Modelagem aplicada ao crescimento e produção florestal

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA 
CENTRO DE CIÊ NCIAS RURAIS 
DEPARTAMENTO DE CIÊ NCIAS FLORESTAIS 
 
 
Modelagem 
 
aplicada 
 
ao Crescimento e Produç ão Florestal 
 
- com exemplos e exercícios - 
 
 
 
 
 
 
Dr. Peter Spathelf 
Dr. Leif Nutto 
 
Julho de 2000 - Santa Maria, RS
 2 
Sumário 
1 FUNDAMENTOS NA MODELAGEM DO CRESCIMENTO 5 
1.1 DISTINÇ Ã O ENTRE CRESCIMENTO, PRODUÇ Ã O E INCREMENTO 5 
1.2 FUNDAMENTOS FISIOLÓ GICOS DO CRESCIMENTO 5 
1.3 MODELOS: DEFINIÇ Ã O E PAPEL 6 
1.4 TIPOS GERAIS DE MODELOS 8 
1.4.1 MODELOS EMPÍRICOS 8 
1.4.2 MODELOS MECANÍSTICOS 8 
1.4.3 DEMAIS CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃ O 9 
1.5 CONSIDERAÇ Õ ES GERAIS NO PROCEDIMENTO DA MODELAGEM 12 
1.6 TIPOS DE EQUAÇ Õ ES 13 
2 TABELA DE PRODUÇ Ã O (MODELOS DE POVOAMENTOS) 18 
2.1 HISTÓ RICO 18 
2.2 CONSTRUÇ Ã O 19 
2.3 APLICAÇ Ã O 20 
2.3.1 CLASSIFICAÇÃ O DE SÍTIO 20 
2.3.2 BASE PARA UMA PRODUÇÃ O SUSTENTÁVEL 22 
2.4 NÍVEL DE PRODUÇ Ã O 23 
3 MATRIZ DE TRANSIÇ Ã O (MODELOS DE DISTRIBUIÇ Ã O DE DIÂ METROS) 26 
3.1 CONCEITO E OBJETIVOS 26 
3.2 EXEMPLO: FLORESTA ESTACIONAL 28 
4 MODELOS PARA A PRODUÇ Ã O DE MADEIRA DE QUALIDADE (MODELOS 
BASEADOS NA Á RVORE SINGULAR) 36 
4.1 INTRODUÇ Ã O 36 
4.2 CONDUÇ Ã O DO CRESCIMENTO SEGUNDO O EXEMPLO DO MANEJO DO CARVALHO 
(QUERCUS SSP.) NA ALEMANHA 38 
4.2.1 INTRODUÇÃ O 38 
4.2.2 PROGRAMA DE PRODUÇÃ O ORIENTADO NOS OBJETIVOS (QUERCUS ROBUR DE KENK, 1980) 39 
4.2.3 PROGRAMA DE PRODUÇÃ O ORIENTADO NOS OBJETIVOS E NO ESTADO DA ÁRVORE INDIVIDUAL 
OU DO POVOAMENTO 40 
5 MODELOS PARA AVALIAR O IMPACTO DE FATORES AMBIENTAIS NO 
CRESCIMENTO DE Á RVORES 51 
5.1 FONTES DE DADOS 51 
5.2 ABORDAGENS 53 
5.3 EXEMPLO: “ZUWACHSTRENDVERFAHREN” (MÉTODO DA TENDÊNCIA DE CRESCIMENTO)
 55 
 3 
6 MODELOS DE GERENCIAMENTO FLORESTAL (MODELOS SETORIAIS DE 
EMPRESA) 58 
6.1. CONCEITO E OBJETIVOS 58 
6.2. CONSTRUÇ Ã O DE MODELOS DE GERENCIAMENTO FLORESTAL 58 
6.2.1. ELEMENTOS 58 
6.2.2. EXIGÊ NCIAS DE MODELOS DE CRESCIMENTO 59 
6.2.3. OTIMIZAÇÃ O 59 
6.3. EXEMPLO 1: O PROGRAMA MELA DA FINLÂ NDIA 59 
6.4 EXEMPLO 2: O PROGRAMA SILVA 2 DA ALEMANHA 60 
 
