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Teoria dos Conjuntos Fundamentos de Matemática Maria do Carmo Pereira Servidoni
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Aula 01 e 02
Teoria dos Conjuntos
Introdução
	Analise a seguinte situação-problema:
Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol e vôlei, 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades.
Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?
Quantas pessoas gostam somente de futebol?
Quantas pessoas gostam só de basquete?
Quantas gostam apenas de vôlei?
E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei?
Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos?
	Para resolver questões desse tipo, devemos utilizar conhecimentos de conjuntos.
A noção de conjunto 
	A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática, pois a partir dela podem ser expressos todos os conceitos matemáticos. 
	Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. Por exemplo:
 Conjunto dos estados da região sudeste:
S = {SP, RJ, MG, ES}.
Conjunto dos números primos:
B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...}.
Um conjunto é formado por elementos. Um objeto a qualquer pode ser elemento de um determinado conjunto A. Quando for, dizemos que:
Caso contrário, dizemos que: 
Igualdade de conjuntos
 Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Por exemplo, se A = {números naturais pares} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,...}, então A = B. Se A não é igual a B, então:
Conjuntos vazio, unitário e universo.
 Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos, cuja notação é { } ou 
{ números naturais ímpares menores que 1} = {x / x é um número natural ímpar menor do que 1} = , pois não há número natural ímpar menor do que 1.
 Conjunto Unitário é formado por um único elemento. Por exemplo:
{números naturais primos e pares} = {x / x é um número natural par e primo} = {2}, pois o único número natural par e primo é o 2.
 Conjunto Universo é formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando numa determinada situação. Sua notação é U. É sempre importante saber em qual universo estamos trabalhando. Por exemplo, se U é o conjunto dos números naturais , então a equação x + 5 = 2 não tem solução; porém, se U é o conjunto dos números inteiros, então a equação x + 5 = 2 tem como solução x = - 3.
Subconjuntos 
 Consideremos dois conjuntos, A e B. Se todos os elementos de A forem também elementos de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que A é parte de B. Indicamos esse fato por A 
B.
��
					 A é um subconjunto de B.
	
Se A não for subconjunto de B, escrevemos A 
 B .
 Consideremos, como exemplo, P o conjunto dos números naturais pares e N o conjunto dos números naturais, temos:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Neste caso, P 
 N, pois todos os elementos de P pertencem a N. 
Indicamos: 
Observações:
Todo conjunto é suconjunto de si próprio. (A
 A)
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. ( 
A).
Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por {} ou . Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.
Se o conjunto A possui “m” elementos então ele possui 2m subconjuntos.
O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P (A). Assim, se A = {c,d}, o conjunto das partes de A { , {c}, {d}, {c,d}}.
Um subconjunto de A é também denominado parte de A. 
 
	
Conjunto das partes
Dado o conjunto A = { 2, 3, 5 }, é possível escrever todos os subconjuntos ( ou todas as partes) de A. Esse conjunto formado por todos os subconjuntos de A é chamado de conjuntos das partes de A ou partição de A e é indicado por P(A). Assim, temos:
 Observe que há uma relação entre o número de elementos de P(A) e o número de elementos de A:
Ø tem zero elementos e P(Ø) = { Ø } tem 1 elemento.
A = {a} tem 1 elemento e P(A) = { {Ø}, {a}} tem 2 elementos.
A = { a, b } tem 2 elementos e P(A) = {{Ø}, {a}, {a,b},{a,b,c}} tem 4 elementos.
A= {a,b,c} tem 3 elementos e P(A) = {{Ø}, {a},{b},{c} {a,b}, {a,c}, {b,c},{a,b,c}} tem 8 elementos.
Assim, podemos conjecturar que se A tem n elementos, P(A) tem 2n elementos.
Operações com conjuntos.
Diferença 
Dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A – B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja:
Exemplos:
Sendo A = {0, 5,7} e B {0, 7,3} então A – B = {5}.
Se A = {1, 2, 3, 4,5} e B ={1,2,3} então A – B = {4,5}.
Propriedades imediatas: 
I ) A - { } = A
II) { } - A = { } 
III) A - A = { } 
IV) A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
União 
	Seja A = { 0, 10, 20, 30, 50} e B = { 0, 30, 40, 50, 60} , podemos escrever o conjunto C formados pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. Assim C = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60}. O conjunto C é chamado de União de A e B e é indicado por A 
 B (lê-se: A união B). 
De modo geral, dados dois conjuntos A e B, a união (chamada também de reunião) A 
 B é o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B.
 Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto união A 
 B = { xI x 
A ou x 
 B}.
Por exemplo, se A = {3, 6} e B = {5, 6}, então A 
 B = {3, 5, 6}.
	Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Observação:
	
	 Este “ou” “da união não é o “ou” de exclusão da linguagem usual “ vamos ao cinema ou ao teatro”. Ele significa: se x 
 A 
 B, então x 
A ou x 
 B ou pertence a ambos, isto é, x 
 A 
 B quando pelo menos uma das afirmações, é verdadeira. 
 
