Apostila 1 - Juros e Descontos E JUROS COMPOSTO

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Disciplina de Matemática Financeira 
Curso Técnico em Finanças 
Profª Valéria Espíndola Lessa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 1 
 
Juros Simples 
Juros Compostos 
Desconto Simples 
Desconto Composto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Erechim, 
2014 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
2 
 
 
INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Definições: 
 
“A Matemática Financeira ou Matemática das Finanças é uma ciência que se preocupa em analisar os 
fenômenos econômico-financeiros à luz dos métodos quantitativos, fornecendo modelos e processos 
eficientes na solução de problemas relacionados à tomada de decisão de ordem pessoal, empresarial e 
governamental” (FERREIRA, 2010). 
 
“A Matemática Financeira tem por objetivo estudar a evolução do valor do dinheiro ao longo do 
tempo”(DAL ZOT, 2006). 
 
Conceitos importantes: 
 
 Capital Inicial, Principal ou Valor Presente 
É o valor inicial de um empréstimo ou aplicação, sobre o qual irão incidir os juros. 
Símbolos: C, P ou PV (Present Value) 
 
 Prazo 
É o tempo de duração do empréstimo ou do investimento. Pode ser medido em dias, meses, trimestres, 
semestres, anos, etc. 
Símbolo: n 
 
 Juro 
É o preço (em Reais) pago pelo aluguel, ou empréstimo, do dinheiro (do capital). É também o rendimento 
do dinheiro aplicado. 
Símbolo: J 
 
 Taxa de Juros 
É a taxa percentual ou unitária do rendimento do capital ou pagamento pelo uso do capital, numa 
unidade de tempo (ao dia, ao mês, ao ano,...) 
Símbolo: i 
Taxa percentual de juros: 25 % 
Taxa unitária de juros: 0,25 
 
 Montante ou Valor Futuro 
É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar um empréstimo. É o valor final de uma 
aplicação. 
Símbolo: M, S ou FV (Future Value) 
 
Fórmula: 
M = P + J ou FV = PV + J 
 
 Fluxo de Caixa 
É um esquema, na forma de diagrama ou tabela, que representa as entradas e saídas financeiras ao longo 
do tempo. 
Exemplo: Um investimento de R$ 1.000,00 pelo qual o investidor recebeu R$ 1.500,00 após 8 meses 
pode ser representado pelo fluxo de caixa a seguir. 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
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 Regime de Capitalização 
Ato de adicionar juros ao capital. 
Capitalização Simples ⇨ Juros Simples 
Capitalização Composta ⇨ Juros Compostos 
 
 
 Capitalização Simples 
É uma função com crescimento linear 
 
 
 
 
 Capitalização Composta 
É uma função com crescimento exponencial 
 
 
 
 
 
 
JUROS SIMPLES 
 
Exemplo 1: Qual o juro acumulado no investimento de R$ 100,00 a uma taxa de 3% ao mês por 4 meses? 
 
Mês Cálculo do Juro Juro Acumulado Saldo 
0 ------ ------ 100,00 
1 100 . 0,03 = 3,00 3,00 103,00 
2 
3 
4 
... 
n 
 
 
 
 
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4 
 
DEDUÇÃO DA FÓRMULA DE JUROS SIMPLES 
 
Qual o juro acumulado no investimento de P reais a uma taxa de i ao mês por n meses? 
 
Mês Cálculo do Juro Juro Acumulado 
0 ------ ------ 
1 P . i P . i 
2 P . i 2 . P . i 
3 P . i 3 . P . i 
4 P . Ii 4 . P . i 
... 
n P . i n . P . i 
 
𝑱 = 𝑷 ∙ 𝒊 ∙ 𝒏 (1) 
 
 
 
Exemplo 2: Qual o valor recebido após 6 meses de aplicação de um capital de R$ 500,00 a uma taxa de 
0,4% ao mês? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula do Montante: 
𝑴 = 𝑷 + 𝑱 (2) 
 
Unindo as fórmulas 1 e 2 temos: 
𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊𝒏) (3) 
 
 
 
Resolvendo o Exemplo 2 com a fórmula 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3: Uma pessoa tomou emprestado R$ 200.000,00, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês, a 
ser restituído em 9 meses. Calcule o valor dos juros e o valor futuro da restituição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produza rendimentos iguais a 
R$ 148.612,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Um capital de R$ 3.700,00 rendeu R$ 1.200,00 após 5 meses. Calcule a taxa de juros simples da 
aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Certa companhia emprestou R$ 3.500,00 à taxa de juros simples de 14% ao ano, para outra 
empresa. Se a empresa pagou R$ 930,00 de juros, qual foi a duração do empréstimo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Qual capital deverá ser investido à uma taxa de juros simples de 2,4% ao mês, durante 8 
meses, para se obter um montante de R$2.384,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 TAXA E PRAZO COM UNIDADES DE TEMPO DIFERENTES 
 
Em alguns problemas a taxa de juros apresentada está numa unidade de tempo diferente do prazo da 
aplicação do Capital. É preciso analisar cada caso para decidir se é melhor transformar a taxa ou o prazo. 
 
Exemplo 8: Uma pessoa aplicou R$ 750,00 em um banco que remunera a uma taxa de juros simples de 1,3% 
ao mês. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 105 dias, qual foi o montante recebido pela pessoa? 
 
1ª forma de resolver => transformar os dias em meses, dividindo 105 por 30. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª forma de resolver => transformar a taxa mensal em taxa diária dividindo também por 30. 
 
Em juros simples esta transformação é parecida com o que fizemos no prazo. 
1,03 ao mês => dividi-se por 30 dias => tem-se 
1,03%
30
= 0,34% 𝑎𝑜 𝑑𝑖𝑎 
 
Fórmula para transformar taxas: 
 
 
dmbtsa iiiiii 36012642 
 (4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Em juros simples podemos fazer a transformação da taxa desta forma, por que se trata de taxas 
equivalentes. O que isso significa? 
• O montante da aplicação de R$ 1.000,00 durante 12 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês 
será igual a R$ 1.480,00; 
• O montante da aplicação do mesmo capital durante 1 ano à taxa de juros simples de 48% aao ano, 
também será igual a R$ 1.480,00 
 
 
Exemplo 9: Qual o juro acumulado no investimento de um Capital de R$ 500,00 a uma taxa de 30% ao ano 
por 7 meses? 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 10: Calcule a taxa mensal e anual equivalente, em juros simples, a 10% ao semestre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CONSTRUINDO GRÁFICOS DO CAPITAL AO LONGO DO TEMPO 
 
Conforme já foi dito, a rentabilidade do capital, em juros simples, tem crescimento linear. Vamos agora, 
associar um problema de juros simples a uma função de 1º grau e construir seu gráfico a fim de termos uma 
projeção da rentabilidade ao longo do tempo. 
 
