3 Capítulo 4 Transformada Z

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA 
CAMPUS CAMPINA GRANDE 
CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM TELEMÁTICA 
 
 
 
 
RESUMO DO CAPÍTULO 4 DO LIVRO: 
DIGITAL SIGNAL PROCESSING USING MATLAB 
 
 
 
 
Aluno: 
Rodolfo Bolconte Donato 
 
 
 
Disciplina: 
Processamento Digital de Sinais 
 
 
 
 
 
Campina Grande, 30 de Junho de 2018 
2 
 
1. Capítulo 4 – Transformada Z 
Existem duas lacunas na abordagem da transformada de Fourier. Primeiro, há muitos 
sinais úteis na prática - como u(n) e nu(n) - para os quais a transformada de Fourier em 
tempo discreto não existe. Em segundo lugar, a resposta transitória de um sistema devido 
a condições iniciais ou devido a mudanças de entradas não pode ser calculada usando a 
abordagem de transformada de Fourier em tempo discreto. Portanto, é considerada uma 
extensão da transformada de Fourier em tempo discreto para resolver esses dois 
problemas. Essa extensão é chamada de Transformada Z. Sua versão bilateral fornece 
outro domínio no qual uma classe maior de sequências e sistemas pode ser analisada, e 
sua versão unilateral pode ser usada para obter respostas do sistema com condições 
iniciais ou alterações de entrada. 
1.1. Transformada Z Bilateral 
A Transformada Z de uma sequência é dada por: 
 
onde z é uma variável complexa. O conjunto de valores z para os quais X(z) existe é chamado de 
região de convergência. 
A Transformada Z inversa de uma função complexa X(z) é dada por: 
 
onde C é um contorno no sentido anti-horário cercando a origem na Região de Convergência. 
Observações: 
1. A variável complexa z é chamada de frequência complexa, que é dada por z = |z| ejω, 
onde |z| é a magnitude e ω é a frequência real; 
2. Como a Região de Convergência é definida em termos da magnitude |z|, a forma da 
Região é um anel aberto. Note que Rx− pode ser igual a zero e/ou Rx+ poderia ser ∞; 
3. Se Rx+ < Rx−, então a Região de Convergência é um espaço nulo e a transformada z não 
existe; 
4. A função |z| = 1 (ou z = ejω) é um círculo de raio unitário no plano z e é chamado de 
círculo unitário. Se a Região de Convergência contém o círculo unitário, então podemos 
avaliar X(z) no círculo unitário. 
 
Portanto, a transformada de Fourier de tempo discreto X(ejω) pode ser vista como um caso 
especial da Transformada Z de X(z). 
3 
 
1.1.1. Propriedades da Região de Convergência 
A partir da observação da Região de Convergência nos três exemplos do Capítulo no livro, são 
declaradas as seguintes propriedades.: 
1. A Região de Convergência é sempre limitada por um círculo, uma vez que a condição 
de convergência está na magnitude |z|; 
2. A sequência x1(n) = anu(n) no Exemplo 4.1 do capítulo é um caso especial de uma 
sequência de direitos, definida como uma sequência x(n) que é zero para alguns n < n0. 
Do Exemplo 4.1, a Região de Convergência para sequências do lado direito está sempre 
fora de um círculo de raio Rx−. Se n0 ≥ 0, a sequência do lado direito também é chamada 
de sequência causal; 
3. A sequência x2(n) = −bnu(−n − 1) no Exemplo 4.2 do Capítulo é um caso especial de 
uma sequência do lado esquerdo, definida como uma sequência x(n) que é zero para 
alguns n > n0. Se n0 ≤ 0, a sequência resultante é chamada de sequência anticausal. Do 
Exemplo 4.2, a Região de Convergência para sequências do lado esquerdo está sempre 
dentro de um círculo de raio Rx+; 
4. A sequência x3(n) no Exemplo 4.3 do Capítulo é uma sequência bilateral. A Região de 
Convergência para sequências de dois lados é sempre um anel aberto Rx− < |z| < Rx+, se 
existir; 
5. As sequências que são zero para n < n1 e n > n2 são chamadas de sequências de duração 
finita. A Região de Convergência para essas sequências é todo o plano Z. Se n1 < 0, então 
z = ∞ não está na Região. Se n2 > 0, então z = 0 não está na Região; 
6. A Região de Convergência não pode incluir um polo, uma vez que X(z) converge 
uniformemente para lá; 
7. Há pelo menos um polo no limite de uma Região de Convergência de um X(z) racional; 
8. A Região de Convergência é uma região contígua; isto é, não vem em pedaços. 
No Processamento Digital de Sinais, os sinais são considerados causais, já que quase 
todos os dados digitais são adquiridos em tempo real. 
1.2. Propriedades Importantes da Transformada Z 
As propriedades da Transformada Z são generalizações das propriedades da transformada de 
Fourier em tempo discreto. Ingle e Proakis declaram as seguintes propriedades (ROC significa 
Região de Convergência em português): 
1. Linearidade: 
 
