CALCULO APLICADO Competencias matematicas a traves de contexto

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de la SP-12
En este punto queremos repasar las diversas situaciones que se presentaron en la SP-12 
para calcular el flujo, pero ahora utilizando la fórmula general obtenida al final de la 
consideración anterior; la idea es familiarizarnos en su uso para posteriormente avanzar 
a otras situaciones.
En todos los incisos se pide el flujo en dirección de N k= .
Solución de a). En este inciso, v i j vk= + +0 0 , donde la magnitud v v=
 
es 
constante y positiva. El flujo a través de la compuerta S debe de ser F v dS
S
= \u222b\u222b \ufffd . 
Queremos hacer notar que para calcular esta integral podemos desarrollar el produc-
to punto del integrando v dS\ufffd de dos formas distintas:
\u2022 Como se conocen las componentes de los dos vectores v i j vk= + +0 0 y 
dS dSN dSk i j dSk= = = + +0 0 , podemos multiplicar componente a 
componente y obtener: v dS vdS\ufffd = .
\u2022 Como también conocemos las magnitudes de los vectores v y dS , además 
del cose no del ángulo entre ellos, podemos obtener el producto punto con la 
otra forma de calcularlo: producto de las magnitudes por el coseno del án-
gulo entre ellos. Veamos. En este ejemplo v i j vk= + +0 0 , entonces v v= ; 
y dS dS N dS k dS= = =\ufffd \ufffd ; además, sabemos que si a es el ángulo entre 
v y dS, entonces cos a = 1 porque v y dS van en la misma dirección (el prime-
ro es vk y el segundo es dS k\ufffd ) y a = 0. 
En cualquier caso tenemos que v dS vdS\ufffd = y, en consecuencia,
F v dS v dS v dS.
S S S
= = =\u222b\u222b \u222b\u222b \u222b\u222b\ufffd
La última integral representa el área de (toda) la superficie S, ya que es la suma de 
todos los diferenciales de área sobre la superficie; es decir,
S
dS S\u222b\u222b = área de .
Tenemos entonces que el flujo es F = v (área de S) = v (b \u2212 a)(d \u2212 c), (porque la su-
perficie es un rectángulo de dimensiones (b \u2212 a) y (d \u2212 c)). Por supuesto que este 
resultado coincide con la respuesta que se obtiene directamente al multiplicar la 
 Tema 3.1 Fórmula general para el flujo y teorema de la divergencia \u2022 191 
velocidad del fluido por el área de la compuerta, fórmula que podemos usar porque 
la velocidad del fluido es constante y perpendicular a la compuerta.
Solución de b). En este caso el campo de velocidades está dado por la función (vec-
torial) v x y z yk( ), , = y la superficie S: 2 \u2264 x \u2264 5, 1 \u2264 y \u2264 5, z = 0. 
Calcularemos el flujo del campo v x y z yk( ), , = a través de la superficie S, con-
siderando el vector normal unitario N k= , como está estipulado: utilizando de nuevo 
la fórmula general F v dS
S
= \u222b\u222b \ufffd . Como v dS v dS ydS\ufffd = =cos \ufffd , el 
flujo es F ydS
S
= \u222b\u222b .
Ya que estamos integrando sobre una superficie que está en el plano xy, el di-
ferencial de área dS representa el área de una porción infinitamente pequeña 
del plano xy que se expresa así: dS = dxdy, o dS = dydx, y que corresponde al 
área de un rectángulo infinitesimal de lados dx y dy. Tenemos entonces que 
F ydS ydxdy
S S
= =\u222b\u222b \u222b\u222b ; de la última integral debemos interpretar que suma-
mos para todas las x y todas las y de los puntos que pertenecen a la superficie S. Aho-
ra bien, como los puntos de S cumplen que 2 \u2264 x \u2264 5, 1 \u2264 y \u2264 5, se tiene, por lo 
tanto, que F ydxdy ydxdy
S y
y
x
x
= =\u222b\u222b \u222b \u222b
=
=
=
=
1
5
2
5
 lo que indica realizar dos integra-
les iteradas: integrar parcialmente respecto a x, evaluar en x, y posteriormente inte-
grar respecto a y lo que haya resultado, para finalmente evaluar en los límites de esta 
última variable:
F ydxdy.
y
y
x
x
=
=
=
=
=\u222b \u222b15 25
ydx yx y y y F y
x
x
x
x
y
y
=
=
=
=
=
=\u222b = = \u2212 = \u21d2 =25 25 155 2 3 3\u222b\u222b =dy
= \u2212 = =
y
3
2
75
2
3
2
72
2
36.
2
1
5
Análogamente, se puede plantear la integral 
x
x
y
y
ydydx
=
=
=
=\u222b \u222b25 15 , que corresponde a 
un cambio en el orden de integración para representar el mismo flujo F.