Exemplo 11: Construir o gráfico do valor de resgate ao longo dos meses, de uma aplicação inicial de R$ 
200,00 que rende a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 APLICAÇÃO DE JUROS SIMPLES 
Calculando os Juros do “cheque especial” 
 
Uma das aplicações da capitalização simples é no cálculo dos juros do “cheque especial” de contas 
correntes chamado método hamburguês. Neste método, iremos aplicar o cálculo de juros simples aos saldos 
devedores diários das contas correntes. Os bancos cobram uma taxa de juros mensal durantes prazos diários 
pelo empréstimo do dinheiro e o governo cobra um imposto por esteuso, o IOF (imposto sobre operações 
financeiras). 
 
Exemplo 12: Sabendo-se que certo banco cobra juros simples de 4,2% a.m. e IOF de 0,123% a.m. de seus 
clientes portadores de “cheques especiais”, determinar, para o quadro a seguir – extrato de uma conta 
particular – esses valores tendo como data de contabilização o dia 30/03. 
 
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Dia/Mês Histórico Valor Saldo (D/C) Nº de dias negativo 
02/03 Depósito + 2.650,00 3.122,50 ---- 
10/03 Pag. Contas - 4.000,00 - 877,50 6 
16/03 Cheque Comp. - 2.500,00 - 3.377,50 2 
18/03 Depósito + 5.000,00 1.622,50 ---- 
23/03 Cheque Comp. - 3.522,50 - 1.900,00 7 
30/03 Depósito + 3.500,00 1.600,00 ----- 
 
(1º) Calcular os juros fazendo um somatório dos saldos negativos e multiplicando pela taxa. 
 
 
 
 
 
 
(2º) Vamos calcular o IOF da mesma forma anterior, mas com a taxa de IOF. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios LISTA 1 
Juros Simples 
 
1. Um comerciário obteve financiamento junto a um banco no valor de R$ 1.350,00 para ser pago após 3 
meses, junto com os juros, a uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Calcule o valor dos juros a serem 
pagos ao banco pelo comerciário. (Resposta: R$ 121,50) 
 
2. Certa aplicação rendeu juros de R$ 500,00 após 10 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples era de 
0,5% ao mês, calcule o valor da aplicação inicial. (Resposta: R$ 10.000,00) 
 
3. Qual a taxa de juros simples que foi aplicada num empréstimo de R$ 12.000,00 que, após 13 meses, 
rendeu R$ 3.000,00 de juros? (Resposta: 1,92% ao mês) 
 
4. Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros de R$ 4.000,00, a uma taxa de 
juros simples de 12% ao ano? (Resposta: 1,67 anos ou 1 ano e 8 meses) 
 
5. Uma pessoa dispondo de R$100.000,00 faz um contrato com certa instituição para receber durante um 
ano as seguintes taxas trimestrais de juros simples: 1º trimestre: 10%; 2º trimestre: 12%; 3º trimestre: 
15%; e 4º trimestre: 18%. Calcular os juros simples totais ao fim do prazo de aplicação. (Resposta: R$ 
55.000,00) 
 
6. Em quanto tempo um capital triplica de valor inicial, quando é aplicado a uma taxa de juros simples de 
10% ao semestre? (Resposta: 20 semestres ou 10 anos) 
 
7. Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a taxa 
correspondente? (Resposta: 2% a.m.) 
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8. Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 18% ao semestre rende R$ 
72.000,00 de juros, determinar o montante? (Resposta: R$ 112.000,00) 
 
9. Em que prazo uma aplicação de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00, considerando-
se uma taxa de 30% ao ano? (Resposta: 1,75 ano ou 21 meses ou 1 ano e 9 meses) 
 
10. Uma senhora depositou R$ 25.000,00 em uma conta bancária especial que rende a uma taxa de juros 
simples de 5% ao mês. Qual será o saldo da aplicação após 125 dias? (Resposta: R$ 30.208,33) 
 
11. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-
se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? (Resposta: 33% ao ano) 
 
12. Fernando obtém R$ 40.000,00 emprestados de um agiota, entregando-lhe uma nota promissória de R$ 
80.000,00, com vencimento para 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual de juros cobrados pelo 
agiota? (Resposta: 8,33% a.m. e 100% a.a.) 
 
13. Qual o capital que, após 179 dias de aplicação se transforma em R$ 10.000,00, a uma taxa de juros 
simples de 3,1% ao mês? (Resposta: R$ 8.439,06) 
 
14. Numa operação financeira, um banco emprestou R$ 14.000,00 a uma empresa e recebeu, após 392 dias, 
o valor de R$ 30.000,00. Que taxa anual de juros simples foi utilizada? (Resposta: 104,96% ao ano) 
 
15. Sabe-se que um capital de R$ 10.000,00 transformou-se em R$ 15.000,00, a uma taxa de juros simples 
de 3% ao mês. Deseja-se saber em que prazo. (Resposta: 16,67 meses ou 16 meses e 20 dias) 
 
16. Calcule as taxas mensal, trimestral e anual equivalentes a 24% ao semestre, em juros simples (Resposta: 
4%a.m., 12%a.t. e 48%a.a., respectivamente) 
 
17. Calcule os rendimentos referentes a uma aplicação financeira de R$1.470,00, durante 95 dias, à taxa de 
juros simples de 21% a.a. (Resposta: R$ 81,46) 
 
18. Um aplicador deseja transformar o capital de R$ 23.000,00 em R$ 29.997,88, em 556 dias. Qual a taxa 
anual de juros simples que o aplicador deverá conseguir para alcançar seu objetivo? (Resposta: 19,70% 
a.a.) 
 
