A. X tem distribuição
Binomial com parâmetros n e p. Podemos provar que:
Se X~B(n, p) então: E(X)=np e Var(X)=np(1-p).
Continuação...
Continuação...
Exemplo:
Um professor da disciplina de Estatística elaborou uma
prova de múltipla escolha, composta de 10 questões objetivas,
cada uma com 5 alternativas, sendo verdadeira apenas uma
delas. Suponha que nenhum dos estudantes tenha estudado
para a prova (o que é muito comum e frequente). O professor
estabeleceu que para ser aprovado o aluno deve acertar pelo
menos 8 questões das 10 propostas. (a) Qual a probabilidade
de um aluno consegui êxito na disciplina? (b) Qual a média e o
desvio padrão de acerto na prova?
Continuação...
Solução:
Seja a V.A. X: número de questões respondidas
corretamente nas 10 questões propostas.
Sabemos que P(S) = p =
1
5
(probabilidade de sucesso),
que P(F) =1 −
1
5
=
4
5
(probabilidade de fracasso) e sabemos
também que n=10 (número de questões propostas),
(a) A probabilidade de um aluno qualquer, escolhido
aleatoriamente, galgar aprovação, será:
P(X≥8)= P(X=8)+P(X=9)+(PX=10)
P(X≥8)= = =
10.,...,2,0x
5
4
5
1
x
10
x)P(Xf(x)
x10x




















28
5
4
5
1
8
10

















 19
5
4
5
1
9
10


















010
5
4
5
1
10
10


















Continuação...
(b) E(X) = np = 10. = 2
V(X) np(1-p) = 10. . = 1,6
DP(x)= 1,6 = 1,26  DP(x) = 1,6
Exemplo 1:
O time do Treze tem 25% de probabilidade de perder
sempre que joga em João Pessoa. Se ele, pelo campeonato
Paraibano, joga 4 partidas em João Pessoa, qual a
probabilidade de perder exatamente 3 partidas?. E perder ao
menos uma partida. Se em todo o campeonato ele joga 20
partidas em João Pessoa, em quantos partidas se espera que
ganhe?






5
1






5
1






5
4
Continuação...
Exemplo 2:
O escore em um teste internacional de proficiência na
língua inglesa varia de 0 a 7 pontos, com mais pontos indicando
um melhor desempenho. Informações, coletadas durante vários
anos, permitem estabelecer o seguinte modelo para o
desempenho no teste:
Várias universidades americanas, exigem um escore
mínimo de 6 pontos para aceitar candidatos de países de língua
não inglesa. De um grande grupo de estudantes que prestaram o
último exame, escolhemos ao acaso 8 deles. Qual a
probabilidade de no máximo 2 atenderem ao requisito
mencionado? Em um grupo de 220 candidatos espera-se
quantos serem aprovados?Pontos [0, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7]
pi 0,06 0,15 0,16 0,25 0,27 0,11