 
 4 
PREFÁ CIO 
 
A modelagem tem uma longa tradiç ão na área florestal. Desde o inicio das florestas 
manejadas, surgiu o desejo de influenciar e prognosticar o crescimento com o fim de 
dominar a produç ão da matéria-prima madeira. Esse desejo tem as suas raízes nas 
circunstâncias especiais da produç ão florestal: os longos prazos e a irreversibilidade de 
decisões e intervenç ões uma vez tomadas. Nenhum outro setor industrial tem que enfrentar 
tais problemas. Como é possível estimar os desejos e necessidades do mercado de produtos 
de madeira daqui a 20 a 50 ou, como na Europa, as vezes, necessário, 250 anos? Para um 
planejamento, economica e ecologicamente, sustentável são necessárias informaç ões sobre 
o crescimento, a produç ão e a qualidade do produto madeira e aqui entra em jogo a 
modelagem. Modelos são abstraç ões e simplificaç ões de processos com o fim de descrever 
estes e estimar os seus resultados finais, bem como o seu transcurso. 
Nos ú ltimos anos, pode-se observar modificaç ões nos objetivos da produç ão florestal, 
tanto quanto nas funç ões das florestas. As florestas que apenas serviam para a produç ão de 
madeira, hoje em dia, devem atender a objetivos multifuncionais, naturalmente sem perder 
de vista o seu valor econômico. Além dos povoamentos homogêneos e equiâneos com o 
fim de uma produç ão de volume máximo, as florestas mistas e estruturadas ganham em 
importância, mas para estas as tabelas de produç ão estáticas não são mais apropriadas. Pelo 
contrário, são necessários modelos dinâmicos capazes de estimar o crescimento, a produç ão 
e a qualidade de árvores individuais, sendo baseados em fatores biológico-explicativos. 
Com esse novo desafio, a modelagem está-se tornando cada vez mais importante para 
as Ciências Florestais. Nenhum engenheiro florestal pode evitar o contato nem a aplicaç ão 
de modelos de crescimento e produç ão, sejam os mais simples como as tabelas de 
produç ão, ou os mais sofisticados como programas de produç ão baseados na árvore 
individual. 
O objetivo deste caderno é o de propiciar uma visão geral sobre os modelos e a 
modelagem aplicada ao Crescimento e Produç ão Florestal. Com exemplos e exercícios, são 
facilitadas a compreensão da origem, a funç ão e a aplicaç ão dos tipos de modelos 
apresentados. 
Agradecemos ao colega Prof. Oswald König pela revisão deste texto e valiosas 
sugestões. 
 
 
Santa Maria (RS), Outubro de 2000 
 
Peter Spathelf Dr. Leif Nutto 
Prof. visistante DAAD/CAPES Pesquisador Visitante DAAD 
 5 
1 Fundamentos na modelagem do crescimento 
1.1 Distinç ão entre crescimento, produç ão e incremento 
O crescimento se refere ao acréscimo nas dimensões (altura, diâmetro, área basal, volume) 
ou no valor de um sistema orgânico (árvores individuais ou povoamentos) enquanto a 
produç ão é relacionada ao seu tamanho final após um período definido de observaç ão. 
A curva (ideal) de crescimento mostra um aumento progressivo e uma diminuiç ão depois 
de um ponto de inflexão. O crescimento e o incremento são ligados matematicamente: se y 
for o crescimento, a derivaç ão dy/dt é o incremento (Figura 1.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 1.1 – Relaç ões entre as curvas de crescimento e incremento. 
 
1.2 Fundamentos fisiológicos do crescimento 
Apesar de fatores ambientais alterados, mostrou-se que o crescimento de organismos 
(sobretudo árvores), a longo prazo, segue um padrão comparável e estável (Zeide, 1993). 
 6 
No início do crescimento, a curva aumenta numa forma côncava, enquanto mais tarde 
torna-se convexa. 
 
