CALCULO APLICADO Competencias matematicas a traves de contexto

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del inciso c) a lo 
largo del eje de la variable a la que se le asignaron los valores concretos. 
 d ) Obtener la ecuación de las trazas (esto se logra asignando el valor 0 a cada variable 
en la ecuación original de tres variables). Graficar en el plano correspondiente 
cada traza.
 e) Dibujar un sistema tridimensional donde se muestren las trazas.
 f ) Desplegar las gráficas de las ecuaciones reducidas en el sistema tridimensional 
anterior.
En este momento ya se debe tener una idea más clara de la superficie asociada a la 
ecuación de tres variables.
Es recomendable apoyarte en algún recurso tecnológico para corroborar la idea 
que te hiciste sobre la superficie realizando los puntos anteriores. Es importante 
señalar que el recurso tecnológico no vuelve innecesario el trabajo que se realiza 
\u201310 \u20135
y 55 10
10
10101010
 Tema 1.4 Gráficas de funciones de dos variables y de ecuaciones de tres \u2022 71 
\u201ca mano\u201d; ambos tipos de trabajo se complementan y profundizan en el conocimien-
to de lo que se estudia. Si no podemos realizar un trabajo de análisis como el que pro-
ponemos en la guía anterior, podemos creer que la gráfica del cono con ecuación z2 
= x2 + y2 es la figura que arroja el recurso computacional que se está usando, lo cual 
no es cierto\u2026 del todo.
Superficie cónica con
ecuación x 2 + y 2 = z 2
5.0
5.0
2.5
2.5 \u20132.5\u20132.5 \u20135.0
9.0 \u20135.0
x
y
x
z
\u20135.0
Figuras cónicas que representan a la gráfica de la ecuación x2 + y2 = z2, la 
de la derecha es obtenida con un recurso computacional, y en ella puede verse 
la omisión de una porción de superficie cerca del vértice.
Ejemplo. Graficar la ecuación y + z2 = x2 siguiendo la guía anterior.
a) Familias de ecuaciones reducidas.
x = k y + z2 = k2 y = k2 \u2212 x2
y = k k + z2 = x2 x2 \u2212 z2 = k
z = k y + k2 = x2 y = x2 \u2212 k2
 La tercera columna refleja una forma de presentar la familia de ecuaciones redu-
cidas de tal manera que favorezca reconocer el estilo de la gráfica.
b) La primera y la última ecuaciones representan familias de parábolas; en la primera, 
las parábolas están en el plano zy, abren hacia el eje y negativo y son simétricas 
respecto a ese mismo eje. En la tercera, las parábolas están en el plano xy, abren 
hacia el eje y positivo y son simétricas respecto al mismo. La segunda ecuación 
representa una familia de hipérbolas.
72 \u2022 Unidad 1 Gráficas en el espacio tridimensional
c) Mostramos a continuación algunas parábolas e hipérbolas correspondientes a 
estas familias en sus respectivos planos.
z
y
\u20132\u20134\u20136 0 42 6 8\u20131
\u20132
\u20133
3
2
1
Parábolas y = k2 \u2212 z2
k = 0, ±1, ±2, ±3
z
x
\u20134\u20136
6
4
0
\u20134
\u20136
4 6
\u20132
2
2\u20132
Hipérbolas x2 \u2212 z2 = k
k = 0, ±1, ±4, ±9
z
x
\u20131\u20132\u20133
2
0
\u20132
\u20134
\u20136
\u20138
21 3
Parábolas y = x2 \u2212 k2
k = 0, ±1, ±2, ±3
 En realidad aquí, respecto a lo que se dice en el inciso b) de la guía, hemos iden-
tificado las tres familias. Concentrémonos en la primera familia para proceder 
con los demás incisos. Un buen ejercicio para ti sería tomar cada una de las otras 
dos familias y proceder con el resto de la instrucción; esto puede enriquecer la 
visión de la gráfica final.
 Tema 1.4 Gráficas de funciones de dos variables y de ecuaciones de tres \u2022 73 
 El efecto que tiene la constante k en las parábolas correspondientes a la ecuación 
y = k2 \u2212 z2 es el de un movimiento de traslación a lo largo del eje y. Se puede 
notar que el valor mínimo de k2 es 0 (y, por lo tanto, los vértices van del 0 al infi-
nito sobre el eje y).
 Si desplegamos las gráficas obtenidas de la primera ecuación, agregando el eje x, 
obtenemos: 
z
x
Parábolas con ecuación
y = k2 \u2013 z2
y
¿En este momento ya tienes una idea de cómo es la superficie?
d ) Ya que nos concentramos en la ecuación y = k2 \u2212 z2, las trazas que debemos 
obtener son las correspondientes a y = 0 y z = 0; es decir, al sustituir estos valo-
res en la ecuación original y + z2 = x2, obtenemos, respectivamente, las ecuaciones 
z2 = x2 y y = x2. Las gráficas de estas ecuaciones en los planos xz y xy son, 
respectivamente: 
y = x2
x
y
z = \u2013x z = x
x
z
74 \u2022 Unidad 1 Gráficas en el espacio tridimensional
f ) Si ahora en la figura anterior desplegamos la familia de parábolas elegida, se 
obtiene:
 La siguiente gráfica se obtiene con un recurso computacional. Sobre ella hemos 
señalado las curvas que construimos en los puntos anteriores y que nos permitieron 
tener una visualización adecuada de la gráfica pedida. 
z
y
x
traza z = \u2013x
traza z = x
traza y = x 2
y
x
traza z = \u2013x
traza z = x
traza y = x 2
Parábolas con ecuación
y = k2 \u2013 z2
z
e) Dibujamos un sistema tridimensional donde se delinean en sus respectivos planos 
las trazas del inciso anterior.