2. Troca de Amostra: 
 
3. Mudança de Frequência: 
4 
 
 
4. Dobramento: 
 
5. Conjugado: 
 
6. Diferenciação no domínio Z: 
 
7. Multiplicação: 
 
8. Convolução: 
 
1.2.1. Pares Comuns de Transformadas Z 
Usando a definição de Transformada Z e suas propriedades, pode-se determinar transformações 
z de sequências comuns. Uma lista de algumas dessas sequências é dada na tabela abaixo: 
 
1.3. Inversão da Transformada Z 
O cálculo da transformada Z inversa requer uma avaliação de uma integral de contorno complexa 
que, em geral, é um procedimento complicado. A abordagem mais prática é usar o método de 
5 
 
expansão parcial da fração. A transformação z, no entanto, deve ser uma função racional. Este 
requisito é geralmente satisfeito no processamento de sinal digital. 
Ideia central 
Quando X(z) é uma função racional de z − 1, podendo ser uma soma de fatores simples 
usando a expansão parcial da fração. As sequências individuais correspondentes a esses 
fatores podem ser escritas usando a tabela de transformadas z. 
O procedimento de transformação z inversa pode ser resumido da seguinte forma: 
Sendo 
 
pode ser expressada como 
 
onde o primeiro termo do lado direito é a parte racional adequada, e o segundo termo é o 
polinômio (comprimento finito). 
Execute uma expansão de fração parcial na parte racional adequada de X(z) para obter 
 
onde pk é o kth de X(z) e Rk é o resíduo em pk. Supõe-se que os polos são distintos para os quais 
os resíduos são dados por 
 
Para polos repetidos, a expansão tem uma forma mais geral. Se um polo pk tem multiplicidade r, 
então sua expansão é dada por 
 
1.4. Representação do Sistema no Domínio Z 
Semelhante à função de resposta de frequência H(ejω), podemos definir a função do domínio z, 
H(z), chamada de função do sistema. No entanto, ao contrário de H(ejω), H(z) existe para sistemas 
que podem não ser BIBO estáveis. 
Usando a propriedade de convolução da transformada z, a transformada de saída Y(z) é dada por 
6 
 
 
desde que a Região de Convergência x se sobreponha a Região de Convergência h. Portanto, um 
sistema linear e invariante no tempo pode ser representado no domínio z por 
 
1.4.1. Função do Sistema da Representação da Equação de Diferença 
Quando os sistemas LTI são descritos por uma equação de diferença 
 
a função do sistema H(z) pode ser facilmente calculada. Tomando a transformada z de ambos os 
lados, e usando as propriedades da transformada z, 
 
ou 
 
Depois da fatoração, temos 
 
onde zls são zeros do sistema e pk são os polos do sistema. Assim, H(z) (e, portanto, um sistema 
LTI) também pode ser representado no domínio z usando um gráfico de polo-zero. Este fato é útil 
para projetar filtros simples através da colocação correta de polos e zeros. 
1.4.2. Representação da Função de Transferência 
Se a Região de Convergência de H(z) inclui um círculo unitário (z = ejω), então podemos avaliar 
H(z) no círculo unitário, resultando em uma função de resposta em frequência ou função de 
transferência H(ejω). Então a partir da última equação 
 