As componentes principais do crescimento são compostas por duas forç as opostas: a) 
positiva, chamada componente de expansão ou de “anabolismo construtivo”, tendo uma 
tendência inerente de multiplicaç ão; b) a segunda representa a componente de “catabolismo 
destrutivo” ou os fatores limitantes como fatores ambientais, recursos/nutrientes, entre 
outros. 
Medawar, em 1941, formulou duas leis fundamentais de crescimento (segundo Zeide, 
1993): 
1) O crescimento é multiplicativo. O que resulta do crescimento pode crescer ainda mais. 
2) A taxa de crescimento relativo diminui constantemente. 
 
1.3 Modelos: Definiç ão e papel 
A área florestal tem uma longa tradiç ão no uso de métodos quantitativos e da 
modelagem. Sobretudo no Inventário Florestal, no Manejo e Crescimento Florestal 
modelos serviam e servem para extrapolar com base em dados limitados oriundos de 
observaç ões no campo e para a prognose. Mas nas Ciências Florestais, como em todos os 
ramos dentro das Ciências Naturais e Exatas, a modelagem, a análise de sistemas e a 
prognose hoje são indispensáveis. 
Modelos, geralmente, não são perfeitos. Sobretudo, modelos de fenômenos 
biológicos são apenas uma aproximaç ão da realidade. Modelos são freqüentemente usados 
no dia-a-dia, muitas vezes inconscientemente. Nas ciências, são os modelos matemáticos 
que são muito importantes. Modelos matemáticos são exemplos de modelos formais, como 
modelos gráficos ou físicos, entre outros. Eles usam uma linguagem especial: as equaç ões. 
Um modelo de crescimento p.ex. pode abranger um sistema de equaç ões, sendo capaz de 
prognosticar o crescimento e a produç ão sob várias condiç ões. A estimativa da produç ão de 
madeira, em volume e qualidade, e a avaliaç ão do impacto de fatores ambientais, sobre o 
crescimento de árvores e povoamentos florestais, requerem ferramentas elaboradas como 
modelos flexíveis de prognose. 
 7 
Modelos de crescimento não têm um valor em si. São sínteses de 
observaç ões/fenômenosbiológicos. Aplicadas nas condiç ões sob as quais foram coletados 
os dados, na Engenharia Florestal os modelos são imprescindíveis 
· na prognose dos futuros recursos florestais; 
· na escolha de alternativas silviculturais; 
· no apoio à tomada de decisões no manejo e na política florestal. 
Já existe muita experiência na modelagem de florestas homogêneas puras (Clutter et 
al., 1983), com abordagens bem simples. Florestas mistas heterogêneas exigem modelos 
mais sofisticados em razão da sua diversidade e estrutura complexa. Além disso, os 
modelos tradicionais de crescimento descrevem o futuro "output" com funç ões dependendo 
do tempo que são fundamentadas em observaç ões do crescimento passado em condiç ões 
comparáveis. Mas, sob condiç ões alteradas do sítio, essa base de informaç ões se torna 
menos válida. Então, têm que ser incorporadas, nos modelos de crescimento, análises mais 
cuidadosas dos mecanismos que conduzem o crescimento. 
O papel do modelo de crescimento é mostrado na Figura 1.2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 1.2 – O papel de modelos de crescimento (segundo Vanclay, 1994) 
 
Inventá rio 
está tico 
Modelo de 
crescimento 
Povoamento 
futuro 
Inventá rio 
dinâmico 
suposições 
´ Área florestal Inventá rio está tico =
Estimativa 
da á rea 
Estimativa 
dos recursos ´ =
 8 
O advento do trabalho com computador facilitou e ampliou o uso da modelagem. 
Geralmente é preciso trabalhar com muitos dados. Nesse sentido, o computador como 
ferramenta se tornou indispensável na aplicaç ão de modelos. O estabelecimento de entradas 
e saídas informatizadas abriu novas oportunidades, sobretudo, em termos da visualizaç ão 
dos resultados de modelos (tabelas, perfis tridimensionais). Mas os modelos 
"computerizados" também têm desvantagens. Com a complexidade de cálculos e o nú mero 
de fatores influenciais aumentando, o processo da modelagem, as vezes, se torna difícil de 
compreender. Nesse caso, fala-se do efeito “blackbox”. 
Dependendo do problema, desenvolveram-se, na Engenharia Florestal, dois tipos 
gerais de modelos. Para a prognose de "outputs" requer-se uma abordagem que forneç a 
respostas quantitativas, em pouco tempo em um nível de acuracidade pré-definido. Isso 
levou a modelos empírico, nos quais a estrutura da floresta como sistema, as interrelaç ões 
entre componentes da floresta precisavam ser explicadas, desenvolvendo-se uma 
abordagem física para o objeto, ou seja modelos mecanísticos. 
 
