Bases Matemáticas - CAPUTI, Armando
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Bases Matemáticas - CAPUTI, Armando


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Caputi e Daniel Miranda
para cada varia´vel assumida. Por fim, note ainda que o terceiro e quarto exemplos pare-
cem tratar da mesma func¸a\u2dco, uma vez que usam a mesma expressa\u2dco alge´brica, mas em
cada um dos casos os conjuntos envolvidos sa\u2dco diferentes.
Antes de voltarmos nossa atenc¸a\u2dco ao contexto que mais nos interessa, vejamos um pouco
de nomenclatura para func¸o\u2dces. Para isso, tomemos uma func¸a\u2dco qualquer f : A \u2192 B.
O conjunto A e´ chamado de dom\u131´nio de f e e´ denotado por Dom f. Ja´ o conjunto B
e´ chamado de contradom\u131´nio (na\u2dco ha´ uma notac¸a\u2dco para o contradom\u131´nio). Dado um
elemento x do dom\u131´nio, enta\u2dco, pela pro´pria definic¸a\u2dco de func¸a\u2dco, deve existir um elemento
y do contradom\u131´nio tal que y = f(x) (e esse elemento, lembre-se, e´ u´nico). Dizemos, nesse
caso, que y e´ imagem de x1. O conjunto de todas as imagens dos elementos do dom\u131´nio,
i.e. o conjunto dos elementos de B que esta\u2dco relacionados a algum elemento de A, e´
chamado de imagem de f e denotado por Im f, isto e´
Im f := {y \u2208 B |y = f(x) para algum x \u2208 A}
que tambe´m pode ser descrito por
Im f = {f(x) | x \u2208 A}.
Em outras palavras, para que um elemento y do contradom\u131´nio B pertenc¸a a` imagem
de f, ele deve ser imagem de algum elemento do dom\u131´nio A, i.e. deve existir algum ele-
mento x \u2208 A tal que f(x) = y.
Outra situac¸a\u2dco de interesse ocorre quando se quer descrever a imagem de elementos
de um subconjunto do dom\u131´nio. Dado um subconjunto X \u2282 A, o conjunto de todas as
imagens dos elementos de X e´ chamado de imagem do conjunto X atrave´s da func¸a\u2dco f
e e´ denotado por f(X). Assim:
f(X) := {y \u2208 B |y = f(a) para algum a \u2208 X},
ou, alternativamente,
f(X) = {f(a) |a \u2208 X}.
Note, em particular, que faz sentido falar em f(A), uma vez que A \u2282 A. Nesse caso,
apenas reencontramos a imagem de f, i.e. f(A) = Im f.
Uma vez que a cada elemento do dom\u131´nio A associamos a sua imagem em B, cabe a
questa\u2dco \u201drec\u131´proca\u201d: dado y \u2208 B, qual o conjunto de elementos do dom\u131´nio que te\u2c6m
1 Note que, embora o elemento x so´ possa ter uma u´nica imagem, a sua imagem y pode tambe´m ser imagem
de outros elementos do dom\u131´nio.
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y como imagem? Tal conjunto (que pode ser vazio) e´ chamado de pre´-imagem de y. De
modo mais geral, dado um subconjunto Y \u2282 B, definimos a pre´-imagem de Y como
sendo o conjunto que se obte´m fazendo a unia\u2dco das pre´-imagens dos elementos de Y. Tal
conjunto e´ denotado por f\u22121(Y) e pode ser descrito por
f\u22121(Y) = {x \u2208 A | f(x) \u2208 Y}.
Com a notac¸a\u2dco acima, a pre´-imagem de um elemento y \u2208 B pode ser expressa por
f\u22121({y}) = {x \u2208 A | f(x) = y}.