7 
 
O fator (ejω - zl) pode ser interpretado como um vetorno plano z complexo de um zero zl para o 
círculo unitário em z = ejω, enquanto o fator (ejω - pk) pode ser interpretado como um vetor de um 
polo pk para a unidade círculo em z = ejω. Daí a função de resposta de magnitude 
 
pode ser interpretada como um produto dos comprimentos de vetores de zeros para o círculo 
unitário dividido pelos comprimentos de vetores de polos para o círculo unitário e escalados por 
|b0|. Similarmente, a função de resposta de fase 
 
pode ser interpretada como a soma de um fator constante, um fator de fase linear e um fator de 
fase não linear (ângulos dos “vetores zero” menos a soma dos ângulos dos “vetores de polo”). 
1.4.4. Estabilidade e Causalidade 
Para sistemas LTI, a estabilidade do BIBO é equivalente a . A partir da existência 
da transformada de Fourier em tempo discreto, esta estabilidade implica que H(ejω) existe, o que 
implica ainda mais que o círculo unitário |z| = 1 deve estar na Região de Convergência de H(z). 
Esse resultado é chamado de teorema da estabilidade do domínio z. 
Teorema 1 (Estabilidade LTI no Domínio Z): Um sistema LTI é estável se, e somente se, 
o círculo unitário estiver na Região de Convergência de H(z). 
Para causalidade de LTI, exigimos que h(n) = 0, para n < 0 (isto é, uma sequência de direitos). 
Isto implica que a Região de Convergência de H(z) deve estar fora de algum círculo do raio Rh−. 
Esta não é uma condição suficiente, uma vez que qualquer sequência do lado direito tem uma 
Região de Convergência semelhante. No entanto, quando o sistema é estável, sua causalidade é 
fácil de verificar. 
Teorema 2 (Estabilidade LTI causal do Domínio Z): Um sistema LTI causal é estável se 
e somente se a função do sistema H (z) tiver todos os seus polos dentro do círculo unitário. 
1.5. Soluções das Equações de Diferença 
No Capítulo 2 do livro, foram mencionadas duas formas para a solução de equações lineares de 
diferença de coeficiente constante. Uma forma envolvia encontrar as soluções particulares e 
homogêneas, enquanto a outra forma envolvia encontrar as respostas de entrada zero (condição 
inicial) e de estado zero. Usando as transformações z, Ingle e Proakis fornecem um método para 
obter esses formulários. Além disso, é discutido também as respostas transitórias e de estado 
estacionário. No processamento digital de sinais, as equações diferenciais geralmente evoluem na 
direção n positiva. Portanto, o período de tempo para essas soluções será n ≥ 0. Para isso, é 
definida uma versão da transformação z bilateral chamada de transformação z unilateral. 
A Transformada Z Unilateral de uma sequência x(n) é dada por 
8 
 
 
Então a propriedade de mudança de amostra é dada por 
 
Ou 
 
Esse resultado agora pode ser usado para resolver equações diferenciais com condições iniciais 
diferentes de zero ou com a alteração de entradas. Queremos resolver a equação da diferença 
 
sujeito a estas condições iniciais: 
 
2. Respostas das Questões do Capítulo 4 
2.1. Questão 1 
Usando a definição da Transformada Z. 
1. x(n) = {3, 2, 1, −2, −3}: Então X(z) = 3z2 + 2z + 1 − 2z−1 + 3z−2, 0 < |z| < ∞. 
b1 = [0 2 3]; a1 = [1]; [delta,n] = impseq(0,0,4); 
xb1 = filter(b1,a1,delta); xb1 = fliplr(xb1); n1 = -fliplr(n); 
b2 = [1 -2 -3]; a2 = [1]; xb2 = filter(b2,a2,delta); n2 = n; 
[xa1,na1] = sigadd(xb1,n1,xb2,n2); xa2 = [0 0 3 2 1 -2 -3 0 0]; 
error = max(abs(xa1-xa2)) 
error = 0 
2. x(n) = (0.8) n u(n − 2): Então 
 
b = [0 0 0.64]; a = [1 -0.8]; [delta,n] = impseq(0,0,10); 
9 
 
xb1 = filter(b,a,delta); 
[u,n] = stepseq(2,0,10); xb2 = ((0.8).^n).*u; 
error = max(abs(xb1-xb2)) 
error = 1.1102e-016 
3. x(n) = [(0.5) n + (−0.8) n ]u(n): Então 
 
b = [ 2 0.3]; a = [1 0.3 -0.4]; [delta,n] = impseq(0,0,7); 
xb1 = filter(b,a,delta); 
[u,n] = stepseq(0,0,7); xb2 = (((0.5).^n).*u)+(((-0.8).^n).*u); 
error = max(abs(xb1-xb2)) 
error = 1.1102e-016 
4. x(n) = 2 n cos(0.4πn)u(−n): Considerando 
 
