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Determinação da viscosidade de líquidos: Viscosímetro de Stokes George Lima Marques e Delaine Silva Santos Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas – Universidade Estadual de Santa Cruz Ilhéus-Bahia Resumo. O experimento tem como objetivo a determinação da viscosidade de dois líquidos (glicerina e trietanolamina) utilizando o viscosímetro de Stokes e a comparação dos resultados encontrados com aqueles que foram fornecidos pelos fabricantes dos líquidos, encontrando resultados adversos e outros que facilmente se assemelham aos dados do fabricante. 1. Introdução George Gabriel Stokes foi um físico britânico, que nasceu em 1819, em Sligo, Irlanda, e faleceu em 1903. Ficou conhecido por ser um dos principais estudiosos de viscosidade e densidade, além de seus trabalhos sobre dinâmica dos fluidos, que lhe permitiram enunciar a lei conhecida pelo seu nome, Lei de Stokes, a qual determina o movimento de uma pequena esfera através de fluidos de diferentes viscosidades e densidades. No viscosímetro de Stokes (também chamado viscosímetro de esfera), que é o tipo mais simples de viscosímetro, abandona-se uma esfera em queda livre no fluido e mede-se sua velocidade terminal. Em seguida, calcula-se a viscosidade por meio da Lei de Stokes. O corpo do medidor precisa ser largo de forma que as paredes tenham pouca influência sobre o escoamento. Esse instrumento tem a desvantagem de exigir um grande volume de líquido. [1] Quando um corpo ou um objeto qualquer se move em um fluido (ar ou água, por exemplo) vemos que o fluido exerce sobre o corpo uma força de resistência, denominada força de arraste, que tende a reduzir a velocidade do objeto. Essa força de arraste depende da força do objeto, das propriedades do fluido a que ele está inserido e depende também da velocidade do corpo em relação ao fluido. [2] Quando imerso em um líquido, o corpo sofre a ação de três forças (figura 1): peso, empuxo e a força de arrasto. A velocidade terminal é atingida quando a força de arraste e o empuxo se equivalem ao peso do objeto: (1) A força de arrasto sobre um corpo é dada pela equação geral para a força de resistência que atua sobre um projétil em movimento em um fluido [3]: (2) Onde CD é o coeficiente de arrasto, ρ é a densidade do fluido, v é a velocidade do objeto em relação ao fluido e A é a área de seção transversal do objeto. Figura 1 : Forças que atuam em um corpo imerso em um líquido O número de Reynolds Re é um número adimensional utilizado para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido sobre uma superfície, pode ser expresso como: onde L é uma dimensão característica do objeto (ex. diâmetro, no caso de uma esfera), v é a velocidade do corpo em relação ao fluido e η é a viscosidade do fluido. [4] O coeficiente de arrasto CD pode ser expresso em termos do número de Reynolds, mas essa relação depende do regime de movimento. Uma relação entre Re e CD para uma esfera quando Re < 1, os baixos números de Reynolds indicam que as forças viscosas predominam sobre as forças convectivas em todo o domínio do escoamento e o fluido tende a contornar o objeto, permite escrever a equação (2) na forma: onde D é o diâmetro da esfera. [3] 2. Procedimento Experimental De início foi realizado a medição do diâmetro das três esferas de aço usando um manômetro de incerteza ± 0,005 mm. Utilizamos neste experimento um viscosímetro de Stokes (figura 2), composto por um painel vertical com graduações, com fixadores e garras de encaixe, um tubo de vidro longo vertical contendo o líquido a ser analisado e um cronômetro digital com precisão de ±0,00005s. Figura 2: Exemplo de Viscosímetro de Stokes Configurou-se o cronômetro digital. A esfera foi abandonada no topo do tubo e após atingir a base foi retirada com o auxílio de um imã, e então foram anotados os tempos registrados. Repetimos esse procedimento de queda por 5 vezes, repetindo para as outras duas esferas. Logo após repetimos todo o procedimento com o segundo líquido. Em seguida foi medida a distância que foi percorrida pela esfera durante sua queda. Para se obter um valor mais confiável, e realiza-se coleta de