Introdução à Estatística - AULA 5-Introduçao à Probabilidade

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Introdução à Probabilidade
Unidade II - Aula 05
Disciplina: Introdução à Estatística
Professor: ELMIRO
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
2014-2
Introdução
No ano de 1654, um jogador da sociedade parisiense,
Chevalier de Mère, propôs a Blaise Pascal (1623–1662)
algumas questões sobre possibilidades de vencer em jogos.
Eis a questão proposta: “Um jogo de dados entre dois
adversários chega ao fim quando um dos jogadores vence três
partidas em primeiro lugar. Se esse jogo for interrompido antes
do final, de que maneira cada um dos adversários deve ser
indenizado?”.
Pascal escreveu a Pierre de Fermat (1601–1665) sobre
esse problema, e a correspondência entre eles deu subsídios e
consequentemente o inicio da formatação da teoria das
probabilidades.
Pierre-Simon Laplace (1749-1827), no livro Teoria
analítica das probabilidades, demonstra admiração por essa
nova teoria por meio da afirmação: “Uma ciência que começou
pelo estudo dos jogos de azar e tem se transformado no mais
importante objeto do conhecimento humano”.
Continuação
Existem muitas situações que envolvem incertezas,
que sejam fenômenos ou experimentos aleatórios.
Um modelo matemático ajudará a investigar, de
maneira bastante precisa, esse fenômeno, que de modo
geral podem ser classificados como “Determinísticos” ou
“Não-Determinísticos”
São Determinísticos quando os resultados são
sempre os mesmos e determinados pelas condições sob
as quais o procedimento seja executado.
Exemplo: Deslocamento de um corpo; velocidade media;
leis da física, etc.
Continuação
São Não-Determinísticos, Probabilísticos ou
Aleatórios) quando aplicados em situações que envolvem
incerteza. Desta forma os Resultados variam de uma
observação para outra, mesmo em condições normais de
experimentação. As condições do experimento determinam
apenas o comportamento inserto do resultado observável.
Para estes casos o modelo matemático aplicável é a
“Teoria da Probabilidade”
Exemplo: Lançamento de um dado; Índices econômicos;
Tempo de vida de um paciente, etc.
Continuação
A teoria das probabilidades é o fundamento para a
inferência estatística. O que é buscado nesta parte do curso
é que sejamos capazes de compreender os conceitos mais
importantes da probabilidade e as suas aplicações.
O conceito de probabilidade faz parte do dia-a-dia
dos trabalhadores de todas as áreas, uma vez que seu
conceito é frequentemente utilizado. Por exemplo,
podemos dizer que um aluno tem uma chance de 70% de
ser aprovado em uma determinada disciplina. Um
professor está 90% seguro de que um novo método de
ensino proporcione uma melhor compreensão pelos
alunos. Um engenheiro de produção afirma que uma nova
máquina reduz em 20% o tempo de produção de um bem.
Teoria da Probabilidade
OBJETIVO
A teoria das probabilidades busca quantificar as
chances de ocorrer um dado fenômeno aleatório ou “não
determinístico”. Pode também ser vista como o ramo da
matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para
estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
Na teoria das probabilidades, estudamos os
experimentos aleatórios equiprováveis, isto é, experimento
onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma
chance.
Algum conceitos importantes
 Experimento aleatório: São aqueles onde o processo
de experimentação está sujeito a influências de fatores
casuais que conduzem a resultados incertos e, ao ser
repetido sob as mesmas condições, pode fornecer
resultados diferentes.
EXEMPLOS:
1. Lançamento de uma moeda honesta;
2. Lançamento de um dado;
3. Lançamentos de duas moedas;
4. Retirada de uma carta de um baralho completo de
52 cartas;
5. Determinação da vida útil de um componente
eletrônico.
Características de um experimento aleatório: 
 Pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas
condições.
 Podemos descrever todos os possíveis resultados.
Continuação
 Espaço amostral: conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento. É indicado pela letra . Os
elementos do espaço amostral serão chamados de
“pontos amostrais”
EXEMPLOS
Nos exemplos dados anteriormente, os espaços
amostrais são:
1.  ={c, r}
2. ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
3.  ={(c, r), (c, c), (r, c), (r, r), c=cara e r=coroa}
4. ={Ao,..., Ko, Ap,..., Kp, Ae ,..., Ke, Ac,..., Kc}
5. ={t  t  0}
Continuação...
