AP1-MetDet_II-2015-1-gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito AP1 – Me´todos Determin´ısticos II
Questa˜o 1: (2,0pts) Seja f : R − {−2} −→ R dada pela expressa˜o f(x) = x−1
x+2
. Encontre um
nu´mero real x tal que f(f(x)) = 1
4
.
Soluc¸a˜o: (vale 2,0pt) Para determinarmos o valor de x tal que f(f(x)) = 1
4
, precisamos determinar
f(f(x)) =
x−1
x+2
− 1
x−1
x+2
+ 2
=
x− 1− x− 2
x− 1 + 2x+ 4 =
−3
3x+ 3
.
Enta˜o, −3
3x+ 3
=
1
4
⇐⇒ 3x+ 3 = −12⇐⇒ x = −5.
Questa˜o 2: (2,5pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x+ 1 e
g(x) =


x2 − 2 se x ≤ −1
x se |x| < 1
2− x2 se x ≥ 1
. Determine:
a) Determine (g ◦ f) (−3);
b) A lei de definic¸a˜o de g ◦ f .
Soluc¸a˜o: a) (vale 1,0pt)
(g ◦ f) (−3) = g(f(−3)) = g(−2) = 2.
b) (vale 1,5pt) Precisamos determinar os valores de x tais que x+ 1 ≤ −1 e quando x+ 1 ≥ 1.
x+ 1 ≤ −1⇐⇒ x ≤ −2 e x+ 1 ≥ 1⇐⇒ x ≥ 0.
Logo,
f(g(x)) ==


(x+ 1)2 − 2 se x ≤ −2
x+ 1 se −2 < x < 0
2− (x+ 1)2 se x ≥ 0
Questa˜o 3: (3,0pts)
a) Considere g(x) = log
x+2(x
2 − 3x− 4). Determine o dom´ınio da func¸a˜o g(x).
b) Sabendo que log
x
a = 3, log
x
b = 5 e log
x
c = 4, calcule log
x
(
a
4
b3c
)
.
Soluc¸a˜o: a) ( Vale 1,5pt) Precisamos que x+2 > 0 e que x+2 6= 1, e tambe´m, que x2−3x−4 > 0.
A primeira parte devemos ter que x > −2 e x 6= −1. A outra condic¸a˜o, segue da observac¸a˜o:
x2 − 3x − 4 = (x + 1)(x − 4) > 0, desde que, x < −1 ou x > 4. Todas essas condic¸o˜es juntas
obtemos: {x ∈ R : −2 < x < −1 e x > 4}.
Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2
b) (vale 1,5pt)
log
x
(
a4
b3c
)
= log
x
(a4)− log
x
(b3c)
= log
x
(a4)− (log
x
(b3) + log
x
(c))
= 4 log
x
(a)− (3 log
x
(b) + log
x
(c))
= 4× 3− (3× 5 + 4) = 12− 19 = −7
Questa˜o 4 (2,5pts) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→4
2−√x
2
√
x(x− 4)
b) lim
x→1
x3 − 3x+ 2
x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2
Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt)
lim
x→4
2−√x
2
√
x(x− 4) = limx→4
(2−√x)(2 +√x)
2
√
x(x− 4)(2 +√x)
= lim
x→4
4− x
2
√
x(x− 4)(2 +√x) =
−1
2×√4(2 +√4) = −
1
16
.
b) (Vale 1,5pt) Observe que se avaliarmos os polinoˆmios x3 − 3x+ 2 e x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 em
x = 1, ambos se anulam. Logo x− 1 divide a ambos. Dividindo obtemos: x2 + x− 2 que tambe´m
possui x = 1 como raiz e dividindo x4− 3x3 + x2 +3x− 2 obtemos x3− 3x+2 que tambe´m possui
x = 1 como raiz. Portanto, podemos dividir ambos por (x− 1)2 = x2 − 2x+ 1 e obtemos
lim
x→1
x3 − 3x+ 2
x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 = limx→1
(x+ 2)(x2 − 2x+ 1)
(x2 − x− 2)(x2 − 2x+ 1)
= lim
x→1
(x+ 2)
(x2 − x− 2) =
1 + 2
1− 1− 2 =
3
−2 = −
3
2
.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