b = 0.5*[2 -cos(0.4*pi)]; a = [1 -cos(0.4*pi) 0.25]; 
[delta,n1] = impseq(0,0,7); xb1 = filter(b,a,delta); xb1 = 
fliplr(xb1); 
[u,n2] = stepseq(-7,-7,0); xb2 = ((2.^n2).*cos(0.4*pi*n2)).*u; 
error = max(abs(xb1-xb2)) 
error = 2.7756e-017 
5. x(n) = (n + 1)(3) n u(n): Considerando 
 
b = [1 -3]; a = [1 -9 27 -27]; [delta,n1] = impseq(0,0,7); 
xb1 = filter(b,a,delta); 
[u,n2] = stepseq(0,0,7); xb2 = ((n2+1).*(3.^n2)).*u; 
error = max(abs(xb1-xb2)) 
error = 0 
 
10 
 
2.2. Questão 2 
Considere a sequência x(n) = (0,9)n cos(πn/4)u(n). 
1. A transformada z Y(z) de y(n) em termos da transformada z X(z) de x(n): Considere 
 
2. A transformada z de x(n) é dada por: 
 
Consequentemente 
 
3. Verificação no Matlab: 
b = [1 0 -0.9*cos(pi/4)]; a = [1 0 2*-0.9*cos(pi/4) 0 0.81]; 
[delta,n1] = impseq(0,0,13); xb1 = filter(b,a,delta); 
[u,n2] = stepseq(0,0,6); x1 = (((0.9).^n2).*cos(pi*n2/4)).*u; 
xb2 = zeros(1,2*length(x1)); xb2(1:2:end) = x1; 
error = max(abs(xb1-xb2)) 
error = 1.2442e-016 
2.3. Questão 3 
Cálculo da transformada z usando propriedades e a tabela de transformada z: 
1. x(n) = 2δ(n – 2) + 3u(n - 3): 
 
b = [0 -8 0 -1.5 0 -1/16]; a = [1 0 3/16 0 3/256 0 1/(256*16)]; 
[delta,n1] = impseq(0,0,9); xb1 = filter(b,a,delta); 
[u,n2] = stepseq(0,0,9);xb2 = (((n2-3).*((1/4).^(n2-
2))).*cos((pi/2)*(n2-1))).*u; 
error = max(abs(xb1-xb2)) 
error = 0 
 
11 
 
Hf_1 = figure; set(Hf_1,’NumberTitle’,’off’,’Name’,’P0403e’); 
[Hz,Hp,Hl] = zplane(b,a); set(Hz,’linewidth’,1); 
set(Hp,’linewidth’,1); 
title(’Pole-Zero plot’,’FontSize’,TFS); print -deps2 
../epsfiles/P0403e; 
 
 
2. x(n) = 3(0.75)n cos(0.3πn)u(n) + 4(0.75)n sin(0.3πn)u(n): 
 
b = [3 (3*sin(0.3*pi)-2.25*cos(0.3*pi))]; a = [1 -
1.5*cos(0.3*pi) 0.5625]; 
[delta,n1] = impseq(0,0,7); xb1 = filter(b,a,delta); [u,n2] = 
stepseq(0,0, 7); 
xb2 = 
3*(((0.75).^n2).*cos(0.3*pi*n2)).*u+4*(((0.75).^n2).*sin(0.3*pi*
n2)).*u ; 
error = max(abs(xb1-xb2)) 
error = 4.4409e-016 
Hf_1 = figure; set(Hf_1,’NumberTitle’,’off’,’Name’,’P0403b’); 
[Hz,Hp,Hl] = zplane(b,a); set(Hz,’linewidth’,1); 
set(Hp,’linewidth’,1); 
title(’Pole-Zero plot’,’FontSize’,TFS); print -deps2 
../epsfiles/P0403b; 
12 
 
 
3. x(n) = n sin((πn)/3)u(n) + (0.9)n u(n − 2): Considere 
 
Consequentemente 
 
b = [0 sin(pi/3) (0.81-0.9*sin(pi/3)) -(1.62+sin(pi/3)) ... 
(0.9*sin(pi/3)+2.43) -1.62 0.81]; 
a = [1 -2.9 4.8 -4.7 2.8 -0.9]; [delta,n1] = impseq(0,0,9); 
xb1 = filter(b,a,delta); 
[u2,n2] = stepseq(0,0,9); [u3,n3] = stepseq(2,0,9); 
xb2 = (n2.*sin(pi/3*n2)).*u2+((0.9).^n3).*u3; error = 
max(abs(xb1-xb2)) 
Hf_1 = figure; set(Hf_1,’NumberTitle’,’off’,’Name’,’P0403c’); 
[Hz,Hp,Hl] = zplane(b,a); set(Hz,’linewidth’,1); 
set(Hp,’linewidth’,1); 
title(’Pole-Zero plot’,’FontSize’,TFS); print -deps2 
../epsfiles/P0403c; 
error = 2.1039e-014 
13 
 