 Evento: Conjunto de resultados desejados do espaço
amostral, ou seja, um subconjunto de . Pode ser expresso
por um único ponto amostral ou uma reunião deles
EXEMPLOS
Lançam-se dois dados (D1 e D2). Enumerar os
seguintes eventos:
A: saída de faces iguais; 
B: saída de faces cuja soma seja igual a 10; 
C: saída de faces cuja soma seja igual a 12); 
D: saída de faces onde uma face o dobro da outra; 
E: saída de faces cuja soma seja menor que 2; 
F: saída de faces cuja soma seja menor que 15.
.
Continuação...
Solução
={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,6) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
Os eventos pedidos são: 
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 
B = {(4, 6), (5,5), (6, 4)} 
C = {(6, 6)}
D = {(1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 6), (6, 3)}
E =  (evento impossível) 
F =  (evento certo) 
Continuação...
 Evento simples: todo subconjunto do espaço amostral
com apenas um elemento. Exemplo:
Evento C: saída de faces cuja soma seja igual a 12 
C = {(6, 6)}
 Evento composto: todo subconjunto do espaço amostral
com mais de um elemento. Exemplo:
Evento B: saída de faces cuja soma seja igual a 10; 
B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} 
 Eventos mutuamente exclusivos: se a ocorrência de
um deles, implica na não-ocorrência do outro. Exemplo:
Evento C: saída de faces cuja soma seja igual a 12 
C = {(6, 6)}
Evento B: saída de faces cuja soma seja igual a 10 
B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
Continuação...
 Evento certo: Ocorre quando um evento coincide com o
espaço amostral.
EXEMPLOS
Evento F: saída de faces cuja soma seja menor que 15. 
F =  (evento certo)
 Evento impossível: Ocorre quando um evento é vazio.
EXEMPLOS
Evento E: saída de faces cuja soma seja menor que 2 
E =  (evento impossível)
Continuação...
CLASSE DE EVENTOS
DEFINIÇÃO: Classe de Eventos é um conjunto formado por
todos os eventos possíveis (subconjuntos) do espaço amostral.
É representado por F()
EXEMPLO
Consideremos um espaço amostral finito:
 = {e1, e2, e3, e4}, então:

{e1} {e2} {e3} {e4} 
F() = {e1, e2} {e1, e3) {e1, e4} {e2, e3) {e2, e4} {e3, e4} 
{e1, e2, e3} {el, e2, e4} {el, e3, e4} {e2, e3, e4} 
{e1, e2, e3, e4} 
Continuação...
Continuação...
Diagrama de Venn
É um dispositivo gráfico onde o espaço amostral é
representado por um retângulo e os eventos são
representados por círculos, conforme figura abaixo
A B

, Continuação...
Operações com eventos
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral.
Consider um espaço amostral finito, então:
 = {e1, e2, e3,..., en}. Sejam A e B dois eventos de F().
1. REUNIÃO 
DEFINIÇÃO: AB= {ei   ei  A ou ei B}, i = 1,2, ... ,n. 
A B

2. INTERSEÇÃO
DEFINIÇÃO: AB= {ei   ei  A e ei B}, i = 1,2, ... ,n.
A B

3. COMPLEMENTAÇÃO 
DEFINIÇÃO: 𝐴 =  - A = {ei   ei  A}.
A

Continuação...
Continuação...
A B

4. SUBTRAÇÃO 
DEFINIÇÃO: A - B= {ei   ei  A e ei B}, i = 1,2, ... ,n
Lei da Dualidade de Morgan 
1. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵
2. 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵
Exercício...
Continuação...
A1
A4
A2
A3
An 
....
PARTIÇÃODO ESPAÇO AMOSTRAL
Definição: Dizemos que os eventos A1, A2, A3,..., An
formam uma partição do Espaço Amostral  se:
1. Ai    i=1,2,3, ... N
2. AiAj=   i=j
3. i=1
n Ai= 
Problemas
1. Lançam-se três moedas. Enumerar o espaço amostral e os 
eventos: 
a) faces iguais; b) cara na 1ª moeda; 
c) coroa na 2ª e 3ª moedas. 
2. Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias 
com três crianças, em relação ao sexo das mesmas, segundo a 
ordem do nascimento. Enumerar os eventos: 
A=Ocorrência de dois filhos do sexo masculino; 
B=Ocorrência de pelo menos um filho do sexo masculino; 
C=Ocorrência de no máximo duas crianças do sexo feminino. 
Continuação...
3. Um lote contém peça de 5, 10, 15, ... , 30 mm de diâmetro.
Suponha que 2 peças sejam selecionadas no lote, Se x e y
indicam respectivamente os diâmetros da 1ª e 2ª peças
selecionadas, o par (x ; y) representa um ponto amostral.
Usando a plano cartesiano, indicar os seguintes evento
a) A={x=y} b) B={y>x} c) C={x=y-10)
4. Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral.
Exprimir os eventos abaixo, usando as operações reunião,
interseção e complementação.
a) Somente A ocorre; b) A e C ocorrem e b não;
c) A, B e C ocorrem; d) Pelo menos um ocorre;
e) Exatamente um ocorre; f) Nenhum ocorre;
g) Exatamente dois ocorrem; h) Pelo monos dois ocorrem;
i) No máximo dois ocorrem.
Definição de Probabilidade
Continuação...
Propriedades Fundamentais
 Se  for o conjunto vazio, então:
P()=0.
 Se for o evento complementar de A, então:
P( ) = 1 - P(A).
 Se A e B forem eventos quaisquer tais que A  B então: 
P(A)  P(B).
 Se A e B são dois eventos quaisquer, então:
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)
A A
Continuação...
Espaços amostrais finitos e equiprováveis
Um espaço amostral  é dito finito se  = {a1,a2,...,an}.
Considere o evento Ai = {ai} formado por um resultado
simples. A cada evento simples {ai} associaremos um
número pi, denominado de probabilidade de {ai},
satisfazendo às seguintes condições:
1. pi  0, i = 1, 2, ..., n.
2. p1 + p2 + ... + pn =1.
Continuação...
Exemplos
1. Três cavalos, A, B e C, estão numa corrida; A tem duas vezes
mais chance de ganhar que B e B tem duas vezes mais chance
que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um, isto
é, P(A), P(B) e P(C)? Qual é a probabilidade de que B ou C
ganhe?
Solução:
Seja P(C) = p. Como B tem duas vezes mais chance de
ganhar do que C, então P(B)=2p. Como A tem duas vezes mais
chance de vencer do que B, P(A) = 2P(B) = 2(2p) = 4p.
Sabemos que a soma das probabilidades tem que ser 1; então:
p + 2p + 4p = 1  7p = 1  p = 1/7.
Logo, P(A) = 4/7 ; P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7
Por definição, P(B  C) = P(B) + P(C) = 2/7 + 1/7 = 3/7
Continuação...
2. Sejam A e B eventos mutuamente exclusivos. Seja
P(A) = 0,20 e P(B) =0,30. Calcule as probabilidades:
a. P(A) b. P(B)
c. P(AB) d. P(AB)
e. P(AB) e. P(AB)
3. Suponha agora que os eventos A e B sejam
mutuamente exclusivos. Adicionalmente P(AB)=0,10.
Calcule as mesmas probabilidades.
Continuação...
Tabela de contingência
Revela a existência de eventos combinados, e
facilita o tratamento probabilístico de tais eventos.
É uma tabela que disponibiliza informações
diretamente nas linhas e colunas, e que além dessas
informações é possível visualizar também o número de
casos comuns às interseções de eventos.
Continuação...
EXEMPLO: Perguntou-se, a uma amostra de adultos
formados em engenharia, em três capitais do nordeste,
se eles atuavam na área. Os resultados estão a seguir.
Um adulto é selecionada ao acaso. Determine a
probabilidade de que:
a) Seja de Natal ou tenha respondido Sim
b) Seja de Recife e tenha respondido Não
c) Seja de J. Pessoa.
Resultado J. Pessoa Recife Natal Total
Sim 160 220 180 560
Não 135 80 95 310
Total 295 300 275 870
Continuação...
Probabilidade Condicional
EXEMPLO 1: Um lote é formado pelos seguintes artigos: 80 não
defeituosos e 20 defeituosos. Dois artigos são retirados do lote.
Sejam A={o 1 artigo é defeituoso} e B={o 2 artigo é defeituoso}.
Calcule P(A) e P(B)
a) com reposição; b) sem reposição.