 Tema 1.4 Gráficas de funciones de dos variables y de ecuaciones de tres \u2022 75 
5. Ecuaciones comunes de dos variables y sus grá\ufb01cas
Ecuación Gráfica Figura
x2 + y2 = c2 x
\u2013C
C
C
\u2013C
y
Círculo
x2 + ay2 = k
a > 0 k > 0 x
y
k\u2013 k
k\ufffda
k\ufffda\u2013
Elipse
Parábolas con ecuación
y = k 2 \u2013 z 2
5.5
3.0
10
20
\u201320
\u20137.0
y
x
z
2
3
(continúa)
76 \u2022 Unidad 1 Gráficas en el espacio tridimensional
Ecuación Gráfica Figura
ax2 + y2 = k
a > 0 k > 0 x
y
k\u2013
k
k\ufffda\u2013 k\ufffda Elipse
x2 \u2212 ay2 = k
a > 0 k > 0 x
y
k\u2013 k
Hipérbola
y2 \u2212 ax2 = k
a > 0 k > 0 x
y
k\u2013
k
(continuación)
UNIDAD 1 TEMA 1.4
Tarea 4 
 
Tarea 4 \u2022 77 
 1. Considera las siguientes funciones de dos variables y el rectángulo adjunto:
 a) z = yx2; R: \u22122 \u2264 x \u2264 2; \u22123 \u2264 y \u2264 3
 b) z = y sen x; R: \u2212p \u2264 x \u2264 p; \u22123 \u2264 y \u2264 3
 c) z = y + ex; R: \u22122 \u2264 x \u2264 3; \u22121 \u2264 y \u2264 3
 d ) z = 2x + y + 1; R: 0 \u2264 x \u2264 3; 0 \u2264 y \u2264 4
 e) z = \u22122x + y + 4; R: \u22123 \u2264 x \u2264 3; \u22124 \u2264 y \u2264 4
 f ) z = y; R: 1 \u2264 x \u2264 5; \u22124 \u2264 y \u2264 4
 g) z = x2; R: \u22123 \u2264 x \u2264 3; 0 \u2264 y \u2264 4
Para cada uno de los incisos se pide lo siguiente:
\u2022 Asigna cuatro valores a la variable y dentro del rango establecido y obtén las ecuaciones reducidas 
correspondientes.
\u2022 Grafica en un mismo plano xz las ecuaciones anteriores e identifica el tipo de curva que son.
\u2022 Despliega las gráficas anteriores en un sistema tridimensional agregando un eje y y colocando las 
curvas anteriores en su plano correspondiente.
\u2022 Grafica la ecuación original de tres variables, limitándote al rectángulo dado.
\u2022 Usa algún recurso computacional para que corrobores la gráfica que obtuviste.
\u2022 Repite todo lo anterior con la variable x.
 2. La gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones de tres variables corresponde a una superficie de revolu-
ción. Para cada una de ellas:
\u2022 Identifica el eje del giro y los planos donde están las circunferencias que se forman al girar.
\u2022 Obtén la ecuación de la curva que al girar origina la superficie de revolución.
\u2022 Haz un dibujo de la superficie graficando primero la curva que la genera y colocando algunas de las 
circunferencias en sus planos correspondientes.
a) x2 = y2 + z2 b) x = z2 + y2 c) x \u2212 2 = z2 + y2 d ) y + 2 = z2 + x2
e) x2 + y2 = z2 + 9 f ) x2 + z2 = y2 + 9 g) x2 + y2 + z2 = 9 h) x2 + y2 = z2 \u2212 9
i ) z2 + y2 = x2 \u2212 4 j ) x2 + y2 = sen2z
 3. Para las ecuaciones siguientes se pide que realices los pasos indicados en la guía del punto 4 de \u201cConsideracio-
nes alrededor de la SP-6\u201d para graficarlas. Utiliza un recurso tecnológico para contrastar lo que obtuviste. 
a) x2 + 4y2 + 9z2 = 16 b) y = x2 \u2212 z2 c) x2 + 4y2 = z d ) z = 4 + x + 2y
e) x + y = 4z + 2 f ) x = 2z + 2y \u2212 4 g) y = 4z + 2 h) 2x \u2212 y + 3z = 6 
 4. Cilindros. Una ecuación con dos variables puede pensarse como si fuera una de tres (imaginando, por 
ejemplo, un sumando con la variable faltante con coeficiente 0); esto significa que si se le dan valores a la 
variable faltante,