10 - Anuidades - Modelos Genéricos - Marcia Rebello da Silva

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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 10: ANUIDADES 
 MODELOS GENÉRICOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
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U.A. 10: ANUIDADES - MODELOS GENÉRICOS 
 
 
 
 
 
Todos os direitos autorais reservados à 
 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
 
 
OBJETIVOS: 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
1- Entender o conceito de valor acumulado e valor atual no estudo das séries não uniformes 
(anuidades diferidas com termos postecipados; e anuidades perpétuas com termos postecipados). 
 
2- Calcular as variáveis: valor acumulado; valor atual; e termo nas anuidades diferidas (termos 
postecipados) ; e anuidades perpétuas (termos postecipados). 
 
3- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1- Anuidades Diferidas. (Anuidades com Carência) 
 Anuidades diferidas ou com carência são aquelas em que o primeiro termo não ocorre no 
primeiro período. 
 
 
Ex. 1: Um apartamento a prazo tem que dar uma entrada de $ 65.000 e mais quarenta prestações 
mensais de $ 8.700; sendo que a primeira prestação no final do sexto mês. Se a taxa de juros cobrada 
no financiamento for 4% a.m., qual seria o preço à vista? 
 
E = $ 65.000 R = $ 8.700/mês (1o Ret.: final do 6o mês) 
 i = 4% a.m. n = 40 
Preço à Vista = X = ? 
Solução 1: Data Focal = Zero 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = $ 65.000 
Prestações(DF = 0) = (A) (1,04)−5 = 8.700 [1 − (1,04)−40] (1,04)−5 
 0,04 
Preço à Vista(DF = 0) = X = ? 
Equação de Valor: DF = Zero 65.000 + 8.700 (a40 4%) (1,04)−5 = X 
65.000 + 8.700 [1 − (1,04)−40] (1,04)−5 = X 
 0,04 
X = $ 206.533,49 
Resposta: $ 206.533,49 
 X = ? 
0 1 45 
 DF 
Prazo = n = 40 
i = 4% a.m. 
meses. 
R = $ 8.700/mês 
A 
6 5 
Termos Postecipados 
DF 
$ 65.000 
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Solução 2: Data Focal = Cinco meses 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 5) = Entrada(DF = 5) + Prestações(DF = 5) 
Entrada(DF = 5) = ($ 65.000) (1,04)5 
Prestações(DF = 5) = (A) = 8.700 [1 − (1,04)−40] 
 0,04 
Preço à Vista(DF = 5) = X (1,04)5 = ? 
Equação de Valor na DF = Cinco meses 65.000 (1,04)5 + 8.700 (a40 4%) = X (1,04)5 
Se pegarmos esta equação de valor (obtida na solução 2) e dividirmos por (1,04)5 será 
exatamente igual a equação de valor obtida na solução 1. 
 
65.000 (1,04)5 (1,04)−5 + 8.700 (a40 4%) (1,04)−5 = X (1,04)5(1,04)−5 
 
65.000 + 8.700 (a40 4%) (1,04)−5 = X 
X = $ 206.533,49 
 
 
LEMBRETE 
 � Data Focal: é a data a qual se compara valores referidos a datas diferentes, que 
também é denominada data de avaliação ou data de referência. 
 
 
 
 X = ? 
0 1 45 
 DF 
Prazo = n = 40 
i = 4% a.m. 
meses. 
R = $ 8.700/mês 
A 
6 5 
Termos Postecipados 
DF 
$ 65.000 
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NOTA 
A Data Focal poderá ser escolhida de modo arbitrário no regime de juros compostos, uma 
vez que, a comparação de valores datados não depende da data focal considerada. 
 
 
 
Ex. 2: Um investidor depositou inicialmente em uma poupança $ 24.300 para serem feitas retiradas 
mensais iguais e durante um ano. Se a primeira retirada for cinco meses após o depósito inicial e se a 
taxa de juros da poupança for 5,7% a.m, quanto poderá o investidor retirar mensalmente? 
 
Inv. Inicial = $ 24.300 i = 5,7% a.m. 
R = ? (1ª retirada: 5º mês) Prazo = 1 ano => n = 12 
Solução: Data Focal = Quatro meses 
 
 
∑ Dep.(DF= 4) − ∑ Ret.(DF = 4) = Saldo(DF = 4) 
Dep. Inicial(DF = 4) = 24.300 (1,057)4 
 
∑ Ret(DF = 4) = A = R [1 − (1 + i)−n] ou A = R (an i) 
 i 
∑ Ret(DF = 4) = R [1 − (1,057−12] ou A = R (a12 5,7%) 
 0,057 
Saldo(DF = 4) = 0 
Equação de Valor (DF = 4 meses): 24.300 (1,057)4 = R (a12 5,7%) 
24.300 (1,057)4 = R [1 − (1,057)−12] 
 0,057 
0 1 16 
 DF 
Prazo = n = 12 
i = 5,7% a.m. 
meses. 
R = ? 
A 
5 4 
Postecipada 
$ 24.300 
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R = $ 3.558,69 
Resposta: $ 3.558,69 
 
 
Ex. 3: Qual seria o preço de um terreno à vista sabendo que a prazo são necessárias prestações mensais 
de $ 3.470, sendo a primeira prestação no nono mês e a última no final do trigésimo mês; e a taxa de 
juros cobrada no financiamento 2,5% a.m? 
 
