ufpa-pcna-fisica-1

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Universidade Federal do Pará 
Pró- Reitoria de Extensão 
Diretoria de Assistência e Integração Estudantil. 
 
 
 
 
 
 
 
Projeto de Cursos de Nivelamento de Aprendizagem em 
Ciências Básicas para as Engenharias (PCNA) 
 
 
Material de Estudo 
Física Elementar
 
 
PCNA-FÍSICA ELEMENTAR 
 
Equipe Responsável pelo Projeto 
 Alcebíades Negrão Macedo (Diretor Adjunto do ITEC) 
 Alexandre Guimarães Rodrigues (Elaboração/Coordenação Geral/Orientação 
na área de Física Elementar/Comissão de Ensino do ITEC) 
 Ana Kláudia Perdigão (Elaboração/Coordenação/Comissão de Ensino do ITEC) 
 Jocy Maciel Lopes (Elaboração/Coordenação/Orientação na área de 
Matemática Elementar/Comissão de Ensino do ITEC) 
 Lênio José Guerreiro de Faria (Elaboração/Orientação na área de Química 
Elementar/Comissão de Extensão do ITEC) 
 Maria Emilia de Lima Tostes (Diretora do ITEC) 
 Marlice Cruz Martelli (Elaboração/Coordenação/Orientação na área de Química 
Elementar/Comissão de Extensão do ITEC) 
 Rodrigo Melo e Silva de Oliveira (Elaboração/Coordenação/Orientação na área 
de Matemática Elementar) 
 Rosana Paula de oliveira Soares (Elaboração/Coordenação/Comissão de 
Ensino do ITEC) 
 
Equipe responsável pela Elaboração do Material: 
Orientação: 
 Alexandre Guimarães Rodrigues 
 
Monitores: 
 Antônio Jorge Junior 
 Luana Cardoso Grangeiro 
 Lucas Daniel de Souza 
 Moisés Andrade de Jesus 
 Ramon Cristian Araújo 
 
Colaboradores: 
 Breno Cesar César Oliveira Imbiriba (docente – NUMA) 
 Miguel Imbiriba (docente – ITEC/Diretor da FAESA) 
 Vitor Façanha (docente-ICEN-Fac. Física) 
 Laboratório de Demonstrações (Projeto de Extensão – Faculdade de Física) 
 Gina Barbosa Calzavara (Comissão de Extensão do ITEC) 
 
 
 
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Sumário 
 
1. CIÊNCIAS, GRANDEZAS FÍSICAS, 
UNIDADES...........................................................3 
1.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ........ 3 
1.2 A NATUREZA DA FÍSICA ...................... 3 
1.3 GRANDEZAS E DIMENSÕES................ 3 
1.4 ANÁLISE DIMENSIONAL ....................... 3 
1.5 CONVERSÃO DE UNIDADES ............. 4 
1.6 INCERTEZAS E ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS ......................................... 5 
1.7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
BÁSICAS ..................................................... 6 
 
2. ANÁLISE VETORIAL BÁSICA ................ 8 
 2.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ........ 8 
2.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VETORES .. 8 
2.3 ESCALARES E VETORES .................... 8 
2.4 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES ... 9 
2.5 COMPONENTES DE UM VETOR ........ 11 
2.6 VETORES UNITÁRIOS OU VERSORES 
 ................................................................... 12 
2.7 OPERAÇÕES COM VETORES ........... 14 
2.8 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES ..... 14 
2.9 EXERCÍCIOS ....................................... 17 
3. CINEMÁTICA EM UMA DIMENSÃO (1D)... 20 
3.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ...... 20 
3.2 REFERENCIAIS ................................... 20 
3.3 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ........... 20 
3.4 VELOCIDADE ESCALAR E VETOR 
VELOCIDADE ............................................ 21 
3.4.1 GRANDEZAS ESCALARES E 
VETORIAIS: .............................................. 21 
 3.4.2 VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA ..... 21 
3.4.3 VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA ..... 22 
3.4.4 VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
 ................................................................... 22 
3.5 ACELERAÇÃO .................................... 23 
3.5.1 ACELERAÇÃO MÉDIA E 
ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA ................. 23 
3.6 EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA PARA 
ACELERAÇÃO CONSTANTE ................... 23 
3.7 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DA 
CINEMÁTICA ............................................ 24 
3.8 CORPOS EM QUEDA LIVRE ............ 25 
3.9 ANÁLISE GRÁFICA DA VELOCIDADE E 
DA ACELERAÇÃO .................................. 26 
3.10 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO 
CIRCULAR..................................................27 
 3.11 PERÍODO E FREQUÊNCIA ............ 27 
3.12 VELOCIDADE ESCALAR (LINEAR) 28 
3.13 VELOCIDADE ANGULAR ................. 29 
3.14 ACELERAÇÃO CENTRÍPETA .......... 29 
3.15 ACELERAÇÃO VETORIAL ............... 29 
3.16 EXERCÍCIOS......................................30 
4. CINEMÁTICA EM DUAS DIMESÕES(2D) ... 33 
4.1 OBJETIVO DE APRENDIZAGEM ........ 33 
4.2 DESLOCAMENTO ............................... 33 
4.3 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO ......... 33 
4.4EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA EM 2D . 34 
4.5 MOVIMENTO DE PROJÉTEIS ............ 35 
4.6 VELOCIDADE RELATIVA .................... 36 
4.7 EXERCÍCIOS ....................................... 36 
5. NOÇÕES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E 
INTEGRAL NA CINEMÁTICA .......................... 39 
5.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ..... 39 
5.2 COEFICIENTE ANGULAR E 
INCLINAÇÃO ...................................... 39 
5.3 CONCEITO ......................................... 40 
5.4 NOTAÇÕES ........................................ 41 
5.5 PROPRIEDADES DA DERIVADA ........ 41 
5.6 APLICAÇÃO NA FÍSICA ..................... 43 
5.7 APLICAÇÃO NA ENGENHARIA ......... 49 
5.8 EXERCÍCIOS (CINEMÁTICA) .............. 50 
 
 
3 
 
5.9 INTEGRAL .......................................... 51 
 5.10 OBJETIVO..........................................51 
5.11 CONCEITO DE INTEGRAL ................ 51 
5.12 NOTAÇÃO.......................................... 52 
5.13 PROPRIEDADES DA INTEGRAL....... 52 
5.14 APLICAÇÃO NA CINEMÁTICA ......... 53 
5.15 EXERCÍCIOS (INTEGRAL).................58 
 
6. LEIS DE NEWTON ........................................ 59 
6.1 1ª. LEI DE NEWTON ............................ 59 
6.2 2ª. LEI DE NEWTON ............................ 60 
6.2.1 RELAÇÃO ENTRE FORÇA E 
ACELERAÇÃO ........................................... 60 
6.3 3ª LEI DE NEWTON ............................. 61 
6.4 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ........... 61 
6.5 EXERCÍCIOS ....................................... 63 
7. APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON ...... 65 
7.1 OBJETIVO DE APRENDIZAGEM ........ 65 
7.2 FORÇA GRAVITACIONAL ................... 65 
7.3 FORÇA NORMAL ................................. 66 
7.4 ATRITO ................................................ 67 
7.5 TENSÃO ............................................... 67 
7.6 EXERCÍCIOS ....................................... 67 
REFERÊNCIAS 
BIBLIOGRÁFICAS.............................................76 
 
 
 
 
 
4 
 
 1.CIÊNCIAS, GRANDEZAS FÍSICAS, 
UNIDADES. 
1.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM: 
VOCÊ APRENDERÁ: 
 O conceito de física e a sua natureza. 
 As grandezas fundamentais e as unidades 
usadas pelos físicos para medi-las. 
 Análise dimensional. 
 Conversão de unidades e como não 
perder de vista os algarismos mais 
significativos nos seus cálculos. 
 Conceitos básicos de trigonometria. 
1.2 A NATUREZA DA FÍSICA: 
A ciência e a engenharia se baseiam em 
medições e comparações. Assim precisamos de 
regras para estabelecer de que forma as 
grandezas devem ser medidas e comparadas, e 
de experimentos para estabelecer as unidades 
para essas medições e comparações. A física é 
uma ciência experimental, e assim como a 
química e a matemática, forma a base de toda as 
engenharias. Nenhum engenheiro pode projetar 
uma tela plana de TV, uma nave espacial, um 
reator ou até mesmo uma ratoeira mais eficiente, 
sem antes entender os princípios básicos da 
física. 
1.3 GRANDEZAS E DIMENSÕES: 
Os experimentos físicos exigem medidas, e 
normalmente usamos números para descrever os 
resultados das medidas. Qualquer número usado 
para descrever umfenômeno físico denomina-se 
grandeza física. Por exemplo, duas grandezas 
físicas para descrever você são o seu peso e a 
sua altura. Para cientistas e engenheiros, em 
grande parte do mundo, o sistema padrão 
utilizado é conhecido como Sistema 
Internacional ou SI. Existem outros sistemas 
como CGS e o sistema de Engenharia Britânico 
(BE). 
UNIDADES SI CGS BE 
Comprimento Metro(m) Centímetro 
(cm) 
Pé(ft) 
Massa Quilograma 
(kg) 
Grama(g) Slugs(sl) 
Tempo Segundo(s) Segundo(s) Segundo 
(s) 
RELAÇÕES IMPORTANTES 
1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm 
1 kg = 1000 g 
1 ton = 1000 kg 
1 h = 60 min = 3600 s 
1 min = 60 s 
 
1.4 ANÁLISE DIMENSIONAL: 
Em física, o termo dimensão é usado para se 
referir à natureza física de uma grandeza. A 
preocupação com a dimensionalidade de uma 
grandeza ou de uma fórmula antecede a questão 
da unidade usada. Por exemplo, para medir a 
distância entre dois objetos podemos utilizar fita 
métrica graduada em centímetro, decímetro ou 
metro. Entretanto, ninguém discute que essa 
medida deverá ser feita a partir de uma unidade 
de comprimento. Em outras palavras, a análise 
dimensional é usada para verificar relações 
matemáticas quanto à consistência das suas 
dimensões. 
 