 
4. x(n) = n2 (2/3)n−2 u(n − 1): Considere 
 
 
Finalmente, x(n) = (3/2)x3(n). Consequentemente 
 
b = 3/2*[0 1 0 -4/9]; a = [1 -8/3 8/3 -32/27 16/81]; 
[delta,n1] = impseq(0,0,8); xb1 = filter(b,a,delta); 
[u,n2] = stepseq(1,0,8); xb2 = ((n2.^2).*((2/3).^(n2-2))).*u; 
error = max(abs(xb1-xb2)) 
Hf_1 = figure; set(Hf_1,’NumberTitle’,’off’,’Name’,’P0403d’); 
[Hz,Hp,Hl] = zplane(b,a); set(Hz,’linewidth’,1); 
set(Hp,’linewidth’,1); 
title(’Pole-Zero plot’,’FontSize’,TFS); print -deps2 
../epsfiles/P0403d; 
error = 9.7700e-015 
14 
 
 
5. x(n) = (n – 3) (1/4)n – 2 cos{(π/2)(n – 1)} u(n): Considere 
 
Consequentemente 
 
b = [0 -8 0 -1.5 0 -1/16]; a = [1 0 3/16 0 3/256 0 1/(256*16)]; 
[delta,n1] = impseq(0,0,9); xb1 = filter(b,a,delta); 
[u,n2] = stepseq(0,0,9);xb2 = (((n2-3).*((1/4).^(n2-
2))).*cos((pi/2)*(n2-1))).*u; 
error = max(abs(xb1-xb2)) 
Hf_1 = figure; set(Hf_1,’NumberTitle’,’off’,’Name’,’P0403e’); 
[Hz,Hp,Hl] = zplane(b,a); set(Hz,’linewidth’,1); 
set(Hp,’linewidth’,1);title(’Pole-Zero plot’,’FontSize’,TFS); print -deps2 
../epsfiles/P0403e; 
error = 2.9392e-015 
15 
 
 
2.4. Questão 4 
Seja x(n) uma sequência de valor complexo com a parte real xR(n) e a parte imaginária x1(n). 
1. As relações de transformada z para partes reais e imaginárias.: Considere 
 
2. Verificação usando x(n) = exp {(-1 + j0.2π) n} u(n): Considere 
 
Assim, as partes reais e imaginárias de x(n), respectivamente, são 
 
Com transformadas z, respectivamente, 
 
16 
 
A transformada z de x(n) é 
 
2.5. Questão 5 
A transformada z de x(n) é X(z) = 1/(1 + 0.5z−1), |z| ≥ 0.5. 
1. A transformada z de x1(n) = x(3 − n) + x(n − 3): 
 
2. A transformada z de x2(n) = (1 + n + n2)x(n): 
 
3. A transformada z de x3(n) = (1/2)nx(n – 2): 
 
4. A transformada z de x4(n) = x(n + 2) ∗ x(n − 2): 
 
5. A transformada z de x5(n) = cos(πn/2)x ∗ (n): 
17 
 
 
2.6. Questão 6 
A transformada z de x(n) é 
 
1. A transformada z de x1(n) = x(3 − n) + x(n − 3): 
 
2. A transformada z de x2(n) = (1 + n + n2)x(n): 
 
3. A transformada z de x3(n) = (1/2)n x(n – 2): 
 
4. A transformada z de x4(n) = x(n + 2) ∗ x(n − 2): 
18 
 
 
5. A transformada z de x5(n) = cos(πn/2)x ∗ (n): 
 
2.7. Questão 7 
A transformada z inversa de X(z) é x(n) = (1/2)nu(n). Cálculo de sequência usando as propriedades 
da transformada z: 
1. X1(z) = [(z – 1)/z]X(z): Considere 
 
