Bases Matemáticas - CAPUTI, Armando
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Bases Matemáticas - CAPUTI, Armando


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x > \u22125/3. En-
tretanto, para tal x na\u2dco valeria a condic¸a\u2dco x+ 2 < 0. Logo, esse segundo caso na\u2dco possui
soluc¸a\u2dco.
Com base nas duas ana´lises acima, obtemos o conjunto-soluc¸a\u2dco para o problema inicial:
S = {x \u2208 R | x > \u22121}. \ufffd
Observac¸a\u2dco. E´ importante destacar um cuidado que tivemos ao resolver os problemas
acima e que talvez passe despercebido. Pela natureza da definic¸a\u2dco de valor absoluto,
tivemos que estudar a equac¸a\u2dco (no primeiro problema) e a desigualdade (no segundo)
em dois casos separados. Ao fazer isso - e aqui esta´ o cuidado ao qual nos referimos -
devemos perceber que, em cada um dos casos analisados, estamos restringindo o universo
no qual se busca a soluc¸a\u2dco do problema. Esse cuidado se fez sentir, particularmente, no
segundo problema, quando, ao analisar o caso em que x+ 2 < 0 (segundo caso), fomos
obrigados a descartar as soluc¸o\u2dces da desigualdade \u2212x\u2212 2 6 2x+ 3, pois estas se encon-
travam fora do universo considerado naquele caso.
Propriedades
(No que se segue, x e y sa\u2dco nu´meros reais quaisquer)
1. |x| > 0
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2. |x| =
\u221a
x2
3. |x| = 0\u21d4 x = 0
4. |\u2212 x| = |x|
5. \u2212|x| 6 x 6 |x|
6. |xy| = |x| |y|
7. |x+ y| 6 |x|+ |y| (Desigualdade Triangular)
8. ||x|\u2212 |y|| 6 |x\u2212 y|
9. Se c > 0, enta\u2dco:
|x| 6 c\u21d4 \u2212c 6 x 6 c
10. Se c > 0, enta\u2dco:
|x| > c\u21d4 x 6 \u2212c ou x > c
Exerc\u131´cios.
Ex. 3.19 \u2014 Demonstre as seguintes propriedades do mo´dulo;
a) |\u2212x| = |x|
b) |x\u2212 y| = |y\u2212 x|
c) |x| = c\u21d4 x = ±c
d) |x · y| = |x| |y|
e)
\u2223\u2223x2\u2223\u2223 = x2
f) Se c > 0 enta\u2dco |x| < c\u21d4 \u2212c < x < c
g) \u2212 |x| 6 x 6 |x|
h) |x+ y| 6 |x|+ |y| (Desigualdade Triangular)
i) ||x|\u2212 |y|| 6 |x\u2212 y|
Ex. 3.20 \u2014 Discuta se vale ou na\u2dco a seguinte desigualdade (para um nu´mero real ar-
bitra´rio x):
\u2212x 6 |x| 6 x
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3.3.5 Introduc¸a\u2dco a` Topologia da reta
O objetivo desta sec¸a\u2dco e´ o de introduzir uma linguagem e uma notac¸a\u2dco que sera\u2dco u´teis,
mais adiante, no estudo das func¸o\u2dces reais de uma varia´vel real. Em boa parte, trata-se
de linguagem e notac¸a\u2dco conhecidas, como e´ o caso dos intervalos abertos e fechados.
A expressa\u2dco \u201dtopologia da reta\u201d, de certo modo, refere-se a propriedades dos nu´meros
reais (ou das func¸o\u2dces reais) que se expressam nessa linguagem10.
Sa\u2dco dois os conceitos que esta\u2dco na base do que se entende por topologia da reta: dista\u2c6ncia
e intervalo (na verdade, eles esta\u2dco interrelacionados, mas explorar essa interrelac¸a\u2dco foge
ao nosso escopo). Na representac¸a\u2dco geome´trica dos nu´meros reais como a reta real, am-
bos os conceitos esta\u2dco relacionados com aquele de segmento.
A dista\u2c6ncia entre dois nu´meros reais x e y e´ dada por
d(x,y) := |x\u2212 y|
Note que, vista na reta real, a noc¸a\u2dco de dista\u2c6ncia corresponde ao comprimento do seg-
mento de reta cujos extremos sa\u2dco os pontos com abscissas x e y.
Dados dois nu´meros reais a < b, um intervalo de extremos a e b e´ um dos subconjuntos
abaixo:
\u2022 (a,b) = {x \u2208 R |a < x < b} (intervalo aberto)
\u2022 [a,b] = {x \u2208 R |a 6 x 6 b} (intervalo fechado)
\u2022 [a,b) = {x \u2208 R |a 6 x < b}
\u2022 (a,b] = {x \u2208 R |a < x 6 b}
A medida de um intervalo de extremos a e b e´ a dista\u2c6ncia entre esses extremos, i.e.
|a\u2212 b|. Note que um intervalo de extremos a e b corresponde, na reta real, ao segmento
cujos extremos te\u2c6m abscissas a e b. A medida desse intervalo e´ a medida (comprimento)
do segmento correspondente.
10 A Topologia, na verdade, e´ uma a´rea ampla da Matema´tica que se ocupa, dentre outras coisas, do estudo
das func¸o\u2dces cont\u131´nuas. Tais func¸o\u2dces, e consequentemente seu estudo, se da\u2dco em contextos bem mais gerais
do que aquele das func¸o\u2dces reais de uma varia´vel real, que e´ o que nos interessa aqui. Por tal motivo, na\u2dco
aprofundaremos o significado da expressa\u2dco \u201dtopologia da reta\u201d. Na verdade, poder\u131´amos mesmo ter omitido
tal refere\u2c6ncia a` Topologia, mas por que faze\u2c6-lo se, de fato, e´ disso que esta sec¸a\u2dco trata?