1.4 Tipos gerais de modelos 
1.4.1 Modelos empíricos 
Modelos empíricos ou modelos agregados não consideram hipóteses associadas de 
causalidade ou explanaç ão. No pressuposto dessa abordagem, é que se encontram padrões 
comuns no crescimento de indivíduos. Trata-se dos efeitos a longo prazo que têm um 
impacto sobre o crescimento como a idade. Modelos empíricos também podem ser 
chamados modelos para a prognose. A floresta é vista como um sistema para a produç ão. 
 
1.4.2 Modelos mecanísticos 
Modelos mecanísticos (ou modelos teoréticos, modelos de processos) têm uma 
hipótese associada ao fenômeno descrito. Também são chamados de modelos individuais. 
Cada indivíduo é ú nico e diferente do outro, resultando de uma ú nica combinaç ão genética 
e ambiental. Modelos mecanísticos servem para o entendimento de processos. Neles, a 
floresta é vista como sistema com ligaç ões complexas entre os seus elementos. 
 
 
 9 
TABELA 1.1–Vantagens dos modelos empíricos/Desvantagens dos modelos mecanísticos. 
Características dos modelos empíricos Características dos modelos mecanísticos 
Simples, fácil de ajustar, praticável impraticável 
simples e pouco realístico abstrato 
não oferecem esclarecimento das 
causalidades dos processos envolvidos 
aumentam o entendimento de processos 
 
Na realidade, existe uma continuidade entre esses tipos básicos de modelos. Falta 
salientar que, se forem corretamente aplicados em novas circunstâncias, modelos empíricos 
assumem parâmetros constantes. Contudo, modelos mecanísticos pressupõem processos 
constantes se forem analisados em novos casos (extrapolaç ão). 
Após uma fase de dominância de modelos empíricos nas décadas passadas, constata-se 
hoje, uma tendência para a aplicaç ão de modelos teoréticos. Esses modelos, todavia, quase 
sempre foram emprestados de outras disciplinas (zoologia, teoria dos sistemas, entre 
outras). 
 
1.4.3 Demais critérios de classificaç ão 
Segundo a hierarquia de modelos distinguem-se (modificado, segundo Vanclay, 
1994): 
· Modelos de gerenciamento florestal (forest management models); 
· modelos de povoamento (whole stand models); 
· modelos de classe de diâmetro (size class models); 
· modelos de árvores individuais (single-tree models). 
Em termos de acuracidade da prognose destacam-se: 
· Modelos determinísticos; 
· modelos estocásticos. 
Sob condiç ões iguais o modelo determinístico sempre produz as mesmas estimativas. 
Modelos estocásticos mostram a variaç ão natural e produzem diferentes estimativas, cada 
uma com uma probabilidade de ocorrência. 
Considerando-se ou não a distribuiç ão espacial de árvores, distingue-se: 
· Modelos não-espaciais (distant independent models); 
· modelos espaciais (distant dependent models). 
 10 
Nos modelos espaciais o povoamento florestal é representado por árvores cujas exatas 
posiç ões no povoamento são conhecidas. 
Considerando os objetivos da modelagem, diferenciam-se em: 
· Modelos para descriç ão; 
· modelos para decisão; 
 orientado nos objetivos; 
 orientado nos objetivos e no estágio da árvore individual ou do povoamento. 
Fala-se de programas de produç ão orientados no estágio e nos objetivos, quando 
como variável-meta foi considerado não apenas o volume do tronco, mas também a copa, 
galhos e elementos arquiteturais da árvore. 
 