 
5 
 
Na mecânica, parte da Física que envolve a 
cinemática e a dinâmica, a totalidade dos 
conceitos básicos dessa área pode ser expressa 
em termos de uma combinação de dimensões 
fundamentais. São elas: 
 Comprimento [L], 
 Tempo [T], 
 Massa [M] 
Exemplo: Considere um carro que parte do 
repouso e acelera até uma velocidade v em um 
tempo t. Desejamos calcular a distância x 
percorrida pelo carro, mas não temos a certeza 
de se a relação correta é x = 
 
 
.v.t² ou x = 
 
 
.v.t. 
Podemos verificar as grandezas em ambos os 
lados da equação para vermos se possuem as 
mesmas dimensões da seguinte maneira: 
Na equação x = 
 
 
.v.t², aplicamos as dimensões 
[L], [T], teremos: 
[L] = [
 
 
].[T]²  [L]= [L].[T] 
A dimensão do lado esquerdo da equação não 
coincide com a dimensão do lado direito. Logo, a 
relação não está correta, pois não faz sentido 
trabalharmos com uma fórmula do tipo POSIÇÃO 
= VELOCIDADE. Afinal, estamos medindo 
posição ou velocidade? Daí a necessidade de 
que a dimensão do “lado esquerdo” da fórmula 
seja igual à do “lado direito” e, caso seja 
composta por mais de uma parcela, essas devem 
ter a mesma dimensionalidade entre si e a 
mesma compatibilidade com a descrição da 
fórmula em questão. Portanto, toda fórmula, 
independentemente do contexto em questão, 
deve ser dimensionalmente consistente. Caso 
contrário deve ser reanalisada ou simplesmente 
descartada. Lembre-se disso ao final das suas 
resoluções de problemas e exercícios! 
Para a equação x = 
 
 
.v.t, temos: 
[L] = [
 
 
] . [T]  [L] = [L] 
A dimensão em ambos os lados coincidem, logo 
essa equação está dimensionalmente correta. 
1.5 CONVERSÃO DE UNIDADES 
Uma vez que qualquer grandeza pode ser 
medida em diferentes unidades é importante 
saber como converter um resultado expresso em 
uma unidade(s) para outra(s) unidade(s). A 
conversão pode envolver uma única unidade, 
como por exemplo, converter 1km para metros, 
1km = 103m. Pode também envolver mais de uma 
unidade. Por exemplo, converter uma velocidade 
dada em km/h para m/s. Neste caso, precisamos 
expressar quilômetro em metros e hora em 
segundos. Em todos os casos de conversão de 
unidades pode-se afirmar que não há nada mais 
envolvido que as operações de multiplicação e 
divisão. As regras de conversão podem ser 
sintetizadas a partir de um cálculo simples 
envolvendo regra de três. É necessário que se 
diga, embora óbvio, que só é possível converter 
uma unidade para outra unidade quando 
sabemos o quanto vale uma unidade de medida 
em termos da outra e vice-e-versa. 
Façamos o caso da conversão de velocidade de 
km/h  m/s. Sabemos que 1 quilômetro possui 
1000 metros e que 1 hora possui 3600 segundos 
(60x60s). Logo, 1km/h=1000m/3600s≈0,2778m/s. 
Sabemos quanto vale 1km/h em m/s. E quanto 
 
 
6 
 
vale 1m/s em termos de km/h? Vamos para a 
regra de três! 
1km/h ------ 0,2778m/s 
 x ------- 1m/s 
A leitura é feita da seguinte forma: 1km/h vale 
0,2778m/s. 1m/s (que ainda não sabemos quanto 
vale em km/h) em termos de km/h vale x 
(incógnita). Em seguida fazemos uma 
multiplicação em diagonal (repare que de um lado 
temos somente uma unidade (km/h) e do outro 
lado somente a outra unidade (m/s)). Assim 
ficamos com 
 1km/h.1m/s = x.0,2778m/s 
Para finalizar passamos dividindo o termo que 
está multiplicando x. 
 
 
 
 
Portanto, x, que é igual a 1km/h escrito em 
termos de unidade de velocidade em m/s vale 
3,6m/s. 
A forma de montar uma regra de três é sempre 
simples. Mas atenção! Fazer uma mudança de 
unidades não altera a dimensão da grandeza que 
você está trabalhando! 
Exemplo 1: A maior queda d‟água do mundo é 
Salto do Anjo na Venezuela, com uma altura total 
de queda de 3212 ft. Expresse esta queda em 
metros. 
Obs: ft é o símbolo de uma medida de 
comprimento no sistema métrico inglês. “ft” é a 
contração de feet do idioma inglês que quer dizer 
“pé”. 1 “pé”, ou melhor, 1ft=30,48cm=0,3048m 
Estratégia de raciocínio: 
1 ft = 0,3048m. A pergunta é: quanto vale 3212ft 
expresso em metros? Vale x metros. É o que 
queremos descobrir. Vamos montar nossa regra 
de três! 
1ft ------ 0,3048m 
 3212ft ------ x 
A regra de três foi montada corretamente. Agora 
é só fazer a multiplicação em diagonal e isolar o 
fator x. 
3212ft.0,3048m = x.1ft 
x = 979,0m 
Não se esqueça de fazer o corte nas dimensões 
também! ft do lado esquerdo corta com ft do lado 
direito da equação e a resposta é dada em 
metros, conforme desejamos. 
1.6 INCERTEZAS E ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS 
As medidas sempre envolvem incertezas. Em 
muitos casos, a incerteza de um número não é 
apresentada explicitamente. Em vez disso, ela é 
indicada pelo número de dígitos confiáveis, ou 
algarismos significativos, do valor da medida. Por 
exemplo, medimos a espessura da capa de um 
livro e encontramos o valor 2,91mm, esse valor 
apresenta três algarismos significativos. Com 
isto, queremos dizer que os dois primeiros 
algarismos são corretos, enquanto o terceiro 
dígito é incerto. O último dígito está na casa dos 
centésimos, de modo que a incerteza é 
aproximadamente igual a 0,01mm. 
 
 
7 
 
1.7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS: 
A trigonometria é uma área da matemática muito 
aplicada na física, sobretudo nos tipos de 
problemas tratados pela mecânica. Em especial, 
três funções trigonométricas básicas são mais 
utilizadas. São essas: o seno, o cosseno e a 
tangente de um determinado ângulo. Podemos 
definir essas funções a seguir em termos de 
símbolo que aparecem no triângulo retângulo 
abaixo: 
 
Fig. 1.1. Triângulo Retângulo 
Pelo teorema de Pitágoras, determina-se que: h² 
= h0² + ha² 
h = comprimento da hipotenusa de um triângulo 
retângulo 
h0 = comprimento do cateto oposto ao ângulo θ 
ha = comprimento do cateto adjacente ao ângulo 
θ 
Em que: 
sen θ = 
 
 
 , cos θ =
 
 
 e tan θ = 
 
 
 
O seno, o cosseno e a tangente são números 
sem unidades (nem dimensões) porque cada um 
é a razão entre os comprimentos de dois lados de 
um triângulo retângulo. 
Exemplo: Em umdia de sol, um edifício alto faz 
sombra de 67,2 m de comprimento. O ângulo 
entre os raios de sol e o chão é de θ = 50,0º, 
como mostrado na figura abaixo. Determine a 
altura do edifício. 
 
Fig. 1.2. Edifício Alto e suas projeções. 
 
Estratégia de raciocínio: Desejamos determinar 
a altura do edifício. Para isso, analisamos as 
informações contidas no triângulo retângulo 
sombreado da figura dada. São elas: a altura 
como comprimento h0 do cateto oposto ao ângulo 
θ, o comprimento da sombra é o comprimento ha 
do cateto adjacente ao ângulo θ. Sabemos que a 
razão entre o comprimento do cateto oposto e o 
comprimento do cateto adjacente é a tangente do 
ângulo θ que pode ser usada para se determinar 
a altura do prédio. 
Solução: Usamos a função tangente conhecida 
da seguinte maneira, com θ = 50,0º e ha = 67,2 m: 
Desse modo: 
tan θ= h0 / ha 
Assim: 
 h0 = ha tan θ = (67,2 m)(tan 50,0º) = (67,2 
m)(1,19) = 80,0 m 
O valor da tan 50,0º é determinado usando-se a 
calculadora. 
 
Exemplo: A profundidade de um lago aumenta 
gradativamente com um ângulo θ, como indicado 
na figura abaixo. Por questões de segurança, é 
necessário se determinar a profundidade do lago 
em várias distâncias a partir da margem. Para 
fornecer informações a respeito da profundidade, 
um guarda-vidas rema até uma distância de 14,0 
m da margem em direção ao interior do lago e 
solta uma linha de pesca com um peso. Medindo 
o comprimento da linha, o guarda-vidas 
 
 
8 
 
determina a profundidade como sendo igual a 
2,25 m. 
a) Qual o valor de θ? 
b) Qual seria a profundidade d do lago a uma 
distância de 22,0 m a partir da margem? 
 
Fig. 1.3. Lago e suas projeções. 
 
Estratégia de raciocínio: Podemos observar 
que próximo a margem, os comprimentos dos 
catetos oposto e adjacente do triângulo retângulo 
formado na figura do lago são h0 =2,25 m e ha 
=14,0 m, em relação ao ângulo θ. Após a 
identificação dessas informações, podemos usar 
o arco tangente (tan-1) para determinar o ângulo 
do item (a). Para determinar o item (b), 
consideramos que os catetos opostos e 
adjacentes passam a ser os mais afastados da 
margem onde h0 = d e ha =22,0 m. Assim, com o 
valor de θ obtido no item (a), a função tangente 
pode ser usada para encontrar o valor da 
profundidade desconhecida. Considerando a 
forma com que a profundidade do lago aumenta 
com a distância na figura do lago, é de se esperar 
que a profundidade desconhecida seja maior do 
que 2,25 m. 
Solução: 
a)Usando a função arco tangente conhecida, 
chegamos a: 
θ = tan-1 (h0 / ha ) = tan
-1 (2,25 m/14,0 m) = 9,13º 
b) Com θ = 9,13º, a função tangente pode ser 
usada para determinarmos a profundidade 
desconhecida a uma distância maior da margem, 
onde h0 = d e ha = 22,0 m. Conclui-se que: 
h0 = ha tan θ 
d = (22,0 m)(tan 9,13º) = 3,54 m 
Temos que 3,54m é maior que 2,25 m, o que já 
era esperado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
2. ANÁLISE VETORIAL BÁSICA. 
2.1 OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
VOCÊ APRENDERÁ: 
 A diferença entre grandezas escalares e 
vetoriais e como somar e subtrair vetores 
algebricamente. 
 Quais os componentes de um vetor e 
como usá-los em cálculo 
 O que são vetores unitários e como usá-
los. 
2.2 CONCEITOS BÁSICOS DE VETORES 
Não é novidade que a física se vale da linguagem 
matemática para descrever o mundo natural a 
nossa volta. Tal linguagem se mostra adequada 
para representar fenômenos naturais ou 
produzidos em laboratório e também para 
descrever inúmeras situações presentes em 
nosso dia-a-dia. Muitos podem achar a linguagem 
matemática da qual a física se vale como 
abstrata, mas é esta “linguagem abstrata” que 
nos ajuda a entender o que se passa ao nosso 
redor. 
Para caracterizar muitos conceitos utilizados na 
física basta uma única unidade de medida. Como 
exemplos, citamos: temperatura, massa, tempo. 
Entretanto, em outros casos precisamos de mais 
informações para caracterizar uma grandeza 
física útil para descrever uma situação ou 
problema de interesse. Por exemplo, ao informar 
a localização de um determinado lugar a uma 
pessoa, precisamos não apenas informar o 
quanto essa pessoa vai andar, mas também para 
onde se deve ir. Ou seja, devemos informar a 
rota do percurso. Nem percebemos que estamos 
lidando com uma grandeza vetorial. Esse 
exemplo simples (rota de um percurso) de 
tratamento vetorial torna-se imprescindível para o 
transporte aéreo. Alguém imagina o voo das 
aeronaves sem uma determinação precisa de 
rotas aéreas? Outro exemplo simples para 
entender a necessidade de haver mais de uma 
informação para caracterizar grandezas vetoriais 
pode ser dado com a aplicação de uma força 
sobre um corpo. De que vale especificar a 
magnitude da força que é aplicada sobre um 
corpo sem dizer em que direção e sentido a força 
é aplicada? 
Muitos conceitos da física necessitam de uma 
caracterização vetorial completa para ficar bem 
definidos. Força é um desses conceitos. Saber 
caracterizar e manipular vetores é pré-requisito 
indispensável para a formação de qualquer 
engenheiro ou profissional da área de exatas. 
 