19. Calcular o valor dos juros referentes às aplicações dos capitais R$ 20.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 
40.000,00, pelos prazos de 65 dias, 72 dias e 20 dias, respectivamente, sabendo-se que a taxa 
considerada é de 25,2% ao ano. (Resposta: R$ 1.974,00) 
 
20. Vamos admitir que o Banco Rico S/A esteja creditando juros, no final de cada semestre, sobre os saldos 
dos depósitos a vista, à razão de 12% ao ano. Calcular o total de juros a ser creditado no 1º semestre para 
um cliente que teve a seguinte movimentação em sua conta: (Resposta: R$1.863,67) 
Data Histórico Valores Saldo Nº dias 
15/01 Depósito 100.000,00 +100.000,00 11 
26/01 Cheque - 30.000,00 +70.000,00 18 
 13/02 Cheque - 15.000,00 +55.000,00 15 
28/02 Depósito + 40.000,00 +95.000,00 5 
05/03 Saque - 60.000,00 +35.000,00 46 
20/04 Cheque - 28.000,00 +7.000,00 12 
02/05 Depósito + 22.000,00 +29.000,00 3 
05/05 Cheque - 29.000,00 0,00 41 
15/06 Depósito + 10.000,00 +10.000,00 15 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
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21. Calcular os juros incidentes sobre os saldos devedores de um cliente, durante o mês de abril, à taxa de 
4% ao mês, e o IOF, de 0,123% ao mês, conforme extrato a seguir: (Resposta: R$ 176,67 e R$ 5,43) 
 
Data Histórico Valores Saldo Nº dias 
01/04 Depósito +20.000,00 +20.000,00 --- 
05/04 Cheque -25.000,00 -5.000,00 7 
12/04 Cheque -10.00,00 -15.000,00 1 
13/04 Depósito +19.000,00 +4.000,00 --- 
18/04 Saque -5.500,00 -1.500,00 3 
21/04 Cheque -8.500,00 -10.000,00 5 
26/04 Depósito +3.000,00 -7.000,00 4 
 
 
22. Qual a taxa anual necessária para certo capital quadruplicar seu valor em 40 meses? (Resposta: 90% ao 
ano) 
 
23. Qual o juro e o IOF que pagarei ao banco por ficar 27 dias com saldo negativo de R$ 1.890,00, sabendo 
que o banco cobra uma taxa de juros de 3,8% ao mês e que a taxa de IOF é de 0,13% ao mês? (Resposta: 
R$ 64,64 e R$ 2,21) 
 
24. Calcule a taxa mensal de uma aplicação de R$ 15.000,00 em capitalização simples, que gerou um 
montante de R$ 18.340,00 durante 7 semestres e meio. (Resposta: 0,49% ao mês) 
 
25. Faça a projeção gráfica dos capitais futuros de uma aplicação R$ 2.000,00 a uma taxa de juros simples de 
0,3% ao mês, de 0 a 5 meses de aplicação. (Resposta: M = 2000 + 6n; e gráfico) 
 
26. Faça uma projeção gráfica da capitalização de uma aplicação, de 0 a 6 bimestres, sabendo que esta gera 
um valor futuro de R$ 6.726,00 após 7 bimestres, com uma taxa anual de juros simples de 12%. 
(Resposta: M = 5900 + 118n; e gráfico) 
 
27. Uma empresa aplicou R$ 2.000.000,00 no Open Market no dia 15/07/1997 e resgatou essa aplicação no 
dia 21/07/1997 por R$ 2.018.000,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento à juros simples 
proporcionada por essa operação. (Resposta: 4,5% ao mês) 
 
28. Calcular o valor do capital que aplicado a taxa de 50,4% ao ano, durante 2 anos e 3 meses, produz um 
montante de R$ 600.000,00. (Resposta: R$ 281.162,14) 
 
29. Ao fim de quantos dias o capital de R$ 40.000,00 aplicado a taxa de 3% ao mês, produz R$ 18.600,00 de 
juros. (Resposta: 465 dias) 
 
30. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor. (Resposta: 25 meses)31. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a ¼ do seu valor. (Resposta: 
2,5% ao mês). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
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JUROS COMPOSTOS 
 
Quando uma determinada soma de dinheiro está aplicada a juros simples, os juros são sempre 
calculados sobre o montante inicial. Quando uma soma está aplicada a juros compostos, os juros são 
calculados não apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros já vencidos. 
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros 
acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função 
do tempo. 
 
 CÁLCULO DO MONTANTE (M, FV) 
 
O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital 
aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida. 
 
𝑴 = 𝑱 + 𝑷 (2) 
 
A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M, o montante, P, o capital inicial, n, o período e i, a 
taxa. A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já 
vista para a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos resolver o seguinte problema: 
 
Exemplo 1: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 
meses. 
 
Dados: 
P = 1.000,00 
 n = 5 meses 
 i = 4% ao mês 
 M = ? 
 
A montagem de uma tabela mês a mês permite que visualizemos o cálculo do montante na capitalização 
composta. 
 
Mês 
(n) 
Capital (P) Juros Acumulados (J) Montante no final do 
período (M) 
1 
2 
3 
4 
5 
 
Essa forma de cálculo é bastante trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma fórmula que permita 
um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior, sem, no entanto, efetuar os cálculos 
ali demonstrados. 
 
 DEDUÇÃO DA FÓRMULA 
 
M0 = 1.000,00 
M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1 
M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
12 
 
.......... 
M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4= 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5 
 
O valor do montante no final do quinto mês é dado pela expressão:M5 = 1.000,00 (1,04)5. Como (1,04)5 = 
1,21656  m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente. 
 
Substituindo cada n da expressão M5 = 1.000,00(1,04)5 pelo seu símbolo correspondente, temos 
 
𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏 (5) 
 
em que a expressão (1 + i)n é chamada de fator de capitalização ou fator de acumulação de capital 
para pagamento simples ou único. 
 
 
 RESOLUÇÃO NO MODO FINANCEIRO COM A CALCULADORA HP12C 
 
Simbologia das teclas: 
[PV] = capital inicial 
[FV] = montante 
[i] = taxa 
[n] = prazo/tempo/período 
 
Procedimento: 
1.000,00 [CHS] [PV] 4[i] 5 [n] [FV] => 1.216,65 
 
 
Exemplo 2: Qual o montante de uma aplicação de R$ 15.000,00, pelo prazo de 9 meses, à taxa de 2% ao mês. 
 
Dados: P = 15.000,00 
 n = 9 meses 
 i = 2% ao mês 
 M = ? 
 