TABELA 1.2 – Exemplos para os diferentes tipos de modelos. 
Tipo de modelo Exemplos 
Modelo de 
gerenciamento florestal 
MELA, Finlândia 
SILVA2, Alemanha (Pretzsch & Kahn, 1997) 
Modelo de povoamento Tabela de produç ão: 
Wiedemann (1936/42): Picea abies 
Finger (1992): Eucalyptus grandis e saligna 
Schneider & Oesten (1999): Pinus elliottii, Araucaria 
angustifolia 
Schneider et al. (2000): Acacia mearnsii 
Modelos de classe de 
diâmetro 
Matriz de transiç ão: 
Buongiorno & Michie (1980): folhosas, EUA 
Spathelf & Durlo (2000): espécies da floresta estacional, Serra 
Geral, RS 
Modelos e simuladores, 
respectivamente, 
baseados em árvores 
individuais 
SILVA2 (Pretzsch, 1992) 
[www.wwk.forst.uni-muenchen.de/wwk/Silva/SilvaStart.html] 
BWIN 2.1 (Nagel, 1999) 
[http://www.nfv.gwdg.de/nfvabw01.htm)] 
MOSES (Hasenauer et al., 1995) 
IWW-Eiche (Spiecker & Nutto, 2000) 
Canjerana, louro, cedro (Durlo, 1996) 
 
Hoje em dia, a maioria dos modelos disponíveis é baseado em parâmetros de 
povoamentos inteiros. O "output" dos modelos somente representa valores médios de 
coletivos como o nú mero de árvores por hectare, o volume ou área basal e é usado para a 
produç ão de volume, mas não oferece informaç ões sobre o crescimento ou a qualidade de 
árvores individuais. Portanto, os modelos apropriados para a produç ão de madeira de 
 11 
qualidade são baseados na árvore singular e oferecem a vantagem de prognosticar também 
o desenvolvimento de árvores pré-selecionadas de boa qualidade. O enfoque da silvicultura 
e do manejo pode ser concentrado em um nú mero restrito de árvores. Assim as 
intervenç ões visam a promover as futuras árvores de alta qualidade e alto valor. O mercado 
de madeira, especialmente o da Europa, e também o mercado global mostraram que a 
produç ão de madeira valiosa é a forma mais lucrativa do manejo de florestas. Isso justificaa concentraç ão do investimento em poucas árvores individuais, contudo, de alta qualidade. 
As tabelas de produç ão são estáticas e não servem mais para as novas exigências. O 
manejo de florestas mistas estruturadas exige novas ferramentas mais dinâmicas. 
 
solo
clima interferências
Espaç o vital
No futuroAté hoje
 
FIGURA 1.3 – Mudanç as nos objetivos do manejo florestal (seg. Pretzsch, 1995). 
 
Como mostra a Figura 1.3, houve uma mudanç a nítida nos objetivos do manejo 
florestal nos ú ltimos cem anos. Estabeleceram-se extensas monoculturas homogêneas de 
coníferas na época da recuperaç ão das florestas devastadas. Com o tempo, por necessidades 
econômicas, surgiu a idéia de concentrar o manejo em algumas árvores futuras de alta 
qualidade. Com o aumento de fatores influenciais e exigências do uso mú ltiplo de florestas 
a partir da segunda metade do século XX o manejo florestal tornou-se mais complexo e 
novas ferramentas de planejamento foram necessárias. Além disso, constatou-se um forte 
movimento para a reconstituiç ão das florestas mistas. O uso mais intenso de modelos 
 12 
complexos pode ser explicado com as modificaç ões dos objetivos que são resumidos na 
Tabela 1.3. 
 
TABELA 1.3 – Mudanç as dos objetivos e abordagens na Engenharia Florestal. 
Até hoje No futuro 
Florestas (homogêneas e equiâneas) só 
servem como fonte de madeira 
Florestas (heterogêneas, mistas e multiâneas) 
servem para o uso mú ltiplo 
Estudos de variáveis médias de 
povoamentos 
Estudos de variáveis baseadas na árvore 
individual 
Estudos baseados em fatores 
dendrométricos-descritivos 
Estudos baseados em fatores biológico-
explicativos 
Informaç ões e dados de parcelas 
permanentes 
Avaliaç ão e uso de novas fontes de dados e 
tecnologias 
 
Na realidade, existem modelos com todas as combinaç ões de critérios acima 
mencionados. As clássicas tabelas de produç ão podem ser caracterizadas como modelos 
determinísticos não-espaciais de povoamento (Schneider et al., 2000) contra o qual as 
equaç ões desenvolvidas para a floresta decidual, na área de Santa Maria, são modelos 
determinísticos espaciais, baseados na árvore singular (Durlo, 1996). 
 