 2.3 ESCALARES E VETORES 
Algumas grandezas físicas como o tempo, 
temperatura, volume e massa podem ser 
descritas por um único número (incluindo 
quaisquer unidades) fornecendo o seu módulo. 
Este tipo de grandeza é chamada grandeza 
escalar. A grandeza vetorial é uma grandeza 
descrita por um módulo, uma direção e um 
sentido, e pode, portanto, ser representada por 
um vetor. Como exemplo já citado, temos a força 
para puxar ou empurrar um corpo. Para 
descrever completamente uma força é preciso 
fornecer o módulo da força, sua direção e o seu 
sentido (empurrar e/ou puxar). No caso do 
movimento de um avião, para descrevê-lo é 
necessário dizer a velocidade que ele se desloca, 
a direção (norte, sul, leste, oeste) e o sentido do 
seu movimento. A representação geométrica de 
um vetor é dada por uma seta, onde o tamanho 
da seta representa o módulo do vetor, a direção e 
o sentido da seta fornecem a direção e o sentido 
do vetor. Algebricamente, podemos designar um 
vetor por uma letra com uma pequena seta (para 
a direita) acima da mesma. Outra opção é colocar 
a letra que designa o vetor em negrito. Em geral, 
ao longo deste material didático faremos opção 
pela segunda escolha (em negrito). Para 
entendermos melhor os vetores e suas 
operações observe a representação do vetor 
deslocamento feita na figura abaixo: 
 
 
10 
 
 
Fig. 2.1. Representação do deslocamento de um 
carro. A flecha neste desenho representa um vetor 
deslocamento. 
Os vetores podem ser classificados como: 
Vetores paralelos - aqueles que possuem a 
mesma direção e o mesmo sentido possuindo ou 
não mesmo módulo. Se apresentarem mesmo 
módulo são iguais. 
 A 
 B 
Fig. 2.2. Representação de vetores paralelos. 
 
Vetores negativos - possuem mesmo módulo e 
direção do vetor positivo dado e sentido contrário 
a deste vetor. 
 A 
 -A 
Fig. 2.3. Representação de vetores antiparalelos. 
 
Vetores antiparalelos – possuem a mesma 
direção, mas sentidos contrários, possuindo ou 
não o mesmo módulo. 
O módulo de um vetor é representado da 
seguinte forma:(módulo de A) = |A| = A 
Como sabemos da matemática, o módulo fornece 
sempre um resultado numérico positivo. 
Trabalharemos com mais detalhes a expressão 
analítica do módulo do vetor ao longo do capítulo. 
Exemplo Conceitual: Há locais onde a 
temperatura é de +20ºC em uma certa época do 
ano e de -20ºC em outra época. Os sinais de 
mais e de menos que representam as 
temperaturas positiva e negativa implicam que a 
temperatura é uma grandeza vetorial? 
Estratégia de raciocínio e solução: Um vetor 
possui uma direção física associada a ele, para o 
leste ou para o oeste, por exemplo. A pergunta, 
então, é se tal direção está associada com a 
temperatura. Em particular, os sinais de mais e 
de menos que acompanham a temperatura, 
implicam este tipo de direção e sentido? Em um 
termômetro, os sinais algébricos simplesmente 
significam que a temperatura é um número 
menos ou maior do que zero em uma escala e 
não tem nada a ver com leste, oeste, ou qualquer 
outra direção física. A temperatura, então, não é 
um vetor. Ela é um escalar, e escalares podem, 
às vezes ser negativos. 
2.4 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES 
Suponha que uma partícula sofra um 
deslocamento A, seguido de outro 
deslocamento B. Podemos representar o 
deslocamento total pela letra R que representa o 
vetor resultante da soma vetorial ou 
simplesmente, vetor soma. A soma é feita 
desenhando a extremidade de um vetor com o 
início do outro. 
 
Fig. 2.4. Representação de soma de dois vetores. 
R = C = A + B 
Uma propriedade importante da soma de dois 
vetores é que a ordem em que os vetores são 
somados não importa. 
 
 
11 
 
R = A+B = B+A (lei comutativa) 
Podemos também somá-los construindo um 
paralelogramo 
 
Fig. 2.5. Representação de soma de dois vetores pela 
regra do paralelogramo. 
Quando os dois vetores são perpendiculares 
entre si, podemos somá-los aplicando o teorema 
de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor 
resultante. 
 
Fig. 2.6. Representação de soma de dois vetores 
perpendiculares. 
R = √ 
A soma de dois vetores paralelos: 
 
Fig. 2.7. Representação de soma de dois vetores 
paralelos. 
R = A + B 
A soma de dois vetores antiparalelos. 
 A 
 
 R -B 
Fig. 2.8. Representação de soma de dois vetores 
antiparalelos. 
R = A + (-B) 
 
 
 
 
 
2.4.1 A SOMA DE TRÊS OU MAIS VETORES 
Quando existem mais de dois vetores podemos 
agrupá-los em qualquer ordem para somá-los. 
Assim, se queremos somar os vetores A, B e C, 
podemos primeiro somar A e B e depois somar o 
resultado a C e também podemos somar o 
primeiro B e C e depois somar o resultado a A. A 
soma vetorial resultante é a mesma. 
R = (A + B) + C = (B + C) + A 
 (lei associativa) 
 
2.4.2 A SUBTRAÇÃO DE VETORES 
A subtração vetorial é efetuada da mesma foram 
que a soma vetorial. Se tivermos dois vetores A e 
B fornecendo um vetor resultante C segundo C = 
A + B representado na figura (a), podemos 
escrever esse resultado como A = C – B, que é 
um exemplo de subtração vetorial. Entretanto, 
podemos também escrever o este resultado 
como A = C + (- B) e tratá-lo como uma soma 
vetorial representado na figura 2.9.b. 
 
Fig. 2.9.a. Representação de soma vetorial. 
IMPORTANTE! 
“O FATO DE UMA GRANDEZA 
SER POSITIVA OU NEGATIVA 
NÃO NECESSÁRIAMENTE 
SIGNIFICA QUE A GRANDEZA 
É UM ESCALAR OU VETOR!” 
 
 
12 
 
 
Fig. 2.9.b. Representação de subtração vetorial. 
 
2.5 COMPONENTES DE UM VETOR 
2.5.1 COMPONENTES VETORIAIS 
Qualquer vetor pode ser expresso em termos de 
suas componentes. Em duas dimensões, as 
componentes vetoriais de um vetor A são dois 
vetores perpendiculares Ax e Ay, que são 
chamados de a componente vetorial x e a 
componente vetorial y, respectivamente e se 
somam vetorialmente de tal forma que A = Ax + 
Ay. 
 
Fig. 2.10. Representação de um vetor arbitrário A e 
suas componentes vetoriais x e y. 
As componentes x e y somadas transmitem o 
mesmo significado que o vetor original A. 
Podemos determinar as componentes de A a 
partir do triângulo retângulo mostrado na figura 
acima da seguinte forma: 
Ax = A. cosθ e Ay = A. senθ 
Onde θ é o ângulo que o vetor A faz com o 
semieixo x positivo e A é o modulo do vetor A. 
Uma vez que um vetor tenha sido decomposto 
em relação a um conjunto de eixos, as 
componentes podem ser usadas no lugar do 
vetor, assim: 
A = √ e tanθ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Um vetor deslocamento r possui um 
módulo r = 175,0 m e uma inclinação de 50,0º, 
em relação ao eixo dos x como mostrado na 
figura abaixo. Determine as componentes x e y 
deste vetor. 
 
Fig. 2.11. Representação do vetor deslocamento r e 
suas componentes x e y. 
Estratégia de raciocínio: De acordo com o 
nosso conhecimento de trigonometria básica, 
podemos observar o triângulo retângulo formado 
pelo vetor r e suas componentes x e y. Isto nos 
permite aplicar as funções trigonométricas seno e 
cosseno para determinar as componentes em 
questão. 
Solução: A componente y pode ser obtida 
usando o ângulo de 50,0º e a seguinte relação: 
senθ = y/ r 
y = r senθ = (175 m)(sen50,0º) = 134 m 
Seguindo o mesmo raciocínio, a componente x 
pode ser obtida da seguinte maneira: 
cosθ = x/ r 
IMPORTANTE! 
“AS COMPONENTES DE QUALQUER 
VETOR PODEM SER USADAS NO 
LUGAR DO PRÓPRIO DO VETOR EM 
QUALQUER CÁLCULO ONDE FOR 
CONVENIENTE FAZÊ-LO!” 
 
 
13 
 
X = r cos θ = (175 m)(cos50,0º) = 112 m 
Outra forma de determinar as componentes é por 
meio do ângulo α. Observe: 
Sabemos que: 
cosα = y/ r 
Desse modo: 
y = r cosα = (175,0 m)(cos 40,0º) = 134 m 
x = r senα = (175,0 m)(sem 40,0º) = 112 m 
O valor de 40,0º foi encontrado por meio do 
conhecimento da soma de ângulos internos de 
um triângulo que tem que ser igual a 180,0º. 
Então como são dados os valores de dois 
ângulos é possível determinar o valor do terceiro, 
neste exemplo, α. 
 
