CALCULO APLICADO Competencias matematicas a traves de contexto

CALCULO APLICADO Competencias matematicas a traves de contexto


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que 
constituyen poderosas herramientas para la comprensión profunda de los fenómenos 
que se estudian en ingeniería, establece una distancia significativa entre esta propuesta 
y las tradicionales en cuanto éstas ni siquiera reconocen la existencia de tales herramien-
tas matemáticas. 
En este tomo III se considera la problemática de dar sustento matemático o, dicho de otra 
manera, de matematizar dos nociones fundamentales de la Física: el flujo y la circulación. 
Surgidas de la Hidrodinámica, estas nociones fueron pronto utilizadas en otras áreas de la 
Prefacio
Física, por ejemplo: del flujo eléctrico, circulación del campo magnético, flujo de calor, etc. 
Para demostrar la importancia que tienen estas dos nociones para la Física y, por lo 
tanto, para la ingeniería, basta señalar lo que afirma Richard Feynman en su libro de Física, 
volumen 2: \u201cSolamente con estas dos nociones \u2014flujo y circulación\u2014 podremos describir de 
una vez las leyes de la electricidad y el magnetismo\u201d.
En el tomo actual buscamos que el estudiante logre comprender la lectura que en términos 
de flujo y circulación se da en la Física en el estudio de fenómenos de diversa naturaleza con 
las diferentes representaciones matemáticas que la acompañan. Así, por ejemplo, si bien es 
cierto que las leyes de la electricidad y el magnetismo pueden describirse en términos de flujo 
y circulación, es importante que el estudiante comprenda el porqué de las expresiones mate-
máticas involucradas en estas leyes.
Ahora bien, cómo lograr tal propósito corresponde con la forma en que van construyéndo-
se los objetos matemáticos en atención a problemáticas que, iniciando con el tratamiento a 
situaciones particulares, simples y conocidas, desembocan en aquellas donde la generalidad 
predomina. Así, aunque la idea es arribar finalmente a la expresión matemática del flujo de 
un campo en general con la que conceptos como el flujo del campo eléctrico, por ejemplo, 
son representados, el estudio del flujo se inicia con el fenómeno que originó el término: el 
flujo de agua, que en principio resulta familiar al estudiante. 
El campo de velocidades del agua en movimiento dará paso a la idea de campo vectorial 
en general. El cálculo de flujo en situaciones simples como aquellas donde el campo de 
velocidades es constante y la superficie a través de la cual se calcula es plana, devendrá 
en el cálculo del flujo de un campo a través de una superficie curva en general. Con la mis-
ma idea de transitar de lo restrictivo, aunque simple y familiar, a lo más general, el primer 
acercamiento a la circulación es mediante el concepto de trabajo en su versión más simple: 
el trabajo efectuado por un campo de fuerzas constante en dirección de un desplazamiento 
rectilíneo; eventualmente la operación de calcular el trabajo es extendido al caso de tener 
un campo y una curva en general.
En este tránsito, del campo de fuerzas o de velocidades constantes a campos vectoriales 
en general, del desplazamiento rectilíneo al curvo, de superficies planas a curvas en general, 
se despliega el pensamiento infinitesimal. Valorado ya en los tomos anteriores como una 
poderosa herramienta para la significación y construcción de conceptos clave del Cálculo 
de una variable, como la derivada, la integral y el Teorema fundamental del Cálculo, apren-
deremos ahora productivas extensiones de las consideraciones geométrico algebraicas de 
ese pensamiento, en el análisis y construcción de objetos más elaborados acorde con las 
nuevos requerimientos problemáticos. Así, como las curvas en lo infinitamente pequeño 
son rectas y el valor de una magnitud (la razón de cambio) se supone constante en un tra-
mo infinitesimal, las superficies curvas son planas en lo infinitamente pequeño, y un campo 
vectorial puede suponerse constante sobre un área infinitesimal de una superficie. 
