Limites de expressões indeterminadas

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Ensino Superior
Cálculo 1
1.3- Limites de Expressões Indeterminadas
Amintas Paiva Afonso
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Cálculo 1 - Limites
Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão da função f(x).
No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se faz a substituição direta de x por seu valor de tendência e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0). Veja os casos nos slides seguintes.
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Regras adicionais 
1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a. 
Cálculo 1 - Limites
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Regras adicionais 
2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais. 
Cálculo 1 - Limites
Portanto o limite não existe
Indeterminação
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Regras adicionais 
3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞ , são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo.
Cálculo 1 - Limites
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Cálculo 1 - Limites
 Expressões indeterminadas 
 Considere o seguinte limite:
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
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Cálculo 1 - Limites
 Expressões indeterminadas
 Mas vejamos o gráfico desta função:
x
f(x)
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
27
27,91
28,84
29,79
L
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Cálculo 1 - Limites
 Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando
 nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:
 Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar
 a este valor?
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Cálculo 1 - Limites
 Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!!
 Neste exemplo, 
 Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
 Basta então calcular:
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Cálculo 1 - Limites
 Produtos Notáveis!!!
 Diferença de quadrados
Exemplos:
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Cálculo 1 - Limites
 Trinômio quadrado perfeito
Exemplos:
Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença 
 de quadrados a2 - b2.
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Cálculo 1 - Limites
 Soma e Diferença de Cubos
Exemplos:
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Cálculo 1 - Limites
 Cubo perfeito
Exemplos:
Não confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma e cubos a3 + b3;
Nem o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença de cubos a3 - b3.
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