semana 13 UA 11 Matemática M. V. GABARITO 2017 1 (2)

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MATEMÁTICA 
Unidade de Aprendizagem 11 
 
Lógica Proposicional (Parte 2) 
 
Momento da verdade - GABARITO 
 
1. (A ∨ ~B) ∨ ~A 
A = Hoje trabalhei muito. 
B = Hoje estou cansado. 
“Hoje trabalhei muito ou não estou cansado, ou hoje não trabalhei muito”. 
Veja que a resposta é livre, mas deve ter um padrão semelhante a esse. Se você 
não estiver segura(o) de sua resposta, vá ao Fórum de Dúvidas da UA 12. 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
De fato, como é uma tautologia, a tabela terminou com todos os valores V. 
 
A B ~B A ∨ ~B ~A (A ∨ ~B)∨ ~A 
V V F V F V 
V F V V F V 
F V F F V V 
F F V V V V 
 
 
2 
 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As duas colunas em vermelho, que contém as proposições apresentadas 
no enunciado, são diferentes. Logo, não são proposições equivalentes. 
 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As duas colunas em vermelho, que contém as proposições apresentadas 
no enunciado, são diferentes. Logo, não são proposições equivalentes. 
 
 
 
A B (A ∧ B) ~(A ∧ B) ~A ~B (~A) ∧ (~B) 
V V V F F F F 
V F F V F V F 
F V F V V F F 
F F F V V V V 
A B (A ∨ B) ~(A ∨ B) ~A ~B (~A) ∨ (~B) 
V V V F F F F 
V F V F F V V 
F V V F V F V 
F F F V V V V 
 
 
3 
 
5. Vamos chamar as proposições compostas a seguir de (1ª) e (2ª), a fim de 
facilitar a explicação, bem como simbolizá-las: 
(1ª) Não estudei Matemática e estudei Contabilidade. ~A ∧ B 
(2ª) Não é verdade que estudei Matemática e Contabilidade. ~(A ∧ B) 
E temos as proposições simples: 
A = Estudei Matemática. 
B = Estudei Contabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As duas colunas em vermelho, que contém as proposições apresentadas 
no enunciado, são diferentes. Logo, não são proposições equivalentes. 
 
A B ~A ~A ∧ B 
(1ª) 
(A ∧ B) ~(A ∧ B) 
(2ª) 
V V F F V F 
V F F F F V 
F V V V F V 
F F V F F V 
 
 
4 
 
6. Verifique, construindo as tabelas verdade, que P

Q é equivalente a 
 
 
 
 
 
 
 
As duas colunas em vermelho, que contém as proposições apresentadas 
no enunciado, são iguais. Logo, são proposições equivalentes. 
 
7. Para mostrar que a negação está incorreta, devemos verificar que a coluna 
da negação de A→B, ou seja, a coluna de ~(A

B), não é igual à 
coluna ~A→~B. 
 
 
 
Como as duas colunas em vermelho ilustram exatamente esse fato, temos 
que , ~(A

B) e ~A→~B não são equivalentes. 
 
 
P Q P

Q ~P ~P ∨ Q. 
V V V F V 
V F F F F 
F V V V V 
F F V V V 
A B A

B ~(A

B) ~A ~B ~A→~B 
V V V F F F V 
V F F V F V V 
F V V F V F F 
F F V F V V V 
 
 
5 
 
8. 
(a) A → B 
(b) ~( A → B) 
(c) ~A → ~B 
(d) (A ∨ (~B)) → (~C) 
(e) (A ∨ B) → (~C ∨ D) 
 
9. Na escrita P

Q, podemos vislumbrar algo como “Se estiver frio, então 
tomarei um café”, que é equivalente a ~𝑷 ∨ Q: “Não está frio ou tomarei 
um café”. Com essa dica, faça a negação de P

 Q. 
Vamos usar a lei de Morgan (a negação vermelha é a que foi pedida no 
enunciado); cada linha é uma passagem: 
• ~(P

Q) 
• ~(~P ∨ Q) 
• ~(~P) ∧ (~Q) (aplicando a lei de Morgan) 
• P ∧ (~Q) 
Portanto, a negação de “Se estiver frio, então tomarei um café”, fica 
“estará frio e não tomarei um café”. Tem lógica, não é mesmo? 
 
10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P Q P

Q ~Q ~P ~Q→~P 
V V V F F V 
V F F V F F 
F V V F V V 
F F V V V V 
 
 
6 
As duas colunas em vermelho, que contém as proposições apresentadas 
no enunciado, são iguais. Logo, são proposições equivalentes. 
 
 
11. Verifique se P ∨ Q ↔ P ∧ Q é uma contradição. 
 
A última coluna, toda composta por F, mostra que a proposição do enunciado 
é uma contradição. 
 
12. 
A = O dia está quente. 
B = O dia está úmido. 
C = A tempestade virá. 
(a) A proposição do item (a) fica: (A ∧ B) → C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
P Q ~P ~Q ~P ∨ ~Q P ∧ Q (~P ∨ ~Q) ↔ P ∧ Q 
V V F F F V F 
V F F V V F F 
F V V F V F F 
F F V V V F F 
A B C A ∧ B C (A ∧ B)→ C 
V V V V V V 
V V F V F F 
V F V F V V 
V F F F F V 
F V V F V V 
F V F F F V 
F F V F V V 
F F F F F V 
 
 
7 
 
(b) A proposição do item (b) fica: (A ∧ B ) → C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As proposições não são equivalentes (há dois casos, dos 8, em que as conclusões 
não são iguais). 
 
