Aula 01 e 02_TEORIA_DOS_CONJUNTOS

Prévia do material em texto

Fundamentos da Matemática TEORIA DOS CONJUNTOS �Aula 01 e 02��
1 - Definição de Conjuntos: É uma coleção não ordenada de objetos com cracterísticas comuns.
Notação: { } entre chaves
	
Exemplos:
Seja P o conjunto dos números pares positivos:
P = {2,4,6,8,10,12, ... }.
 
Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos, ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever:
P = {x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.
Seja A o conjunto das letras do alfabeto.
A = { a, b, c,..., z}
 
- Relação de Pertinência
Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x 
 A , onde o símbolo “
” significa "pertence ". 
Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y 
 A.
O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por { } ou Ǿ.
1.2 - Subconjunto
Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que 
A é subconjunto de B e indicamos isto por A
 B. (A “está contido” em B)
Notas: 
a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A
 A )
b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Ǿ
 A ) 
c) se um conjunto A possui “m” elementos então ele possui “2m” subconjuntos.
d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado 
conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = { Ǿ , {c}, {d}, {c,d}}
e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.
1.3 - Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por p(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de p (A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de p (A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de p(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio – Ø. Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é p(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2} {}Ø
c) {2} U {} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do 
conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A.
Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...}  {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N . 
- Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o úmero de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.
Representando o número de elementos da interseção A  B por n(A  B) e o número de elementos da união A  B por n(A  B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
n(A  B) = n(A) + n(B) - n(A  B) 
 - Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
2.1 - Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
2.2 - Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Obs: é evidente que N 
 Z.
2.3 - Conjunto dos números racionais
Q = {x; x = p/q com p 
 Z , q 
 Z e q ≠ 0 }.
Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. 
Lembre-se que não existe divisão por zero!
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. 
Notas:
a) é evidente que N 
 Z 
 Q.
b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.
Exemplo: 0,6666... = 6/9
- Conjunto dos números irracionais
I = {x; x é uma dízima não periódica}.
Exemplos de números irracionais:
 = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 
2,01001000100001... (dízima não periódica)
 = 1,732050807... (raiz não exata).
2.5 - Conjunto dos números reais
R = {x; x é racional ou x é irracional}.
Notas:
a) é óbvio que N 
 Z
 Q
 R
b) I 
 R
c) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!
- Operações de conjuntos
3.1 - União de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A 
B = { x; x 
A ou x 
 B}.
Exemplo: {0,1,3} 
 { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. 
Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A 
 A = A
b) A 
 { } = A
c) A 
 B = B 
 A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A 
 U = U , onde U é o conjunto universo.
3.2 - Intersecção de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja: 
Exemplo: {0,2,4,5} 
 { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A 
 A = A
b) A 
 { } = { } 
c) A 
 B = B 
 A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A 
 U = A onde U é o conjunto universo.
Obs: Se A 
 B = { } , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
3.3 - Diferença de Conjuntos: Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:
Exemplos:
{0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - { } = A
b) { } - A = { } 
c) A - A = { } 
d) A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
�
