LEIS DE KIRCHHOFF - 1
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LEIS DE KIRCHHOFF - 1


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Cap\u131´tulo 6
Leis de Kirchhoff
6.1 Definic¸o\u2dces
Em alguns casos, um circuito na\u2dco pode ser resolvido
atrave´s de associac¸o\u2dces em se´rie e paralelo. Nessas
situac¸o\u2dces geralmente sa\u2dco necessa´rias outras leis, ale´m
da lei de Ohm, para sua resoluc¸a\u2dco. Estas leis adicio-
nais sa\u2dco as leis de Kirchhoff, as quais propiciam uma
maneira geral e sistema´tica de ana´lise de circuitos. Elas
sa\u2dco duas, a saber:
\u2022 Primeira lei de Kirchhoff ou lei das Correntes
\u2022 Segunda lei de Kirchhoff ou lei das Tenso\u2dces
Para o uso destas leis sa\u2dco necessa´rias algumas
definic¸o\u2dces:
\u2022 No´: e´ um ponto do circuito onde se conectam no
m\u131´nimo tre\u2c6s elementos. E´ um ponto onde va´rias
correntes se juntam ou se dividem.
\u2022 Ramo ou brac¸o: e´ um trecho de um circuito com-
preendido entre dois no´s consecutivos. Todos os
elementos pertencentes ao ramo sa\u2dco percorridos
pela mesma corrente ele´trica.
\u2022 Malha: e´ um trecho de circuito que forma uma
trajeto´ria eletricamente fechada.
Figura 6.1: Circuito ele´trico com dois no´s
Na figura 6.1, por exemplo, identifica-se:
1. dois no´s: B e F
2. tre\u2c6s ramos: BAEF, BDF e BCGF
3. tre\u2c6s malhas: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA
6.2 Primeira Lei de Kirchhoff
Uma boa introduc¸a\u2dco a` Primeira Lei de Kirchhoff ja´ foi
vista no circuito paralelo. Num dado no´ entrava a cor-
rente total do circuito e do mesmo no´ partiam as corren-
tes parciais para cada resistor. Como no no´ na\u2dco ha´ possi-
bilidade de armazenamento de cargas ou vazamento das
mesmas, tem-se que a quantidade de cargas que chegam
ao no´ e´ exatamente igual a` quantidade de cargas que
saem do no´.
Desta constatac¸a\u2dco surge o enunciado da primeira lei
de Kirchhoff:
\u201cA SOMA ALGE´BRICA DAS CORRENTES EM UM NO´
E´ SEMPRE IGUAL A ZERO.\u201d
n
\u2211
i=0
Ii = 0 (6.1)
Por convenc¸a\u2dco, consideram-se as correntes que en-
tram em um no´ como positivas e as que saem como ne-
gativas.
Considere o circuito da figura 6.2.
Ao se aplicar a lei de Kirchhoff das correntes aos no´s
B e F, obte´m-se:
No´ B: I1 + I2\u2212 I3 = 0
No´ F: \u2212I1\u2212 I2 + I3 = 0
Observa-se que as equac¸o\u2dces dos no´s B e F sa\u2dco na re-
alidade as mesmas, ou seja, a aplicac¸a\u2dco da lei das cor-
rentes de Kirchhoff ao no´ F na\u2dco aumenta a informac¸a\u2dco
sobre o circuito. Assim, o nu´mero de equac¸o\u2dces inde-
pendentes que se pode obter com a aplicac¸a\u2dco da lei das
correntes de Kirchhoff em um circuito ele´trico e´ igual
ao nu´mero de no´s menos um.
Se equac¸a\u2dco do no´ B, isolarmos de um lado da igual-
dade as correntes que chegam no no´ (nesse caso I1 e I2) e
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CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF
Figura 6.2:
do outro lado as correntes que saem do mesmo no´ (nesse
caso apenas a I3), temos:
I1 + I2 = I3
Observando o resultado da equac¸a\u2dco podemos concluir
que a soma das correntes que entram no no´ e´ igual a
soma das correntes que saem dele. Essa e´ uma outra
forma de se interpretar a primeira lei de Kirchhoff.
6.3 Segunda Lei de Kirchhoff
A lei de Kirchhoff das tenso\u2dces e´ aplicada nas malhas.
Ela ja´ foi usada no estudo dos circuitos de resistores em
se´rie, onde a soma das quedas de tensa\u2dco nos resistores e´
igual a` f.e.m. da fonte.
Se no circuito existe mais de uma fonte de f.e.m.
deve-se determinar a resultante das mesmas, ou seja,
soma´-las considerando os seus sentidos relativos.
Figura 6.3:
Et =VAB+VBC+VCD
Como a tensa\u2dco em um resistor pode ser calculada
pela lei de Ohm, temos:
E1\u2212E2 = R1 · I+R2 · I+R3 · I
+E2\u2212E1 +R1 · I+R2 · I+R3 · I = 0
Entenda-se que, na fonte de f.e.m., uma forma de
energia na\u2dco-ele´trica e´ convertida para ele´trica cedendo
energia para as cargas, ou seja, colocando as cargas em
um potencial mais elevado. Nas quedas de tensa\u2dco as car-
gas se dirigem para um potencial mais baixo havendo o
consumo da energia das cargas convertendo-a para uma
forma de energia na\u2dco-ele´trica, por exemplo, calor, luz
etc. Assim, ao percorrer uma malha fechada, percebe-
se que toda a energia entregue a`s cargas num trecho do
circuito ele´trico e´ dissipada num outro trecho.