1.5 Consideraç ões gerais no procedimento da modelagem 
O desempenho de um modelo pode ser julgado por meio: 
· Do sentido biológico (fundamento teorético); 
· da acuracidade; 
· da flexibilidade. 
Dentre as variáveis de interesse deve-se escolher primeiro as variáveis dependentes 
(variáveis-meta) do modelo (diâmetro, área transversal, entre outros). Depois, deve-se 
selecionar –com métodos adequados– as variáveis que influenciem nas variáveis-meta 
(variáveis independentes). 
O julgamento e seleç ão das variáveis segue os seguintes critérios: 
· Disponibilidade (facilidade); 
· acuracidade na mediç ão; 
· causalidade (relaç ão causa e efeito ou vice-versa). 
 
 13 
Dentre os métodos para selecionar variáveis independentes destacam-se: 
· O método “stepwise” (análise de regressão); 
· a análise de correlaç ão; 
· a análise fatorial. 
A análise de regressão aplicada à Engenharia Florestal é detalhadamente descrita em 
Schneider (1997). Contudo, são colocados aqui alguns pontos que devem ser considerados: 
Como condicionantes de uma regressão, devem ser cumprido a homogeneidade da 
variância, a distribuiç ão normal e a independência dos regressores, caso não existirem 
métodos de transformaç ão. Nesse sentido, regressões logarítmicas precisam uma 
linearizaç ão do respectivo modelo. Finalmente, modelos não-lineares requerem uma 
abordagem especial como aquele do método de Marquardt (veja Schneider, 1997). 
Na aplicaç ão de modelos, sempre se deve estar consciente dos seus respectivos 
limites (zona de validade). Assim, extrapolaç ões não devem ser feitas além da área de 
origem dos dados. Muitas vezes, os pressupostos da aplicaç ão de modelos, num sentido 
estrito, não estarão assegurados. A chamada multicolinearidade, ou seja, o fato de que 
existe uma mú tua dependência de muitas variáveis leva à violaç ão dessas condicionantes 
básicas. Mesmo assim, é importante expor esses fatos. 
 
1.6 Tipos de equaç ões 
Na Tabela 1.4 são mostrados os diferentes tipos de equaç ões. 
TABELA 1.4 – Tipos de equaç ões aplicadas na Engenharia Florestal. 
Equaç ões empíricas Equaç ões teóricas 
Eq. Quadrática simples Eq. Mitscherlich 
Eq. Logarítmica Eq. Logística 
 Eq. Gompertz 
 Eq. Chapman-Richards 
 Eq. Backman 
Uma equaç ão empírica freqüentemente usada é a equaç ão quadrática simples. 
(Equaç ão 1.1) 
em que: Id = incremento em diâmetro; 
D = diâmetro (dap); 
a, b = coeficientes. 
 
2** DcDbaId ++=
 14 
Leva a resultados absurdos porque não tem máximo. Outra equaç ão empírica usada é 
a logarítmica ou exponencial. 
(Equaç ão 1.2) 
Em que: Id = incremento em diâmetro; 
D = diâmetro (dap); 
a, b = coeficientes. 
 