2. X2(z) = zX(z-1): Considere 
 
3. X3(z) = 2X(3z) + 3X(x/3): Considere 
 
4. X4(z) = X(z)X(z-1): Considere 
19 
 
 
5. X5(z) = z2[(dX(z))/dz]: Considere 
 
2.8. Questão 8 
Se as sequências x1(n), x2(n) e x3(n) estão relacionadas por x3(n) = x1(n) ∗ x2(n), então 
 
1. Prova usando a definição de convolução: 
 
2. Prova usando a propriedade de convolução: 
 
3. Verificação no Matlab: 
N = 1000; n1 = [0:N]; x1 = rand(1,length(n1)); 
n2 = [0:N]; x2 = rand(1,length(n2)); [x3,n3] = 
conv_m(x1,n1,x2,n2); 
sumx1 = sum(x1); sumx2 = sum(x2); sumx3 = sum(x3); 
error = max(abs(sumx3-sumx1*sumx2)) 
20 
 
error = 2.9104e-011 
2.9. Questão 9 
Operações polinomiais usando Matlab: 
1. X1(z) = (1 − 2z−1 + 3z−2 − 4z−3 )(4 + 3z−1 − 2z−2 + z−3 ) 
n1 = [0:3]; y1 = [1 -2 3 -4]; n2 = [0:3]; y2 = [4 3 -2 1]; 
[x1,n] = conv_m(y1,n1,y2,n2) 
x1 = 
4 -5 4 -2 -20 11 -4 
n = 
0 1 2 3 4 5 6 
Consequentemente 
 
2. X2(z) = (z2 − 2z + 3 + 2z−1 + z−2 )(z3 − z−3 ) 
n1 = [-2:2]; y1 = [1 -2 3 2 1]; n2 = [-3:3]; y2 = [1 0 0 0 0 0 
1]; 
[x2,n] = conv_m(y1,n1,y2,n2) 
x2 = 
1 -2 3 2 1 0 1 -2 3 2 1 
n = 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
Consequentemente 
 
3. X3(z) = (1 + z−1 + z−2 )3 
n1 = [0 1 2]; y1 = [1 1 1]; [y2,n2] = conv_m(y1,n1,y1,n1); 
[x3,n] = conv_m(y1,n1,y2,n2) 
x3 = 
1 3 6 7 6 3 1 
n = 
0 1 2 3 4 5 6 
Consequentemente 
 
4. X4(z) = X1(z)X2(z) + X3(z) 
n11 = [0:3]; y11 = [1 -2 3 -4]; n12 = [0:3]; y12 = [4 3 -2 1]; 
[y13,n13] = conv_m(y11,n11,y12,n12); 
n21 = [-2:2]; y21 = [1 -2 3 2 1]; n22 = [-3:3]; y22 = [1 0 0 0 0 
0 1]; 
[y23,n23] = conv_m(y21,n21,y22,n22); 
21 
 
n31 = [0 1 2]; y31 = [1 1 1]; 
[y32,n32] = conv_m(y31,n31,y31,n31); [y33,n33] = 
conv_m(y31,n31,y32,n32); 
[y41,n41] = conv_m(y13,n13,y23,n23); [x4,n] = 
sigadd(y41,n41,y33,n33) 
x4 = 
Columns 1 through 12 
4 -13 26 -17 -10 49 -79 -8 23 -8 -11 49 
Columns 13 through 17 
-86 -1 -10 3 -4 
n = 
Columns 1 through 12 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 
Columns 13 through 17 
7 8 9 10 11 
Consequentemente 
 
5. X5(z) = (z−1 − 3z−3 + 2z−5 + 5z−7 − z−9 )(z + 3z2 + 2z3 + 4z4) 
n1 = [0:9]; y1 = [0 1 0 -3 0 2 0 5 0 -1]; n2 = [-4:0]; y2 = [4 2 
3 1 0]; 
[x5,n] = conv_m(y1,n1,y2,n2) 
x5 = 
Columns 1 through 12 
0 4 2 -9 -5 -1 1 26 12 11 3 -3 
Columns 13 through 14 
-1 0 
n = 
Columns 1 through 12 
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 
Columns 13 through 14 
8 9 
Consequentemente 
 
2.10. Questão 10 
A função deconv_m do Matlab: 
22 
 
 
Verificação no Matlab: 
nb = [-2:3]; b = [1 1 1 1 1 1]; na = [-1:1]; a = [1 2 1]; 
[p,np,r,nr] = deconv_m(b,nb,a,na) 
p = 
1 -1 2 -2 
np = 
-1 0 1 2 
r = 
0 0 0 0 3 3 
nr = 
-2 -1 0 1 2 3 
Consequentemente