A tensa\u2dco, por definic¸a\u2dco, esta´ associada a` energia ce-
dida a`s cargas ou retirada das mesmas durante o seu mo-
vimento. Da\u131´ e´ obtido o enunciado da Segunda Lei de
Kirchhoff:
\u201cA SOMA ALGE´BRICA DAS TENSO\u2dcES (f.e.m.s e
quedas de tensa\u2dco) AO LONGO DE UMA MALHA
ELE´TRICA E´ IGUAL A ZERO.\u201d
n
\u2211
i=0
Vi = 0 (6.2)
Para a aplicac¸a\u2dco da lei de Kirchhoff das tenso\u2dces, faz-
se necessa´rio adotar alguns procedimentos que sa\u2dco des-
critos a seguir:
1. Atribuir sentidos arbitra´rios para as correntes em
todos os ramos;
2. Polarizar as fontes de f.e.m. com positivo sempre
na placa maior da fonte, conforme a figura 6.4;
Figura 6.4:
3. Polarizar as quedas de tensa\u2dco nos resistores usando
a convenc¸a\u2dco de elemento passivo e sentido conven-
cional de corrente ele´trica. Isto equivale a colocar a
polaridade positiva da queda de tensa\u2dco no resistor
no terminal por onde a corrente entra no mesmo,
conforme a figura 6.5;
Figura 6.5:
4. Montar a equac¸a\u2dco percorrendo a malha e somando
algebricamente as tenso\u2dces. O sinal da tensa\u2dco cor-
responde ao sinal da polaridade pela qual se in-
gressa no componente, independentemente do sen-
tido da corrente ele´trica.
De acordo com o circuito apresentado na figura 6.6,
ao se aplicar a lei das tenso\u2dces de Kirchhoff a`s malhas
ABDFEA e BCGFDB, no sentido hora´rio, obte´m-se:
RODRIGO SOUZA E ALVACIR TAVARES 58 CURSO DE ELETROMECA\u2c6NICA/IFSUL
CAPI´TULO 6. LEIS DE KIRCHHOFF
Malha ABDFEA: R1 · I1 +E2\u2212R2 · I2 +R4 · I1 +E1 = 0
Malha BCGFDB: \u2212E1 +R3 · I3 +E4 +R2 · I2\u2212E2 = 0
Figura 6.6:
No circuito da figura 6.6, existe ainda mais uma ma-
lha (a malha externa ABCGFEA). Nesta malha poderia
ser aplicada tambe´m a lei das tenso\u2dces de Kirchhoff. En-
tretanto, como no caso da lei das correntes, a equac¸a\u2dco re-
sultante seria dependente das duas ja´ obtidas. Portanto,
esta equac¸a\u2dco seria inu´til.
Supondo-se que, no circuito da figura 6.6, fossem
conhecidos os valores de todas as f.e.m.s das fon-
tes de tensa\u2dco e todas as resiste\u2c6ncias, restariam como
inco´gnitas as tre\u2c6s correntes. Para resolver um sis-
tema de equac¸o\u2dces lineares com tre\u2c6s inco´gnitas sa\u2dco ne-
cessa´rias tre\u2c6s equac¸o\u2dces. Uma equac¸a\u2dco ja´ foi obtida com
a aplicac¸a\u2dco da lei da correntes de Kirchhoff. Portanto,
sa\u2dco necessa´rias mais duas, que podem ser obtidas pela
aplicac¸a\u2dco da lei das tenso\u2dces de Kirchhoff.
Em s\u131´ntese, pode-se concluir que, em um circuito
ele´trico com r ramos e n no´s, tem-se r correntes, uma
em cada ramo. A lei das correntes de Kirchhoff fornece
Ne1 = n\u2212 1 equac¸o\u2dces e, portanto, a lei das tenso\u2dces de
Kirchhoff deve fornecer Ne2 = r\u2212 n+ 1 equac¸o\u2dces para
que o problema possa ser resolvido.
Por exemplo, no circuito da figura 6.6, tem-se r = 3,
n = 2. Se r = 3, o nu´mero de correntes e´ 3. O nu´mero
de equac¸o\u2dces fornecidas pela lei das correntes e´ Ne1 =
2\u2212 1 = 1 e o nu´mero de equac¸o\u2dces fornecidas pela lei
das tenso\u2dces e´ Ne2 = 3\u22121 = 2, conforme discutido ante-
riormente.
A seguir, apresenta-se um resumo para aplicac¸a\u2dco da
LKC e LKT.
Resumo para aplicac¸a\u2dco das Leis de Kir-
chhoff
1. Identificar os no´s, ramos e malhas do circuito
ele´trico;
2. Atribuir para cada ramo do circuito um sentido
para a corrente ele´trica;
3. Polarizar as fontes de tensa\u2dco;
4. Polarizar as quedas de tensa\u2dco nos resistores de
acordo com o sentido adotado para a corrente;
5. Havendo no´s, aplicar a 1a Lei de Kirchhoff,
obtendo-se Ne1 equac¸o\u2dces (Ne1 = n\u22121);
6. Se o nu´mero de equac¸o\u2dces ainda na\u2dco for suficiente
para resolver o circuito, aplicar a 2a Lei de Kir-
chhoff, onde o nu´mero de equac¸o\u2dces e´ dado por
Ne2 = (r\u2212n+1);
7. Escolher um ponto de partida e adotar um sentido
de percurso para analisar a(s) malha(s).
Exemplo 6.1 : Calcule o sentido e o mo´dulo da corrente
ele´trica no circuito da figura 6.7.
Figura 6.7:
Resoluc¸a\u2dco: