Revisão de Funções

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Revisão de Funções (Lista 1 e Lista 2)
A noção de função via conjuntos
1º) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-8, -6, -4, -3, 0, 3, 6, 7} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = 3.x, com x
A e y
B, temos:
Note que:
* Todos os elementos de A têm correspondente em B;
* A cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
Nesse caso, temos uma função de A em B.
2°) Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5} e a correspondência entre A e B dada pela desigualdade y > x, com x
A e y
B, temos:
Note que:
* Todos os elementos de A têm correspondente em B;
* Ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B e não a um único.
Nesse caso, NÃO temos uma função de A em B.
3º) Dados A = {-4, -2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = x, com x
A e y 
B, temos:
Note que:
* Há elementos de A (os números -4 e -2) que não têm correspondente em B.
Nesse caso, NÃO temos uma função de A em B.
4º) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 4, 8, 16} e a correspondência entre A e B dada pela fórmula y = x
, com x
A e y
B, temos:
Note que:
* Todos os elementos de A têm correspondente em B;
* A cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
Nesse caso, temos uma função de A em B.
Definição e Notação
Dados dois conjuntos não-vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada elemento x
A a um único elemento y
B.
Usamos a seguinte notação: 
f: A
B ou A 
B
que se lê: f é uma função de A em B.
A função f transforma x de A em y de B.
Exercícios Propostos
1) Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B?
a) 
b) 
c) 
d) 
2) Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1} e a correspondência entre A e B dada por y = x – 2, com x
A e y
B, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem
1º) Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: A
B que transforma x
A em y
B.
Nesse caso, a função f: A
B está definida por y = 2.x ou por f(x) = 2.x.
Veja que para caracterizar uma função é necessário conhecer seus três componentes: o domínio (A), o contradomínio (B) e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento y = f(x) de B. Nesse exemplo, o domínio é A = {0, 1, 2, 3}, o contradomínio é B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, a regra é dada por y = 2.x e o conjunto imagem é dado por Im(f): {0, 2, 4, 6}.
 
2º) Consideremos a função g: 
 definida por g(x) = x². Nesse caso a função g transforma todo número inteiro x em outro número inteiro y que é o quadrado de x.
.
.
.
* A imagem de x = -2 é g(-2) = (-2)² = 4
* A imagem de x = -1 é g(-1) = (-1)² = 1
* A imagem de x = 0 é g(0) = (0)² = 0
* A imagem de x = 1 é g(1) = (1)² = 1
* A imagem de x = 2 é g(2) = (2)² = 4
.
.
.
Portanto, o domínio é , o contradomínio é , a regra é y = x² e o conjunto imagem é , isto é, Im(g) = .
Generalizando:
Dada uma função h de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função e o conjunto B, contradomínio da função. Para cada x
A, o elemento y
B chama-se imagem de x pela função h ou o valor assumido pela função h para x
A e o representamos por h(x). Assim, y = h(x).
O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função h e é indicado por Im(h).
Exercícios Propostos
2) Considere A 
B a função para a qual A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {-2, -1, 0, 1, 4, 7, 10} e g(x) é o triplo de x diminuído de 2 para todo x
A.
a) Considere o diagrama de flechas da função:
b) Determine D(g), CD(g) e Im(g):
c) Determine g(3):
d) Determine x para o qual g(x) = -2:
Estudo do Domínio de uma Função Real
Vimos que uma função consta de três componentes: domínio, contradomínio e lei de correspondência. Quando é citada uma função f de A em B, já ficam subentendidos o domínio (A) e o contradomínio (B).
No entanto, às vezes é dada somente a lei da função f sem que A e B sejam citados. Nesses casos consideramos o contradomínio B = e o domínio A como o “maior” subconjunto de (A ) tal que a lei dada defina uma função f: A 
 . Observe os seguintes exemplos:
1º) f(x) = 
Sabemos que o denominador de uma fração tem que ser diferente de zero, pois não existe divisão por zero. Nesse caso, temos que ter x 
0 para que 
 seja possível em .
Para cada x 
0, o valor 
 sempre existe e é único.
Logo, D(f) = - {0} = *.
2º) f(x) = 
Sabemos que no conjunto dos números reais ( ), não existe raiz quadrada de número negativo.
Portanto, temos que ter x – 4
0 para que
seja possível em .
x – 4
0 
 x 
 4
Para cada x 
 4, f(x) = 
 existe e é único.
Logo, D(f) = {x
 x 
 4} = [4, + ∞[
3º) f(x) = 
Nesse caso, devemos ter:
(I) 7 – x 
 0 
 -x 
 -7 
 x
 7 e (II) x – 2 > 0 
 x > 2
Ou seja, x
]2, 7]. Para cada x
]2, 7], f(x) existe e é único.
Logo, D(f) = ]2, 7].
Exercícios Propostos
1) Explicite o domínio das funções reais definidas por:
a) f(x) = x² - 7x + 6 c) f(x) = 
b) f(x) = 
 d) f(x) = 
Construção de Gráficos de Funções
Para construir o gráfico de uma função dada por y = f(x), com x
D(f), no plano cartesiano, devemos:
* Construir uma tabela com valores de x escolhidos convenientemente no domínio D e com valores correspondentes para y = f(x);
* A cada par ordenado (x, y) da tabela associar um ponto do plano cartesiano;
* Marcar um número suficiente de pontos, até que seja possível esboçar o gráfico da função.
Exemplos:
1º) Vamos construir o gráfico da função f: 
 dada por f(x) = 2x + 1.
Como, neste caso, D = , vamos escolher alguns valores arbitrários de x:
	x
	y = f(x) = 2x + 1
	-2
	-3
	-1
	-1
	0
	1
	1
	3
	2
	5
O gráfico da função dada é o conjunto de todos os pontos (x, y), com x real e y = 2x + 1, resultando na reta da figura abaixo.
2º) Vamos construir o gráfico da função 
 dada por f(x) = -x².
	x
	Y = f(x) = -x²
	(x, y)
	-2
	-4
	(-2, -4)
	-1,5
	-2,25
	(-1,5; -2,25)
	-1
	-1
	(-1, -1)
	0
	0
	(0, 0)
	1
	-1
	(1, -1)
	1,5
	-2,25
	(1,5; -2,25)
	2
	-4
	(2, -4)
A curva que contém todos os pontos obtidos com y = -x² é o gráfico da função dada. Essa curva se chama parábola.
3º) Vamos construir o gráfico das função 
 dada por f(x) = 
Nesse caso, a função está definida por duas sentenças: 
	x 
 3
	x
	y = f(x) = x
	(x, y)
	-1
	-1
	(-1, -1)
	1
	1
	(1, 1)
	3
	3
	(3, 3)
	x > 3
	x
	y = f(x) = x
	(x, y)
	4
	3
	(4, 3)
	5
	3
	(5, 3)
	6
	3
	(6, 3)
	