Preço à Vista = X = ? i = 2,5% a.m. 
R = $ 3.470/mês (1o Ret. no nono mês = final do nono e última Ret.no final do 30o mês) 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = 0 
Prestações(DF = 0) = (A) (1,025)−8 = 3.470 [1 − (1,025)−22] (1,025)−8 
 0,025 
Preço a Prazo(DF = 0) = 0 + 3.470 [1 − (1,025)−22] (1,025)−8 
 0,025 
Preço à Vista(DF = 0) = X = ? 
Equação de Valor na DF = Zero 3.470 (a22 2,5%) (1,025)−8 = X 
X = 3.470 [1 − (1,025)−22] (1,025)−8 
 0,025 
 X = $ 47.747,74 
Resposta: $ 47.747,74 
 X = ? 
0 1 30 
 DF 
Prazo = n = 30 – 8 = 22 
i = 2,5% a.m. 
meses. 
R = $ 3.470/mês 
A 
9 8 
Postecipada 
DF 
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Ex. 4: Foi depositado inicialmente em uma poupança $ 15.000 e a partir do início do sétimo bimestre 
foram feitos mais vinte depósitos bimestrais de $ 1.300. Calcular o saldo um ano após o último 
depósito para uma taxa de juros de 9% a.s. acumulada bimestralmente. 
 
Inv. Inicial = $ 15.000,00 
R = $ 1.300,00/bim. (1º depósito: início do 7º bim => final do 6º bim.) → n = 20 
 i = (9%) (1/3) = 3% a.b. Saldo = X = ? (1 ano após último depósito) 
 
Solução:Data Focal = Trinta e um bimestres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
Dep. Inicial(DF = 31) = 15.000 (1,03)31 
 
∑ Dep.(DF = 31) = S = R [(1 + i)n − 1] ou S = R (sn i) 
 i 
∑ Dep.(DF = 31) = 1.300 [(1,03)20 − 1] ou S = R (s20 3%) 
 0,03 
∑ Ret.(DF) = 0 
Saldo(DF = 31) = X 
Equação de Valor (DF = 31 bim.): 15.000 (1,03)31 + 1.300 (s20 3%) (1,03)6 = X 
. 
 
15.000 (1,03)31 + (1.300) [(1,03)20 − 1] (1,03)6. = X 
 0,03 
X = $ 79.211,23 
Resposta: $ 79.211,23 
0 1 25 
DF 
 Prazo = n = 20 
 5 + 20 = 25 
i = 3% a.b. 
bim. 
S 
6 5 
Postecipada 
$ 15.000 R = $ 1.300/bim. 
31 
31 − 25 = 6 
X 
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Ex. 5: Uma TV LCD de 51 polegadas está sendo vendida à vista por $ 3.440; e a prazo tem que dar 
uma entrada e mais prestações mensais de $ 254 durante um ano e meio; sendo que a primeira 
prestação três meses após a compra. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 54% a.a. 
capitalizado mensalmente, quanto terá que dar de entrada? 
 
Preço à vista = $ 3.440 i = (54%) (1/12) = 4,5% a.m. 
n = 18 R = $ 254/mês E = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = X = ? 
Prestações(DF = 0) = A (1,045)−2 = 254 [1 − (1,045)−18] (1,045)−2 
 0,045 
 
Preço a Prazo(DF = 0) = X + 254 [1 − (1,045)−18] (1,045)−2 
 0,045 
Preço à Vista(DF = 0) = 3.440 
Equação de Valor: DF = Zero X + 254 (a18 4%) (1,04)−2 = 3.440 
X + 254 [1 − (1,045)−18] (1,045)−2 = 3.440 
 0,045 
 X = $ 6.11,64 
Resposta: $ 6.11,64 
 
 
$ 3.440 
0 1 
 20 
 DF 
Prazo = n = 18 
 2 + 18 = 20 
 
i = 4,5 % a.m. 
meses. 
R = $ 254,00/mês 
A 
3 2 
Postecipada 
DF 
 
 X = ? 
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Ex. 6: Por quanto está sendo vendido um sítio à vista, se a prazo tem que dar uma entrada de $ 15.000 
e mais vinte prestações bimestrais de $ 3.600, sendo a primeira prestação no início do sétimo bimestre 
e a taxa de juros de 2% m. capitalizado bimestralmente? 
 