Também não revela máximo e por isso não serve muito em aplicaç ões florestais. 
As equaç ões teóricas mais conhecidas são: 
· Mitscherlich ou Monomolecular 
(Equaç ão 1.3) 
· Logística ou Autocatalítica 
(Equaç ão 1.4) 
· Gompertz 
(Equaç ão 1.5) 
· Bertalanffy ou Chapman-Richards 
(Equaç ão 1.6) 
Em que: Y = tamanho do organismo; 
A = tamanho máximo ou assíntota; 
t = tempo; 
b, k, c = coeficientes. 
Embora derivada para animais, a equaç ão de Bertalanffy foi amplamente usada nas 
Ciências Florestais. O autor achou que o crescimento segue a um processo de síntese 
(anabolismo) e degradaç ão (catabolismo). A formula original foi expressa como a seguinte: 
D
baLnId 1*+=
]1[* *tkeAY --=
tkeb
AY **1 --
=
]*1[* *tkebAY --=
ctkebAY ]*1[* *--=
 15 
(Equaç ão 1.7) 
Em que: W = peso do organismo; 
b e d = constantes do anabolismo e catabolismo. 
O d pode ser omitido e o b assume um valor de 2/3 em animais. A vantagem da 
equaç ão de Bertalanffy está na sua fundamentaç ão teórica. A taxa de anabolismo é 
proporcional à superfície de um organismo, enquanto a taxa de catabolismo é proporcional 
à sua massa. Richards e Chapman, estudando a equaç ão de Bertalanffy, propuseram um 
valor de b variável (no caso de Bertalanffy foi restrito a um valor de 3). Ainda há dú vida 
com relaç ão a esse modelo, por ter sido desenvolvido para animais, não servindo para 
árvores de grande porte (problema das relaç ões alométricas que talvez não sejam 
transferíveis) (Zeide, 1993). 
Um bom compromisso entre os requerimentos empíricos e teóricos apresenta a 
funç ão logística. Provavelmente é a mais usada na área de ecologia. Na sua forma simples 
(k e b constantes para todo o valor de t ) representa os seguintes padrões de crescimento: 
· taxa de crescimento absoluta sobre d à o máximo se encontra em 0,5 d; 
· taxa de crescimento relativa sobre d à a curva diminui até dmax; 
· d sobre t à tem ponto de inflexão em 0,5 d. 
A decomposiç ão das equaç ões de crescimento resulta em duas componentes que 
representam o crescimento (expansão) e o declínio. Todas as equaç ões que descrevem um 
processo de crescimento devem conter essas duas variáveis conduzidas (« lei de Malthus 
para prognose do crescimento de populaç ões humanas). A maioria das equaç ões de 
crescimento, então, pode ser escrita nas seguintes duas formas (segundo Zeide, 1993): 
(Equaç ão 1.8) 
(Equaç ão 1.9) 
 
 
 termo de expansão termo de declínio 
 (dep. do tamanho) (dep. da idade) 
db WcWa
dt
DW ** -=
)ln(*)ln(* tqypkLny ++=
)(*)ln(* tqypkLny ++=
 16 
Em que: Y = valor da grandeza de crescimento (diâmetro); 
t = idade. 
 
Resumindo, pode-se constatar que a expansão de um organismo é relacionada a seu 
tamanho. Contudo, a componente de declínio pode ser expressapor várias funç ões, o que 
concorda com os diferentes fatores ambientais que limitam o crescimento com o decorrer 
do tempo. 
 
 17 
Exercícios capitulo 1 
 
1) Dado é: 
· t1: idade = 80 anos; 
· t2: idade = 90 anos; 
· produç ão t1 = 771 m3; 
· produç ão t2 = 883 m3. 
a) Qual é o incremento corrente periódico? 
b) Qual é a velocidade do crescimento relativo? 
2) Como se pode classificar os modelos? 
3) Explique o termo “blackbox effect”! 
4) Explique as seguintes condicionantes de uma regressão: 
· homogeneidade da variância 
· distribuiç ão normal e independência dos resíduos 
5) Uma análise de regressão mostra a seguinte distribuiç ão dos resíduos: 
a) 
 
b) 
 