2.5.2 COMPONENTES ESCALARES: 
As componentes escalares de um vetor são 
definidas como números positivos ou negativos. 
Seja o vetor A = Ax+ Ay. A componente Ax possui 
um módulo que é igual a Ax e recebe um sinal 
positivo se Ax apontar no sentido positivo do eixo 
x e um sinal negativo se apontar no sentido 
negativo do eixo x. A componente Ay é definida 
seguindo o mesmo raciocínio. Observação 
importante: Se o vetor possui dimensão (por 
exemplo, dimensão de comprimento como é o 
caso de um vetor deslocamento), as 
componentes do vetor possuem a mesma 
dimensão do vetor. 
A tabela abaixo mostra um exemplo de 
componentes escalares. 
Componentes vetoriais Componentes 
escalares 
Ax = 8 metros na direção 
do eixo +x 
Ax = +8 metros 
Ay = 10 metros na direção 
do eixo -y 
Ay = - 10 metros 
 
2.6 VETORES UNITÁRIOS OU VERSORES 
Outro método de expressar componentes 
vetoriais consiste em usar vetores unitários. Um 
vetor unitário também conhecido como versor é 
um vetor que possui um módulo unitário e é 
adimensional. Possui a seguinte notação: 
 ̂ é um vetor unitário adimensional de 
comprimento 1 que aponta no sentido positivo do 
eixo dos x. 
 ̂ é um vetor unitário adimensional de 
comprimento 1 que aponta no sentido positivo do 
eixo dos y. 
Representaçãoem duas dimensões: 
 
 
 
Fig. 2.12. Representação do vetor A em termos das 
componentes Ax e Ay escritas em termos dos versores 
 ̂ e ̂. 
As componentes podem ser escritas como Ax = Ax 
 ̂ e Ay = Ay ̂. O vetor A é, então, escrito como 
A = Ax ̂ + Ay ̂. 
 
2.6.1 SOMA DE VETORES E SUAS 
COMPONENTES 
Uma terceira forma de somar vetores é combinar 
suas componentes eixo por eixo. Considere os 
vetores A e B e suas respectivas componentes 
Ax, Ay e Bx, By. A soma é dada por: 
 C = A + B  C = Cx + Cy 
 
 
14 
 
Cx = soma das componentes de A e B no eixo x = 
Ax + Bx 
Cy = soma das componentes de A e B no eixo y = 
Ay + By 
 C = Cx + Cy = (Ax + Bx) + (Ay + By) 
Observe as figuras a seguir: 
 
Fig. 2.13. Representação de vetores A e B fornecendo 
o vetor resultante C= (C = A + B) e as componentes 
vetoriais de A e B. 
 
Fig. 2.13. Representação de um vetor resultante C em 
função de suas componentes C = Ax + Bx + Ay + By 
 
Fig. 2.14. Representação de um vetor C e suas 
componentes (C = Cx + Cy ) formando um triângulo 
retângulo. 
Exemplo: Um corredor se desloca 145 m numa 
direção nordeste, que faz 20º com a direção norte 
tomado no sentido horário (representado pelo 
vetor deslocamento A) e depois 105 m em uma 
direção sudeste fazendo 35,0º com a direção 
leste também no sentido horário (representado 
pelo vetor deslocamento B). Determine o módulo, 
a direção e o sentido do vetor resultante para a 
soma destes dois deslocamentos. 
 
Fig. 2.15. Representação de vetor A e B somados 
fornecendo o vetor resultante C. 
Estratégia de raciocínio: Temos os vetores A e 
B. 
A figura dada nos mostra os vetores A e B, 
Suponhamos que o eixo y coincide com a direção 
norte. O primeiro passo é decompor cada um dos 
vetores nos eixos escolhidos para compor o 
sistema de coordenadas. Com isso achamos as 
componentes Ax, Bx e Ay, By. Em seguida 
fazemos a soma para determinar a resultante em 
cada eixo. Tendo a resultante para cada eixo 
aplicamos o teorema de Pitágoras para encontrar 
o eixo e relações da trigonometria para 
determinar direção e sentido do vetor resultante. 
Solução: Com as informações dadas na figura, 
montamos a seguinte tabela: 
Vetor Componente x Componente y 
A Ax = (145 m) sen 
20,0º = 49,6m 
Ay = (145 m) cos 
20,0º= 136 m 
B Bx = (105 m) cos 
35,0º= 86,0 m 
By = -(105 m) sen 
35,0º = -60,2 m 
C Cx = Ax + Bx = 
135,6 m 
Cy = Ay + By = 76 m 
Tabela 2.1 – Componente de vetores 
A terceira linha da tabela fornece as 
componentes x e y do vetor resultante C: Cx = Ax 
+ Bx e Cy = Ay + By. A figura seguinte nos mostra 
o vetor resultante C e suas componentes 
 
 
15 
 
vetoriais. E aplicando o teorema de Pitágoras no 
triângulo retângulo fornecido pela mesma, temos: 
 
Fig. 2.14. Representação de um vetor resultante C 
formando um triângulo retângulo com suas 
componentes. 
Desse modo: 
C = √ = √ 
O ângulo θ que C faz com o eixo x é: 
θ = tan-1 (Cx / Cy ) = tan
-1 (76 m / 135,6 m) = 29º 
 
2.7 OPERAÇÕES COM VETORES 
Do ponto de vista operacional (algébrico), lidar 
com vetores significa, independente da 
representação matemática em que o vetor é 
dado, combiná-los segundo regras de soma e 
multiplicação. Mais explicitamente, significa: 
saber como se processa a operação de soma 
algébrica entre dois ou mais vetores; o que 
acontece quando se multiplica um vetor por um 
escalar; e como se dão os dois tipos de produtos 
envolvendo vetores (veremos a seguir). 
Significado de somar vetores algebricamente:  
Suporte operacional à regra do paralelogramo 
Multiplicar um vetor por um escalar  altera a 
magnitude; não altera a direção; pode alterar o 
sentido (a depender do sinal do escalar). 
 
 
 
 
Fórmulas, cálculos e conceitos fundamentais da 
física são definidos em termos de produtos de 
vetores. Porém, o leitor talvez esteja se 
perguntando por que há dois tipos de 
multiplicação entre vetores. O que podemos 
afirmar com segurança é que ambos são bem 
definidos do ponto de vista matemático e servem 
a propósitos diferentes, porém igualmente 
importantes. 
Em linguagem livre, o produto escalar é uma 
maneira de dizer o quanto um vetor é “parecido” 
com o outro. Um produto escalar igual a zero 
entre dois vetores não nulos nos permite afirmar 
que esses vetores são ortogonais entre si. 
Podemos dizer neste caso que “um vetor não tem 
nada haver com o outro”(você talvez já tenha 
ouvido alguém dizer que Fulano e Cicrano(a) são 
ortogonais. Se eles não forem parecidos em 
nada, do ponto de vista matemático a afirmação 
faz sentido!). Conforme o nome expressa, o 
produto da multiplicação escalar entre dois 
vetores fornece como resultado uma grandeza 
escalar. 
O produto vetorial entre vetores pode ser 
pensado como uma maneira engenhosa de 
definir um produto entre dois vetores resultando 
em outro vetor. Veremos que além dessa 
operação ser correta do ponto de vista 
matemático é também muito útil para a física. 
Veremos, tanto no contexto da cinemática quanto 
no da dinâmica, vetores sendo expressos como 
resultado de produto vetorial entre dois vetores. 
 
2.8 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES 
Existem três formas de multiplicar vetores, porém 
nenhuma será igual a multiplicação algébrica. 
2.8.1 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR 
ESCALAR 
Podemos multiplicar um vetor arbitrário A por um 
escalar (número) w. Dessa operação obtemos um 
vetor resultante R com as seguintes 
características: 
IMPORTANTE! 
SE O ESCALAR NÃO FOR 
ADIMENSIONAL, O RESULTADO 
DIMENSIONAL DO PRODUTO É A 
DIMENSÃO DO ESCALAR 
MULTIPLICADA PELA DIMENSÃO 
DO VETOR. 
 
 
16 
 
R = A w 
| | 
 
 O módulo do vetor resultante é o módulo 
que resulta da multiplicação do módulo de A pelo 
módulo de w. 
 A direção do novo vetor é a mesma. 
 O sentido de R é o mesmo de A se w for 
positivo e, sentido oposto se w for negativo. 
 Para dividirmos A por w, multiplicamos A 
por 1/w. 
2.8.2 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR 
UM VETOR 
Existem duas formas de multiplicar um vetor por 
um vetor: uma forma conhecida como produto 
escalar que resulta em um escalar, a outra 
conhecida como produto vetorial que resulta em 
um vetor. 
2.8.3 PRODUTO ESCALAR 
A multiplicação de um vetor por outro vetor 
resultando em um escalar é denominada produto 
escalar. Dados dois vetores A e B, o produto 
escalar é escrito como A.B e definido pela 
equação: 
A.B = cos θ 
Onde é o módulo do vetor A, é o módulo 
do vetor B e θ é o ângulo formado entre os 
vetores dados. 
Observe a figura a seguir: 
 
Fig. 2.15. Representação da multiplicação de um 
vetor por um escalar. 
 
Podemos escrever a equação que define o 
produto escalar separando as componentes da 
seguinte forma: 
 
A.B = = (cos θ ) 
A propriedade comutativa se aplica ao produto 
vetorial, desse modo: 
A.B = B.A 
O produto escalar dos vetores A e B escritos em 
termos de seus vetores unitários assume a forma: 
A.B = (Ax ̂ + Ay ̂ + Az ̂).(Bx ̂ + By ̂ + Bz ̂) 
Que pode ser expandida aplicando-se a 
propriedade distributiva, calculando os produtos 
escalares das componentes vetoriais do primeiro 
vetor pelas componentes vetoriais do segundo 
vetor, resultando em: 
A.B = Ax Bx + Ay By + Az Bz 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Qual é o ângulo θ entre A = 3,0i - 4,0j 
e B = -2,0i +3,0k? 
Estratégia de raciocínio: Sabemos que o ângulo 
entre dois vetores aparece na definição deproduto de escalar: A.B = cos θ. 
Solução: Sabemos que é o módulo do vetor 
A e que é dado por: 
 = √ = 5,0 
E que é o módulo do vetor B dado por: 
IMPORTANTE! 
“SE O ÂNGULO θ ENTRE DOIS 
VETORES É 0º, A COMPONENTE DE 
UM VETOR EM RELAÇÃO AO OUTRO 
É MÁXIMA. SE O ÂNGULO É 90º, A 
COMPONENTE DE UM VETOR EM 
RELAÇÃO AO OUTRO É NULA. ISSO 
TUDO TAMBÉM ACONTECE COM O 
PRODUTO ESCALAR.” 
 