dados em uma margem significativa, ou seja, quanto mais valores obtidos maior a aproximação do resultado esperado. Através dessa ideia, calcula-se o valor da média dos dados pela seguinte equação: (5) O desvio padrão, representado pela equação abaixo, fornece o comportamento da dispersão em relação a média dos valores. σ = (6) Nas medidas indiretas o valor da grandeza final dependerá das incertezas de cada uma das grandezas obtidas direta ou indiretamente, bem como da forma da expressão matemática utilizada para obtê- las. (7) Para comparar valores usamos o erro relativo, dado por: (8) 3. Resultados e Discussão Com os dados do diâmetro e do tempo de queda construímos as tabelas abaixo: Tabela 01: Diâmetros das esferas Tabela 2: Tempo de queda das esferas na glicerina. Nº Tempo de queda das esferas (s) Grande Média Pequena 1 3,49780 5,49215 12,77660 2 3,71030 5,42615 11,67090 3 3,64875 5,33219 12,43710 4 3,57945 5,13880 12,14165 5 3,82014 5,79237 12,13135 µ 3,65128 5,43630 12,02592 Σ 0,12320 0,23943 0,309100 Esfera Diâmetro D (cm) Grande 0,6280 ± 0,0005 Média 0,4200 ± 0,0005 Pequena 0,3120 ± 0,0005 Tabela 3: Tempos de queda das esferas na trietanolamina. N Tempo de queda das esferas (s) Grande Média Pequena 1 2,64130 4,14430 8,18995 2 2,60765 4,08421 7,83055 3 2,58755 4,28625 7,66185 4 2,66230 4,04110 7,73235 5 2,75605 4,23618 7,56035 µ 2,65097 4,15840 7,79501 σ 0,06553 0,10229 0,24185 O volume de cada esfera é dado pela seguinte relação: (9) Com R=D/2. O peso é dado pela seguinte equação: Onde Então obtemos, com = (7,85±0,05) g/cm³ e g = (9,801±0,005)m/s²: (10) Propagando esta incerteza utilizando a equação (7), temos: Efetuando os cálculos temos os seguintes resultados: Tabela 04: Volume e Peso de cada esfera Empuxo: Quando um corpo está totalmente imerso em um fluido o empuxo sobre ele é dado pela seguinte equação: (11) Onde ρ é a densidade do líquido, V é o volume da esfera, e g é a aceleração da gravidade. Propagando a incerteza do Empuxo usando a equação (7), temos: (12) Efetuando os cálculos obtemos os seguintes resultados: Tabela 5: Empuxo sobre cada esfera quando imersa na glicerina. Utilizando os dados estatísticos da tabela 2, vamos calcular a velocidade média de queda das esferas na glicerina. A velocidade é calculada da forma: (13) Usando a equação (7), propagamos a incerteza da velocidade da seguinte maneira:(14) Sendo 0,450m a distância percorrida pelas esferas durante a queda na glicerina, efetuando os cálculos chegamos aos seguintes valores para a velocidade média: Tabela 6: Velocidade média de queda das esferas na glicerina. Agora, Mas de acordo com (1) podemos reescrever como , logo chegamos a: Assim, (15) Propagando a incerteza usando a equação (7): (16) Esfera Volume (cm³) Peso (N) Grande 0,1296 ± 0,0007 0,00997 ± 0,00003 Média 0,0387 ± 0,0009 0,00297 ± 0,00008 Pequena 0,0160 ± 0,0003 0,00123 ± 0,00002 Esfera Empuxo (N) Grande 0,00160 ± 0,00003 Média 0,00049 ± 0,00005 Pequena 0,00016 ± 0,00009 Esfera Velocidade (m/s) Grande 0,123 ± 0,002 Média 0,083 ± 0,001 Pequena 0,037 ± 0,002 Dessa forma foram obtidos os seguintes valores para a viscosidade da glicerina: Tabela 7: Valores obtidos para a viscosidade da glicerina. Fazendo uma comparação entre esses valores observamos que os resultados encontrados foram pouco precisos. Para comparar cada um desses valores com o valor para essa viscosidade fornecido pelo fabricante que é de (0,93±0,05) Pa.s a 25 ºC, usaremos (8): Assim, para a esfera grande: X 100% = 23,0% Para a esfera média: X 100% = 21,5% Para a esfera pequena: X 100% = 6,4% Os erros relativos para a esfera grande e média são consideravelmente grandes. E, podemos notar que para a esfera pequena o erro é pequeno, logo ela forneceu o valor mais próximo do esperado, ou seja, foi o resultado mais exato. Trietanolamina Utilizando as equações (11) e (12) é possível encontrar o empuxo sobre cada esfera imersa na trietanolamina: Tabela 8: Empuxo sobre cada esfera imersa na Trietanolamina. Usando os dados da tabela 3, sendo a distância percorrida pelas esferas durante a queda na trietanolamina foi também de 0,450m, e utilizando as equações (13) e (14) obtemos os seguintes valores para