Preço à vista = X = ? i = (2%) (2) = 4% a.q. 
 R = $ 3.600/bim. (In. 7º bim = Final 6º bim.) E = $ 15.000 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Prestações(DF = 0) = A (1,04)−5 = 3.600 [1 − (1,04)−20] (1,04)−5 
 0,045 
Entrada = $ 15.000 
Preço a Prazo(DF = 0) = 15.000 + 3.600 [1 − (1,04)−20] (1,04)−5 
 0,04 
Preço à Vista(DF = 0) = X = ? 
Equação de Valor: DF = Zero 15.000 + 3.600 (a20 4%) (1,04)−5 = X 
X = $ 55.211,52 
Resposta: $ 55.211,52 
 
 
Ex. 7: Lia deve $ 23.000; $ 31.000; e $ 45.000 vencíveis respectivamente em cinco; vinte e quarenta 
meses. Não desejando pagar nesses prazos de vencimento deseja reformá-lo de tal modo a fazer em 
trinta pagamentos mensais iguais, sendo que o primeiro pagamento mensal será daqui a três meses. 
Quanto terá que pagar Lia mensalmente se a taxa de juros usada nesta transação for 2,5% a.m? 
 
 X 
0 1 25 
 DF 
Prazo = n = 20 
 5 + 20 = 25 
i = 4 % a.b. 
meses. 
R = $ 3.600/bim. 
A 
6 5 
Postecipada 
DF 
 $ 15.000 
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$ 23.000 → n = 5 m. $ 31.000 → n = 20 m. $ 45.000 → n = 40 m. 
i = 2,5% a.m. R = ? ($mês) → n = 30 
 
Solução 1: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Obrig.(DF) = ∑ Pagam.(DF) 
 
∑ Obrig.(DF = 0) = ∑ Pagam.(DF = 0) 
∑ Obrig.(DF = 0) = 23.000 (1,025)–5 + 31.000 (1,025)–20 + 45.000 (1,025)–40 
∑ Pagam.(DF = 0) = A (1,025)–2 
Equação de Valor: DF = Zero 
 23.000 (1,025)–5 + 31.000 (1,025)–20 + 45.000 (1,025)–40 = R (a302,5%) (1,025)–2 . 
58.841,75 = R (a302,5%) 
R = $ 2.811,32 
 
Solução 2: Data Focal = Quarenta meses 
∑ Obrig.(DF) = ∑ Pagam.(DF) 
∑ Obrig.(DF = 40) = 23.000 (1,025)35 + 31.000 (1,025)20 + 45.000 
∑ Pagam.(DF = 40) = S (1,025)8 
Equação de Valor na Data Focal = Quarenta meses 
 23.000 (1,025)35 + 31.000 (1,025)20 + 45.000 = R (s302,5%) (1,025)8 
R = $ 2.811,32 
$ 23.000 
0 1 3 
DF 
A 
n = 30 
i = 2,5% a.m. 
meses 
R = ? 
$ 45.000 
$ 31.000 
5 20 40 2 
Postecipada 
32 
DF 
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Solução 3: Equação de Valor: Data Focal = Dois meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ Obrig.(DF) = ∑ Pagam.(DF) 
∑ Obrig.(DF = 2) = 23.000 (1,025)–3 + 31.000 (1,025)–18 + 45.000 (1,025)–38 
 
 
Equação de Valor: DF = Dois meses 
23.000 (1,025)–3 + 31.000 (1,025)–18 + 45.000 (1,025)–38 = R (a302,5%) 
R = $ 2.811,32 
Solução 4: Data Focal = Trinta e dois meses 
$ 23.000 
0 1 3 
DF 
S 
n = 30 
i = 2,5% a.m. 
 meses 
R = ? 
$ 45.000 
$ 31.000 
5 20 40 2 
Postecipada 
32 
$ 23.000 
0 1 3 
DF 
A 
n = 30 
i = 2,5% a.m. 
 meses 
R = ? 
$ 45.000 
$ 31.000 
5 20 40 2 
Postecipada 
32 
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 ∑ Obrig.(DF) = ∑ Pagam.(DF) 
∑ Obrig.(DF = 32) = 23.000 (1,025)27 + 31.000 (1,025)12 + 45.000(1,025)−8 
∑ Pagam.(DF = 32) = S = R (s302,5%) 
Equação de Valor: DF = Trinta e dois meses 
23.000,00 (1,025)27 + 31.000,00 (1,025)12 + 45.000,00(1,025)−8 = R (s302,5%) 
R = $ 2.811,32 
Resposta: $ 2.811,32 
 
 
Ex. 7: Inicialmente foi depositado em um determinado investimento $ 125.000; do final do 5º mês ao 
início do 37º mês foram feitas retiradas mensais de $ 2.800 e no 40º mês foi feita mais uma retirada. Se 
o saldo meio ano após a última retirada for de $ 47.000 e a taxa de juros 2% a.m, qual foi o valor da 
última retirada? 
 
