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Introdução à Estatística - AULA 6-Variáveis aleatória

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Variáveis Aleatória (VA) 
Unidade II - Aula 06
Disciplina: Introdução à Estatística
Professor: ELMIRO
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
2014-2
Introdução
Ao descrevemos um espaço amostral associado um
experimento aleatório, necessariamente não especificamos que um
resultado individual seja um valor numérico.
Exemplos:
1. Lance uma moeda honesta três vezes e observe a sequência de
caras e coroas obtidas.
={kkk, kkc, ckk, kck, kcc, ckc, cck, ccc}, em que k =cara e c =coroa.
2. De um lote de 4 peças das quais 2 são defeituosas, peças são
extraídas até as 2 defeituosas sejam retiradas.
={DD, DPD, PDD, DPPD,...}, em que D =defeituosa e P =perfeita.
3. Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos.
 ={MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}, em que
F =feminino e M =masculino.
2
Continuação
Contudo, em muitas situações experimentais,
estaremos interessado na mensuração de algo e no seu
registro como um número.
Mesmo nos exemplos anteriormente poderemos
atribuir um número real a cada elemento do espaço amostral.
Exemplos:
1. Seja X o número de caras.
X(kkk)=3, X(kkc)=X(ckk)=X(kck)=2,X(kcc)=X(ckc)=X(cck)=1
e X(ccc)=0.
2. Seja X o número de peças retiradas.
X(DD)=2, X(DPD)=X(PDD)=3 e X(DPPD)=X(DPDP)=...=4.
3. Seja X o número de meninos.
X(MMM)=3, X(MMF)=X(MFM)=X(FMM)=2,
X(MFF)=X(FMF)=X(FFM)=1 e X(FFF)=0.
3
 Na realização de um fenômeno aleatório, é comum termos
interesse em um ou mais particulares resultados e a eles
associamos um número.
 Desta forma são obtidas funções dos resultados que são
de nosso interesse. Nesses casos, os elementos
resultantes são as quantidades de interesse.
 Após a realização do fenômeno teremos uma observação
conhecida que, no entanto, não é mais aleatória.
 Podemos considerar que a observação conhecida do
fenômeno aleatório, produz um particular valor observado
da variável aleatória.
 Assim, uma outra realização do fenômeno, fornecerá um
outro valor observado da variável, na maioria das vezes,
diferente do anterior.
Características
4
Continuação
Desejamos então atribuir um número real x a cada
resultado do espaço amostral .
O domínio de X é  , e os números na imagem são números
reais.
qualitativo
discreto
atributo v.a. 
quantitativo
contínuo

5
Continuação
 Como sabemos, características de interesse em diversas
áreas, estão sujeitas à variação.
 Essa variabilidade ocorre ao acaso pois resulta de uma
soma de fatores não-controlados.
 Toda vez que uma variável é influenciada pela
aleatoriedade, diz-se que esta é uma variável aleatória.
Exemplos: 1. número de livros de uma biblioteca,
2. peso de recém-nascidos.
 Usaremos letras maiúsculas (X, Y, Z, …) para indicar
variáveis aleatórias.
 Letras minúsculas (x, y, z, …) representarão valores
assumidos pelas variáveis aleatórias
6
Conceitos
Formalmente: Uma variável aleatória (v.a.) pode ser
entendida como uma variável quantitativa, cujo resultado
(valor) depende de fatores aleatórios.
Resumidamente, variável aleatória é uma função que
associa elementos do espaço amostral a valores numéricos,
ou seja, X :   
 
X
Variável
aleatória
X(s)s
7
Continuação...
 Exemplo:
Experimento Aleatório E: Lançamento de duas moedas;
Variável Aleatória X: Número de caras obtidas nas duas
moedas.
Espaço amostral associado a E:  = {(c, c), (c, r), (r, c), (r, r)}
x=0 → correspondente ao evento (r, r);
x=1 → correspondente ao evento (r, c), (c, r);
x=2 → correspondente ao evento (c, c).
 X:número de cara 
obtidas
(r, r)
(r, c)
(c, r)
(c, c)
0
1
2
8
Continuação
As variáveis aleatórias classificam-se em discretas ou
contínuas, dependendo do tipo de conjunto de valores que elas
podem assumir.
• Variável discreta: quando a variável assume valores num
conjunto finito ou infinito numerável.
Exemplos:
 Número de filhos.
 Número de funcionários de uma empresa.
 Número de tumores detectados por um exame.
 Número de peças defeituosas
9
Algumas definições
• Variável contínua: quando a variável assume valores de um
conjunto infinito não numerável.
Exemplos
 Tempo até a cura de uma doença
 Altura de árvores
 Peso de recém-nascidos
 Concentração de CO
2
na água
 Poluição sono.
10
Continuação
Observação: Um caso especial de variável aleatória discreta é
quando esta pode assumir um dentre dois valores possíveis.
Este tipo de variável recebe, em estatística, o nome de
variável “dicotômica” ou “binária”.
Exemplos:
 Classificar um tumor como maligno ou benigno
 Determinar, através de uma imagem de satélite, se
numa determinada área de floresta está ou não
ocorrendo uma queimada
 Em coletas de sangue, se o fator Rh é + ou –
11
Variáveis Aleatória Discreta
Função de Distribuição de Probabilidades
A função de distribuição de probabilidade de uma
variável aleatória qualquer X é uma descrição das
probabilidades associadas aos valores possíveis de X que
permite a definição de um modelo matemático apropriado a
cada situação.
Para uma variável aleatória discreta, esta distribuição é
frequentemente especificada por uma tabela composta dos
valores possíveis da V.A. juntamente com a probabilidade de
cada um destes valores.
Em alguns casos, é conveniente expressar a
probabilidade em termos de uma fórmula.
12
Exemplos:
1) Observar o sexo das crianças em famílias com três filhos.
={(MMM), (MMF), (MFM), (FMM), (MFF), (FMF), (FFM),(FFF)}
Defina X: nº de crianças do sexo masculino (M).
Então X é uma V.A. discreta que assume valores no conjunto 
X: {0, 1, 2, 3}.
2) Observar o tempo de reação a um certo medicamento. 
Defina X: tempo de reação ao medicamento. X é uma V.A.
contínua que assume qualquer valor real positivo.
X: {t+/ t≥0}
Continuação...
13
Exemplo 1:
E: lançamento de três moedas honestas;
X: número de caras obtidas.
 = {(c,c,c), (c,c,r), (c,r,c), (r,c,c) (c,r,r), (r,c,r), (r,r,c), (r,r,r)}
X: {0, 1, 2, 3}
Função Distribuição de probabilidade:
Uma função de probabilidade deve satisfazer:
 0≤P(X=x)≤1
 𝑖=1
𝑛 P(X=x) = 1
Continuação...
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
14
Exemplo 2:
Um dado é lançado duas vezes de forma
independente. Qual é a probabilidade da soma dos pontos ser
menor do que 6.
Solução:
E: lançamento de dois dados;
X: soma dos pontos obtidos nos dois dados:
 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.
X:{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)
Continuação...
15
Função distribuição de probabilidade
Então,
P (X < 6) = P(X=5) + P(X=4) + P(X=3) + P(X=2)
= 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36.
Poderíamos estar interessado em outras v.a’s, tais como:
1. Y: valor máximo obtido dentre os dois lançamentos
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=x)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
y 1 2 3 4 5 6
P(Y=y)
1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36 16
Continuação...
2. Z: diferença entre os pontos do 2º e do 1º lançamento
3. W: pontos do segundo lançamento
z -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
P(Z=z)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
w 1 2 3 4 5 6
P(W=w)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
17
, Função de distribuição acumulada
Definição:
A função de distribuiçãoacumulada de uma variável aleatória X
é a função FX: RR definida por:
FX(x) = P(X ≤ x) = t=1
x P(X=t)
Exemplo:
Determine a função de distribuição acumulada do
exemplo 2 obtida anteriormente para a V.A. Y
Solução.
A função de distribuição de probabilidade da V.A.
Y: “valor máximo obtido dentre os dois lançamentos” obtida é
y 1 2 3 4 5 6
P(Y=y)
1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36 18
Continuação...
Logo a função de distribuição acumulada será:
Fy(1)=P(Y=1)=1/36
Fy(2)=P(Y=1)+P(Y=2)=1/36+3/36=4/36
Fy(3)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)=1/36+3/36+5/36=9/36
Fy(4)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)=1/36+3/36+5/36+
+7/36=16/36
Fy(5)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=1/36+3/36+
+5/36+7/36+9/36=25/36
Fy(6)=P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)+P(Y=6)=
=1/36+3/36+5/36+7/36+9/36+11/36=36/36=1
19
Continuação
Então
0 se y<1
01/36 se 1≤ y<2
04/36 se 2≤ y<3
Fy(y)= 09/36 se 3≤ y<4
16/36 se 4≤ y<5
25/36 se 5≤ y<6
1 se y≤6
Representação gráfica
0
1/36
4/36
9/36
16/36
25/36
1
1 2 3 4 5 6 Y
F(y)
20
Continuação
Exercício: Considere uma variável aleatória X com a seguinte
função de probabilidade:
P(X=k) = 
c, para k=1, 3, 5
2c, para k = 2, 4
a) Determine o valor da constante “c” que torna a distribuição
acima uma legítima distribuição de probabilidade.
b) Determine a função de distribuição acumulada F(x) e
construa o gráfico.
c) Calcule a P(X>1), P(X≥3), P(X≤4), P(5/2<X≤5).
21
Continuação
Exercício:
1. Seja X uma variável aleatória discreta com função de
distribuição acumulada dada por:
a) F(-2)=0,3, F(0)=0,5, F(1)=0,6, F(2)=0,8 e F(5)=1.
b) Calcule P(-1≤X≤4).
22

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