a velocidade média das esferas: Tabela 9: Velocidade média de queda das esferas na trietanolamina. Usando as equações (15) e (16) para cálculo e propagação de incertezas da viscosidade do líquido, obtemos os seguintes valores para a viscosidade da trietanolamina: Tabela 10: Valores obtidos para a viscosidade da trietanolamina. Novamente, comparando os valores obtidos entre si, podemos observar uma maior precisão entre os resultados obtidos. Comparando esses valores com o valor dado pelo fabricante que é (0,40±0,05) Pa.s à 30 ºC, usando a equação (8): Para a esfera grande: X 100% = 112,5% Para a esfera média: X 100% = 52,5% Para a esfera pequena: X 100% = 55,0% Observamos que todos os erros relativos são grandes, ou seja, obtemos resultados com baixa exatidão. As possíveis fontes de erro que causaram disparidade entre os valores experimentais e fornecidos podem ter sido: erros no aparelho de medição, a temperatura a qual foi realizada o experimento, pois o dado Esfera Viscosidade η (Pa.s) Grande (G) 1,15 ± 0,04 Média (M) 0,73 ± 0,03 Pequena (P) 0,99 ± 0,07 Esfera Empuxo (N) Grande 0,00142 ± 0,00004 Média 0,00042 ± 0,00005 Pequena 0,00017 ± 0,00001 Esfera Velocidade (m/s) Grande 0,170 ± 0,002 Média 0,108 ± 0,004 Pequena 0,058 ± 0,005 Esfera Viscosidade η (Pa.s) Grande 0,85 ± 0,04 Média 0,61 ± 0,05 Pequena 0,62 ± 0,09 fornecido pelo fabricante era para uma temperatura específica, as paredes do viscosímetro podem ter influência nos resultados, e erro na medição do tempo de queda das esferas, pois por impossibilidades técnicas o aparelho não detectava a queda da esfera então tivemos que acionar os sensores do viscosímetro com a mão, o que pode acarretar um sério erro. Uma observação considerável a se fazer em relação ao tempo de queda é que sendo a viscosidade a resistência exercida pelas camadas de um fluido ao movimento de um objeto em seu interior, quanto maior a viscosidade maior a resistência a passagem do objeto e maior o tempo que ele leva pra se locomover dentro do fluido; isso é evidenciado, fazendo uma comparação entre as esferas se movendo na glicerina e na trietanolamina, podemos então observar que na trietanolamina as esferas tem um menor tempo de queda assim como a trietanolamina tem um menor coeficiente de viscosidade. 4. Conclusão A partir dos resultados obtidos foram feitas relações entra as grandezas medidas e calculadas. A partir dessas relações, foi possível calcular a viscosidade da glicerina e da trietanolamina, obtendo erros relativos consideravelmente altos o que indica que a realização do experimento com as aproximações feitas não é confiável para realizar medidas da viscosidade de um líquido. Sendo o ideal utilizar um ambiente a mesma temperatura daquela indicada como referência para a medida da viscosidade do líquido e a utilização de um viscosímetro de melhor qualidade onde o mesmo realize a medida do tempo de queda da esfera sem intervenção manual e que seja mais largo daí suas paredes terão pouca influência sobre o escoamento e consequentemente sobre os resultados. Estudo da viscosidade tem importância fundamental na indústria como no planejamento de tubulações, bombas e outros equipamentos de maneira tal que se economize energia e evite manutenções desnecessárias ocasionadas pelo desconhecimento do comportamento do fluido. As aproximações utilizadas foram feitas apenas na apresentação do resultado final, de modo a representar os resultados de forma mais fiel possível, fornecendo o maior número de casas decimais. 5. Referências [1] HALLIDAY, D.; RESNICK, J. W. Fundamentos de Física. Vol. 2, 8ª edição, Rio de Janeiro, Editora LTD, 2011. [2] Disponível em: <www.fem.unicamp.br/~em712/viscos.doc > - Consultado em: 31/05/13. [3] Moregula, Andrea; Experimento 5: Força de arrasto num fluido: Viscosímetro de Stokes; UESC – DCET, Ilhéus, 2013 [4] MUNSON, Bruce R; YOUNG, Donald F; OKIISHI, Theodore H. Fundamentos da mecanica dos fluidos. São Paulo: Edgard Blucher, 1997. 2v. Figuras: Figura 1 - <http://www.feiradeciencias.com.br/sala05/05_83. asp> Figura 2 - <http://www.conjuntos-de- fisica.com.br/viscosimetro-de-stokes-eq124n/>
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