Dep. Inicial = $ 125.000 i = 2% a.m. 
R = $ 2.800/mês (final 5º mês => 5º ao início do 37º mês=> 36º) 
40º mês → X = ? (retirada) 
Saldo (46º mês) = $ 47.000 
Solução: Data Focal = Quarenta meses 
∑ Depósitos(DF = 40) − ∑ Retiradas(DF = 40) = Saldo(DF = 40) 
∑ Depósitos(DF = 40) = 125.000 (1,02)40 
∑ Retiradas(DF = 40) = 2.800 (s322%) (1,02)4 + X 
$ 23.000 
0 1 3 
DF 
S 
n = 30 
i = 2,5% a.m. 
 meses 
R = ? 
$ 45.000 $ 31.000 
5 20 40 2 
Postecipada 
32 
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Saldo(DF = 40) = 47.000 (1,02)−6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor na Data Focal = Quarenta meses 
 125.000 (1,02)40 − [(2.800 (s322%) (1,02)4 + X] = 47.000 (1,02)−6 
X = $ 100.226,58 
Resposta: $ 100.226,58 
 
 
 
 
2- Anuidades Perpétuas Postecipadas 
Uma anuidade é dita perpétua postecipada quando o prazo da anuidade não tem limite, isto é, o 
prazo é infinito e os termos acontecem no final de cada intervalo. 
 Como a duração de uma anuidade perpétua é ilimitada, só tem sentido calcular o Valor Atual. 
 
 
R = [$/T] 
0 1 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = [1/T] 
Perpetuidade Postecipada 
A 
0 1 5 
DF 
S 
n = 36 − 4 = 32 
i = 2% a.m. 
meses 
R = $ 2.800/mês 
$ 125.000 
X = ? 
36 46 4 
Postecipada 
40 
$ 47.000 
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Aplicando o limite e fazendo com que "n" tenda a infinito (ilimitada) na fórmula do valor 
descontado de uma anuidade postecipada, teremos: 
 
 A = R an i = R [1 − (1 + i)-n] 
 i 
 Aplicando o limite e fazendo “n” tender ao infinito na seguinte equação: 
A = lim R an i = lim R [1 − (1 + i)-n] 
 i 
Então: (1 + i)-n se torna igual a zero, logo: 
 
A = R 
 i 
 
 
Ex. 8: Juca depositou inicialmente em um fundo de investimento $ 227.000 para serem feitas retiradas 
trimestrais vencidas. Se a rentabilidade do fundo for 3,7% a.t, quanto poderá retirar Juca 
trimestralmente deste fundo? 
 
Dep. inicial = $ 227.000 R = ? i = 3,7% a.t. 
Nota: 
 � Como não diz o número de retiradas e nem quando é a última retirada então o prazo é 
infinito (n= ∞). 
 
 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
R = ? ($/trim.) 0 1 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 3,7% a.t. 
Perpetuidade Postecipada 
A 
∞ 
$ 227.000 
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∑ Dep.(DF = 0) = $ 227.000 
∑ Ret.(DF = 0) = A = R / i 
Saldo(DF = 0) = 0 (no infinito) 
Equação de Valor: Data Focal = Zero 227.000 = (R/0,037) 
 227.000 = (R/0,037) 
R = $ 8.399 
Resposta: $ 8.399 
 
 
Ex. 9: Quanto tem que ser depositado hoje em um fundo para pagamento de bolsas de estudo onde 
serão feitas retiradas mensais postecipadas de $ 13.600 e sendo que a rentabilidade do fundo é 4,2% 
a.m? 
 
Dep. inicial = X = ? R = $ 13.600/mês i = 4,2% a.m. n= ∞ 
 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = X = ? 
∑ Ret.(DF = 0) = A = R / i 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor na Data Focal = Zero X = (13.600,00) (1/0,042) 
 X = $ 323.809,52 
Resposta: $ 323.809,52 
R = $ 13.600/mês 
0 1 
 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 4,2% a.m. 
Perpetuidade Postecipada 
A 
∞ 
 X = ? 
DF 
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15
Ex. 10: Foi depositado inicialmente em um fundo $ 950.000 para serem feitas retiradas bimestrais. Se 
a primeira retirada for no final do quinto bimestre e a taxa de juros do fundo for 5% a.b, quanto poderá 
ser retirado? 
 