Se extrairmos com reposição, P(A)=P(B)=20/100, pois cada
vez que estivermos extraindo do lote, existirão 20 peças defeituosas
no total de 100.
Se estivermos extraindo sem reposição, é ainda verdade que
P(A)=20/100. E sobre P(B)? É evidente que, a fim de calcularmos
P(B) é necessário conhecer a composição do lote no momento de se
extrair a segunda peça. Isto é, devemos saber se A ocorreu ou não.
Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir um novo
conceito. Se não vejamos.
Continuação...
Se o 1 artigo retirado é defeituoso então sabemos que
o evento A ocorreu, então a probabilidade do o 2 artigo ser
defeituoso sabendo-se que o 1 artigo é defeituoso será
representado por:
P(B/A)=19/99. (probabilidade da ocorrência do evento B dado
a ocorrência do evento A)
Se o 1 artigo retirado é não defeituoso então sabemos
que o evento A não ocorreu, então a probabilidade do o 2
artigo ser defeituoso sabendo-se que o 1 artigo é não
defeituoso será representado por:
P(B/A)=20/99. (probabilidade da ocorrência do evento B dado
a não ocorrência do evento A)
Continuação...
EXEMPLO 2: Consideremos 250 alunos que cursam o
primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos 100 são
homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e
140 cursam química (Q). A distribuição dos alunos a seguinte:
Um aluno sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de
que esteja cursando química, dado que mulher?
Sexo
CURSO
Total
Física(F) Química(Q)
Homens(M) 40 60 100
Mulheres(F) 70 80 150
Total 110 140 250
Continuação...
Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de
80
150
e
representamos por: P(Q/M)=
80
150
(probabilidade de que o
aluno curse química, condicionado ao fato de ser mulher)
Observamos porem, que P(M∩Q)=
80
250
e P(M)=
150
250
.
Para obtermos o resultado do problema basta considerar que:
P(Q/M) =
80
250
150
250
=
80
150
Logo P(Q/M)=
P(M∩Q)
P(M)
.
Continuação...
Probabilidade Condicional: Definição
A probabilidade de um evento A ocorrer, dado (ou
na condição de) que o evento B já ocorreu, será dado
por:
P A/B =
P(A B)
P(B)
para P(B)>0
Obs.:Sempre que calcularmos P(A/B), estaremos
essencialmente calculando P(A) em relação ao espaço
amostral reduzido B, em lugar de fazê-lo em relação ao
espaço original 
Continuação...
1. Dois dados são lançados ao acaso. Qual a probabilidade
da soma das faces obtidas ser igual a 6, dado que o
primeiro dado saiu um número menor que 3.
Solução:
={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,6) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,6) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,6) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,6) (6,6)}
A = {soma igual a 6} = {(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)}
B = {1º dado com nº < 3 } = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,2) (2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)}
A  B = {(1,5), (2,4)}
Logo P(A | B)= 
2
36
12
36
= 2/12 = 1/6
Exemplos:
Continuação...
1. Estudos realizados pela SDS da Paraíba, em relação a situação
do status de promoção de oficiais masculinos e femininos, são
apresentados na tabela abaixo (dados fictícios):
Depois de rever o registro de promoções, um comitê feminino
de oficiais levantou um caso de discriminação com base em que 288
oficiais masculinos receberam promoções mas somente 36 oficiais
femininas foram promovidas. A administração da polícia argumentou
que o número relativamente baixo de promoções para as oficias
femininas foi devido nãoà discriminação, mas ao fato de que há
relativamente poucas oficias mulheres na força policial. E agora,
como as mulheres podem analisar os dados para defender o seu
questionamento da acusação de discriminação?
Continuação...
Teorema da Multiplicação
A mais importante consequência da definição de
probabilidade condicional é o seguinte teorema:
Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo
espaço amostral , então:
P(A B)=P B xP A/B ou P A xP(B/A)
O teorema da multiplicação de probabilidades pode ser
generalizado para mais de dois eventos, assim:
Sejam A1, A2,..., An eventos quaisquer de um
mesmo espaço amostral , a probabilidade da ocorrência
simultânea de A1, A2,..., An é dada por:
P( i=1
n Ai)=P A1 .P A2/A1 .P(A3/A1∩A2)P(A4/A1∩A2∩A3)
… P(An/ A1∩A2…An−1)
Continuação...