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Sobre notac¸a\u2dco. Em alguns textos, a notac¸a\u2dco para intervalos abertos (ou semi-abertos) usa
o colchete invertido. Por exemplo, ]a,b[ denota o que, aqui, denotamos por (a,b). Na\u2dco
adotaremos essa notac¸a\u2dco do colchete invertido, mas somente aquela do pare\u2c6nteses, ex-
plicitada acima.
Quando falamos em intervalos, uma notac¸a\u2dco particularmente u´til e´ aquela de intervalo
centrado em um dado nu´mero real. Dado qualquer a \u2208 R e dado r > 0, o intervalo
centrado em a com raio r e´ o intervalo
(a\u2212 r,a+ r)
Nesse caso, dizemos que a e´ o centro desse intervalo. Observe que vale a seguinte pro-
priedade (prove-a por exerc\u131´cio):
x \u2208 (a\u2212 r,a+ r)\u21d4 |x\u2212 a| < r
Isso significa, em particular, que os nu´meros desse intervalo sa\u2dco aqueles que distam de
a menos do que r. Dito de outra forma, um intervalo do tipo (a\u2212 r,a+ r) pode ser in-
terpretado como o conjunto dos nu´meros que \u201daproximam\u201d o nu´mero a, com um \u201derro\u201d
menor do que r.
Uma notac¸a\u2dco semelhante a`quela de intervalo e´ usada para denotar semi-retas, lanc¸ando
ma\u2dco tambe´m dos s\u131´mbolos +\u221e e \u2212\u221e. Assim, dado a \u2208 R, tem-se
\u2022 (a,+\u221e) := {x \u2208 R | x > a}
\u2022 [a,+\u221e) := {x \u2208 R | x > a}
\u2022 (\u2212\u221e,a) := {x \u2208 R | x < a}
\u2022 (\u2212\u221e,a] := {x \u2208 R | x 6 a}
Note que na\u2dco faz sentido usar o colchete no extremo infinito, uma vez que nem \u2212\u221e nem
+\u221e sa\u2dco nu´meros reais. Por simplicidade, a`s vezes usaremos o termo \u201dintervalo\u201d tambe´m
para semi-retas como as acima.
De modo semelhante ao feito para intervalos, podemos falar em conjunto aberto e conjunto
fechado. Seja A \u2282 R um subconjunto qualquer de nu´meros reais. Dizemos que A e´ aberto
se vale a seguinte propriedade: todo ponto x \u2208 A e´ centro de um intervalo contido
em A. Dito de modo menos preciso (mas talvez mais significativo): para todo nu´mero
pertencente ao conjunto A, variac¸o\u2dces suficientemente pequenas dele continuam dentro
do conjunto A. Com linguagem formal, temos:
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A e´ aberto\u21d4 para todo x \u2208 A existe r > 0 tal que (x\u2212 r, x+ r) \u2282 A
Por outro lado, um conjunto B \u2282 R e´ fechado se o seu complementar (relativamente ao
conjunto R) e´ aberto, i.e.
B e´ fechado\u21d4 R\B e´ aberto
Exemplos 3.11
\u2022 Qualquer intervalo aberto (a,b) e´ um conjunto aberto. De fato, dado qualquer x \u2208
(a,b), tomando r como sendo a menor das dista\u2c6ncias |x \u2212 a| e |x\u2212 b|, resulta que
(x\u2212 r, x+ r) \u2282 (a,b).
\u2022 Qualquer intervalo do tipo (\u2212\u221e,a) ou (a,+\u221e) e´ aberto. De fato, dado qualquer x
em uma dessas semi-retas, tomando r = |x\u2212a|, resulta que (x\u2212 r, x+ r) esta´ contido
na semi-reta considerada.
\u2022 A unia\u2dco de conjuntos abertos e´ um conjunto aberto. [Prove por exerc\u131´cio]
\u2022 Qualquer intervalo fechado [a,b] e´ um conjunto fechado. De fato, seu complementar
e´ (\u2212\u221e,a)\u222a (b,+\u221e), que e´ aberto (pois e´ unia\u2dco de dois conjuntos abertos).
\u2022 Qualquer intervalo do tipo (\u2212\u221e,a] ou [a,+\u221e) e´ fechado, pois seus complementares
sa\u2dco semi-retas abertas.
\u2022 O conjunto R e´ aberto.
\u2022 Um intervalo do tipo [a,b) na\u2dco e´ nem aberto, nem fechado. De fato, nenhum in-
tervalo centrado em a esta´ contido em [a,b) (descartando que este seja aberto) e
nenhum intervalo centrado em b esta´ contido no complementar de [a,b) (descar-
tando que [a,b) seja fechado).
\u2022 De modo ana´logo, um intervalo do tipo (a,b] na\u2dco e´ nem aberto, nem fechado.
Os dois u´ltimos exemplos mostram que os conceitos de \u201daberto\u201d e \u201dfechado\u201d na\u2dco sa\u2dco
conceitos opostos. Isto e´, se um dos atributos na\u2dco vale para um dado conjunto, na\u2dco se
pode concluir que o outro atributo deve ser va´lido para esse conjunto.
Observac¸a\u2dco. Sob o ponto de vista formal,