Dep. inicial = $ 950.000 R = ? i = 5% a.b. n= ∞ 
Solução: Data Focal = Quatro bimestres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ Dep.(DF = 4) − ∑ Ret.(DF = 4) = Saldo(DF = 4) 
∑ Dep.(DF = 4) = 950.000 (1,05)4 
∑ Ret.(DF = 4) = A 
Saldo(DF = 4) = 0 
Equação de Valor: Data Focal = 4 bim. .950.000 (1,05)4 = . R . 
 . 0,05. 
 R = $ 57.736,55 
Resposta: $ 57.736,55 
 
 
Ex. 11: Foi depositado inicialmente em um fundo de investimento $ 430.000, depois foi feito mais um 
depósito um ano após o depósito inicial. Se forem feitas retiradas quadrimestrais de $ 17.900, sendo a 
primeira retirada dois anos após o depósito inicial e a taxa de juros for 2,5% a.q, qual foi o valor do 
segundo depósito? 
 
Dep. inicial = $ 430.000 2º dep = X= ? (3º quad.) 
R = $ 17.900/quad. (6º quad.) n= ∞ i = 2,5% a.q. 
Solução: Data Focal = Três quadrim. 
∑ Dep.(DF = 3) − ∑ Ret.(DF = 3) = Saldo(DF = 3) 
∑ Dep.(DF = 3) = 430.000 (1,025)3 + X 
∑ Ret.(DF = 3) = A (1,025)(3 − 5) = (17.900/0,025) (1,025)(− 2) 
R = ? ($/bim.) 0 1 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 5% a.b. 
Perpetuidade Postecipada 
A 
∞ 
4 5 
$ 950.000 
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Saldo(DF = 3) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor na Data Focal = 3 quad. 430.000 (1,025)3 + X − (17.900/0,025) (1,025)(− 2) = 0 
X = $ 218.436,14 
Resposta: $ 218.436,14 
 
 
Ex. 12: Foi depositado inicialmente em um fundo $ 240.000; depois foram feitos mais dois depósitos 
iguais, um no 3º mês e o outro depósito no 5º mês; e a partir do 8º mês foram feitas retiradas mensais 
de % 15.000. Se a taxa de juros do fundo for 3% a.m, quanto foi depositado no 3º e no 5º mês? 
 
Dep. inicial = $ 240.000 X = ? i = 3% a.b. n= ∞ 
Solução: Data Focal = Sete meses 
 
 
R = $ 15.000/mês 
0 1 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 3% 
a.m. 
Perpetuidade Postecipada 
A 
∞ 
3 5 
$ 240.000 
 X X 
8 7 
R = $ 17.900/quad. 
0 1 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 2,5% a.q. 
Perpet. – Termos Postecipados 
∞ 
3 6 
$ 430.000 
 X 
5 
A 
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17
 ∑ Dep.(DF = 7) − ∑ Ret.(DF = 7) = Saldo(DF = 7) 
∑ Dep.(DF = 7) = 240.000 (1,03)7 + X (1,03)4 + X (1,03)2 
∑ Ret.(DF = 4)= A = 15.000 
 0,03 
Saldo(DF = 4) = 0 
 
Eq. de Valor na Data Focal = Sete meses .240.000 (1,03)7 + X (1,03)4 + X (1,03)2 = 15.000, 
 . 0,03 . 
 500.000 − 295.169,73 = X (1,13+ 1,06) 
X = $ 93.529,80 
Resposta: $ 93.529,80 
 
Ex. 13: Foi depositado inicialmente uma determinada quantia em um fundo de investimento, no 
quarto mês foi feita uma retirada de $ 35.000 e a partir do décimo mês foram forem mais retiradas 
mensais de $ 23.700. Se a taxa de juros do fundo for 3% a.m, quanto foi depositado inicialmente no 
fundo de investimento? 
 
Dep. inicial = X = ? i = 3% a.m. 
1ª Ret = $ 35.000 (4º mês) 
Ret = R = $ 23.700/mês. (1º ret no 10º mês, e última retirada no infinito) 
 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 0) = X 
∑ Ret.(DF = 0) = 35.000 (1,03)(− 4) + (23.700/0,03) (1,03)(− 9) 
 Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor na Data Focal = Zero X = 35.000 (1,03)(− 4) + (23.700/0,03) (1,03)(− 9) 
X = $ 636.566,27 
Resposta: $ 636.566,27 
R = $ 23.700/mês 
0 1 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 3% a.m. 
Perpet. – Termos Postecipados 
∞ 
4 9 
X = ? 
 $ 35.000 
10 
A 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V 
 
N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 
 1 + i n 
 
Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 
 1 − i n 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
 
A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
 
Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 
 In−1 I0 
 
Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) 
 
 
 
 
O uso do formulário abaixo é útil: 
 (1) Para resolver os exercícios propostos, 
 (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será 
anexado as mesmas e 
 
 (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o 
desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. 
 