 
17 
 
 = √ = 3,61 
Podemos calcular o produto escalar escrevendo 
os vetores em termos dos vetores unitários e 
aplicando a propriedade distributiva: 
A.B = (3,0i – 4,0j).(-2,0i + 3,0k) 
A.B = (3,0i – 4,0j + 0,0k).(-2,0i +0,0j + 3,0k) 
A.B = (3,0i).(–2,0i)+(3,0i).(3,0k)+(-4,0j).(-2,0i)+ 
 (-4,0j).(3,0k) 
Em seguida, aplicamos o produto vetorial a cada 
termo desta última expressão. O ângulo entre os 
vetores unitários do primeiro termo (i e i) é de 0º 
e nos demais é de 90º. Assim temos, 
A.B = (-6,0).(1)+ (9,0).(0) + (8,0).(0) – (12).(0) = -
6,0 
Substituindo todos os resultados encontrados na 
equação do produto escalar, obtemos, 
 - 6,0 = (5,0).(3,61) cos θ 
θ = cos-1 
 
 
 = 109º 
2.8.4 PRODUTO VETORIAL 
A multiplicação de um vetor por outro vetor 
resultando em um terceiro vetor é denominada 
produto vetorial. Dados dois vetores A e B, o 
produto vetorial é escrito como AxB. O módulo do 
vetor C obtido pelo produto vetorial entre os 
vetores A e B é dado por 
C = sen θ, 
sendo θ o menor ângulo formado entre os vetores 
dados, uma vez que senθ e sen (360º – θ) 
apresentam sinais opostos. O produto AxB é lido 
como “A vetor B”. 
A direção do vetor resultante C é perpendicular 
ao plano definido por A e B. O seu sentido pode 
ser determinado pela Regra da Mão Direita. 
Superponha as origens de A e B sem mudar 
suas orientações. Já falamos que a direção do 
vetor resultante C é perpendicular ao plano 
definido por A e B. Se C=AxB, a receita para 
determinar o sentido de C é a seguinte. Vá de A 
para B pelo menor percurso angular entre os dois 
vetores. Quatro dedos da sua mão direita fazem 
o menor percurso angular de A para B e o dedo 
polegar estendido indica o sentido do vetor 
resultante. Se fizermos o mesmo percurso 
angular, mas agora de B para A, o sentido do 
vetor resultante indicado pelo dedo polegar 
estendido é invertido conforme indicado na figura 
2.1. 
 
Figura 2.1 – Regra da mão direita 
Isso traz uma importante consequência. Vemos 
que o produto vetorial entre vetores não é 
comutativo. Ou seja, AxB≠BxA. Vemos que o 
sentido do vetor resultante é invertido quando 
invertemos a ordem do produto (o módulo do 
vetor resultante é o mesmo para os dois casos). 
Portanto, AxB = -BxA. Vamos então resumir a 
toda a informação do produto vetorial entre 
vetores numa tabela: 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
2.9 EXERCÍCIOS: 
1. Em 1969, os três astronautas da cápsula 
Apollo deixaram o Cabo Canaveral, foram à lua e, 
na volta, desceram no oceano Pacífico. Um 
almirante cumprimentou-os em cabo Canaveral e 
seguiu até o oceano Pacífico em um avião que os 
recolheu. Compare os deslocamentos dos 
astronautas e do almirante. 
 
2. Um vetor pode ter módulo igual a zero se 
uma de suas componentes for diferente de zero? 
 
3. É possível que a soma dos módulos de 
dois vetores seja sempre igual à soma destes 
dois vetores? 
 
4. É possível que o módulo da diferença 
entre dois vetores seja sempre maior do que o 
módulo de cada vetor? E maior que o módulo de 
sua soma? Dê exemplos. 
 
5. Você pode ordenar os acontecimentos no 
tempo. Por exemplo, o evento b pode proceder 
ao evento c, porém seguir o evento a, dando a 
ordenação temporal do evento a, b e c. 
Consequentemente, existe um sentido para o 
tempo, distinguindo o passado, o presente e o 
futuro. Será que o tempo, então, é uma grandeza 
vetorial? Se não, por quê? 
 
6. O produto escalar pode ser uma 
quantidade negativa? Justifique. 
 
7. a) Sendo ⃗ ⃗⃗ , podemos concluir daí 
que os vetores são perpendiculares entre si? b) 
Se ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗, segue-se daí que ⃗⃗ ⃗ ? 
 
8. Se ⃗ ⃗⃗ , ⃗ e ⃗⃗ devem ser paralelos 
entre si? O inverso é verdadeiro? 
 
9. Considere dois deslocamentos, um igual a 
3 m e um outro de módulo igual a 4 m. Mostre 
como os vetores deslocamento podem ser 
combinados de modo a fornecer um 
deslocamento resultante de módulo igual a: a) 7 
m; b) 1 m; c) 5 m. 
 
10. Uma mulher caminha 250 m na direção de 
30º a nordeste e em seguida 175 m diretamente 
para leste. a) Utilizando métodos gráficos, 
determine o deslocamento resultante. b) 
Compare o módulo do deslocamento com a 
distância que ela caminhou. 
 
11. Uma pessoa caminha do seguinte modo: 
3,1 km para o norte, depois 2,4 km para oeste e, 
finalmente, 5,2 km para o sul. a) Construa o 
diagrama vetorial que representa este 
movimento. b) Que distância um pássaro deveria 
voar, em linha reta, em que direção, de modo a 
chegar ao mesmo ponto final? 
 
12. Um vetor a tem módulo de 5,0 unidades 
na direção leste. Outro, b, na direção de 35º para 
noroeste, tem um módulo igual a 4,0 
unidades.Construa um diagrama vetorial para 
calcular a+b e b-a. Faça uma estimativa dos 
módulos e direções dos vetores a+b e b-a, a 
partir do diagrama. 
 
13. Quais são os componentes de um vetor ⃗ 
localizado no plano xy, se sua direção faz um 
ângulo de 205º com o eixo x e o seu módulo é 
igual a 7,3 unidades? 
 
14. Um vetor deslocamento r no plano xy tem 
um comprimento igual a 15 m e sua direção é 
mostrada na figura abaixo. Determine os 
componentes x e y deste vetor. 
IMPORTANTE! 
“SE A E B SÃO PARALELOS OU ANTIPARALELOS, 
AxB = 0. O MÓDULO DE AxB É MÁXIMO QUANDO A E 
B SÃO MUTUAMENTE PERPENDICULARES UM AO 
OUTRO.” 
 
 
19 
 
 
 
15. Determine, utilizando os vetores unitários, 
a) a soma dos dois vetores ⃗ ̂ ̂ e ⃗⃗ 
 ̂ ̂. B) Quais são o módulo e a direção do 
vetor ⃗ e ⃗⃗? 
 
16. Calcule os componentes, módulo e 
direção de: a) ⃗ ⃗⃗; b) ⃗⃗ ⃗, se ⃗ ̂ ̂ e 
 ⃗⃗ ̂ .̂ 
 
17. No sistema de coordenadas da figura 
abaixo, mostre que: 
 ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ e ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 
 
 
18. Um vetor a de módulo igual a 10 unidades 
e outro vetor b de módulo igual a 6 unidades 
apontam para direções que fazem um ângulo de 
60º entre si. a) Determine o produto escalar entre 
os dois vetores e b) o produto vetorial a x b. 
 
19. A soma de três vetores é igual a zero, 
como nos mostra a figura abaixo. Calcule: a) 
a x b; b) a x c; c) b x c. 
 
20. Sejam dois vetores representados em 
termos de suas coordenadas como: 
 ⃗ ̂ ̂ ̂ e ⃗⃗ ̂ ̂ ̂ 
Mostre que: ⃗ ⃗⃗ 
21. Um vetor deslocamento ⃗ no plano xy tem 
um comprimento igual a 15 m e tem a orientação 
mostrada na figura abaixo. Determine (a) a 
componente x e (b) a componente y do vetor. 
 
 
22. São dois vetores: 
 ⃗ ̂ ̂ e ⃗⃗ ̂ ̂ 
Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo (relativo a 
 ̂) de ⃗ ? Quais são (c) o módulo e (d) o ângulo de 
 ⃗⃗? Quais são (e) o módulo e (f) o ângulo de ⃗ 
 ⃗⃗; (g) o módulo e (h) o ângulo de ⃗⃗ ⃗; e (i) o 
módulo e (j) o ângulo de ⃗ ⃗⃗? (k) qual é o 
ângulo entre as direções ⃗⃗ ⃗ e ⃗ ⃗⃗? 
 
23. São dados dois vetores ⃗⃗ e ⃗. Calcule o 
módulo do vetor resultante ⃗ e o ângulo formado 
entre o vetor resultante e o vetor ⃗⃗ em função do 
módulo dos vetores ⃗⃗ e⃗ e do ângulo θ entre 
esses dois vetores. (dica: monte o problema 
graficamente). 
 
24. Uma força de F1, de módulo igual a 2 N 
forma um ângulo de 30° com o eixo Ox. Uma 
força F2, de módulo igual a 6 N forma um ângulo 
de 80° com o eixo Ox. Calcule: (a) o módulo F da 
força resultante F; (b) o ângulo formado entre a 
resultante e o eixo Ox. 
 
25. Um vetor A forma um ângulo com 
um vetor B. Sabendo que A = 3 e B = 4, calcule o 
 
 
20 
 
módulo do vetor resultante R (unidades de força 
em Newton). 
 
26. Um vetor F forma um ângulo com 
um vetor G. Sabendo que F = 5 e G = 8, calcule: 
(a) o módulo da resultante R; (b) o ângulo 
formado entre a resultante e o vetor F. 
 
27. Considere dois vetores A e B dados por: 
 
 
 
Determine: (a) a soma A+B; (b) a diferença A-B; 
(c) o produto escalar destes vetores; (d) o co-
seno do ângulo entre os dois vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
3 Cinemática em Uma Dimensão (1D) 
Tópicos: 
3.1 Objetivos do Capítulo 
3.2 Referenciais 
3.3 Posição e Deslocamento; 
3.4 Velocidade Escalar e Vetor Velocidade; 
3.5 Aceleração; 
3.6 Equações da Cinemática para Aceleração 
Constante; 
3.7 Aplicações das Equações da Cinemática; 
3.8 Corpos em Queda Livre; 
3.9 Análise Gráfica da Velocidade e da 
Aceleração; 
3.10 Cinemática do Movimento Circular; 
3.11 Período e Frequência; 
3.12 Velocidade Escalar; 
3.13 Velocidade Angular; 
3.15 Aceleração Centrípeta; 
3.15 Aceleração Vetorial; 
3.16 Exercícios. 
 