Solución de c). Consideremos el campo vectorial dado por v x y z i j k( ), , = + +0 3 
k3 y la superficie S: 2 \u2264 x \u2264 5, 1 \u2264 y \u2264 5, z = 0.
Para calcular el flujo utilizaremos de nuevo la fórmula F v dS
S
= \u222b\u222b \ufffd , y para hacer-
lo calcularemos el producto punto de dos formas diferentes, igual que en el inciso a).
\u2022 Componente a componente. v x y z i j k( ), , = + +0 3 y dS dS N= =\ufffd
dS k\ufffd , por lo tanto, v dS dS\ufffd = 3 .
\u2022 Obteniendo la magnitudes y el coseno del ángulo entre los dos vectores. 
\ufffd
v = + + =0 1 3 22 2
2
, dS dS N dS k dS= = =\ufffd \ufffd ; para obte-
ner el coseno entre los vectores es suficiente observar la siguiente figura.
192 \u2022 Unidad 3 Teoremas fundamentales para los campos vectoriales
De ahí que cos \ufffd = 32 y, por lo tanto, v dS v dS dS dS\ufffd = = =cos \ufffd 2
3
2
3 .
En cualquier caso se tiene que el flujo es igual a 
F v dS dS dS S
S S S
= = = = =\u222b\u222b \u222b\u222b \u222b\u222b\ufffd 3 3 3 (área de ) 33 12 20 7846.( ) .=
3. Extensión de la noción de \ufb02ujo a un campo vectorial en general
El flujo es una medida asociada a un fluido en relación con una superficie. El movi-
miento del fluido está caracterizado por sus vectores de velocidad; se habla del flujo 
del campo de velocidades a través de una superficie (en una dirección dada por un 
vector normal a la superficie) y se obtiene por medio de una integral de superficie. 
La idea de flujo como medida puede extenderse a un campo vectorial en general. Se 
puede hablar, por ejemplo, del flujo del campo eléctrico, del campo magnético o del 
campo gravitacional, a través de una superficie, aunque no haya fluido alguno que la 
\u201catraviese\u201d. En general, el flujo de un campo vectorial E a través de una superficie S 
en una dirección dada (establecida por una elección previa de los vectores normales 
a la superficie) es la integral de superficie
 = \u222b\u222b E dSS \ufffd .
Lo anterior resulta haciendo la analogía con lo que ocurre con un campo de velo-
cidades. En el caso de que la superficie S sea cerrada (con un lado interior y uno 
exterior, la cáscara o frontera de un sólido, como una esfera, por ejemplo) se con-
viene calcular el flujo que atraviesa la superficie hacia fuera. Es decir, de las dos 
posibilidades que cada punto de la superficie tiene en cuanto a colocar ahí un vec-
tor normal unitario, se elige por convención aquella en la que este vector apunta 
hacia fuera. 
El flujo del campo E sobre una superficie cerrada S se escribe así:
 = \u222b\u222b E dS,S \ufffd
donde el círculo sobre la integral doble enfatiza el hecho de que la superficie es 
cerrada.
4. Cálculos especiales de la integral de super\ufb01cie
En este punto presentaremos algunas situaciones en las que el cálculo de la integral 
de superficie puede simplificarse a causa de la relación que guarda el campo con la 
normal a la superficie.
1
3N
vv
N
1
a 3
1
2a3
 Tema 3.1 Fórmula general para el flujo y teorema de la divergencia \u2022 193 
a) Consideremos el caso especial en que un campo E es de magnitud constante y va 
en dirección de la normal a la superficie S en cada uno de sus puntos; tendremos 
entonces que: 
 
F E ds E ds E ds E ds E
S
= = = = =\u222b\u222b \ufffd cos 0 (área de ).SSSS \u222b\u222b\u222b\u222b\u222b\u222b
 Un importante ejemplo donde se cumple esta relación entre campo y superficie es el 
del campo eléctrico que genera una carga puntual de q coulombs y la esfera de radio 
r con centro en la carga. Este campo es radial (hacia fuera cuando q > 0) y tiene mag-
nitud constante en todos los puntos de la esfera, como se ilustra en la siguiente figura.
N
N
N
N
E
E
E E
E
E
E
q
r
 Tenemos entonces que el flujo del campo eléctrico a través de la esfera es
F E dS E
S
= =\u222b\u222b \ufffd (área de la esfera)
 Si P es un punto de la esfera de radio r, se sabe que E P k( ) = q2\ufffd , entonces el flu-
jo está dado por F E k q= =(área de la esfera) ( )
\ufffd
\ufffd\ufffd2 4
2 ; o sea, F = 4pkq.
 Este resultado se concilia con la llamada ley de Gauss: El flujo de un campo eléc-
trico a través de una superficie cerrada