Solução algébrica na calculadora científica: 
 M = C(1 + i)n 
 M = 15.000,00 (1 + 0,02)9 
 M = 15.000,00 x 1,19509 = 17.926,35 
 
Solução algébrica na HP12c, no modo RPN: 
 15000 [enter] 1,02 [enter] 9 [yx] [x] => 17.926,39 
 
Solução na HP12c no modo financeiro: 
 15000 [CHS][PV] 9[n] 2[i] [FV] => 17.926,39 
 
 
Exemplo 3: Um investimento de R$ 4.000,00 é feito em 10 anos. Sabendo-se que os juros são compostos e 
rendem 18% ao ano, calcule o saldo da aplicação final. (Resposta: R$ 20.935,34) 
 
 
 
 
 
 
Você pode optar por apenas 
um modo de cálculo. 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
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Exemplo 4: Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ 37.000,00 à taxa composta de 4,1% ao mês, 
após 60 dias. (Resposta: R$ 40.096,20) 
 
 
 
 
 
 
 
 CALCULO DOS JUROS (J) 
 
 Calcular o montante e depois descontar o principal. É uma variação da fórmula M = P + J 
 
𝑱 = 𝑴 − 𝑷 (2) com J isolado 
 
Exemplo 5: Qual a rentabilidade de uma aplicação de R$ 4.500,00 à taxa de juros compostos de 3,6% ao mês, 
durantes 45 meses? 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Uma pessoa fez um empréstimo de R$ 200.000,00 para serem pagos ao final de 4 anos sob o 
regime de capitalização composta, com taxa de 15% ao ano. Quanto a pessoa pagará de juros? (Resposta: R$ 
149.801,25) 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO DO CAPITAL INICIAL (PRINCIPAL – P, C, PV) 
 
Usamos a mesma fórmula do montante, porém isolando o P. 
 
𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏 → 𝑷 =
𝑴
(𝟏+𝒊)𝒏
 
 
 
Exemplo 7: No final de 2 anos, uma pessoa deverá efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referente ao 
valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondente a uma taxa a juros compostos 
de 3,5% ao mês. Qual o valor emprestado? 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
14 
 
Exemplo 8: Para comprar um automóvel no valor de R$ 15.000,00 daqui a um ano, um jovem deve depositar 
numa aplicação financeira que rende juros compostos à taxa de 3% ao mês. Calcule a quantia que deverá ser 
depositada. (Resposta: R$ 10.520,70) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Quanto se deve depositar, hoje, em um tipo de aplicação financeira que rende juros compostos 
de 2,4% ao mês, para que se possa atingir um montante de R$ 3.000,00, após um semestre? (Resposta: R$ 
2.602,09) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO DA TAXA (i) 
 
Usamos a mesma fórmula do montante, porém isolando o i. 
 
𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏 → 𝒊 = (
𝑴
𝑷
)
𝟏
𝒏
− 𝟏 
 
 
Exemplo 10: Certa loja financia um bem de consumo de uso durável no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, 
para pagamento em uma única prestação de R$ 52.512,15 no final de 27 meses. Qual a taxa mensal cobrada 
pela loja? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 11: Para um capital crescer de R$ 3.000,00 para R$ 4.000,00, em 3 anos, a que taxa de juros 
compostos, anualmente, deve ser aplicado. (Resposta: 10,06% a.a.) 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
15 
 
 
Exemplo 12: Qual a taxa mensal de juros compostos que foi utilizada, em uma aplicação financeira de R$ 
2.500,00 que se transformou num saldo de R$ 3.700,00, após 18 meses? (Resposta: 2,2% a.m.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CÁLCULO DO PRAZO (n) 
 
Usamos a mesma fórmula do montante, porém isolando o n. 
 
𝑴 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏 → 𝒏 =
𝒍𝒏(
𝑴
𝑷
)
𝒍𝒏(𝟏+𝒊)
 
 
 
Exemplo 13: Em que prazo um empréstimo de R$ 55.000,00 pode ser quitado em um único pagamento de 
R$ 110.624,65, sabendo-se que a taxa contratada é de 15% ao semestre? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 14: Sabendo-se que o depósito de R$ 9.012,58, em um fundo remunerado à taxa de juros 
compostos de 1,2% ao mês, converteu-se num saldo de R$ 12.000,00, calcule o tempo que o capital ficou 
aplicado. (Resposta: 24 meses) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira16 
 
Exemplo 15: Sabe-se que um capital de R$ 9.999,36 transformou-se em R$ 12.762,00 a uma taxa de juros 
compostos de 5% ao mês. Deseja-se saber em que prazo. (Resposta: 5 meses) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios LISTA 2 
Juros Compostos 
 
1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de 100.000,00 à taxa 
de 3,75% ao mês? (R: R$144.504,39) 
 
2) Um agiota empresta 80.000,00 hoje para receber 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal 
e anual deste empréstimo. (R.8% ao mês e 151,817% ao ano) 
 
3) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, 
determinar qual o prazo em que um empréstimo de 20.000,00 será resgatado por 36.018,23. (R: 5 
trimestres ou 15 meses) 
 
4) Uma empresa obtém um empréstimo de 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final de 2 anos. 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá 
ser quitado? (R. R$1.708.984,38) 
 
5) Em que prazo uma aplicação de R$ 272.307,03 em letras de câmbio, à taxa de 3,25% ao mês, gera um 
resgate de R$ 500.000,00? (R. 19 meses) 
 
6) Um terreno está sendo oferecido por R$ 450.000,00 à vista ou R$ 150.000,00 de entrada e mais uma 
parcela de R$ 350.000,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicação 
em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês, determinar a melhor opção para um 
interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo. (R. A melhor opção é pagar com o prazo de 
6 meses) 
 
7) A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor? 
(R. 4,162% ao mês) 
 
8) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% ao 
mês? (R. 11 meses) 
 
9) Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse 
mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês? (R. É melhor aplicar a juros compostos) 
 
10) No fim de quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor: 
a) no regime de capitalização composta; (R. 36 meses) 
b) no regime de capitalização simples. (R. 75 meses) 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
17 
 
11) Uma loja financia um televisor de R$ 3.900,00 sem entrada para pagamento em uma única prestação de 
R$ 7.000,00 no final de cinco meses. Qual a taxa mensal de juros cobrada por ela? (R. 12,41% a.m.) 
 
12) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 2.700,00 pelo prazo de 12 meses a uma 
taxa de juros de 7,50% ao mês? (R. R$ 3.730,80) 
 
13) Qual seria o prazo de aplicação de R$ 12.000,00, à taxa de 9% ao mês, para que renda 20% do valor da 
aplicação? (R. 3 meses) 
 
 
 
 PRAZOS E TAXAS COM UNIDADE DE TEMPO DIFERENTE 
 
O cálculo de taxas equivalentes em juros compostos é diferente do cálculo em juros simples. Em juros 
simples, vimos que o valor futuro de certa aplicação durante 12 meses à taxa de juros simples de 4% ao mês 
será igual ao valor futuro da mesma aplicação durante 1 ano à taxa de juros simples de 48% ao ano. Portanto, 
basta dividir ou multiplicar a taxa e está resolvido. 
Já em juros compostos isso não ocorre. Por quê? 
 
Em juros simples: 
1ª situação => M = P ( 1+ in) => M = 100 ( 1 + 0,04 . 12) => 148,00 
2ª situação => M = P ( 1+ in) => M = 100 ( 1 + 0,48 . 1) => 148,00 
 
Em juros compostos: 
1ª situação => M = P ( 1 + i)n => M = 100 ( 1 + 0,04)12 => 160,10 
2ª situação => M = P ( 1 + i)n => M = 100 ( 1 + 0,48)1 => 148,00 
 
 
Assim, temos que a taxa mensal im é equivalente à taxa anual ia, em juros compostos, quando: 
 
       121121 1111 ma
meses
m
ano
a
mensal
prazo
anual
prazo iiiCiCMM 
 
 
Ou seja, duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes quando 
produzem o mesmo montante no final de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial. 
Da igualdade acima, deduz que: 
 
           360126421 111111 dmbtsa iiiiii 
 (6) 
 
 Há a possibilidade de fazer a transformação com o modo financeiro da HP12c, como veremos nos 
exemplos. 
 
Exemplo 16: Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Iguais 
Diferentes 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
18 
 
Exemplo 17: Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 18: Determinar a taxa anual equivalente a 0,19% ao dia: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 19: Calcule a taxa mensal equivalente a 0,12% ao dia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 20: Calcule as taxas mensal, trimestral e anual equivalentes a 15% ao semestre, em juros 
compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 21: Determinar a taxa anual equivalente a 1% à quinzena: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
19 
 
 
 PERÍODOS NÃO INTEIROS ---> Convenção Linear e Exponencial 
 
Na vida prática é comum encontrarmos períodos não inteiros de tempo, tendo em vista a unidade de 
juros composto utilizada. Quando isso ocorre, é possível adotar duas formas diferentes de cálculo que 
resultarão em resultados diferentes. Estas formas diferentes dependerão do acordo financeiro estabelecido. 
Os dois tipos são: convenção linear e convenção exponencial. Em ambas, são aplicadas as fórmulas de 
juros compostos para a parte inteira do prazo. Na parte não inteira (fracionária ou decimal), a convenção 
linear utiliza juros simples, enquanto a convenção exponencial utiliza juros compostos. 
 
Seja 
q
p
kn 
 Então,
 
 
 
Convenção Linear => Juros Compostos (parte inteira) + Juros Simples (parte fracionária) 
 
   

....
11
SJ
q
p
CJ
k
CL iiPM 
 (7) 
 
Convenção Exponencial => Juros Compostos (parte inteira + parte fracionária) 
 
 
..
1
CJ
q
p
k
CE iPM


 (8)
 
 
Cálculo no modo financeiro: 
A HP12c possui comandos para os dois tipos de convenção. Se no visor “não” aparece uma letra “C”, 
então está no modo “linear”, se aparece a letra “C” está no modo “exponencial”. Para habilitar esta função ou 
desabilitar, basta digitar [STO] [EEX].
 
Exemplo 22: Em 09/02/2001, uma empresa fez uma aplicação financeira de R$ 12.500,00 em CDB’s, a uma 
taxa de juros compostos de 4% ao mês. Calcule o valor de resgate, realizado em 25/04/2001, pelas duas 
convenções: linear e exponencial. 
 
OBS: Calculo de dias na HP12c: (1º) habilitar [g] [4]; (2º) digitar data mais antiga 09.022001 [enter]; (3º) 
digitar a outra data 25.042001 [g] [EEX], e no visor vai aparecer o número 75. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
20 
 
Observação 1: Como pode ser visto, a convenção linear apresenta resultado superior ao da convenção 
exponencial, ao contrário do que geralmente se espera: os juros compostos são vistos como os que mais 
rendem juros. Porém, neste caso de períodos não inteiros, é a convenção linear, que possui juros simples, 
que rende mais juros. 
 
Observação 2: Quando o problema apresentar prazo não inteiro e não especificar qual convenção a ser 
utilizada, iremos sempre utilizar aconvenção exponencial, ou seja, teremos sempre que habilitar a função 
“C” na HP12C. Por isso, é importante ficar atento!! 
 
 
Exemplo 23: Uma aplicação financeira de R$ 13.570,00 ficou à disposição de um banco durante 105 dias. 
Sabendo-se que a taxa de juros de remuneração da aplicação foi de 4,5% ao mês, calcule os valores de resgate 
da aplicação tanto pela convenção linear como pela exponencial. (Resposta: R$ 15.834,05, R$ 15.830,22, 
respectivamente) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 24: Uma pessoa aplicou R$ 20.000,00 durante 250 dias, a uma taxa de 2,5% ao mês. Calcule o 
montante e o juro da aplicação. (R. R$ 24.569,46 e R$ 4.569,46) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA 
 
Existem situações em que a taxa utilizada no problema não coincide com o período de capitalização. 
 
Por exemplo: Aplica-se R$ 1.000,00 a juros compostos por sete meses à taxa de 15% ao ano, capitalizados 
mensalmente. 
 
