Relatório Experimento 5 - Força de Arrasto - Física Exp II

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Determinação da viscosidade de líquidos: Viscosímetro de Stokes 
George Lima Marques e Delaine Silva Santos 
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas – Universidade Estadual de Santa Cruz 
Ilhéus-Bahia 
 
Resumo. O experimento tem como objetivo a determinação da viscosidade de dois líquidos 
(glicerina e trietanolamina) utilizando o viscosímetro de Stokes e a comparação dos resultados 
encontrados com aqueles que foram fornecidos pelos fabricantes dos líquidos, encontrando 
resultados adversos e outros que facilmente se assemelham aos dados do fabricante. 
 
1. Introdução 
George Gabriel Stokes foi um físico britânico, 
que nasceu em 1819, em Sligo, Irlanda, e faleceu 
em 1903. Ficou conhecido por ser um dos 
principais estudiosos de viscosidade e densidade, 
além de seus trabalhos sobre dinâmica dos 
fluidos, que lhe permitiram enunciar a lei 
conhecida pelo seu nome, Lei de Stokes, a qual 
determina o movimento de uma pequena esfera 
através de fluidos de diferentes viscosidades e 
densidades. No viscosímetro de 
Stokes (também chamado viscosímetro de 
esfera), que é o tipo mais simples de 
viscosímetro, abandona-se uma esfera em 
queda livre no fluido e mede-se sua 
velocidade terminal. Em seguida, calcula-se 
a viscosidade por meio da Lei de Stokes. O 
corpo do medidor precisa ser largo de forma 
que as paredes tenham pouca influência 
sobre o escoamento. Esse instrumento tem a 
desvantagem de exigir um grande volume de 
líquido. [1] 
Quando um corpo ou um objeto qualquer 
se move em um fluido (ar ou água, por 
exemplo) vemos que o fluido exerce sobre o 
corpo uma força de resistência, 
denominada força de arraste, que tende a 
reduzir a velocidade do objeto. Essa força de 
arraste depende da força do objeto, das 
propriedades do fluido a que ele está inserido 
e depende também da velocidade do corpo 
em relação ao fluido. [2] 
Quando imerso em um líquido, o corpo 
sofre a ação de três forças (figura 1): peso, 
empuxo e a força de arrasto. A velocidade 
terminal é atingida quando a força de arraste 
e o empuxo se equivalem ao peso do objeto: 
 (1) 
A força de arrasto sobre um corpo é dada 
pela equação geral para a força de resistência 
que atua sobre um projétil em movimento 
em um fluido [3]: 
 
 
 
 
 (2) 
Onde CD é o coeficiente de arrasto, ρ é a 
densidade do fluido, v é a velocidade do objeto em 
relação ao fluido e A é a área de seção transversal do 
objeto. 
 
Figura 1 : Forças que atuam em um corpo imerso em 
um líquido 
O número de Reynolds Re é um número 
adimensional utilizado para o cálculo do 
regime de escoamento de determinado fluido 
sobre uma superfície, pode ser expresso 
como: 
 
 
 
 
onde L é uma dimensão característica do objeto 
(ex. diâmetro, no caso de uma esfera), v é a 
velocidade do corpo em relação ao fluido e η é a 
viscosidade do fluido. [4] 
O coeficiente de arrasto CD pode ser 
expresso em termos do número de Reynolds, 
mas essa relação depende do regime de 
movimento. Uma relação entre Re e CD para 
uma esfera quando Re < 1, os baixos 
números de Reynolds indicam que as forças 
viscosas predominam sobre as forças 
convectivas em todo o domínio do 
escoamento e o fluido tende a contornar o 
objeto, permite escrever a equação (2) na 
forma: 
 
onde D é o diâmetro da esfera. [3] 
2. Procedimento Experimental 
De início foi realizado a medição do 
diâmetro das três esferas de aço usando um 
manômetro de incerteza ± 0,005 mm. 
Utilizamos neste experimento um 
viscosímetro de Stokes (figura 2), composto 
por um painel vertical com graduações, com 
fixadores e garras de encaixe, um tubo de 
vidro longo vertical contendo o líquido a ser 
analisado e um cronômetro digital com 
precisão de ±0,00005s. 
 