3.1 OBJETIVOS DO CAPÍTULO: 
O capítulo tem por objetivo mostrar como ocorre 
o estudo do movimento, introduzindo os 
conceitos básicos da cinemática, demonstrando 
como as equações podem fornecer informações 
valiosas depois de interpretadas, e quais 
informações são estas. 
É intenção do capítulo discutir conceitos 
importantes no movimento, como posição e 
deslocamento que são a base para o 
entendimento de todo o conteúdo subsequente. 
As análises gráficas presentes neste capítulo tem 
por objetivo evidenciar o que foi visto nas 
equações, facilitando a visualização das 
situações abordadas. 
3.2 REFERENCIAIS: 
Referencial é o padrão tomado como guia para 
as observações. Por exemplo, imagine que você 
está no banco de trás de um carro a 60 Km/h. 
Para o motorista, você está parado, com 
velocidade igual a 0km/h. Já para alguém que te 
observa da calçada, você está se locomovendo a 
60 Km/h. Assim, tanto o motorista como o 
observador da calçada são referenciais, o que 
nos permite dizer que a velocidade é relativa. 
Os referenciais não são todos equivalentes. 
Imaginemos que nos encontramos num elevador 
movendo-se para baixo num movimento 
retilíneo com velocidade constante. Se o 
observador que se encontra dentro dele deixar 
cair um objeto, ele cairá normalmente por ação 
da força de gravidade normal. Imaginemos agora 
que num dado instante há um problema com o 
cabo e o elevador entra em queda livre. Se o 
observador largar agora o mesmo objeto ele não 
cairá. A única diferença em relação ao caso 
anterior é que agora o elevador se move com um 
movimento uniformemente acelerado (aceleração 
constante = g). 
No primeiro caso o referencial associado ao 
elevador (e ao observador) é referencial 
inercial (ou galileano, por esta noção ter sido 
introduzida por Galileu Galilei). No segundo 
caso o referencial é não-inercial. A sua principal 
característica é que neles aparecerem forças 
suplementares designadas por forças de inércia. 
Em outras palavras: “Um referencial é 
denominado referencial inercial se nele a 
primeira lei de Newton é válida”. 
3.3 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO: 
Localizar um objeto significa determinar sua 
posição em relação a um referencial. Nos 
problemas de física, normalmente a origem (ou 
ponto zero) de um eixo cartesiano ou linear serve 
como referência. 
Ex: 
 
Figura 3.1- Indicação de Referencial 
O Deslocamento é um vetor que aponta da 
posição inicial para a sua posição final e possui 
 
 
22 
 
um módulo igual à menor distância entre as duas 
posições. 
Unidade SI de Deslocamento: Metro. 
 
Assim, o deslocamento é a diferença entre x e xo 
 
 ∆x = x - xo ; onde: 
∆x – Deslocamento; 
xo – Posição inicial; 
x – Posição Final. 
Atenção: Deslocamento e espaço percorrido são 
diferentes. 
Exemplo1: Suponha que um avião esteja se 
movendo no sentido leste-oeste e que um sinal 
positivo (+) seja usado para representar o sentido 
para leste. Então, ∆x = +1000 m representa um 
deslocamento que aponta para o leste e possui 
módulo igual a 1000 metros. Já ∆x = - 1000 m é 
um deslocamento para o oeste, com módulo 
também igual a 1000 metros. 
 
Exemplo2: O mesmo avião do exemplo anterior 
voa primeiramente 1000 m para o leste, depois 
retorna a cidade de onde decolou. Neste caso o 
deslocamento será nulo ∆x = 0 m, porém o 
espaço percorrido pelo avião será 2000 metros 
Exercício Resolvido: 
(Questão – Física, Cutnell & Johnson) Uma 
baleia nada em direção ao leste por uma 
distância de 6,9 km, dá meia-volta e vai para o 
oeste por 1,8 km; finalmente dá meia-volta 
novamente e se dirige 3,7 km para o leste. (a) 
Qual a distância total percorrida pela baleia? (b) 
Qual o módulo, a direção e o sentido do 
deslocamento da baleia? 
Raciocínio: A distância percorrida será a soma 
das distâncias percorridas pela baleia, já o 
deslocamento será a soma atribuindo sinais de 
acordo com o sentido: 
(a) 6,9 km + 1,8 km + 3,7 km = 12,4 km 
(b) Para o leste será atribuído o sinal positivo, 
para o oeste será atribuído o sinal negativo. 
 
∆x = +6,9 km–1,8 km+3,7 km =+8,8km 
8,8 km para leste. 
3.4 VELOCIDADE ESCALAR E VETOR 
VELOCIDADE: 
3.4.1 Grandezas Escalares e Vetoriais: 
Grandeza escalar é uma grandeza que é 
determinada apenas por um valor numérico 
chamado de módulo. 
Por exemplo, um carro se move a 100 km / h. 
Nesse caso, o movimento do carro é tratado 
como Grandeza Escalar. 
Não dizemos de que maneira ele está se 
movimentando. 
Já a grandeza vetorial é uma grandeza que, além 
do módulo, é determinada por uma direção e um 
sentido. 
 
Por exemplo, um carro se move na direção 
horizontal, da esquerda para direita e a 100 km/h. 
Nesse caso, o movimento do carro é tratado 
como uma Grandeza Vetorial, com módulo, 
direção e sentido. 
→100km/h 
 
Essa seta chamada vetor (→) é o ente usado 
para determinar as Grandezas Vetoriais. 
Ele determina a direção (horizontal, vertical ou 
inclinada), determina o sentido (da esquerda para 
a direita ou da direita para a esquerda), e 
determina o módulo de acordo com o seu 
comprimento (quanto maior o vetor, maior é o 
módulo). 
3.4.2 VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA: 
A velocidade escalar média é a razão entre o 
espaço percorrido e o tempo gasto para realizá-
lo. 
 
V escalar media = 
 
 
 (3.1) 
 
 
Unidade SI de Velocidade: Metros por 
segundo (m/s). 
 
 
23 
 
Exemplo1: (Cutnell & Johnson) Que distância um 
corredor percorre em 1,5h (5400 s) se a sua 
velocidade escalar média for de 2,22 m/s? 
Raciocínio: A velocidade escalar média é a 
distância total percorrida pelo corredor durante o 
intervalo de tempo em que corre, ou seja, a 
distância percorrida total é a velocidade escalar 
média multiplicadapelo número de segundos que 
ele corre. 
Distância = (Velocidade escalar média)(Tempo 
transcorrido) = 2,22 * 5400 = 12000 metros.
 
3.4.3 VELOCIDADE VETORIAL MÉDIA: 
A velocidade vetorial média é a razão entre o 
vetor deslocamento e o tempo transcorrido (∆t). 
 ̅ 
 ̅ ̅ 
 
 
 ̅
 
 (3.2) 
O vetor velocidade média é um vetor que aponta 
na mesma direção e no mesmo sentido que o 
deslocamento. O vetor velocidade de um carro 
pode apontar apenas em um sentido ou no 
sentido contrário. Do mesmo modo que o 
deslocamento, usaremos os sinais de mais e de 
menos para indicar os dois sentidos possíveis 
para uma dada direção. 
3.4.4 VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
Que significa "velocidade num dado instante t 
"? 
 
 Para ilustrar este conceito, vamos parafrasear 
uma anedota utilizada por Feynman em seu 
curso e transcrita no excelente livro texto 
(NUSSENZVEIG, H. MOYSÉS). Essa anedota é 
contada na forma de um diálogo fictício entre um 
estudante representado por E (que estava 
dirigindo seu carro de forma a não chegar 
atrasado na aula de física) e o guarda 
representado por G(que o fez parar, acusando-o 
de excesso de velocidade) 
G.: O seu carro estava a 120 km/h, quando o 
limite de velocidade aqui é de 60 km/h! 
E.: Como é que eu podia estar a 120 km por hora 
se só estava dirigindo aqui há cerca de 1 minuto, 
e não durante uma hora? 
G.: O que quero dizer é que, se continuasse em 
frente do jeito que estava, teria percorrido 120 km 
em uma hora. 
E.: Se tivesse continuado sempre em frente, eu 
teria ido bater no prédio da Física! 
G.: Bem, isso seria verdade se tivesse seguido 
em frente por uma hora. Mas, se tivesse 
continuado em frente por 1 minuto, teria 
percorrido 120 km/60 =2 km, e em 1s teria 
percorrido 2 km/60 = 33,3 m, e em O,ls teria 
percorrido 3,33 m, e teria dado perfeitamente 
para prosseguir durante 0,1 s. 
E.: Mas o limite de velocidade é de 60 km/h, e 
não de 1,66 m em 0,1s! 
G..: É a mesma coisa: o que conta é a velocidade 
instantânea. 
Em parte, o estudante E. também tem um pouco 
de razão: é permitido exceder o limite de 
velocidade em intervalos de tempo extremamente 
curtos, como nas ultrapassagens. 
A velocidade de um carro usualmente não sofre 
nenhuma alteração apreciável em intervalos de 
tempo < 0,1 s, de modo que não é preciso, neste 
exemplo, tomar intervalos menores. Se 
necessário, para calcular a velocidade 
instantânea com precisão cada vez maior, 
poderíamos considerar o espaço percorrido em 
10-2 s, 10-3 s,... Quanto menor ∆t (e em 
conseqüência também o ∆x correspondente), 
mais o valor de ∆xI∆t se aproxima da velocidade 
instantânea. (NUSSENZVEIG, H. MOYSÉS). 
Caso o leitor não tenha visto o conceito de 
derivada, um conselho. Não se preocupe! 
Retomaremos o estudo do cálculo diferencial e 
integral no capítulo 5. 
A velocidade em um dado instante é obtida a 
partir da velocidade média reduzindo o intervalo 
de tempo até torná-lo próximo de zero. À 
medida que diminui, a velocidade média se 
aproxima de um valor-limite, que é a velocidade 
instantânea: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
v é a taxa com a qual a posição x está variando 
com o tempo em um dado instante, ou seja, v é a 
derivada de x em relação a t. 
A Velocidade escalar instantânea, ou 
simplesmente, velocidade escalar, é o módulo da 
velocidade, ou seja, a velocidade desprovida de 
qualquer indicação de direção. 
 