Isto significa que a taxa incide a cada mês, portanto 12% ao ano é uma taxa nominal, ou aparente. Dada 
uma taxa de juros nominal procede-se para o cálculo da respectiva taxa de juros efetiva, por convenção, de 
maneira igual a do sistema de capitalização simples, isto é, calcula-se a taxa proporcional à dada, relativa à 
unidade de tempo mencionada para a capitalização. 
No exemplo dado, divide-se 12% por 12 meses, obtendo 1% ao mês. Assim, 1% ao mês é a taxa efetiva 
mensal, e, se necessário, calcula-se a taxa efetiva anual encontrando a taxa equivalente no sistema de 
capitalização composta, que vimos no início desta aula. 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
21 
 
 
 
Exemplo 25: Calcular o montante de um financiamento de R$ 3.000,00, após 1 ano, a uma taxa de juros 
compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente. (R. R$ 3.380,48) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 26: Calcule o valor de resgate de uma aplicação de R$ 1.300,00, após 2 anos, a uma taxa de juros 
compostos de 14% ao ano, capitalizados semestralmente. (Resposta: R$ 1.704,03) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 JUROS COMPOSTOS COMO FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
 
Vamos agora, associar problemas de juros compostos à funções exponenciais, pois como já vimos, uma 
aplicação no regime de capitalização composta tem crescimento exponencial. 
 
Exemplo 27: Construir o gráfico do valor de resgate ao longo dos meses, de uma aplicação inicial de R$ 
200,00 que rende uma taxa de juros compostos de 3% ao mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
22 
 
Exercício LISTA 3 
Juros Compostos: taxa equivalente, taxa nominal e efetiva, função exponencial 
 
1) Calcule as taxa anuais equivalentes em juros compostos a: 
a) 5% ao mês 
b) 4% ao trimestre 
c) 20% ao bimestre 
d) 12% ao semestre 
(R. 79,59%; 16,99%;198,60%; 25,44%) 
 
2) Calcule as taxas mensais equivalentes em juros compostos a: 
a) 42% ao ano 
b) 22% ao trimestre 
c) 15% ao bimestre 
d) 17% ao semestre 
(R. 2,97%; 6,85%; 7,24%; 2,65%) 
 
3) Calcule as taxas efetivas anuais de: 
a) 11% ao ano, capitalizados trimestralmente 
b) 14% ao ano, capitalizados mensalmente 
c) 6% ao semestre, capitalizados mensalmente 
(R. 11,46%; 14,93%; 12,68%) 
 
4) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter 1.000.000,00 no final de 19 meses? (R. 
520.154,96) 
 
5) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00 no final de 
1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros? (R. R$ 423.711,21) 
 
6) Fiz uma aplicação em CDB no valor de R$ 600.000,00 pelo prazo de 85 dias e estimo que a rentabilidade 
será de 25% ao bimestre. Qual é o montante final? (R. R$ 823.076,94) 
7) 
8) Foi oferecido a um aplicador um investimento com rentabilidade de 750% ao ano. Qual a taxa mensal? 
(R. 19,52% a m) 
 
9) Em 02/07/2001, uma empresa aplicou R$ 23.000,00, a uma taxa de juros compostos de 21% ao ano. 
Calcule o valor do resgate da aplicação, sabendo que a mesma foi efetuada em 02/01/2002. 
(Atenção! Como se trata de prazo não inteiro, é preciso habilitar o “C” na calculadora financeira, se não o 
calculo será feito à juros simples) (R. R$ 25.353,39) 
 
10) Calcule o valor de resgate da aplicação do problema anterior, utilizando a convenção linear para 
períodos não inteiros. (R. R$ 25.468,67) 
 
11) Uma financeira emprestou a uma loja de eletrodomésticos a quantia de R$ 35.000,00, a uma taxa de 
juros compostos de 3,8% ao mês, durante 155 dias, pela convenção linear. Calcule os juros pagos pela 
loja. (R. R$ 7.442,08) 
 
12) Um banco financiou a uma construtora a quantia de R$ 500.000,00 a uma taxa de juros compostos de 
4,5% ao mês, pela convenção linear. Sabendo que a dívida foi resgatada em 200 dias, calcule os 
rendimentos obtidos pelo banco na operação. (R. R$ 170.663,96) 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
23 
 
13) Um pensionista aplicou a quantia de R$ 500,00 em uma caderneta de poupança. Sabendo-se que a 
referida poupança rende 6% ao ano, capitalizados mensalmente, calcule o saldo que o pensionista terá 
após 6 meses. (R. R$ 515,19) 
 
14) Calcule a taxa efetiva anual de 15% ao ano, capitalizados semestralmente. (R. 15,56%) 
 
15) Calcule a taxa efetiva anual de 13,5% ao ano, capitalizados trimestralmente. (R. 14,2%) 
 
16) Qual o capital necessário para acumular R$ 1.100,00, em 33 meses, à taxa de 35% ao ano, capitalizados 
de 3 em 3 meses? (R. R$ 437,19) 
 
17) Faça a projeção gráfica dos capitais futuros de uma aplicação R$ 200,00 a uma taxa de juros compostos 
de 20% ao ano, de 0 a 5 anos de aplicação. (R. M = 200 x 1,2n; e gráfico) 
 
18) Faça uma projeção gráfica da capitalização de uma aplicação, de 0 a 5 anos, sabendo que esta gera um 
valor futuro de R$ 11.575,56 após 20 anos, com uma taxa anual de juros compostos de 12%. (R. M = 
1200 x 1,12n; e gráfico) 
 
 
 
 
DESCONTO 
 
 O desconto é a diferença entre o valor futuro (valor nominal) de um título de crédito (duplicata, nota 
promissória, letra de câmbio, cheque pré-datado etc.) e seu respectivo valor presente (valor atual), isto é, 
seu valor antes do término do prazo do título. 
 
Elementos do cálculo de desconto: 
 
 Valor Nominal ou Valor Futuro (S, M, FV ou N) – valor indicado no título, a ser pago no dia do 
vencimento; 
 Valor Atual ou Valor de Resgate ou Valor Presente (P, C, PV, A) – líquido pago (ou recebido) antes do 
vencimento; 
 Prazo (n) – número de períodos compreendidos entre aquele em que se negocia o título e o do seu 
vencimento; 
 Taxa de desconto (i) – taxa usada na operação de desconto; 
 Desconto (D) – é a quantia a ser abatida do valor futuro (nominal), isto é, a diferença entre o valor 
futuro e o valor presente. 
 
 
Desconto = (Valor Nominal) – (Valor Atual) 
 
D = N – A (9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Há quatro formas de se calcular descontos de títulos de crédito: 
 
0 
n 
Valor Atual Valor Nominal = valor do 
compromisso financeiro 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
24 
 
Descontos Simples -> utiliza capitalização simples 
(1) Desconto Simples Bancário, Comercial ou por fora => o cálculo incide sobre o N. 
(2) Desconto Simples Racional ou por dentro => o cálculo incide sobre o A. 
 