Figura 2: Exemplo de Viscosímetro de Stokes 
Configurou-se o cronômetro digital. A 
esfera foi abandonada no topo do tubo e após 
atingir a base foi retirada com o auxílio de 
um imã, e então foram anotados os tempos 
registrados. 
Repetimos esse procedimento de queda 
por 5 vezes, repetindo para as outras duas 
esferas. Logo após repetimos todo o 
procedimento com o segundo líquido. Em 
seguida foi medida a distância que foi 
percorrida pela esfera durante sua queda. 
Para se obter um valor mais confiável, e 
realiza-se coleta de dados em uma margem 
significativa, ou seja, quanto mais valores 
obtidos maior a aproximação do resultado 
esperado. Através dessa ideia, calcula-se o 
valor da média dos dados pela seguinte 
equação: 
 
 
 
 
 
 (5) 
O desvio padrão, representado pela 
equação abaixo, fornece o comportamento da 
dispersão em relação a média dos valores. 
 
σ = 
 
 
 
 
 (6) 
Nas medidas indiretas o valor da grandeza 
final dependerá das incertezas de cada uma 
das grandezas obtidas direta ou 
indiretamente, bem como da forma da 
expressão matemática utilizada para obtê-
las. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (7) 
 
Para comparar valores usamos o erro 
relativo, dado por: 
 
 
 
 
 (8) 
3. Resultados e Discussão 
Com os dados do diâmetro e do tempo de 
queda construímos as tabelas abaixo: 
 
Tabela 01: Diâmetros das esferas 
 
 
 
 
 
Tabela 2: Tempo de queda das esferas na glicerina. 
Nº Tempo de queda das esferas (s) 
 Grande Média Pequena 
1 3,49780 5,49215 12,77660 
2 3,71030 5,42615 11,67090 
3 3,64875 5,33219 12,43710 
4 3,57945 5,13880 12,14165 
5 3,82014 5,79237 12,13135 
µ 3,65128 5,43630 12,02592 
Σ 0,12320 0,23943 0,309100 
Esfera Diâmetro D (cm) 
Grande 0,6280 ± 0,0005 
Média 0,4200 ± 0,0005 
Pequena 0,3120 ± 0,0005 
Tabela 3: Tempos de queda das esferas na 
trietanolamina. 
N Tempo de queda das esferas (s) 
 Grande Média Pequena 
1 2,64130 4,14430 8,18995 
2 2,60765 4,08421 7,83055 
3 2,58755 4,28625 7,66185 
4 2,66230 4,04110 7,73235 
5 2,75605 4,23618 7,56035 
µ 2,65097 4,15840 7,79501 
σ 0,06553 0,10229 0,24185 
 
O volume de cada esfera é dado pela 
seguinte relação: 
 
 
 
 (9) 
Com R=D/2. 
O peso é dado pela seguinte equação: 
 
Onde 
 Então obtemos, com = (7,85±0,05) 
g/cm³ e g = (9,801±0,005)m/s²: 
 (10) 
Propagando esta incerteza utilizando a 
equação (7), temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Efetuando os cálculos temos os seguintes 
resultados: 
 
Tabela 04: Volume e Peso de cada esfera 
 
Empuxo: 
Quando um corpo está totalmente imerso 
em um fluido o empuxo sobre ele é dado 
pela seguinte equação: 
 (11) 
 
Onde ρ é a densidade do líquido, V é o volume da 
esfera, e g é a aceleração da gravidade. 
Propagando a incerteza do Empuxo usando a 
equação (7), temos: 
 
 
 
 
 (12) 
 
Efetuando os cálculos obtemos os seguintes 
resultados: 
 
Tabela 5: Empuxo sobre cada esfera quando imersa na 
glicerina. 
 
