CALCULO APLICADO Competencias matematicas a traves de contexto

CALCULO APLICADO Competencias matematicas a traves de contexto


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una ecuación de tres variables como la colección de las curvas correspondientes a las ecuaciones reducidas.
Al margen del contexto, el Tema 4 está dedicado a la adquisición de la competencia para visualizar la 
gráfica de ecuaciones con tres variables (que engloban a las funciones de dos variables). La herramienta 
para lograr esta competencia es explotar la idea marcada en el tema anterior: las superficies pueden estar 
formadas por la colección de curvas correspondientes a ecuaciones reducidas cuando se asignan valores 
a una de las variables.
4 \u2022 Unidad 1 Gráficas en el espacio tridimensional
1.1
Sistemas de referencia 
para el espacio
pizarrón
pizarrón
ve
nt
an
a
ve
nt
an
a
x
z
y
Situación-Problema 1 (SP-1)
El salón de clases puede utilizarse como modelo de un sistema de referencia con el cual 
podemos indicar posiciones en el espacio; se puede elegir tres planos y en relación con 
estos ubicar las posiciones: el plano xy (donde está el piso), el plano yz (donde está el 
pizarrón) y el plano xz (donde está la pared a la izquierda de los estudiantes).
Sistemas de refferencia 
ppaarraa eell eessppaacciioo
El Cálculo que hemos revisado en los primeros dos tomos de esta obra, ese aparato coherente de nociones, 
procesos y resultados alrededor del estudio de la relación entre dos magnitudes o variables y que 
en el plano encuentra el contexto adecuado para representarse geométricamente, puede extenderse 
para considerar una variable adicional, ampliando así sus posibilidades como herramienta útil para 
abordar problemas. En esta extensión, el espacio es ahora el contexto geométrico más adecuado 
para representar sus nociones y resultados. En este primer tema de la Unidad 1, nos familiarizaremos 
con el espacio (tridimensional) y las coordenadas que ayudan a identificar en él diferentes posiciones y 
lugares. Como veremos, con el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares, representadas 
por x, y y z, se define de manera única cada posición en el espacio, pero existen otros sistemas de 
coordenadas con los cuales se logra el mismo objetivo. La naturaleza del fenómeno que se quiera 
estudiar determina cuáles son las coordenadas del espacio más adecuadas para hacerlo, por eso 
en este tema hemos incluido también la coordenada r (cilíndrica) y la coordenada r (esférica). 
Iniciamos nuestro estudio con la siguiente Situación-Problema.
 Tema 1.1 Sistemas de referencia para el espacio \u2022 5 
Utilicemos la siguiente convención:
 El plano yz divide al espacio en dos partes: atrás y adelante; con los valores de la 
variable x indicamos qué tan atrás ( x \ufffd 0) o adelante ( x \ufffd 0) se encuentra algún 
punto en relación con el plano yz. Con x = 0 indicamos los puntos que están úni-
camente en el plano yz.
 El plano xz divide al espacio en dos partes: izquierda y derecha; con los valores 
de la variable y señalamos qué tan a la izquierda ( y \ufffd 0) o a la derecha ( y \ufffd 0) 
se ubica algún punto respecto al plano xz. Con y = 0 indicamos los puntos que 
están solamente en el plano xz.
 El plano xy divide al espacio en dos partes: abajo y arriba; con los valores de la 
variable z indicamos qué tan abajo ( z \ufffd 0) o arriba ( z \ufffd 0) se encuentra algún 
punto en relación con el plano xy. Con z = 0 indicamos los puntos que están 
exactamente en el plano xy.
1. En cuanto a este sistema de referencia, ¿cuáles serían los valores aproximados 
en metros de las variables x, y y z correspondientes a tu posición en el salón?
2. Discute las diferencias y similitudes que tienen los valores de las variables x, 
y y z relativas a las posiciones de tus compañeros que están en la primera fila.
3. ¿En qué se diferencian las coordenadas de tus compañeros de la última fila 
respecto a los de la primera?
4. ¿Cuál es la variable que indica la posición relativa al plano yz? Indica, en térmi-
nos de esta variable, la posición de los alumnos de la primera y última filas.