Intersecção 
	Dados dois conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a e u, b}, podemos escrever o conjunto C formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja, pelos elementos comuns a A e B. Assim, C = {a, e, u}
	O conjunto C é chamado intersecção de A e B e é indicado por A 
 B ( lê-se: A intersecção B, ou simplesmente, A inter B). Assim, 
Por exemplo, se A = {0, 2, 4, 5} e B = {4, 6,7}, então A 
 B = {4}. 
	Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Observação: Se A 
 B = { } , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
Propriedades da União e Intersecção
1ª A
 B = B 
 A (propriedade comutativa)
 A 
 B = B 
 A	
2ª (A 
 B) 
 C = A 
 (B 
 C) (propriedade associativa)
 (A 
 B) 
 C = A 
 (B 
 C)
3º A 
 (B 
C) = (A 
 B) 
 (A 
 C) (propriedade distributiva) 
 A 
 (B 
C) = (A 
 B) 
 (A 
C) 
Números de elementos da União de conjuntos
Consideremos o conjunto A o conjunto dos números ímpares de 0 a 10, e B o conjunto dos números primos de 0 a 10. Então, se n(A) representa o número de elementos de A, temos:
A = {1, 3, 5, 7, 9} então n(A) = 5.
B = {2, 3, 5, 7} então n(B) = 4
A 
 B = {3, 5, 7} 
 Ø então n(A 
 B) = 3.
A U B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} então n( A U B) = 6
Observe que n (A U B) 
 n(A) + n(B), pois há três elementos comuns a ambos os conjuntos [n(AB) = 3]. 
Assim:
 
Então: 
Observações:
No caso particular de A 
 B = Ø, temos: n(A U B) = n(A) +	n(B), pois n(A 
 B) = 0. 
O número de elementos de um conjunto é também conhecido com a cardinalidade do conjunto. 
Exercícios resolvidos 
Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que respondessem sim ou não: Gosta de música? Gosta de esportes? Responderam sim à primeira pergunta 90 jovens; 70 responderam sim à segunda; 25 responderam sim a ambas. Quantos jovens foram entrevistados?
Resolução:
A: Conjunto dos que gostam de música 
 n(A) = 90.
B: Conjunto dos que gostam de esporte 
 n(B) = 70.
A 
B: conjunto dos que gostam de ambos 
 n
(A 
B ) = 25
A – (A
B): conjunto dos que só gostam de música 
 90 – 25 = 65
B – (A
B): Conjunto dos que gostam só de esporte 
 70 -25 = 45 
Portanto, o número de entrevistados é:
65 + 25 + 45 + 40 = 175
n(A U B) + 40 = n(A) + n(B) – n(A
B) + 40 = 90 +70 – 25 + 40 = 175 
Agora estamos em condições de resolver o problema da introdução da aula: 
Em uma pesquisa realizada com 50 pessoas para saber que esporte elas apreciam entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de basquete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e de basquete; 9 de futebol, 8 de basquete e de vôlei e 5 gostam das três modalidades.
a) Quantas pessoas não gostam de nenhum desses esportes?
Quantas pessoas gostam somente de futebol?
Quantas pessoas gostam só de basquete?
Quantas gostam apenas de vôlei?
E quantas não gostam nem de basquete nem de vôlei?
Quantas pessoas gostam só de futebol ou só de basquete ou de ambos?
Resolução:
Vamos considerar 
F: Conjunto dos que gostam de futebol
B: Conjunto dos que gostam de basquete e
V: Conjunto dos que gostam de vôlei.
Vamos montar o diagrama com a distribuição das quantidades. Devemos começar sempre com a intersecção dos três, depois com a intersecção de dois e finalmente, com os que gostam só de um esporte, sempre desconsiderando os já contados.
	 