 
Utilizando os dados estatísticos da tabela 2, 
vamos calcular a velocidade média de queda 
das esferas na glicerina. A velocidade é 
calculada da forma: 
 (13) 
 
Usando a equação (7), propagamos a 
incerteza da velocidade da seguinte maneira:(14) 
 
Sendo 0,450m a distância percorrida pelas 
esferas durante a queda na glicerina, 
efetuando os cálculos chegamos aos 
seguintes valores para a velocidade média: 
 
Tabela 6: Velocidade média de queda das esferas na 
glicerina. 
 
Agora, 
 
Mas de acordo com (1) podemos 
reescrever como , logo chegamos a: 
 
 
Assim, 
 
 
 
 (15) 
 
Propagando a incerteza usando a equação 
(7): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (16) 
 
Esfera Volume (cm³) Peso (N) 
Grande 0,1296 ± 0,0007 0,00997 ± 0,00003 
Média 0,0387 ± 0,0009 0,00297 ± 0,00008 
Pequena 0,0160 ± 0,0003 0,00123 ± 0,00002 
Esfera Empuxo (N) 
Grande 0,00160 ± 0,00003 
Média 0,00049 ± 0,00005 
Pequena 0,00016 ± 0,00009 
Esfera Velocidade (m/s) 
Grande 0,123 ± 0,002 
Média 0,083 ± 0,001 
Pequena 0,037 ± 0,002 
Dessa forma foram obtidos os seguintes 
valores para a viscosidade da glicerina: 
 
Tabela 7: Valores obtidos para a viscosidade da 
glicerina. 
 
Fazendo uma comparação entre esses 
valores observamos que os resultados 
encontrados foram pouco precisos. Para 
comparar cada um desses valores com o 
valor para essa viscosidade fornecido pelo 
fabricante que é de (0,93±0,05) Pa.s a 25 ºC, 
usaremos (8): 
 Assim, para a esfera grande: 
 
 
 
 X 100% = 23,0% 
 
Para a esfera média: 
 
 
 
 X 100% = 21,5% 
 
Para a esfera pequena: 
 
 
 
 X 100% = 6,4% 
 
Os erros relativos para a esfera grande e 
média são consideravelmente grandes. E, 
podemos notar que para a esfera pequena o 
erro é pequeno, logo ela forneceu o valor 
mais próximo do esperado, ou seja, foi o 
resultado mais exato. 
 
Trietanolamina 
Utilizando as equações (11) e (12) é 
possível encontrar o empuxo sobre cada 
esfera imersa na trietanolamina: 
Tabela 8: Empuxo sobre cada esfera imersa na 
Trietanolamina. 
 
Usando os dados da tabela 3, sendo a 
distância percorrida pelas esferas durante a 
queda na trietanolamina foi também de 
0,450m, e utilizando as equações (13) e (14) 
obtemos os seguintes valores para a 
velocidade média das esferas: 
 
Tabela 9: Velocidade média de queda das esferas na 
trietanolamina. 
 
Usando as equações (15) e (16) para 
cálculo e propagação de incertezas da 
viscosidade do líquido, obtemos os seguintes 
valores para a viscosidade da trietanolamina: 
Tabela 10: Valores obtidos para a viscosidade da 
trietanolamina. 
 
Novamente, comparando os valores 
obtidos entre si, podemos observar uma 
maior precisão entre os resultados obtidos. 
Comparando esses valores com o valor dado 
pelo fabricante que é (0,40±0,05) Pa.s à 30 
ºC, usando a equação (8): 
Para a esfera grande: 
 
 
 
 X 100% = 112,5% 
 
Para a esfera média: 
 
 
 
 X 100% = 52,5% 
 
Para a esfera pequena: 
 
 
 