Exercícios Propostos
1) Construa o gráfico de cada uma das seguintes funções y = f(x), f: 
 : 
a) y = 2x + 3
b) f(x) = x² + 3
c) f(x) = 
	
Como determinar o domínio e a imagem de uma função a partir do seu gráfico?
Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano podemos, às vezes, determinar o domínio D e o conjunto Im da função, projetando o gráfico nos eixos:
D(f) = { x
 2 
 x 
 4} = [2, 4] D(f) = { x
 2 
 x 
 4} = [2, 4]
Im(f) = {x 
 1
 x 
 5} = [1, 5] Im(f) = {x 
 1
 x 
 5} = [1, 5]
Exercícios Propostos
1) Os seguintes gráficos representam funções; determine o domínio D e o conjunto imagem Im de cada uma delas:a) b) c) 
Determinando se um conjunto de pontos é gráfico de uma função
Já vimos que, para ter uma função de A em B, a cada x
A deve corresponder um único y
B. Geometricamente, isso significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta o gráfico deve fazê-lo uma única vez. Assim, se essa reta intersectar o gráfico em mais de um ponto, esse gráfico não é gráfico de uma função. Por exemplo:
O gráfico acima é de uma função.
	
O gráfico acima não é de uma função.
	
Exercícios Propostos
1) Determine se cada um dos gráficos abaixo representa uma função:
a) b)
 
c) d)
Analisando o gráfico de uma função
De modo geral, analisando o gráfico de uma função, podemos observar propriedades importantes dela, tais como:
1º) Onde ela é positiva (f(x) > 0), onde ela é negativa (f(x) < 0) e onde ela se anula (f(x) = 0). Os valores 
nos quais ela se anula (f(x
) = 0) são chamados zeros ou raízes da função f.
2º) Onde ela é crescente (se x
< x
, então f(x
) < f(x
)), onde ela é decrescente (se x
< x
, então f(x
) > f(x
)), onde ela é constante (se x
< x
, então f(x
) = f(x
)) e onde ela assume um valor máximo ou um valor mínimo, se existirem. 
Exemplo:
Considere o gráfico abaixo de uma função definida no intervalo ]-6, 6[:
* f é positiva em ]-5, -1[ e em ]5, 6[.
* f é negativa em ]-6, -5[ e em ]-1, 5[.
* f é nula em x = -5, x = -1 e x = 5. Esses são os zeros ou raízes da função.
* f é crescente em ]-6, -3] e em [2, 6].
* f é decrescente em [-3, 2].
* O ponto com x = -3 é um ponto de máximo e f(x) = 2 é o valor máximo de f.
* O ponto com x = 2 é um ponto de mínimo e f(x) = -3 é o valor mínimo de f.
Exercícios Propostos
1) Considerando o gráfico a seguir, que representa uma função, responda:
 a) Qual o domínio e a imagem da função?
 b) Em que intervalos a função é crescente?
 c) Em que intervalo a função é decrescente?
 d) f (1) é maior, menor ou igual a f(4)?
 e) Qual o valor de 
?
 f) Quais são os zeros ou raízes da função?
 g) Qual é o valor mínimo de f ?
Em toda função f de A em B, Im(f)� EMBED Equation.3 ���B.
x, se x� EMBED Equation.3 ��� 3
3, se x > 3
f(x) = x, se x� EMBED Equation.3 ��� 3
f(x) = 3, se x > 3
4x, se x � EMBED Equation.3 ��� 0
0, se x < 0
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