Introdução à Estatística - AULA 7-Esperança e Variancia

Prévia do material em texto

Esperança e Variância de uma 
Variáveis Aleatória
Unidade II - Aula 07
Disciplina: Introdução à Estatística
Professor: ELMIRO
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
2014-2
Introdução
Nos modelos matemáticos aleatórios são empregados
alguns valores numéricos, denominados parâmetros, para
caracterizar a distribuição de probabilidade.
Logo, a cada distribuição de probabilidade podemos
associar certos parâmetros os quais fornecem informações
sobre a distribuição.
São eles:
MÉDIA (Esperança)
VARIÂNCIA
OBJETIVO: Definir medidas para as variáveis aleatórias que
sintetizem características relevantes de uma distribuição de
probabilidade.
Esperança de Uma V.A. discreta
Definição:
Valor Esperado (média): Dada a V.A. discreta X,
assumindo os valores x1, x2, ..., xn, chamamos de valor médio
ou valor esperado ou esperança matemática de X, o valor:
μ(X) = E(X) = x1P(X=x1)+x2P(X-x2)+...+xnP(X=xn) ou
μ(X) = E(X) = 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖P(X=xi)
Exemplo:
Calcule a Esperança matemática da V.A X: soma dos
pontos obtidos nos dois dados:
Solução: A distribuição de probabilidade da V.A. X é:
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X=X)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Continuação...
Logo:
E(X)= 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖P(X=xi) =2
1
36
+3
2
36
+4
3
36
+5
4
36
+6
5
36
+7
6
36
+8
5
36
+9
4
36
+
+10
3
36
+11
2
36
+12
1
36
E(X)=
2
36
+
6
36
+
12
36
+
20
36
+
30
36
+
42
36
+
40
36
+
36
36
+
30
36
+
22
36
+
12
36
=
256
36
= 7
E(X)=7
A Média da V.A. X: soma dos pontos obtidos nos dois
dados é igual a 7(sete).
Propriedade da Esperança 
1. A média de uma constante é a própria constante.
E(k)=k
2. Multiplicando-se uma variável aleatória X por uma
constante, sua média fica multiplicada por essa constante.
E(kX)=kE(X)
3. A média da soma ou da diferença de duas variáveis
aleatórias é, respectivamente, a soma ou diferença das
médias.
E(X  Y)=E(X)  E(Y)
Observação: Note que toda função de uma variável aleatória
X é também uma variável aleatória. Podemos, portanto, falar
na esperança de X2, 2X+1, dentre outras. Por exemplo:




1i
i
2
i
2 )p(xx)E(X
Variância
Variância: Seja X uma variância de uma variável
aleatória com esperança dada por E(X). Então a Variância de
X, representada por Var(X) = 𝜎𝑥
2 é definida por:
𝜎𝑥
2=V(X) = E[X-E(X)2] = E(X2)-[E(X)]2
A variância nos dá a dispersão dos valores da variável
em relação ao valor esperado.
Observação: Nota-se que se uma variável aleatória é medida
em certa unidade, portanto a variância dessa variável é
expressa no quadrado dessa unidade. Para fins de
comparação e facilidade de interpretação introduz-se o
conceito do desvio padrão da variável aleatória, denotado por
𝜎𝑥 , que é definido como a raiz quadrada positiva da variância,
isto é: 𝜎𝑥 = 𝜎𝑥
2
Exemplo 1:
Determine a Variância da V.A. X:soma dos pontos
obtidos nos dois dados:
Solução:
Do exemplo anterior, sabemos que: E(X)=7.
E(X2)= 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
2P(X=xi) = 2
2 1
36
+32
2
36
+42
3
36
+52
4
36
+62
5
36
+72
6
36
+82
5
36
+
+92
4
36
+102
3
36
+112
2
36
+122
1
36
E(X2)=4
1
36
+9
2
36
+16
3
36
+25
4
36
+36
5
36
+49
6
36
+64
5
36
+81
4
36
+100
3
36
+
+121
2
36
+144
1
36
Continuação...
Continuação...
E(X2)=
4
36
+
18
36
+
48
36
+
100
36
+
180
36
+
294
36
+
320
36
+
324
36
+
300
36
+
242
36
+
144
36
=
1974
36
=54,83.
Logo:
V(X) = E(X2)-[E(X)]2 = 54,83 – 72 = 54,83-49 = 5,83
V(X) = 5,83
Desvio Padrão:
DP(X)= σx = 5,83=2,41.
DP(X)= 2,41
Propriedade da Variância.
1. A variância de uma constante é zero.
2. Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante 
sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante.
3. Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável 
aleatória, sua variância não se altera.
4. A variância da soma ou da diferença de duas variáveis 
aleatórias é dada por:
onde 
OBS.: Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então
, consequentemente, cov(X,Y)=0, logo 
0V(K) 
V(X)KV(KX) 2
V(X)X)V(K 
Y)cov(X,2V(Y)V(X)Y)V(X      E(X)E(Y)E(XY)E(Y)YE(X)XEY)cov(X, 
E(X)E(Y)E(XY)  V(Y)V(X)Y)V(X 
Continuação...
Exercício 1:
Uma livraria mantém extensos registros das vendas
diárias dos livros. Com os dados coletados construiu a
seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória X =
número de livros vendidos por semana:
a) Calcule o número esperado de livros vendidos por semana.
b) Calcule a Var(X).
c) Calcule a probabilidade de se vender mais que 2 livros por
semana.
d) Calcule a probabilidade de se vender no máximo um livro.
e) O lucro da livraria é obtido através da relação Y=3X2+X-2.
Qual o lucro esperado da livraria?
x 0 1 2 3 4 5
P(X=X) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10