Observac¸a\u2dco. A notac¸a\u2dco usada acima, com o s\u131´mbolo f\u22121, e´ a mesma usada para o conceito
de func¸a\u2dco inversa (que sera´ visto mais adiante). Tal uso poderia gerar confusa\u2dco entre esses
diferentes conceitos, mas deve-se notar que o argumento entre pare\u2c6nteses, no caso em
que a notac¸a\u2dco f\u22121 se refere a uma pre´-imagem (caso acima), e´ um conjunto, enquanto
que no caso dessa mesma notac¸a\u2dco ser usada para func¸o\u2dces inversas, o argumento entre
pare\u2c6nteses, como veremos, e´ um elemento do contradom\u131´nio.
Retomemos os exemplos acima. No que se refere ao dom\u131´nio, contradom\u131´nio e imagem,
temos: Exemplos 6.3
\u2022 Dom f = {1, 2, 3}, Im f = {a,b} e o contradom\u131´nio e´ {a,b}.
\u2022 Dom f = R, Im f = R+ e o contradom\u131´nio e´ R.
\u2022 Dom f = R, Im f = R e o contradom\u131´nio e´ R.
\u2022 Dom f = [0, 1], Im f = [1, 2] e o contradom\u131´nio e´ R.
\u2022 Dom\u3c6 = {n \u2208 N |n > 1} e o contradom\u131´nio e´ N. Sabe determinar Im\u3c6? Se souber,
publique!
Ainda considerando os exemplos acima, vejamos algumas pre´-imagens: Exemplos 6.4
\u2022 f\u22121({a}) = {1, 2}, f\u22121({b}) = {3}
\u2022 f\u22121({1}) = {\u22121, 1}, f\u22121({\u22122}) = \u2205, f\u22121([0, 4]) = [\u22122, 2]
\u2022 f\u22121({3}) = {2}, f\u22121((\u22121, 5]) = (\u22122, 4], f\u22121([2,+\u221e)) = [1,+\u221e)
\u2022 f\u22121({3}) = \u2205, f\u22121((\u22121, 5]) = [0, 1], f\u22121([2,+\u221e)) = {1}
\u2022 \u3c6\u22121({1}) = {2}, \u3c6\u22121({2}) = {3, 4, 6} (sabe provar essas afirmac¸o\u2dces?)
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Exerc\u131´cio. Seja dada uma func¸a\u2dco f : A\u2192 B. Se X e Y sa\u2dco subconjuntos do dom\u131´nio A e se
V e W sa\u2dco subconjuntos do contradom\u131´nio B, enta\u2dco:
1. f(X\u222a Y) = f(X)\u222a f(Y)
2. f(X\u2229 Y) \u2282 f(X)\u2229 f(Y)
3. f\u22121(V \u222aW) = f\u22121(V)\u222a f\u22121(W)
4. f\u22121(V \u2229W) = f\u22121(V)\u2229 f\u22121(W)
Para finalizar esta sec¸a\u2dco, vamos introduzir uma nomenclatura que pode ser u´til em
alguns contextos. Em alguns casos, duas func¸o\u2dces podem diferir somente pelos seus
dom\u131´nios, sendo um deles um subconjunto do outro. Nesse caso, falamos em restric¸a\u2dco
ou em extensa\u2dco de uma func¸a\u2dco. Mais especificamente:
\u2022 Se f : A \u2192 B e´ uma func¸a\u2dco e C \u2282 A, a func¸a\u2dco g : C \u2192 B dada por g(x) = f(x) e´
chamada de restric¸a\u2dco de f a C. Usualmente, denotamos a func¸a\u2dco g pelo s\u131´mbolo
f|C (no qual a barra | designa a \u201drestric¸a\u2dco\u201d).
\u2022 Se g : A \u2192 B e´ uma func¸a\u2dco e C \u2283 A, uma func¸a\u2dco f : C \u2192 B para a qual valha
f(x) = g(x) para todo x \u2208 A, e´ chamada de extensa\u2dco de g a C.