Exemplo1: (Halliday) As equações a seguir 
fornecem a posição x(t) de uma partícula em 
quatro casos (em todas as equações, x está em 
metros, t em segundos e t>0) (1) x = 3t -2; (2) x = 
-4t² - 2; (3) x = -2. (a) Em que caso(s) a 
velocidade v da partícula é constante? (b) Em 
que caso(s) a velocidade v é no sentido negativo 
do eixo x? 
Aplicando as derivadas: 
(1) x(t) = 3t – 2; x‟(t) = 3 – 2 = 1. 
(2) x(t) = -4t² - 2; x‟(t) = -8t -2 
(3) x(t) = 2 
 
 
 = 2 t-2 ; x‟(t) = -6 t-3 
(4) x(t) = -2; x‟(t) = 0 
(a)- A velocidade da partícula será constante nos 
casos (1) e (4) 
(b)- A velocidade será negativa nos casos (2) e 
(3). 
 
3.5 ACELERAÇÃO: 
3.5.1 Aceleração média e aceleração 
instantânea: 
Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-
se que a partícula foi acelerada (ou foi 
acelerada). Para movimentos ao longo de um 
eixo, a aceleração média amed em um intervalo 
de tempo ∆t é: 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade SI de aceleração: metros por 
segundo ao quadrado (m/s²) 
Onde a partícula tem velocidade v1 no instante t1 
e velocidade v2 no instante t2. A aceleração 
instantânea (ou, simplesmente, aceleração) é 
dada por: 
 
 
 
 
Como: 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
Ou seja, a aceleração de uma partícula em 
qualquer instante é a derivada segunda da 
posição x(t) em relação ao tempo. A aceleração 
também é uma grandeza vetorial. 
Exemplo1:(Halliday) A posição de uma partícula 
no eixo x é dada por: 
 
Com x em metros e t em segundos. 
(a) Como a posição x depende do tempo t, a 
partícula deve estar em movimento. Determine a 
função velocidade v(t) e a função aceleração a(t) 
da partícula. 
Raciocínio: Para obter a função velocidade v(t), 
derivamos a função posição x(t) em relação ao 
tempo. Para obter a função aceleração a(t), 
derivamos a função velocidade v(t) em relação ao 
tempo. 
(1) 
(2) 
 
3.6 EQUAÇÕES DA CINEMÁTICA PARA 
ACELERAÇÃO CONSTANTE 
As equações da cinemática descrevem como o 
corpo em movimento se comporta em função do 
tempo, se ele está aumentando sua velocidade 
 
 
25 
 
(acelerado), se está diminuindo (desacelerado), 
ou ainda, onde ele se encontrará num 
determinado tempo x, e até mesmo é possível 
saber qual a velocidade do corpo em função do 
deslocamento. 
Nos casos onde a aceleração é constante, a 
aceleração instantânea é igual à aceleração 
média. 
Então temos na tabela a seguir: 
 
Figura 3.2 – Fórmulas para aceleração constante. 
Essas equações são somente para o caso da 
aceleração constante. 
3.7 APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DA 
CINEMÁTICA 
Exemplo1: (Cutnell & Johnson) Uma espaçonave 
está viajando com uma velocidade de +3250 m/s. 
Subitamente, os retrofoguetes são disparados e a 
espaçonave começa a reduzir sua velocidade 
com uma (des)aceleração cujo módulo é igual a 
10,0 m/s². Qual a velocidade da espaçonave 
quando o deslocamento da nave é igual a +215 
km, em relação ao ponto no qual os retrofoguetes 
começaram a atuar? 
Raciocínio: Como a espaçonave está reduzindo a 
sua velocidade, o vetor aceleração deve ser 
contrário ao vetor velocidade. 
Dados: 
∆x = +215 000 m 
 
v = ? 
v0 = +3250 m/s 
t = não fornecido 
Solução: da equação , 
concluímos que: 
 
 √ 
 
= √ 
= + 2500 m/s 
= - 2500 m/s 
Exemplo2: Uma motocicleta, partindo do repouso, 
possui aceleração de +2,6m/s². Após ter 
percorrido uma distância de 120 m, a motocicleta 
reduz sua velocidade, com uma aceleração de -
1,5 m/s², até que a sua velocidade seja igual a 
+12 m/s. Qual o deslocamento da motocicleta? 
Raciocínio: O deslocamento total é a soma dos 
deslocamentos para o primeiro segmento 
(acelerado)e o segundo (desacelerado). O 
deslocamento para o primeiro segmento foi 
fornecido, para o segundo segmento pode ser 
determinado sabendo a velocidade inicial para 
esse segmento. 
Para o primeiro segmento: 
x = 120 m 
 
v = ? 
v0 = 0 m/s 
t = não fornecido 
Da equação temos: 
 √ 
 
 
 √ = 25 m/s 
 
Agora podemos usar +25 m/s como a velocidade 
inicial para o segundo segmento. 
Para o segundo segmento: 
x = ? 
 
v = +12 m/s 
 
 
26 
 
v0 = +25 m/s 
t = não fornecido 
Da equação temos: 
 
 
 
 
 
 
 
O deslocamento total do motociclista é igual a 
120 m + 160 m = 280 m. 
3.8 CORPOS EM QUEDA LIVRE 
Se você arremessasse um objeto para cima ou 
para baixo e pudesse de alguma forma eliminar o 
efeito de resistência do ar sobre o movimento, 
observaria que o objeto sofre uma aceleração 
constante para baixo que independe das 
características do objeto (como massa, 
densidade e forma) e, portanto, é igual para todos 
os objetos. Essa aceleração é conhecida como 
aceleração em queda livre, representada pela 
letra g. Uma pena e uma bola de golfe 
abandonadas no vácuo a partir de uma mesma 
altura sofrem a mesma aceleração, e por isso 
caem ao mesmo tempo no chão. 
Em primeira aproximação, a aceleração em 
queda livre é constante para qualquer ponto 
próximo à superfície da Terra e possui valor igual 
a g = 9,8 m/s². Temos então que todas as 
equações para a aceleração constante são 
válidas. 
Exemplo1: (Halliday) Um jogador de beisebol 
lança uma bola para cima no eixo y, com 
velocidade inicial de 12 m/s (a) Quanto tempo a 
bola leva para atingir a altura máxima? (b) Qual a 
altura máxima alcançada pela bola em relação ao 
ponto de lançamento? (c) Quanto tempo a bola 
leva para atingir um ponto 5,0 m acima do ponto 
inicial? 
Raciocínio: (a) Entre o instante em que a bola é 
lançada e o instante em que volta ao ponto de 
partida sua aceleração é constante = g. 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Na altura máxima v = 0 m/s, então: 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
Resolvendo esta equação do segundo grau, 
obtemos: 
 
Existem dois tempos possíveis, pois a bola passa 
duas vezes pelo ponto y = 5,0 m, uma vez na 
subida e outra na descida. Como podemos ver no 
gráfico abaixo da função que descreve o 
movimento 
 
 
. 
 
 
 
27 
 
 
Gráfico 3.1 – Altura x Tempo
3.9 ANÁLISE GRÁFICA DA VELOCIDADE E DA ACELERAÇÃO 
 
Figura 3.3 - Análise Gráfica Da Velocidade X Tempo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
A
lt
u
ra
 (
m
) 
Tempo (s) 
Altura vs Tempo 
 
 
28 
 
Na figura acima o ciclista passa por três fases, na 
primeira ele está com velocidade positiva, na 
segunda está em repouso e na terceira está 
voltando com velocidade negativa. 
As velocidades médias para os três segmentos 
são: 
(1): ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2): ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(3): ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico 3.2 – Posição x Tempo 
 
O gráfico acima foi desenhado para aceleração 
constante , levando em 
consideração a equação 
 
 
. Para 
determinação da velocidade tiramos a tangente 
em um determinado ponto (ou derivamos). 
v0= 0 m/s, 
 
 
 
 
 
 
 . 
Derivando temos: 
 . 
 
Gráfico 3.3 – Velocidade x Tempo 
Para temos: 
 . 
É fácil notar que a velocidade aumenta 
uniformemente no decorrer do tempo, o que 
caracteriza uma aceleração constante. 
 
3.10 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO 
CIRCULAR 
Movimentos circulares são muito comuns na 
natureza. As palhetas de um ventilador, um CD e 
o pneu de um carro são apenas alguns exemplos 
que fazem parte de nosso cotidiano. De uma 
maneira geral podemos afirmar que uma partícula 
está em movimento circular quando sua trajetória 
é uma circunferência. Em situações onde o valor 
numérico da velocidade permanece constante, 
dizemos que o corpo descreve um Movimento 
Circular Uniforme. 
3.11 PERÍODO E FREQUÊNCIA 
Cotidianamente utilizamos o conceito de 
frequência(f). A frequência do aluno na sala de 
aula, o n° de vezes que uma pessoa teve gripe, a 
frequência de quantas vezes o Flamengo venceu 
o Vasco da Gama no último campeonato... Enfim, 
são situações que nos mostram o conceito de 
frequência: o n° de vezes que um fenômeno 
ocorre num determinado intervalo de tempo. 
Exemplos: 
0
10
20
30
40
0 5 10
V
e
lo
ci
d
ad
e
 (m
/s
) 
Tempo (s) 
Velocidade vs Tempo 
 
 
29 
 
1) Qual a frequência de Joãozinho na escola? - 5 
vezes por semana. N° de vezes que o fenômeno 
ocorre (5) num intervalo de tempo (1 semana). 
2) Qual a frequência com que o Flamengo ganha 
do Vasco da Gama? - 10 vezes em 10 jogos. N° 
de vezes que o fenômeno ocorre (10) num 
intervalo de tempo (10 jogos). 
 
Daí nossa equação: 
 f = N/ ∆ t 
O MCU é periódico, ou seja, cada volta na 
circunferência ocorre no mesmo intervalo de 
tempo. A definição de período (T) vem daí: é o 
intervalo de tempo gasto pela partícula para 
completar uma volta, ou de uma forma mais 
ampla é o tempo gasto para a repetição do 
fenômeno (volta). A freqüência e o período são 
inversamente proporcionais e obedecem a 
relação: 
 T = 1/f 
No SI as unidades de freqüência e período são: 
período (T)- segundo (s) freqüência (f)- 1/s ou 
RPS (rotações/segundo) ou Hertz (Hz) 
É comum surgir uma outra unidade para 
freqüência: RPM (rotações/minuto). 
Transformando para o SI: 
 1Hz = 60 RPM 
3.12 VELOCIDADE ESCALAR (LINEAR) 
O vetor tangente à trajetória que representa a 
velocidade de uma partícula é denominado 
velocidade tangencial. O módulo da velocidade 
tangencial é denominado velocidade escalar ou 
velocidade linear. 
Quando uma partícula completa uma volta, ela 
percorre uma distância igual ao comprimento da 
circunferência por ele descrita, num intervalo de 
tempo igual a um período. 
1 volta: 
∆ x = comprimento da circunferência (2πR) 
∆ t = T 
 
Figura 3.4 – Velocidade Linear (Escalar) 
V= 2 πRf 
A unidade da velocidade escalar (linear) no SI é o 
m/s. 
 
