Matematicas aplicadas a la administracion y a la economia
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Matematicas aplicadas a la administracion y a la economia


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41. (2x \ufffd 3y)2 \ufffd (2x \ufffd 3y)2
42. 3[(x \ufffd y)2 \ufffd (x \ufffd y)2]
43. xy[(x \ufffd y)2 \ufffd (x \ufffd y)2]
44. (3a \ufffd b)2 \ufffd 3(a \ufffd b)2
SECCIÓN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 37
Este es un ejemplo del resultado general
Dividendo \ufffd (Cociente)(Divisor) \ufffd Residuo
Este es un resultado útil, porque nos permite verificar la respuesta de cual-
quier división larga. Podemos utilizar este resultado para comprobar el ejemplo 12.
2x3 \ufffd 11x2 \ufffd 23 \ufffd (x2 \ufffd 4x \ufffd 6)(2x \ufffd 3) \ufffd 5
Dividendo \ufffd (Cociente)(Divisor) \ufffd Residuo \u261b 25
\u261b 25. Verifique si es correcta la
siguiente división larga:
\ufffd
3x2 \ufffd
x \ufffd
3x
2
\ufffd 10
\ufffd\ufffd 3x \ufffd 3 \ufffd \ufffd
x \ufffd
4
2
\ufffd
Respuesta Debe verificar que 
3x2 \u2013 3x \u2013 10 \ufffd (3x \ufffd 3)(x \u2013 2) \ufffd 4.
Esto no es correcto. (El residuo debe
ser \u20134)
EJERCICIOS 1-5
45. 3{x2 \ufffd 5[x \ufffd 2(3 \ufffd 5x)]}
46. 2{a2 \ufffd 2a[3a \ufffd 5(a2 \ufffd 2)]} \ufffd 7a2 \ufffd3a \ufffd 6
47. 2a{(a \ufffd 2)(3a \ufffd 1) \ufffd [a \ufffd 2(a \ufffd 1)(a \ufffd 3)]}
48. (a \ufffd 3b)(a2 \ufffd 3ab \ufffd b2) \ufffd (a \ufffd b)2(a \ufffd 2b)
49. \ufffd4x
3
2
\ufffd
x
3x2
\ufffd 50. \ufffd15x
5
5
\ufffd
x2
25x3
\ufffd
51. \ufffdx
3 \ufffd 7x2
x
\ufffd
2
5x \ufffd 4
\ufffd
52.
53. 54.
t3 \ufffd 2t2 \ufffd 3t \ufffd 1
\ufffd\ufffd
t\ufffdt\ufffd
t2 \ufffd 2t \ufffd 7
\ufffd\ufffd
\ufffdt\ufffd
y4 \ufffd 6y3 \ufffd 7y2 \ufffd 9y \ufffd 3
\ufffd\ufffd\ufffd
3y2
55. \ufffd6x
2y
2
\ufffd
xy
8xy2
\ufffd \ufffd \ufffd
x3y2
x
\ufffd
2y
2
2
x2y3
\ufffd
56. \ufffd3x
4
3
\ufffd
x3
9
y
x2y2
\ufffd \ufffd \ufffd
4x3
2
\ufffd
x2y
8xy2
\ufffd
(57-64) Simplifique por medio de la división larga:
57. (x2 \ufffd 5x \ufffd 6) \ufffd (x \ufffd 2)
58. (6x2 \ufffd x \ufffd 1) \ufffd (3x \ufffd 1)
59. (t2 \ufffd 1) \ufffd (t \ufffd 1)
60. (6x2 \ufffd 5x \ufffd 1) \ufffd (2x \ufffd 3)
61. (x3 \ufffd 2x2 \ufffd x \ufffd 5) \ufffd (x \ufffd 2)
62. x3 \ufffd (x \ufffd 1)
63. (2x3 \ufffd 3x2 \ufffd 4x \ufffd 6) \ufffd (2x \ufffd 1)
64. (6x3 \ufffd 11x2 \ufffd 19x \ufffd 5) \ufffd (3x \ufffd 2)
38 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA
1-6 FACTORIZACIÓN
Si el producto de dos enteros a y b es c, es decir, c \ufffd a 
 b, entonces a y b se lla-
man factores de c. En otras palabras, un entero a es un factor de otro entero c si a
divide exactamente c. Por ejemplo, 2 y 3 son factores de 6; 2, 3, 4 y 6 son factores
de 12; etcétera.