Descontos Compostos -> utiliza capitalização composta. 
(3) Desconto Composto Bancário, Comercial ou por fora => o cálculo incide sobre o N. 
(4) Desconto Composto Racional ou por dentro => o cálculo incide sobre o A. 
 
Na práticabancária são utilizados com mais frequência os tipos (1) Desconto Bancário Simples, em 
operações de financiamento de curto prazo, e (4) Desconto Racional Composto, utilizado nas operações de 
longo prazo. Portanto, iremos focar o estudo de descontos nestes dois tipos 
 
 
 
DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES 
 
 É o valor que se obtém pelo cálculo do juro simples sobre o valor nominal (N) do compromisso que 
seja saldado em n períodos antes do seu vencimento. Por ser o mais utilizado nos bancos, é chamado de 
desconto bancário. 
 
𝑫𝑺 = 𝑵 ∙ 𝒊 ∙ 𝒏 (10) 
 
O valor atual ou de resgate (A) é calculado pela diferença entre o valor nominal (N) e valor do desconto 
bancário (DS). 
 
𝑨 = 𝑵 − 𝑫 
ou 
𝑨 = 𝑵(𝟏 − 𝒊𝒏) (11) 
 
OBS: Não usaremos os recursos financeiros da HP12c neste tipo de desconto. 
 
Exemplo 1: Calcular o valor do desconto bancário simples de um título de R$ 2.000,00, com vencimento 
para 90 dias, à taxa de 2,5% ao mês. (R: R$ 150,00) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Uma empresa precisava pagar uma duplicata de R$ 8.000,00 com vencimento em 3 de 
novembro. No dia 16 de agosto pagou o título num banco que cobra 2% a.m. de desconto bancário simples. 
Determinar o valor do desconto bancário. (R$ 421,33) 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
25 
 
Exemplo 3: Calcule o valor atual do exemplo 1 e 2. (R$ 1;850,00; R$ 7.578,67) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Sabendo que um banco utiliza uma taxa de desconto bancário simples de 5% ao mês, calcule 
qual deve ser o valor pago por um título de crédito, cujo valor nominal era de R$ 1.800,00, 60 dias antes do 
vencimento. (R$ 1.620,00) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Uma empresa emitiu um título a um cliente com vencimento em 20 de dezembro. No dia 6 de 
setembro o título foi todo pago num banco que cobra 3% a.m. de desconto bancário simples, recebendo o 
valor líquido de R$ 5.450,55. Calcule o valor nominal do título. (R$ 6.090,00) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Um certo título de crédito, com vencimento em 10 de janeiro de 2013, foi pago no dia 15 de 
dezembro de 2012 com 0,5% a.m. de desconto bancário, tendo recebido de desconto o valor de R$ 655,40. 
Calcule o valor nominal do título. (R$ 151.246,15) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 8.000,00 que foi paga 25 dias antes do, sendo o 
desconto bancário simples no valor de R$ 345,30. Calcule a taxa mensal de desconto. (aproximadamente 
5,2% a.m.) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 8: Uma duplicata no valor de R$ 12.500,00 foi paga antes do seu vencimento, no dia 10 de maio de 
2013, à taxa de desconto bancário simples de 1,5% a.m. Após o desconto, o valor pago pela duplicata foi de 
R$12.181,25. Calcule a data de vencimento da duplicata. (R: dia 30/06/2013) 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
26 
 
 DESCONTO PARA SÉRIE DE TÍTULOS 
 
Exemplo 9: Quatro duplicatas, no valor de R$ 32.500,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 
180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto bancário simples cobrada pelo 
banco é de 3,45% ao mês, calcular o valor do desconto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os prazos antecipados formam uma P.A., portanto, para calcular a soma destes prazos podemos usar a 
fórmula da Soma da PA. Assim temos 
 
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑃𝐴 =
(𝑎1 + 𝑎𝑛) ∙ 𝑛
2
 
 
 𝐷 = 𝑁𝑖𝑛 → 𝐷 = 𝑁𝑖 ∙
(𝑝1 + 𝑝𝑛)𝑛
2
 
 
𝑫𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝑵 ∙ 𝒊 ∙
(𝒑𝟏+𝒑𝒏)𝒏
𝟐
 (12) 
 
 
Exemplo 10: Um consumidor deseja liquidar antecipadamente 6 prestações restantes de um financiamento 
obtido para a compra de um veículo. Sabendo-se que o valor de cada prestação é de R$ 30.000,00; que a 
primeira prestação vence a 30 dias de hoje e a última 180 dias, e que o desconto dado pela financeira é de 
1% ao mês (desconto bancário ou por fora), calcular o valor a ser pago pelo financiado para liquidar o 
contrato? (R$ 173.700,00) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
27 
 
DESCONTO RACIONAL COMPOSTO 
 
 É o abatimento concedido sobre um título antecipado, ou a venda de um título antes de seu 
vencimento, observando os critérios da capitalização composta. A taxa de juro composta incide sobre o valor 
atual A. 
 Poderemos utilizar as funções financeiras da HP12C, com as seguintes teclas: 
 A = valor atual ou de resgate => [PV] 
 N = valor nominal ou valor do título => [FV] 
 n = tempo entre a data de vencimento e a data do pagamento => [n] 
 i = taxa => [i] 
 Dc = desconto composto => [FV] - [PV] 
 
 Ou podemos utilizar fórmulas. Utiliza-se a fórmula do montante do Juro Composto e troca-se o M por 
N, e o P por A. 
 