Aplicações da Lógica 
 
1. 
(a) Em série, pois o ar condicionado deve chegar à minha casa e o técnico 
também deve vir em casa, ambos no mesmo dia. 
(b) Há 3 possibilidades, que refletem o valor F da tabela verdade do conectivo 
e: VF, FV ou FF. Ou seja: 
• O ar condicionado veio e o técnico não veio; ou 
• O ar condicionado não veio e o técnico veio; ou 
• O ar condicionado não veio e o técnico não veio. 
A B C 𝐀 𝐁 𝐀 ∧ 𝐁 𝐂 (𝐀 ∧ 𝐁 ) → 𝐂 
V V V F F F F V 
V V F F F F V V 
V F V F V F F V 
V F F F V F V V 
F V V V F F F V 
F V F V F F V V 
F F V V V V F F 
F F F V V V V V 
 
 
8 
 
2. 
(a) Em paralelo, pois pode-se receber o livro A ou o livro B (sendo que esse 
conectivo “ou” é inclusivo, ou seja, pode ocorrer as duas coisas). 
(b) Na verdade, esta pergunta deve ser completada assim: “o que pode ter 
ocorrido, em relação aos locais de entrega?” 
Nesse contexto, isso significa que recebi ambos os livros na Fatec, ou 
ambos em casa, ou o livro A em casa e o livro B na Fatec, ou o livro B em 
casa e o livro A na Fatec. 
 
3. Veja que há quatro casos, VV, VF, FV e FF. Cada um deles tem ¼ de 
chances de acontecer, ou seja, 25%. Portanto: 
(a) 75% (25%+25%+25%, pois pode ser VF, FV ou VV ) 
(b) 25% (pois só ficará ligado com VV) 
 
4. Perceba que aqui são 8 casos (basta olhar exemplo de três proposições 
no texto), e cada um tem chance de 1/8, ou seja, 12,5% 
(a) 87,5% (7 × 12,5%, pois são todos os casos exceto FFF) 
(b) 12,5% (pois é apenas o caso VVV) 
 
5. 
(a) A indica a aprovação pelo presidente, B a aprovação de um dos gerente 
e C a do outro gerente. 
 
(b) p ∧ (q ∨ r) 
(c) Na tabela-verdade, veja todos os caminhos termina em V: 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, são as três primeiras linhas: (1) o presidente aprova, o gerente q 
aprova e o gerente r aprova; ou (2) o presidente aprova, o gerente q aprova 
e o gerente r reprova; ou (3) o presidente aprova, o gerente q reprova e o 
gerente r aprova. 
 
6. 
(a) P ∨ Q, 𝐏, Q é válido (é uma tautologia) 
 
 
(b) P → Q, Q, P não é válido (não resultou em tautologia) 
 
p q r q ∨ r p ∧ (q ∨ r) 
V V V V V 
V V F V V 
V F V V V 
V F F F F 
F V V V F 
F V F V F 
F F V V F 
F F F F F 
P Q P ∨ Q 𝐏 (P ∨ Q) ∧ 𝐏 Q (P ∨ Q) ∧ 𝐏 → Q 
V V V F F V V 
V F V F F F V 
F V V V V V V 
F F F V F F V 
P Q P → Q Q (P → Q) ∧ Q P (P → Q) ∧ Q → P 
V V V V V V V 
V F F F F V V 
F V V V V F F 
F F V F F F V 
 
 
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7. 
A = o software acende a luz verde 
B = o software acende a luz branca 
C = a máquina funciona 
• Se o software acende a luz verde ou a luz branca, então a 
máquina funciona. (A ∨ B) → C 
• O software acende a luz verde ou a luz branca. (A ∨ B) 
• Logo, a máquina funciona. C 
 
 
8. 
A = O aluno tem renda mensal menor que R$ 1.500,00. 
B = O aluno clica na opção (a) do menu. 
C = O aluno concorre a uma bolsa de estudos. 
• O aluno tem renda mensal menor que R$ 1.500,00. A 
• Se o aluno tem renda mensal menor que R$ 1.500,00, então ele 
clica na opção (a) do menu. A → B• Se o aluno clica na opção (a) do menu, então ele concorre a uma 
bolsa de estudos. B → C 
• Portanto, o aluno concorre a uma bolsa de estudos. C 
 
A B C A ∨ B A ∨ B→ C A ∨ B (A ∨ B→ C)∧ ( A ∨ B) C (A ∨ B→ C)∧ ( A ∨ B) → C 
V V V V V V V V V 
V V F V F V F F V 
V F V V V V V V V 
V F F V F V F F V 
F V V V V V V V V 
F V F V F V F F V 
F F V F V F F V V 
F F F F V F F F V 
 
 
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9. Alternativa (b) 
 
Sabe-se que p  q é equivalente a ~q  ~p e não é equivalente q  p. 
Assim: 
Chove em A  Rio transborda 
Chove em B  Rio transborda 
 
Nestes dois casos, se o Rio transborda, não podemos concluir que choveu em A 
ou que choveu em B. 
 
Agora: 
Chove em C  Rio não transborda 
 
é equivalente a 
Rio transborda  Não choveu em C. 
A B C A → B B → C (A) ∧ (A → B) ∧ (B→ C) C (A) ∧ (A → B) ∧ (B→ C) → C 
V V V V V V V V 
V V F V F F F V 
V F V F V F V V 
V F F F V F F V 
F V V V V F V V 
F V F V F F F V 
F F V V V F V V 
F F F V V F F V