 X 100% = 55,0% 
Observamos que todos os erros relativos 
são grandes, ou seja, obtemos resultados com 
baixa exatidão. 
As possíveis fontes de erro que causaram 
disparidade entre os valores experimentais e 
fornecidos podem ter sido: erros no aparelho 
de medição, a temperatura a qual foi 
realizada o experimento, pois o dado 
Esfera Viscosidade η (Pa.s) 
Grande (G) 1,15 ± 0,04 
Média (M) 0,73 ± 0,03 
Pequena (P) 0,99 ± 0,07 
Esfera Empuxo (N) 
Grande 0,00142 ± 0,00004 
Média 0,00042 ± 0,00005 
Pequena 0,00017 ± 0,00001 
Esfera Velocidade (m/s) 
Grande 0,170 ± 0,002 
Média 0,108 ± 0,004 
Pequena 0,058 ± 0,005 
Esfera Viscosidade η (Pa.s) 
Grande 0,85 ± 0,04 
Média 0,61 ± 0,05 
Pequena 0,62 ± 0,09 
fornecido pelo fabricante era para uma 
temperatura específica, as paredes do 
viscosímetro podem ter influência nos 
resultados, e erro na medição do tempo de 
queda das esferas, pois por impossibilidades 
técnicas o aparelho não detectava a queda da 
esfera então tivemos que acionar os sensores 
do viscosímetro com a mão, o que pode 
acarretar um sério erro. 
Uma observação considerável a se fazer 
em relação ao tempo de queda é que sendo a 
viscosidade a resistência exercida pelas 
camadas de um fluido ao movimento de um 
objeto em seu interior, quanto maior a 
viscosidade maior a resistência a passagem 
do objeto e maior o tempo que ele leva pra se 
locomover dentro do fluido; isso é 
evidenciado, fazendo uma comparação entre 
as esferas se movendo na glicerina e na 
trietanolamina, podemos então observar que 
na trietanolamina as esferas tem um menor 
tempo de queda assim como a trietanolamina 
tem um menor coeficiente de viscosidade. 
 
4. Conclusão 
A partir dos resultados obtidos foram 
feitas relações entra as grandezas medidas e 
calculadas. A partir dessas relações, foi 
possível calcular a viscosidade da glicerina e 
da trietanolamina, obtendo erros relativos 
consideravelmente altos o que indica que a 
realização do experimento com as 
aproximações feitas não é confiável para 
realizar medidas da viscosidade de um 
líquido. Sendo o ideal utilizar um ambiente a 
mesma temperatura daquela indicada como 
referência para a medida da viscosidade do 
líquido e a utilização de um viscosímetro de 
melhor qualidade onde o mesmo realize a 
medida do tempo de queda da esfera sem 
intervenção manual e que seja mais largo daí 
suas paredes terão pouca influência sobre o 
escoamento e consequentemente sobre os 
resultados. 
Estudo da viscosidade tem importância 
fundamental na indústria como no 
planejamento de tubulações, bombas e outros 
equipamentos de maneira tal que se 
economize energia e evite manutenções 
desnecessárias ocasionadas pelo 
desconhecimento do comportamento do 
fluido. 
As aproximações utilizadas foram feitas 
apenas na apresentação do resultado final, de 
modo a representar os resultados de forma 
mais fiel possível, fornecendo o maior 
número de casas decimais. 
5. Referências 
 [1] HALLIDAY, D.; RESNICK, J. W. 
Fundamentos de Física. Vol. 2, 8ª edição, 
Rio de Janeiro, Editora LTD, 2011. 
[2] Disponível em: 
<www.fem.unicamp.br/~em712/viscos.doc
> - Consultado em: 31/05/13. 
[3] Moregula, Andrea; Experimento 5: 
Força de arrasto num fluido: 
Viscosímetro de Stokes; UESC – DCET, 
Ilhéus, 2013 
 [4] MUNSON, Bruce R; YOUNG, Donald F; 
OKIISHI, Theodore H. Fundamentos da 
mecanica dos fluidos. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1997. 2v. 
 
Figuras: 
Figura 1 - 
<http://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_83.
asp> 
Figura 2 - <http://www.conjuntos-de-
fisica.com.br/viscosimetro-de-stokes-eq124n/>