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Lembrete: 
1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 
2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 
3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal 
seria usar a memória da calculadora. 
 
 
1) O preço de uma moto custa $ 4.800 à vista, sendo que pode ser paga em dez prestações mensais 
iguais, sendo a primeira somente quatro meses após a compra. Se a taxa de juros cobrada no 
financiamento for 3,5% a.m, quanto terá que pagar mensalmente? 
 
2) Hoje foi depositado em um fundo; uma determinada quantia para serem feitas retiradas trimestrais 
de $ 2.960 durante quatro anos. Se a primeira retirada for no início do quarto semestre; o saldo um ano 
após a última retirada for $ 3.500 e taxa de juros 4,8% a.t, quanto foi depositado inicialmente? 
 
3) Uma mercadoria à vista custa $ 15.100; a prazo tem que dar uma entrada e mais dez prestações 
mensais de $ 1.820; sendo que a primeira prestação mensal sete meses após a compra. Se a taxa de 
juros cobrada na venda a prazo for de 18% a.t. capitalizada mensalmente, qual será o valor da entrada? 
 
4) Inicialmente foi depositado em uma poupança $ 23.000 para serem feitas retiradas quadrimestrais 
trimestrais durante cinco anos. Se a primeira retirada for no terceiro ano e a taxa e taxa de juros 3,5% 
a.q, quanto foi depositado quadrimestralmente? 
 
5) Qual é o preço à vista de um micro computador se a prazo tem que dar uma entrada de $ 450 e mais 
prestações mensais de $ 240 durante um ano, sendo que a primeira prestação for oito meses após a 
compra e a taxa de juros cobrada no financiamento 5,8% a.m? 
 
6) Uma casa à vista custa $ 240.000; e a prazo tem que dar uma entrada igual a 20% do preço à vista e 
mais prestações mensais, sendo a primeira prestação no sexto mês e a última no quadragésimo mês. Se 
a taxa de juros cobrada no financiamento for 4% a.m, qual será o valor de cada prestação? 
 
7) Um barco está sendo vendido à vista por $ 125.000 e a prazo com uma entrada e mais oito parcelas 
quadrimestrais de $ 15.000 durante cinco anos. Se a primeira parcela for no início do quarto ano, e se a 
taxa de juros for 1,5% a.m. acumulado quadrimestralmente, quanto terá que dar de entrada na compra 
a prazo? 
 
8) Um taxista deve $ 15.200; e $ 22.300; vencíveis respectivamente em três; e quinze meses. Não 
podendo pagar nesses prazos de vencimento deseja reformá-lo de tal modo a fazer em pagamentos 
mensais durante três anos, sendo que o primeiro pagamento mensal no final do primeiro ano. Quanto 
será pago mensalmente se a taxa de juros usada nesta transação for 2% a.m? 
 
9) Sales depositou inicialmente em uma poupança $ 135.800, depois ele fez vinte retiradas trimestrais 
de $ 2.500. Quanto poderá resgatar Sales dois anos após a última retirada, sabendo-se que a primeira 
retirada foi no décimo quinto mês e a taxa de juros 4,5% a.t? 
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20
 
10) Jô depositou $ 17.000; $ 29.800 e $ 22.000 nos finais do segundo, quinto e sexto meses 
respectivamente, depois fez quinze retiradas mensais iguais. Se a primeira retirada foi no final do nono 
mês; a taxa de juros 5% a.m; e se ainda restou um saldo de $ 8.300 quatro meses após a última retirada, 
quanto Jô retirou mensalmente? 
 
11) Inicialmente foi depositado em fundo para pagamento de bolsas de estudo, $ 350.000; para 
posteriormente serem feitas retiradas trimestrais de $ 25.000. Calcular a rentabilidade do fundo. 
 
12) Foi depositado inicialmente em um fundo $ 330.000 para serem feitas retiradas mensais. Se a taxa 
do fundo for 4,8% a.m., e a primeira retirada no décimo mês, qual será o valor de cada retirada? 
 
13) Quanto deve ser depositado em um fundo de pensão hoje, sabendo-se que serão retirados a partir 
do início do sexto mês $ 700 mensalmente e que a taxa de juros será de 8% a.m.? 
 
 
SOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.10. 
 
