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Lista de Exerc´ıcios 2 - Ca´lculo 2
Sequeˆncias
Professor Ronni G. G. Amorim
Nome:
Matr´ıcula: Data:
Questa˜o 1. Use a definic¸a˜o de limite de uma sequeˆncia para provar que a sequeˆncia dada
tem limite L.
(a)
{
4
2n+1
}
;L = 0
(b)
{
8n
2n+3
}
;L = 4
Questa˜o 2. Escreva os treˆs primeiros elementos da sequeˆncia e determine se ela e´ conver-
gente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.(Use os teoremas de limite
apropriados)
(a)
{
3n2+n+2
2n2−3
}
(b)
{
3 +
(−1
2
)n}
(c)
{
en
2n
}
(d)
{
nsenpin
}
(e)
{
3−4n
2+7.4n
}
(f)
{
en+3n
5n
}
(g)
{
n!
2n
}
Questa˜o 3. Prove que a sequeˆncia seguinte e´ limitada e crescente. Em seguida, encontre
o seu limite: a1 =
√
5, a2 =
√
5 +
√
5, a3 =
√
5 +
√
5 +
√
5,...
1
Questa˜o 4. Seja {an} a sequeˆncia
√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, ...
Mostre que {an} e´ crescente e 0 ≤ an ≤ 2. Em seguida, prove que {an} converge e encontre
seu limite.
Questa˜o 5. Dados nu´meros positivos a1 < b1, defina duas sequeˆncias recursivamente por
an+1 =
√
anbn, bn+1 =
an + bn
2
(a) Mostre que an ≤ bn para todo n.
(b) Mostre que {an} e´ crescente e {bn} e´ descrescente.
(c) Mostre que
bn+1 − an+1 ≤ bn − an
2
.
Prove que {an} e {bn} convergem e teˆm o mesmo limite. Esse limite, denotado por
MAG(a1, b1), e´ denominado me´dia aritme´tico-geome´trica de a1 e b1.
(d) Deˆ a estimativa de MAG(1,
√
2) com treˆs casas decimais.
2