Na\u2dco ha´ uma notac¸a\u2dco espec\u131´fica para uma extensa\u2dco de uma func¸a\u2dco, ate´ mesmo porque
tal extensa\u2dco na\u2dco e´ em geral u´nica. Entretanto, observe que vale a seguinte propriedade
(onde supo\u2dce-se X \u2282 Y):
f : Y \u2192 Z e´ uma extensa\u2dco de g : X\u2192 Z se, e somente se, g = f|X .
6.2 propriedades
Dada uma func¸a\u2dco f : A\u2192 B, sabemos que cada elemento do dom\u131´nio possui uma u´nica
imagem, mas tal imagem pode ser comum a mais elementos do dom\u131´nio. Ale´m disso,
nem todos os elementos do contradom\u131´nio sa\u2dco imagem de algum elemento do dom\u131´nio.
Essas duas caracter\u131´sticas te\u2c6m uma certa releva\u2c6ncia no estudo das func¸o\u2dces, tanto que
foram introduzidos os conceitos de injetividade e sobrejetividade.
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Definic¸a\u2dco 6.5 Uma func¸a\u2dco f : A \u2192 B e´ injetora se para qualquer par de elementos dis-
tintos do dom\u131´nio, suas imagens sa\u2dco tambe´m distintas. Em outras palavras, uma func¸a\u2dco
e´ injetora quando cada elemento da imagem da func¸a\u2dco e´ imagem de um u´nico elemento
do dom\u131´nio.
Apesar da definic¸a\u2dco acima ser suficientemente clara, na\u2dco e´, em geral, muito \u201dopera-
cional\u201d. Uma forma equivalente, mas mais operacional, de se caracterizar as func¸o\u2dces
injetoras e´ a seguinte:
Uma func¸a\u2dco f : A\u2192 B e´ injetora se, e somente se,
para todo par de elementos u, v \u2208 A, vale:
f(u) = f(v) \u21d2 u = v.
Veremos mais adiante, em alguns exemplos, como usar a caracterizac¸a\u2dco acima para
provar que uma func¸a\u2dco e´ injetora. Antes, vejamos outro conceito:
Definic¸a\u2dco 6.6 Uma func¸a\u2dco f : A \u2192 B e´ sobrejetora se a conjunto imagem Im f coincide
com o contradom\u131´nio B, i.e., se todo elemento de B e´ imagem de algum elemento de A.
Exemplo. Seja f : R \u2192 R dada por f(x) = x3 \u2212 x. Tal func¸a\u2dco e´ sobrejetora, pois para
todo nu´mero real y, existe um nu´mero real x tal que x3 \u2212 x = y. De fato, o polino\u2c6mio
x3\u2212 x\u2212 y (na varia´vel x) sempre possui ao menos uma raiz real, uma vez que seu grau e´
\u131´mpar. Por outro lado, f na\u2dco e´ uma func¸a\u2dco injetora, ja´ que f(1) = f(0), i.e., dois elementos
distintos do dom\u131´nio possuem imagens iguais.
Exemplo. A func¸a\u2dco g : [0, 1] \u2192 [0, 2], dada por g(x) = x2, na\u2dco e´ sobrejetora, pois na\u2dco
existe nenhum nu´mero real x \u2208 [0, 1] cujo quadrado seja igual a 2. Na verdade, e´ fa´cil
verificar que Img = [0, 1], a qual esta´ contida propriamente no contradom\u131´nio. Por outro
lado, a func¸a\u2dco g e´ injetora. Para verificarmos isso, utilizaremos a u´ltima caracterizac¸a\u2dco
que demos das func¸o\u2dces injetoras. A ide´ia e´ mostrar que se u e v sa\u2dco tais que g(u) = g(v),
enta\u2dco necessariamente deve ser u = v. Sejam enta\u2dco u, v \u2208 [0, 1] tais que u2 = v2. Dessa
igualdade, segue que u = ±v. Mas, tendo em mente que ambos sa\u2dco na\u2dco negativos, deve
necessariamente