 
1) Preço = $ 4.800 i = 3,5% a.m. R = ? n = 10 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Preço à Vista(DF = 0) = $ 4.800 
Entrada(DF = 0) = 0 
Prestações(DF = 0) = A (1,035)−3 
4.800 = R [1 − (1,035)−10] (1,035)−30,035 
$ 4.800 
0 1 13 
DF 
Prazo = n = 10 
i = 3,5% a.m. 
meses. 
R = ? ($/mês.) 
A 
4 3 
Postecipada DF 
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21
4.800 = R a103,5% (1,035)−3
 
4.800 = R (8,3166) (0,9019) 
R = $ 639,94 
Resposta: $ 639,94 
 
 
2) Dep. Inicial = X = ? i = 4,8% a.t. 
R = $ 2.960/trim. (1o Ret.: início 4o sem. = final 3o sem. => (3) (2) = 6 trim.) 
n = (4) (4) = 16 Saldo = $ 3.500 (21 + 4 = 25 trim.) 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Zero 
 
 ∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = X = ? 
∑ Ret.(DF = 0) = A (1,048)−5 
Saldo(DF = 0) = $ 3.500,00 (1,048)−25 
Eq. de Valor: X − A (1,048)−5 = 3.500 (1,048)−25 
 X = 2.960 [1 − (1,048)−16] (1,048)−5 + 3.500 (1,048)−25 
 0,048 
Ou 
X = 2.960 a164,8% (1,048)−5 + 3.500 (1,048)−25 
X = $ 26.825,28 
Resposta: $ 26.825,28 
 
X = ? 
0 1 21 
DF 
Prazo = n = 21 − 5 = 16 
i = 4,8% a.t. 
Trim. 
R = $ 2.960/trim 
A 
6 5 
Postecipada DF $ 3.500 
25 
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22
3) Preço = $15.100 
R = $ 1.820 (1ª prestação é no 7º mês) n = 10 
 i = (18%) (1/3) = 6% a.m 
E = ? 
Solução: Data Focal: Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
15.100 = E + 1.820,00 [1 − (1,06) − 10] (1,06)− 6 
 0,06 
15.100 − 9.443,20 = E 
E = $ 5.556,80 
Resposta: $ 5.556,80 
 
 
4) Dep. Inicial = $ 23.000 
R = ? ($/quad) → n = (5) (3) = 15 (1o Ret.: 3º ano = final 3o ano => (3) (3) = 9 quad.) 
 i = 3,5% a.q. 
Saldo = 0 
Solução: DF = 8 quad. 
∑ Dep.(DF = 8) − ∑ Ret.(DF = 8) = Saldo(DF = 8) 
∑ Dep.(DF = 8) = 23.000 (1,035)8 
∑ Ret.(DF = 8) = A = R [1 − (1,035)−15] 
 0,035 
 Saldo(DF = 8) = 0 
$ 15.100 
0 1 16 
DF 
Prazo = n = 10 
i = 6% a.m. 
meses. 
R = 1.820/mês.) 
A 
7 6 
Postecipada 
DF 
 E = ? 
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23
Eq. de Valor: 23.000 (1,035)8 − R [1 − (1,035)−15] = 0 
 0,035 
 30.286,61 = R [1 − (1,035)−15] 
 0,035 
 
R = $ 2.629,64 
Resposta: $ 2.629,64 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Entrada = $ 450,00 Preço à vista = X = ? i = 5,8% a.m 
R = $ 240/mês (1ª prest: 8º mês) n = 10 
Solução: Data Focal: Zero 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
X = 450 + 240 [1 − (1,058) − 12] (1,058)−7 
 0,058 
X = $ 1.820,98 
Resposta: $ 1.820,98 
 
 
6) Preço à vista = $ 240.000 Entrada = (0,2) (240.000) = $ 48.000 
i = 4% a.m 
R = ? ($/mês) (1ª prest: 6º mês; última: 40º mês) n = (40 − 5) = 35 
Solução: Data Focal: Cinco meses 
$ 23.000 
0 1 23 
DF 
Prazo = n = (5) (3) = 15 
i = 3,5% a.q. 
Quad. 
R = ? ($/quad) 
A 
9 8 
Postecipada 
8 + 15 = 23 
DF 
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24
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 5) = Entrada(DF = 5) + Prestações(DF = 5) 
240.000 (1,04)5 = 48.000 (1,04)5 + R [1 − (1,04)− 35] 
 0,04 
 (240.000 − 48.000) (1,04)5 = R [1 − (1,04)− 35] 
 0,04 
 
(192.000) (1,04)5 = R [1 − (1,04)− 35] 
 0,04 
 
R = $ 12.515,52/mês 
 
Resposta: $ 12.515,52/mês 
 
 
7) Preço à vista = $ 125.000 Entrada = ? 
i = (1,5% ) (4) = 6% a.q. 
R = $ 15.000/quad. (1ª prest = in. 4º ano = final 3º ano => (3) (3) = 9º quad.) 
n = (5) (3) = 15 
Solução: Data Focal = Zero 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
X + 15.000 [1 − (1,06)−15] (1,06) −8 = 125.000 
 0,06 
X = $ 33.9598,02 
 