3.4 - Complementar de um conjunto: Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. 
O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x  B, x 
U }. 
EXERCÍCIOS 
Considere os conjuntos A={3,4,5}, B={1,2,4,5} e C={2,5,6}. Obtenha os conjuntos:
A B =
A B =
A B C =
B – C =
Em uma academia, 200 alunos praticam natação, 250 musculação, 60 fazem as duas modalidades e 90 não fazem nem natação nem musculação.
Quantos alunos fazem somente natação?
Quantos alunos não fazem musculação?
Quantos alunos têm a academia?
Em uma escola que tem 410 alunos, 220 estudam inglês, 160 estudam francês e 50 estudam ambas as línguas. Responda:
Quantos alunos fazem somente inglês?
Quantos alunos estudam inglês ou francês?
Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?
De 200 pessoas que foram pesquisadas sobre suas preferências em assistir aos campeonatos de corrida pela televisão, foram colhidos os seguintes dados: 55 dos entrevistados não assistem; 101 assistem as corridas de formula 1 e 27 assistem as corridasde formula 1 e de motovelocidade. Responda: 
Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, às corridas de motovelocidade e de formula 1?
Quantas das pessoas entrevistadas assistem, exclusivamente, às corridas de motovelocidade?
Considere o diagrama com o número de elementos em cada região:
I	–	100				Determine:
II	-	30				a) n(A) 
III	–	80				b) n(C)
IV	–	40				c) n(B)
V	-	50				d) n( A ( B )
VI	–	20				 e) n( A ( C )
VII	–	70				f) n( B ( C )
g) n( A ( B ( C )
h) n( A ( B ( C )
Numa comunidade de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e humorístico (H). A tabela seguinte indica quantas pessoas assistem a esses programas:
	Programas
	Número de Telespectadores
	E
	400
	N
	1220
	H
	1080
	E e N
	220
	N e H
	800
	E e H
	180
	E , N e H
	100
Responda:
Quantas pessoas da comunidade assistem somente o programa E ?
Quantas pessoas da comunidade assistem dois desses programas ?
Quantas pessoas da comunidade não assistem nenhum desses programas ?
Uma pesquisa sobre a preferência de três marcas de televisores M , P e S com 350 entrevistados revelou que :
197 preferem M;
183 preferem P;
210 preferem S;
85 preferem M e P;
92 preferem M e S;
103 preferem P e S;
10 preferem as três marcas
Determine:
a) Quantas pessoas não preferem nenhuma das três marcas?
b) Quantas preferem somente a marca S?
c) Quantas não preferem a marca P?
d) Quantas preferem somente uma marca?
Uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores por 3 marcas de Bebidas A , B e K revelou que dos 500 entrevistados :
Determine:
210 preferem a bebida a A 	a) Quantas preferem somente a bebida K ?
230 preferem a bebida B		b) Quantas preferem somente a bebida B ?
160 preferem a bebida K 		c) Quantas não gostam da bebida B ?
90 preferem A e K 			d) Quantas não preferem nenhuma das 3 marcas ?
70 preferem B e K 
40 preferem A e B
30 gostam das três marcas.
Numa pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados lêem o jornal A, 29% lêem o jornal B, 22% lêem o jornal C, 13% lêem A e B, 6% lêem B e C, 14% lêem A e C e 6% lêem os três jornais.
Quantos por cento não lêem nenhum jornal?
Quantos por cento lêem os jornais A e B e não C?
Quantos por centos lêem pelo menos um jornal?
 Dos empregados de uma empresa, 30% optaram por um plano de assistência médica. A empresa tem a matriz na capital e somente duas filiais, uma em Interior e outra no litoral. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% trabalham na filial do litoral. Sabendo que 20% dos empregados da capital optaram pelo plano de assitência médica e que 35% dos empregados da filial do litoral o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial do Interior optaram pelo plano. 
Em uma empresa temos a seguinte situação, 120 trabalham no setor de produção; 45 no setor administrativo. Quantos funcionários tem a empresa, sabendo-se que 12 trabalham nos dois setores. 
Em uma empresa cujo quadro de funcionários é formado por 420 pessoas, nos deparamos com a seguinte situação. 240 trabalham no setor A, 356 trabalham no setor B. Quantos funcionários trabalham tanto no A como no B?
Diagramas
Nomeamos com uma letra maiúscula do alfabeto
�PAGE �
�PAGE �8�
_1156767565.unknown
_1156768631.unknown
_1156769006.unknown
_1156769039.unknown
_1156768600.unknown
_1156768429.unknown
_1156768584.unknown
_1156766607.unknown
_1156767518.unknown
_1156766895.unknown
_1156766930.unknown
_1156766518.unknown
_1156766567.unknown