Exemplos:
Uma caixa contém 4 lâmpadas boas e 2 queimadas.
Retira-se ao acaso 3 lâmpadas, sem reposição. Calcule a
probabilidade dessas 3 lâmpadas serem boas. Então
P(A1A2A3) = P(A1)xP(A2/A1)xP(A3/A1 A2) =
4
6
. 3
5
. 2
4
= 
1
5
Dois carros são selecionados em uma linha de
produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a
probabilidade de ambos os carros serem defeituosos.
Sejam os eventos: A = o 1o carro é defeituoso.
B = o 2o carro é defeituoso.
Logo P(A) = 5/12 e P(B/A) = 4/11, então:
,
P(AB) = P(A).P(A/B) = 5/12 x 4/11 = 5/33 = 0,1515
Continuação...
Teorema da probabilidade Total
Sejam A um evento qualquer do espaço amostral  e
B1, B2,..., Bk uma partição do mesmo espaço amostral ,
então:
P(A) = P(A / B1)P(B1)+P(A / B2)P(B2)+ ... +P(A / Bk)P(Bk)
Ou seja: P(A)= P A/Bi P(Bi)
Continuação...
EXEMPLO: No curso de Engenharia Mecânica 5% dos
homens e 2% das mulheres estão acima dos pesos ideais.
Sabe-se também que 60% dos estudantes são homens.
Sorteando-se aleatoriamente um estudante, calcule a
probabilidade de que ele esteja acima do peso.
Sejam: A = o estudante esta acima do peso.
M=a estudante seja mulher e H=o estudante seja homem
Então pelo teorema da multiplicação de probabilidade, teremos:
P(A)=P(A/M)P(M)+P(A/H)P(H)=0,02 x 0,4 + 0,05 x 0,6 = 0,04
Continuação...
Eventos independentes
Dois eventos A e B são independentes se a
probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela
ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A, ou seja:
P(A/B)=P(A) ou P(B/A)=P(B)
Assim A e B são eventos independentes se P(AB) = P(A).P(B).
Exemplo:
Lançam-se 3 moedas. Verificar se são independentes os seguintes
eventos: A: saída de cara na 1ª moeda; B: saída de coroa na 2ª e 3ª
moedas.
 = {(ccc), (ccr), (crc), (crr), (rcc), (rcr), (rrc), (rrr)} 
A= {(ccc), (ccr), (crc), (crr)}  P(A)=
4
8
=
1
2
B= {(crr), (rrr)}  P(B)=
2
8
=
1
4
(AB)= {(crr)}  P(AB)=
1
8
Como P(A).P(B)=
1
2
.
1
4
= 
1
8
⇒ P(AB)=P(A).P(B), temos que A e B são 
eventos independentes.
Continuação...
Teorema de Bayes
Sejam B1, B2, ..., Bk uma partição do espaço amostral ,
ou seja, eventos mutuamente exclusivos. Seja A um evento
qualquer associado a  , então:
P Bi/A =
P(Bi A)
P(A)
=
P A/Bi P(Bi)
P A/B1 P B1 +…+P A/Bk P Bk
Continuação...
Exemplo 16: Em uma turma 60% dos estudantes são homens
e 40% mulheres. Além disso, sabe-se que 1% dos homens e
4% das mulheres tem menos de 1,60m. Dado que um
estudante com menos de 1,60m foi sorteado aleatoriamente,
qual a probabilidade de ser mulher ?
Solução: Sejam os eventos: H={Homem}, M = {Mulher},
A = {menos de 1,60m}
P M/A =
P(M A)
P(A)
=
P(M A)
P(M A)+P(H A)
=
0,04 x 0,40
0,04 x 0,40 +(0,01x0,6)
=0,727
Continuação...
Exemplo: Uma determinada peça é produzido por três
fábricas: 1, 2 e 3. Sabe-se que 1 produz o dobro de peças que
2, e que 2 produz o mesmo número de peças que 3. Sabe-se
também que 2% das peças produzidas por 1 e por 2 são
defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por 3 são
defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um
deposito e em seguida uma é escolhida ao acaso. Qual a
probabilidade da peça escolhida seja defeituosa?. Sabendo-se
que a peça selecionada seja perfeita qual a probabilidade de
ter sido produzida pela fabrica 3?