De hecho, las ideas de flujo y circulación llevadas a lo infinitamente pequeño, mediante 
el pensamiento infinitesimal, dan paso a la construcción de \u201cnuevas derivadas\u201d como la 
divergencia y el rotacional de un campo y a sus respectivos teoremas, el de la divergencia 
de Gauss y el del rotacional de Stokes, y con ellos a una forma poderosa para la caracte-
rización de los campos vectoriales; entre éstos, por supuesto, el eléctrico y el magnético. 
Si comparáramos este libro con uno tradicional de Cálculo de varias variables, podríamos 
decir que en cuanto a objetos matemáticos se trata, contienen lo mismo: derivadas parcia-
les, derivada direccional, funciones de varias variables, integrales de línea, de superficie, de 
volumen, gradiente, divergencia y rotacional; son comunes en este espacio y cualquier otro. 
viii \u2022 Prefacio
Prefacio \u2022 ix Prefacio \u2022 ix 
La diferencia que ofrece esta obra es cómo estos objetos se construyen y estructuran, 
dando lugar a un qué, y a pesar de poder nombrarlos aquí, aquí se les ha dotado de significados 
más \u201cricos\u201d. Se da un enfoque del para qué de acuerdo con la matemática, es decir, como una 
herramienta útil para el estudio y comprensión de los fenómenos propios de las carreras 
universitarias. Esto nos diferencia de los libros tradicionales, en los que parece que el afán 
es aumentar el edificio matemático por sí y mostrar lo que a su parecer es lo impecable de 
su razonamiento, el cual, por cierto, excluye aquel pensamiento infinitesimal por cuestiones 
filosóficas en desuso. Si se piensa que en la Física, y, por lo tanto, en la ingeniería este 
pensamiento infinitesimal es reconocido y utilizado frecuentemente, los estudiantes enten-
derán las dificultades que deberán sortear para aprender las herramientas matemáticas 
necesarias que aplicarán en los cursos de ingeniería. 
Los autores
CÁLCULO APLICADO 
Competencias matemáticas a través de contextos 
TOMO II I
2 \u2022 Unidad 1 Gráficas en el espacio tridimensional
Grá\ufb01cas en el espacio 
tridimensional
Unidad 1
Temas
1.1 Sistemas de referencia 
para el espacio
1.2 Flujo y funciones 
de dos variables 
1.3 Funciones de dos variables, 
otros contextos
1.4 Grá\ufb01cas de funciones 
de dos variables 
y de ecuaciones 
de tres
 Tema 1.1 Sistemas de referencia para el espacio \u2022 3 3o \u2022o
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En tanto las problemáticas que abordaremos en este libro involucran cuestiones ambientadas en el es-
pacio tridimensional, la primera tarea que hay que llevar a cabo es familiarizarnos con este entorno 
geométrico; esto lo hacemos en el Tema 1 donde introducimos el sistema de coordenadas cartesiano, 
utilizando al salón de clases como un modelo de este sistema de referencia. Ahí mismo se aprende lo re-
lativo de los sistemas de referencia introduciendo otras maneras de describir las posiciones en el espacio 
y que dan origen a las llamadas coordenadas esféricas y cilíndricas.
En el Tema 2, la consideración de la problemática de calcular el flujo de agua con ciertas condiciones 
ideales permite reconocer los vectores como el modelo matemático para representar la velocidad del agua; 
se visualizan espacios volumétricos formados por colecciones de vectores y superficies pensando en la co-
lección de las \u201cpuntas\u201d de los mismos. Del mismo modo, permite introducir la idea de un campo vectorial 
y de una función de dos variables. El volumen se relaciona con el flujo al verlo como una especie de volu-
men con signo, vislumbrándose así el surgimiento de una integral doble de una función de dos variables.
El Tema 3 considera una serie de contextos físicos en donde las funciones de dos variables se utilizan para 
representar distintas magnitudes relacionadas con otras. La idea de \u201cdejar una variable fija\u201d con la que se 
consiguen \u201cecuaciones reducidas\u201d (pensando que las expresiones de funciones con dos variables corres-
ponden a ecuaciones con tres) ayuda a profundizar en el fenómeno bajo estudio y visualizar una gráfica de