Esta terminología también se emplea para expresiones algebraicas. Si dos (o
más) expresiones algebraicas se multiplican a la vez, estas expresiones se dice que
son factores de la expresión que se obtuvo como producto. Por ejemplo, la expre-
sión 2xy se obtuvo multiplicando 2, x y y, de modo que 2, x y y son los factores de
2xy. Más aún, por ejemplo, 2y es un factor de 2xy ya que 2xy puede obtenerse mul-
tiplicando 2y por x.
De manera similar, x es un factor de la expresión 2x2 \ufffd 3x puesto que pode-
mos escribir 2x2 \ufffd 3x \ufffd x(2x \ufffd 3) y x2 es un factor de 6x2 \ufffd 9x3 ya que podemos
escribir 6x2 \ufffd 9x3 \ufffd x2(6 \ufffd 9x).
El proceso de escribir una expresión dada como el producto de sus factores se
llama factorización de la expresión. En esta sección, examinaremos ciertos méto-
dos mediante los cuales podemos factorizar expresiones algebraicas.
La primera etapa en la factorización de una expresión algebraica es extraer to-
dos los monomios que sean comunes a todos los términos. El ejemplo siguiente ilus-
tra esto.
EJEMPLO 1 Factorice todos los monomios comunes de las expresiones siguien-
tes.
a) x2 \ufffd 2xy2
b) 2x2y \ufffd 6xy2
c) 6ab2c3 \ufffd 6a2b2c2 \ufffd 18a3bc2
Solución
a) Escribamos cada término en la expresión dada en términos de sus factores
básicos.
x2 \ufffd x \ufffd x 2xy2 \ufffd 2 \ufffd x \ufffd y \ufffd y
Observando las dos listas de factores básicos, advertimos que x es el único factor co-
mún a ambos términos. De modo que escribimos
x2 \ufffd 2xy2 \ufffd x \ufffd x \ufffd x \ufffd 2y2 \ufffd x(x \ufffd 2y2)
Note cómo la propiedad distributiva se utiliza para extraer el factor común, x.
b) Expresando cada término en términos de sus factores básicos, tenemos
2x2y \ufffd 2 \ufffd x \ufffd x \ufffd y y 6xy2 \ufffd 2 \ufffd 3 \ufffd x \ufffd y \ufffd y
Los factores 2, x y y, aparecen en ambas listas, por lo que el factor común es 2xy.
Esto da
2x2y \ufffd 6xy2 \ufffd 2xy \ufffd x \ufffd 2xy \ufffd 3y \ufffd 2xy(x \ufffd 3y)
de nuevo, usando la propiedad distributiva.
c) Primero factorizamos los términos:
6ab2c3 \ufffd 2 \ufffd 3 \ufffd a \ufffd b \ufffd b \ufffd c \ufffd c \ufffd c
6a2b2c2 \ufffd 2 \ufffd 3 \ufffd a \ufffd a \ufffd b \ufffd b \ufffd c \ufffd c
18a3bc2 \ufffd 2 \ufffd 3 \ufffd 3 \ufffd a \ufffd a \ufffd a \ufffd b \ufffd c \ufffd c
El factor común de estos tres términos es 2 \ufffd 3 \ufffd a \ufffd b \ufffd c \ufffd c \ufffd 6abc2
6ab2c3 \ufffd 6a2b2c2 \ufffd 18a3bc2 \ufffd 6abc2 \ufffd bc \ufffd 6abc2 \ufffd ab \ufffd 6abc2 \ufffd 3a2
\ufffd 6abc2(bc \ufffd ab \ufffd 3a2) \u261b 26
Ahora abordaremos el problema de extraer factores que son expresiones bino-
miales de expresiones algebraicas de diversos tipos. Algunas de las fórmulas esta-
blecidas en la sección 1-5 son útiles en la factorización, en particular la fórmula si-
guiente.
a2 \ufffd b2 \ufffd (a \ufffd b) (a \ufffd b) (1)
Esta fórmula puede usarse para factorizar cualquier expresión que sea reducible a la
diferencia de dos cuadrados.
EJEMPLO 2 Factorice completamente: a) x2y4 \ufffd 9; b) 5x4 \ufffd 80y4
Solución a) La expresión dada puede escribirse como
(xy2)2 \ufffd 32
SECCIÓN 1-6 FACTORIZACIÓN 39
\u261b 26. Saque todos lo factores
comunes de
a) 12ab \u2013 8a2b
b) 4xyz \u2013 6x2z \ufffd 12xy2
c) x(3x \u2013 1)2 \u2013y(3x \u2013 1)2
Respuesta a) 4ab(3 \u2013 2a)
b) 2x(2yz \ufffd 3xz \ufffd 6y2)
c) (3x \u2013 1)2(x \u2013 y)
que es una diferencia de dos cuadrados. Usando la fórmula (1) con a \ufffd xy2 y b \ufffd 3,
tenemos
x2y4 \ufffd 9 \ufffd (xy2)2 \ufffd 32 \ufffd (xy2 \ufffd 3) (xy2 \ufffd 3)
Ninguna de las expresiones entre paréntesis en el lado derecho puede factorizarse
aún más.
b) Antes que todo, verifiquemos si podemos factorizar algún monomio de
5x4 \ufffd 80y4. En este caso, dado que el término es divisible entre 5, sacamos el factor
común 5.