Figura 3.5 – Polias e engrenagens no movimento 
circular 
 
 
 
 
 
30 
 
3.13 VELOCIDADE ANGULAR 
A velocidade angular (ω) é uma grandeza 
vetorial. No entanto, no MCU, a velocidade 
angular é constante. Quando uma partícula 
efetua um movimento circular, o raio que a 
acompanha descreve um ângulo ∆φ, num 
intervalo de tempo ∆t. Numa volta completa 
temos ∆φ= 2π radianos, num intervalo de tempo 
igual ao período. 
 
Figura 3.6 – Velocidade Angular 
 
Figura 3.7 – Movimento de rotação com mesma 
frequência. 
3.14 ACELERAÇÃO CENTRÍPETA 
Como nos movimentos circulares uniformes o 
módulo da velocidade tangencial (velocidade 
escalar) é constante, podemos dizer que a 
aceleração escalar é nula (a=0). 
Aceleração escalar: 
V = V0 + a.t 
 
Figura 3.8 – Aceleração Centrípeta E Velocidade 
Tangencial 
No entanto, como há variação da direção e do 
sentido da velocidade tangencial,há também 
uma aceleração causando esta variação. Essa 
aceleração é denominada aceleração centrípeta 
(acp). 
Pode-se demonstrar que o módulo da aceleração 
centrípeta, em função da velocidade escalar (V) e 
do raio da trajetória (R), pode ser dado por: 
acp= V
2/R 
A unidade da aceleração centrípeta no SI é o 
m/s2. 
3.15 ACELERAÇÃO VETORIAL 
A aceleração vetorial de uma partícula que se 
movimenta ao longo de uma trajetória curvilínea, 
num instante qualquer, pode ser decomposta em 
duas componentes ortogonais, uma tangente e a 
outra normal à trajetória. 
 
 
31 
 
 
Figura 3.9 – Análise Vetorial da aceleração. 
 
A componente tangente é denominada 
aceleração tangencial (at) e seu módulo (valor 
numérico) é igual ao módulo da aceleração 
escalar. A componente normal nada mais é do 
que a aceleração centrípeta (acp). 
 
3.10 – Aceleração tangencial e centrípeta 
3.16 EXERCÍCIOS: 
1) Um carro percorre um trecho retilíneo de uma 
estrada. No primeiro trecho, AB, ele se desloca 
com velocidade escalar média de 80 km/h e 
demora 30 minutos. No segundo trecho, BC, ele 
se desloca com velocidade escalar média de 100 
km/h, demorando 2,0 horas. Determine a 
velocidade escalar média no percurso ABC. 
 
2) Um carro desloca-se em uma trajetória 
retilínea descrita pela função S=20+5t (no SI). 
Determine: 
(a) a posição inicial; 
(b) a velocidade; 
(c) a posição no instante 4s; 
(d) o espaço percorrido após 8s; 
(e) o instante em que o carro passa pela posição 
80m; 
(f) o instante em que o carro passa pela posição 
20m. 
3) Dois trens partem simultaneamente de um 
mesmo local e percorrem a mesma trajetória 
retilínea com velocidades, respectivamente, 
iguais a 300km/h e 250km/h. Há comunicação 
entre os dois trens se a distância entre eles não 
ultrapassar 10km. Depois de quanto tempo após 
a saída os trens perderão a comunicação via 
rádio? 
 
4) Uma motocicleta se desloca com velocidade 
constante igual a 30m/s. Quando o motociclista 
vê uma pessoa atravessar a rua freia a moto até 
parar. Sabendo que a aceleração máxima para 
frear a moto tem valor absoluto igual a 8m/s², e 
que a pessoa se encontra 50m distante da 
motocicleta. O motociclista conseguirá frear 
totalmente a motocicleta antes de alcançar a 
pessoa? 
 
5) Os ponteiros do relógio realizam um 
movimento circular uniforme. Qual a velocidade 
angular dos ponteiros (a) das horas, (b) dos 
minutos (c) e dos segundos? 
 
6) Uma bola de bilhar, com raio igual a 2,5cm, 
após ser acertada pelo jogador, começa a girar 
com velocidade angular igual a 5rad/s, e sofre 
uma desaceleração igual a -1rad/s² até parar, 
qual o espaço percorrido pela bola? 
 
- Deslocamento, Velocidade Escalar e Vetor 
Velocidade. 
1 - Uma Baleia nada em direção ao leste por uma 
distância de 6,9 km, dá meia-volta e vai para o 
oeste por 1,8 km; finalmente dá meia-volta 
novamente e se dirige 3,7 km para o leste. 
a) Qual a distância total percorrida pela 
baleia? 
b) Qual o módulo, a direção e o sentido do 
deslocamento da baleia? 
2 – Um turista que está sendo perseguido por um 
urso furioso está correndo em linha reta em 
direção a seu carro a uma velocidade de 4,0 m/s. 
O carro está a uma distância d. O urso está a 26 
m do turista e correndo a 6,0 m/s. O turista 
 
 
32 
 
alcança o carro com segurança. Qual o valor 
máximo possível para d? 
3 – Você está em um trem que está viajando a 
3,0 m/s ao longo de uma linha férrea reta e 
horizontal. Bem próximo e paralelo à linha férrea 
existe um muro com uma inclinação para cima de 
12º com a horizontal. Ao olhar pela janela (0,90 m 
de altura e 2,0 m de largura) de seu 
compartimento, o trem está se movendo para a 
esquerda, como indicado no desenho. A face 
superior do muro aparece primeiro no canto A da 
janela e finalmente desaparece no canto B da 
janela. Quanto tempo se passa entre o 
aparecimento e o desaparecimento da face 
superior do muro? 
4 – Uma mulher e seu cachorro saem para uma 
corrida matinal até o rio, localizado a 4,0 km. A 
mulher corre a 2,5 m/s em linha reta. Ela solta a 
coleira do cachorro, que corre indo e vindo a 4,5 
m/s entre a sua dona e o rio, até que ela alcance 
o rio. Qual a distância percorrida pelo cachorro? 
- Aceleração 
5 – Uma motocicleta possui uma aceleração 
constante de 2,5 m/s². Tanto o vetor velocidade 
quanto o vetor aceleração da motocicleta 
apontam na mesma direção e sentido. Quanto 
tempo é necessário para que a motocicleta mude 
a sua velocidade: 
a) De 21 para 31 m/s? 
b) De 51 para 61 m/s? 
6 – Um corredor acelera até uma velocidade de 
5,36 m/s em direção ao oeste em 3,00 s. A sua 
aceleração é de 0,640 m/s², também dirigida para 
o oeste. Qual era o seu vetor velocidade quando 
ele começou a acelerar? 
7 – Um carro está viajando ao longo de uma 
estrada reta, a uma velocidade de +36,0 m/s, 
quando seu motor para de funcionar. Durante os 
próximos doze segundos o carro reduz a 
velocidade e a sua aceleração média é ⃗⃗⃗1. 
Durante os seis segundos seguintes, o carro 
reduz ainda mais velocidade e a sua aceleração 
média é ⃗⃗⃗2. A velocidade do carro, ao final do 
período de dezoito segundos, é +28,0 m/s. O 
quociente entre os valores das acelerações 
médias é 
 ⃗⃗⃗ 
 ⃗⃗⃗ 
 Determine o vetor velocidade 
do carro no final do intervalo inicial de doze 
segundos. 
- Aceleração Constante, aplicações das 
equações da cinemática. 
8 – Ao se preparar para fazer uma enfiada de 
bola, um jogador de basquetebol parte do 
repouso e dá uma arrancada até atingir uma 
velocidade de 6,0 m/s em 1,5 s. Supondo que o 
jogador acelere uniformemente, determine a 
distância que ele corre. 
9 – Um fusca vai de 0 a 60 mi/h com uma 
aceleração de +2,35 m/s². 
a) Quanto tempo é necessário para que o 
fusca atinja a esta velocidade? 
b) Um carro modificado para bater recordes 
de aceleração (dragster) pode ir de 0 a 60 mi/h 
em 0,600 s. Determine a aceleração (em m/s²) 
deste carro. 
10 – Um avião a jato comercial, viajando em 
direção ao norte, está pousando com uma 
velocidade de 69 m/s. Ao tocar no solo, o jato tem 
750 m de pista para reduzir a sua velocidade 
para 6,1 m/s. Calcule a aceleração média 
(módulo e sentido) do avião durante a 
aterrissagem. 
11 – Suponha que um carro esteja se movendo a 
20,0 m/s e que o motorista perceba que o sinal 
de trânsito ficou vermelho. Após 0,530 s (o tempo 
de reação), o motorista pisa no freio e o carro 
desacelera a 7,00 m/s². Qual a distância de 
parada do carro, medida a partir do ponto no qual 
o motorista percebeu pela primeira vez o sinal 
vermelho? 
12 – Um carro está se movendo a uma 
velocidade constante de 33 m/s em uma 
autoestrada. No instante em que este carro passa 
por um acesso, um segundo carro entra na 
autoestrada vindo deste acesso. O segundo carro 
parte do repouso e possui uma aceleração 
 
 
33 
 
constante. Que aceleração ele deve manter para 
que os dois carros se encontrem pela primeira 
vez na próxima saída, que está a 2,5 km? 
- Corpos em queda livre. 
13 – Um astronauta em um planeta distante quer 
determinar sua aceleração gravitacional. O 
astronauta atira uma pedra verticalmente para 
cima com uma velocidade de +15 m/s e mede um 
tempo de 20,0 s antes de a pedra retornar à sua 
mão. Qual a aceleração gravitacional (módulo e 
sentido) neste planeta? 
14 – Uma moeda é solta do repouso do alto da 
Torre Sears, em Chicago. Considerando que a 
altura do edifício é de 427 m e ignorando a 
resistência do ar, determine o módulo da 
velocidade com que a moeda bate no chão. 
15 – Uma bola de