 5	3
 
Analisando o diagrama, temos:
50 – (5 + 5 + 3 + 4 + 5 +2 + 9) = 17
Nove só gostam de futebol.
Cinco pessoas só gostam de basquete.
Duas pessoas só gostam de vôlei. 
Vinte e seis pessoas não gostam nem de basquete nem de vôlei ( 9 que só gostam de futebol e 17 que não gostam de nenhum dos esportes)
9 + 5 + 10 = 24 ( vinte e quatro pessoas só gostam de futebol ou só de basquete ou de ambos).
Observação: No caso de três conjuntos, A, B e C, pode-se provar que a fórmula que indica o número de elementos da União A
 B 
 C é:
Assim:
n(F
B
V) = 23 + 18 + 14 – 10 – 9 – 8 + 5 = 33. 
Exercícios de fixação
Dados A = {1,2,3,4} e B = {2,4}, escreva com símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças.
Considere os conjuntos A={3,4,5}, B={1,2,4,5} e C={2,5,6}, obtenha os conjuntos:
A 
B = 
A 
 B = 
A 
B 
C =
B – C = 
{B 
 A} – {C 
A} =
2. Em uma academia, 200 alunos praticam natação, 250 musculação, 60 fazem as duas modalidades e 90 não fazem nem natação nem musculação.
Quantos alunos fazem somente natação?
Quantos alunos não fazem musculação?
Quantos alunos têm a academia?
3. Em uma escola que tem 410 alunos, 220 estudam inglês, 160 estudam francês e 50 estudam ambas as línguas. Responda:
Quantos alunos fazem somente inglês?
Quantos alunos estudam inglês ou francês?
Quantos alunos não estudam nenhuma das duas?
4. Considere o diagrama com o número de elementos em cada região:
I	–	100				Determine:
II	-	30				a) n(A) 
III	–	80				b) n(C) 
IV	–	40				c) n(B)
V	-	50				d) n( A ( B )
VI	–	20				e) n(A ( C)
VII	–	70				f) n(B ( C)
g) n(A ( B ( C)
h) n(A ( B ( C)
Numa comunidade de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e humorístico (H). A tabela seguinte indica quantas pessoas assistem a esses programas:
	Programas
	Número de Telespectadores
	N
	1220
	H
	1080
	E e N
	220
	N e H
	800
	E e H
	180
	E , N e H
	100
	E
	400
Responda:
Quantas pessoas da comunidade assistem somente ao programa E?
Quantas pessoas da comunidade assistem dois desses programas?
Quantas pessoas da comunidade não assistem nenhum desses programas?
Uma pesquisa sobre a preferência de três marcas de televisores M, P e S com 350 entrevistados revelou que:
197 preferem M;
183 preferem P;
210 preferem S;
85 preferem M e P;
92 preferem M e S;
103 preferem P e S;
10 preferem as três marcas
Determine:
a) Quantas pessoas não preferem nenhuma das três marcas?
b) Quantas preferem somente a marca S?
c) Quantas não preferem a marca P?
d) Quantas preferem somente uma marca?
Uma pesquisa sobre a preferência dos consumidores por 3 marcas de cerveja A, B e K revelou que dos 500 entrevistados:			
210 preferem a cerveja A 			
230 preferem a cerveja B			
160 preferem a cerveja K 			
90 preferem A e K 				
70 preferem B e K 
40 preferem A e B
30 gostam das três marcas.
Determine:
a) Quantas preferem somente a cerveja K?
b) Quantas preferem somente a cerveja B?
c) Quantas não gostam da cerveja B?
d) Quantos entrevistados não preferem nenhuma das 3 marcas?
Em uma empresa cujo quadro de funcionários é formado por 420 pessoas, nos deparamos com a seguinte situação. 240 trabalham no setor A, 356 trabalham no setor B. Quantos funcionários trabalham tanto no A como no B?
a pertence a A e escrevemos a � EMBED Equation.3 ��� A
a não pertence a A e escrevemos a � EMBED Equation.3 ��� A
A é diferente de B e escrevemos A � EMBED Equation.3 ��� B. 
A � EMBED Equation.3 ��� B lê-se: A é subconjunto de B 
 ou	
 A está contido em B
 ou
 A é parte de B.
N
P
P(A) = {{2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2, 3,5}, Ø}
A – B 
6	=	5	+	4	-	3 
n(A U B) 	=	n(A) 	+	n(B) 	- 	n(A � EMBED Equation.3 ��� B)
n(A � EMBED Equation.3 ��� B) = n(A) + n(B) - n(A � EMBED Equation.3 ��� B)
	
 					 
 
9
5
5
F
B
5
4
2
V
n(A� EMBED Equation.3 ��� B � EMBED Equation.3 ��� C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A� EMBED Equation.3 ���B) – n(A� EMBED Equation.3 ���C) – n(B� EMBED Equation.3 ���C) + n(A� EMBED Equation.3 ���B � EMBED Equation.3 ���C)
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