5x4 \ufffd 80y4 \ufffd 5(x4 \ufffd 16y4)
La expresión x4 \ufffd 16y4 es una diferencia de cuadrados.
5x4 \ufffd 80y4 \ufffd 5[(x2)2 \ufffd (4y2)2]
\ufffd 5[(x2 \ufffd 4y2)(x2 \ufffd 4y2)]
\ufffd 5[(x2 \ufffd 4y2)(x2 \ufffd 4y2)
La factorización no está completa, porque x2 \ufffd 4y2 \ufffd x2 \ufffd (2y)2 puede factorizarse
aun como (x \ufffd 2y)(x \ufffd 2y). En consecuencia, nos falta un paso.
5x4 \ufffd 80y4 \ufffd 5(x2 \ufffd 4y2)(x2 \ufffd 4y2)
\ufffd 5(x \ufffd 2y)(x \ufffd 2y) (x2 \ufffd 4y2) \u261b 27
Observaciones 1. La fórmula (1) nos permite factorizar cualquier expresión
que tenga la forma de una diferencia de cuadrados. No existe una fórmula corres-
pondiente para expresar la suma a2 \ufffd b2 como el producto de dos o más factores.
Una expresión que contiene la suma de dos cuadrados, tal como a2 \ufffd b2 o 4x2 \ufffd
9y2, no puede factorizarse.
Sin embargo, expresiones tales como a3 \ufffd b3, a4 \ufffd b4, etc., que contienen la
suma de dos potencias más altas pueden factorizarse. Esto se examina después.
2. Podemos escribir
x2 \ufffd 2 \ufffd x2 \ufffd (\ufffd2\ufffd)2 \ufffd (x \ufffd \ufffd2\ufffd)(x \ufffd \ufffd2\ufffd)
Por lo regular es aceptable incluir números irracionales (como \ufffd2\ufffd) en los factores.
Sin embargo, preferimos no usar expresiones que incluyan a \ufffdx\ufffd como factores. Por
ejemplo, como regla no escribiremos
x \ufffd 4 \ufffd (\ufffdx\ufffd)2 \ufffd 22 \ufffd (\ufffdx\ufffd \ufffd 2) (\ufffdx\ufffd \ufffd 2)
Una técnica útil al factorizar expresiones algebraicas que contienen un núme-
ro par de términos es el método de agrupamiento. En este método, los términos se
agrupan en parejas y los monomios comunes se extraen de cada par de términos. Es-
to a menudo revela un factor binomial común a todas las parejas. Este método es en
particular útil para expresiones que contienen cuatro términos.
40 CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA
\u261b 27. Utilice la fórmula para la
diferencia de cuadrados, para 
factorizar 2x2 \u2013 4
Respuesta (\ufffd2\ufffdx \ufffd 2)(\ufffd2\ufffdx \ufffd 2) 
o bien 2(x \ufffd \ufffd2\ufffd)(x \ufffd \ufffd2\ufffd)
EJEMPLO 3 Factorice ax2 \ufffd by2 \ufffd bx2 \ufffd ay2
Solución Podemos agrupar los términos de la expresión dada en aquellos que tie-
nen a x2 como factor y en aquellos que tienen a y2 como factor:
(ax2 \ufffd bx2) \ufffd (ay2 \ufffd by2)
Cada término dentro de los primeros paréntesis es divisible entre x2, y cada término
en los segundos paréntesis es divisible entre y2; por tanto, podemos escribir esta ex-
presión como
x2(a \ufffd b) \ufffd y2(a \ufffd b)
Note que (a \ufffd b) es común a ambos términos. Así,
x2(a \ufffd b) \ufffd y2(a \ufffd b) \ufffd (a \ufffd b)(x2 \ufffd y2)
De aquí que la expresión dada tenga los factores (a \ufffd b) y (x2 \ufffd y2)
EJEMPLO 4 Factorice la expresión 2x3y \ufffd 4x2y2 \ufffd 8xy \ufffd 16y2
Solución Observemos en primer lugar que los términos de esta expresión tienen
un monomio como factor común 2y, y podemos escribir
2x3y \ufffd 4x2y2 \ufffd 8xy \ufffd 16y2 \ufffd