 𝑵 = 𝑨(𝟏 + 𝒊)𝒏 (13) 
 
𝑫 = 𝑵 − 𝑨 
 
𝑫 = 𝑵 [𝟏 − (
𝟏
(𝟏+𝒊)𝒏
)] (14) 
 
Exemplo 1: Qual é o valor nominal de um título que foi resgatado 1 ano antes de seu vencimento por 
R$16.290,13 à taxa de desconto racional composto de 5% ao trimestre? (R$ 19.800,75) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Determine o desconto composto racional para um título no valor de R$9.000,00, à taxa de 5% 
a.m., resgatado 5 meses antes do vencimento. (R$1.948,26) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Que taxa de desconto composto racional sofreu um título de R$20.000,00 que, pago 5 meses 
antes do prazo, foi reduzido a R$14.950,00? (6%a.m.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
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Exemplo 4: Em quanto tempo foi antecipado o pagamento de R$162.810,15, sabendo que, descontado 
racionalmente a juros compostos de 10% a.m., seu valor foi reduzido a R$83.547,35? 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Qual é o valor do título que, descontado racionalmente 3 meses antes de seu vencimento, a uma 
taxa de 10% a.m., determinou um valor atual de R$12.400,00? (R$16.504,40) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios LISTA 4 
 
 
 Exercícios de Desconto Bancário Simples 
 
 
1. Num título de R$50.000 vencível em 30/11 e descontado em 22/08 à taxa de desconto simples de 3,6% 
a.m., calcule o valor do desconto bancário e o respectivo valor atual. (R$ 6.000,00 e R$ 44.000,00) 
 
2. Qual o desconto bancário simples de uma duplicata de R$22.000,00, resgatada 3 meses antes do 
vencimento, à taxa de 18% a.a.? (R$ 990,00) 
 
3. Uma nota promissória de R$ 86.000,00 foi paga 3 meses e 15 dias antes do vencimento com desconto 
bancário simples de 12% a.a. Qual o valor do resgate? 
 
4. Um título com vencimento em 30/11 foi descontado em 25/09 por R$75.350,00. Sabendo que o banco 
cobra a taxa de desconto bancário simples de 5% a. m., qual o valor do título? (R$ 84.662,92) 
 
5. Uma pessoa recebeu em 17/08 o valor de R$5.380,00 por um título que vence em 03/12. O banco cobrou 
a taxa de desconto bancário simples de 9,5% a. m. Qual foi o valor do desconto? (R$ 2.796,29) 
 
6. Um cliente pagou por um título, de valor nominal de R$5.732,00, antes do vencimento, o total de 
R$5.723,04. Quanto tempo antes do vencimento foi descontado este título sabendo-se que o banco cobra 
0,335% a. m. de desconto bancário simples? (14 dias) 
 
7. Calcule a taxa mensal de desconto bancário simples de um título de R$ 23.000,00 que foi descontado 25 
dias antes do vencimento por R$19.850,00. (16,43% a.m.) 
 
8. Determinar o valor nominal de um título, com 144 dias para o seu vencimento, que descontadoà taxa de 
48% ao ano proporcionou um valor atual (líquido creditado) de R$ 38.784,00. Sabe-se que a operação 
foi feita de acordo com o conceito tradicional, ou seja, desconto bancário. (R: R$ 48.000,00) 
 
9. Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de R$ 9.800,00, que sofreu 
um desconto bancário de R$ 548,50, à taxa de 32% ao ano. (R. 63 dias) 
 Apostila I – Matemática Financeira 
 
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10. Uma pessoa obteve um financiamento, para aquisição de um veículo, para ser quitado em 18 prestações 
mensais, iguais e consecutivas de R$ 9.470,00. No dia do vencimento da 10ª prestação, após ter pago 
esta, o financiado propõe à financeira a quitação, nesta data, das 8 prestações restantes. Sabendo-se que 
essa financeira concede um desconto bancário ou “por fora” de 1,8% ao mês para pagamentos 
antecipados, calcular o valor do desconto total concedido. (R. R$ 6.136,56) 
 
11. Uma empresa apresenta a um banco, para desconto, 4 duplicatas no valor de R$ 32.600,00 cada uma, 
com vencimentos para 60, 120, 180 e 240 dias. Calcular o valor líquido creditado pelo banco na conta da 
empresa, sabendo-se que se trata de um desconto simples comercial ou “por fora” e que a taxa de 
desconto cobrada é de 2,4% ao mês. (R: R$ 114.752,00) 
 
12. Oito títulos, no valor de R$ 1.000,00 cada um, são descontados por um banco, cujo líquido 
correspondente, no valor de R$ 6.830,00, é creditado na conta do cliente. Sabendo-se que os vencimentos 
desses títulos são mensais e sucessivos a partir de 30 dias, calcular a taxa de desconto? 
 
 
 Exercícios de Desconto Racional Composto 
 
13. Calcular o desconto racional composto de um título de R$27.560,00, descontado 6 meses antes do 
vencimento, a 6,5% a.m.. (R: R$ 8.672,19) 
 
14. Calcular o valor atual de um título de R$12.000,00, à taxa de desconto composto racional de 9% a.m., 8 
meses antes do vencimento. (R: R$ 6.022,40) 
 
15. Qual o desconto composto racional obtido no resgate de um título de R$85.000,00 com vencimento em 
02 de maio de 2012, no dia 02 de dezembro de 2011, à taxa de 8% a.m.? (R$ 27.446,48) 
 
16. Um título de R$20.000,00 foi descontado num banco, pelo desconto composto racional, à taxa de 5% a.m., 
sendo o valor atual de R$16.290,13. Quanto tempo antes do vencimento foi descontado este título? ( 
 
17. Calcular o valor do desconto composto racional de um título de R$20.000,00, 1 ano antes do vencimento 
à taxa de 5% ao trimestre. (R$ 3.545,95) 
 
18. Calcular a taxa de desconto composto racional de um título de R$20.000,00, descontado 4 meses antes 
do vencimento, recebendo líquido o valor de R$15.500,00. (6,6% ao mês) 
 
19. Calcule o valor atual de um título de R$125.000, à taxa de 0,8% a.m., pago 2 meses e 10 dias antes do 
vencimento. (R$ 122.697,42) 
 
20. Uma letra de câmbio, paga 3 meses antes do vencimento, foi reduzida à metade de seu valor. Que taxa de 
desconto composto foi aplicada? (25,99% ao mês) 
 
21. Uma duplicata no valor de R$ 12.800,00, com vencimento no dia 15/04/2013 foi descontada com uma 
taxa de desconto composto de 2,5% ao mês. Sabendo que o valor do resgate foi de R$11.360,00, encontre 
a data do resgate. 
 
REFERÊNCIAS 
 
CRESPO, A.A. Matemática Financeira Fácil. 14.ed. atual. São Paulo: Saraiva, 2009. 
DAL ZOT, W. Matemática Financeira. 4.ed. Porto Alegra: Editora da UFRGS, 2006. 
FERREIRA, R.G. Matemática Financeira Aplicada: mercado de capitais, administração financeira, 
finanças pessoais. 7.ed. São Paulo: Atlas, 2010.