5. Considerando las posiciones de tus compañeros de la primera fila, ¿qué va-
riable utilizarías para diferenciarlas unas de otras? Indica, en términos de esta 
variable, las posiciones de tus compañeros de la primera fila.
6. ¿En qué se diferencian las coordenadas de los alumnos de la primera fila en el 
salón que está encima del nuestro respecto a la posición de tus compañeros de 
la primera fila?
7. ¿Cuál es la variable que indica la posición relativa al plano yz? Indica, en tér-
minos de esta variable, la posición de los alumnos de la primera fila, tanto en 
nuestro salón como en el salón por encima del nuestro.
Discusión de la Situación-Problema 1
Cada persona u objeto en este salón de clases ocupa un lugar en el espacio cuya posi-
ción puede ser descrita en términos de las distancias a los planos de referencia elegidos. 
Así, cada uno de nosotros se encuentra a cierta distancia (aproximada, teniendo en 
cuenta el punto de nuestro cuerpo desde donde empezamos a medir) de la pared del 
pizarrón (plano yz), ésta es la coordenada x de nuestra ubicación en el espacio. De 
igual forma, nuestra distancia al plano xz (pared a la izquierda del pizarrón) es la co-
ordenada y. Finalmente, nuestra distancia al piso (plano xy) es la coordenada z. En 
este último caso es claro que los valores pueden variar sustancialmente dependiendo 
del punto de nuestro cuerpo que elijamos; por ejemplo, si lo ubicamos en nuestros 
pies, z sería 0, pero si lo ubicáramos en la parte superior de nuestra cabeza, z sería 
nuestra altura (si estuviéramos de pie).
Por supuesto que distintos valores de las coordenadas corresponden a distintas po-
siciones. Por ejemplo, los estudiantes de la primera fila, aunque podría decirse que 
tienen (aproximadamente) la misma coordenada x (distancia a la pared del pizarrón) 
y z (distancia al piso), tienen valores significativamente distintos de la coordenada y 
(distancia a la pared izquierda, relativa a los estudiantes).
6 \u2022 Unidad 1 Gráficas en el espacio tridimensional
Un estudiante en la primera fila se distingue, en cuanto a coordenadas se refiere, de 
cualquier otro ubicado en la última fila por tener un valor distinto de x (distancia a la 
pared del pizarrón). La diferencia entre las posiciones de los compañeros de la pri-
mera fila la establece la variable y (posición relativa a la pared izquierda). Las po-
siciones de los estudiantes de la primera fila de este salón, comparadas con las de 
los estudiantes de la primera fila del salón que está encima de él, tendrán un valor 
menor de z.
Consideraciones alrededor de la Situación-Problema 1
1. Coordenadas cartesianas
En relación con tres planos coordenados, cada punto del espacio está determinado por 
las tres distancias a éstos. Estas distancias forman las coordenadas (relativas a esos tres 
planos de referencia) del punto. 
Por supuesto que si cambiamos de planos, es decir, cambiamos el sistema de referencia, 
las coordenadas cambiarán. Las posiciones de los puntos son relativas a los sistemas de 
referencia.
Elegir tres planos perpendiculares entre sí como sistema de referencia origina las lla-
madas coordenadas cartesianas, o rectangulares. 
2. Otras coordenadas
Se pueden tener otros sistemas de referencia distintos del sistema rectangular, por 
ejemplo:
a) Si se elige un punto en el espacio como referencia, cada posición en el espacio tie-
ne una cierta distancia a ese punto. Todos los puntos del espacio que están a la 
misma distancia del punto elegido forman una esfera. Esta distancia es una de las 
llamadas coordenadas esféricas.
b) Si fijamos una recta en el espacio, la distancia de un punto del espacio a esta rec-
ta constituye una de las llamadas coordenadas cilíndricas; el nombre proviene 
del hecho de que todos los puntos del espacio con la misma distancia a la recta 
forman un cilindro.
Más adelante volveremos con estas nuevas coordenadas y veremos que resultan muy 
convenientes