Resposta: $ 33.9598,02 
 
 
8) $ 15.200 n = 3 m. 
$ 22.300 n = 15 m. 
i = 2% a.m. 
R = ? ($mês) → n = 36 (1º pag. 1º ano => 12 meses; último pag. = 11 + 36 = 47) 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Quarenta e sete meses 
∑ Obrig.(DF = 47) = ∑ Pagam.(DF = 47) 
 ∑ Obrig.(DF = 47) = 15.200 (1,02)(47 – 3) + 22.300 (1,02)(47 – 15) 
 
 ∑ Obrig.(DF = 47) = 15.200 (1,02)(44) + 22.300 (1,02)(32) 
∑ Pagam.(DF = 47) = SPostecipada = R [(1,02)36 − 1] 
 0,02 
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25
Equação de Valor 
 15.200 (1,02)(44) + 22.300 (1,02)(32) = R [(1,02)36 − 1] 
 0,02 
36.328,81 + 42.025,26 = R [(1,02)36 − 1] 
 0,02 
78.354,07 = R (51,99) 
R = $ 1.507,10 
Resposta: $ 1.507,10 
 
 
9) Dep. Inicial = $ 135.800 
R = $ 2.500/trim. → n = 20 (1o Ret.: 15º mês = (15) (1/3) = 5 trim.) 
Última Retirada = 4 + 20 = 24 
 i = 4,5% a.t. 
Saldo = X = ? → 24 + (2) (4) = 32 
Solução: DF = 32 trim. 
∑ Dep.(DF = 32) − ∑ Ret.(DF = 32) = Saldo(DF = 32) 
∑ Dep.(DF = 32) = 135.800 (1,045)32 
∑ Ret.(DF = 32) = S = 2.500 [(1,045)20 − 1] (1,045)8 
 0,045 
 Saldo(DF = 32) = X 
 
Eq. de Valor: 135.800 (1,045)32 − 2.500 [(1,045)20 − 1] (1,045)8 = X 
 0,045 
 
X = $ 443.888,83 
Resposta: $ 443.888,83 
 
 
10) 17.000 => 2o mês 29.800 => 5o mês 22.000,00 => 6o mês 
 15 retiradas (1a retirada no 9o mês => última retirada = 8 + 15 = 23) 
 Saldo = $ 8.300 (4 meses após a última retirada = 23 + 4 = 27) 
 i = 5% a.m 
Solução: Data Focal = Vinte e três meses 
∑ Dep.(DF = 23) − ∑ Ret.(DF = 23) = Saldo(DF = 23) 
17.000 (1,05)(23−1= 21) + 29.800 (1,05)(23−5= 18) + 22.000 (1,05)(23−6= 17) − R (s155%) == 8.300 (1,05)(23−27= −4) 
R = $ 7.538,71 
Resposta: $ 7.538,71 
 
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26
11) Dep. Inicial = $ 350.000 R = $ 25.000/mês Saldo = 0 (infinito) 
 i = ? 
Solução: 
Nota: 
� Como não diz o número de retiradas ou quando é a última retirada, então, a última 
retirada é no infinito (trata-se de uma perpetuidade). 
 
Data Focal: Zero 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = 350.000 
∑ Ret.(DF = 0) = A = R 
 i 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor: 350.000 = 25.000 
 i 
i = 7,14% a.t. 
Resposta: 7,14% a.t. 
 
 
12) Dep. Inicial = $ 330.000 R = ? ($/mês) → (1ª ret. 10º mês) 
i = 4,8% a.m. Saldo = 0 (infinito) 
Solução: 
Nota: 
� Como não diz o número de retiradas ou quando é a última retirada, então, a última 
retirada é no infinito (trata-se de uma perpetuidade). 
 
Data Focal: Nove meses 
∑ Dep.(DF = 9) − ∑ Ret.(DF = 9) = Saldo(DF = 9) 
∑ Dep.(DF = 9) = 330.000 (1,048)9 
∑ Ret.(DF = 9) = A = R (1/0,048) 
Saldo(DF = 9) = 0 
Equação de Valor: 330.000 (1,048)9= R (1/0,048) 
 R = $ 24.154,98 
Resposta: $ 24.154,98 
 
13) Dep. Hoje = X = ? i = 8% a.m. 
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R = $ 700/mês (1ª ret.: início do 6º mês => final do 5o. mês) 
Solução: 
Nota: 
� Como não diz o número de retiradas ou quando é a última retirada, então, a última 
retirada é no infinito (trata-se de uma perpetuidade). 
 
Equação de Valor na Data Focal: = Zero 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = X 
∑ Ret.(DF = 0) = A = 700/0,08 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor: X = (700/0,08) (1,08)−4 
 X = (8.750) (0,74) 
 X = $ 6.475 
Resposta: $ 6.475