Que forma de transformaç ão deve ser feita?
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 2 4 6 8 10 12
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10 12
 18 
2 Tabela de produç ão (modelos de povoamentos) 
2.1 Histórico 
Segundo Pretzsch (1992) destacam-se as seguintes etapas no desenvolvimento 
histórico das tabelas de produç ão: 
a) 1501: Foi ordenado pelo imperador da Á ustria, Maximilian, a taxaç ão das florestas no 
Tirol, para evitar a escassez de madeira para as indú strias, minas etc. Houve a 
necessidade de criar instrumentos de prognose (crescimento futuro) para o 
aproveitamento sustentável de madeira (nascimento da idéia da sustentabilidade). 
b) 1787: Paulsen e, mais tarde, Feistmantel e Weise, construíram as primeiras tabelas de 
produç ão, considerando sítios (os sítios eram descritos e classificados em classes). 
c) 1877: Baur introduziu a escala de classificaç ão de sítio válida até hoje, considerando a 
construç ão de tabelas de produç ão com base em uma classificaç ão de sítio, sendo que o 
conjunto dos fatores do sítio são expressos pela altura dominante. 
d) 1909: Cajander estabeleceu uma classificaç ão de sítio por meio da vegetaç ão existente 
(plantas indicadores), representando na Finlândia, até hoje, o sistema de taxaç ão de 
impostos em terrenos florestais. 
e) Entre 1880 e 1950: Constatou-se grande atividade na Alemanha para estabelecer tabelas 
de produç ão para as mais importantes espécies florestais (Wiedemann, Schober, entre 
outros). 
O método usado para desenvolver as primeiras tabelas de produç ão foi o chamado 
"Streifenverfahren" (método das faixas). Foram levantados os pares de dados altura/idade e 
volume/altura em áreas extensas mediante uma grande variedade de sítios. Após, ajustou-se 
curvas aos dados e determinaram-se mais quatro curvas entre as curvas máxima e mínima 
com o objetivo de estabelecer cinco faixas. Para enquadrar um povoamento numa classe de 
produç ão, o crescimento desse povoamento deve seguir a curva escolhida. 
Já Guttenberg e, mais tarde, Monserud e Stage (apud Pretzsch 1992) apontaram que 
essa suposiç ão tem seus problemas porque os dados não representam um monitoramento ao 
longo do tempo. Muitas vezes os povoamentos mais velhos eram localizados nos piores 
sítios e por isso não eram bem representados no material (curvas achatadas nas idades 
avanç adas, não mostrando o verdadeiro crescimento). Melhores, porém mais caros, são 
dados oriundos de parcelas permanentes, abrangendo um certo tempo de observaç ão, ou da 
 19 
análise de tronco. Por causa da falta de observaç ões de longa duraç ão na construç ão das 
primeiras tabelas de produç ão, Guttenberg e Schwappach utilizavam o "Streifenverfahren" 
junto com a análise de tronco. 
 
2.2 Construç ão 
Tabelas de produç ão são modelos empíricos determinísticos de povoamentos florestais e 
mostram o crescimento médio de povoamentos de diferentes idades, em períodos 
determinados, e numa área determinada. São válidos e aplicáveis apenas num senso estrito, 
sob as seguintes circunstâncias: 
· Povoamentos puros e equiâneos; 
· sítio constante; 
· tratamento definido. 
Dessas afirmaç ões, derivam-se as desvantagens da tabela de produç ão clássica: ela reflete 
as condiç ões do sítio e as condiç ões climáticas da área e do período da coleta dos dados e é 
valida apenas em povoamentos com as mesmas intervenç ões dos povoamentos levantados. 
Os dados usados nas tabelas são valores médios de uma populaç ão e geralmente não 
permitem estimativas no crescimento de árvores individuais. Com essa restriç ão, as tabelas 
de produç ão são impróprias como ferramentas para a produç ão de madeira de alta 
qualidade. Num meio ambiente alterado, elas também perdem o valor prognosticativo. 
Acrescenta-se que, para a construç ão das tabelas, são necessárias observaç ões durante 
longos períodos de tempo ou métodos retrospectivos intensivos, como a análise de tronco. 
De outro lado as tabelas de produç ão já existentes oferecem uma ferramenta simples e 
eficiente para aplicar em uma produç ão otimizada em volume de madeira. 
A maioria das tabelas de produç ão tem como variáveis de entrada: espécie, índice de 
sítio e idade. O índice de sítio determina-se mediante a relaç ão altura (dominante) – idade. 
Existem distintos tipos de tabelas de produç ão: 
· Tabelas com índice de sítio relativo à altura (Alemanha do norte); 
· Tabelas com índice de sítio absoluto de incremento médio anual 
(Baden-Württemberg); 
· Tabelas com consideraç ão do nível de produç ão (Baviera, Picea e ex-RDA, Pinus); 
 20 
· Tabelas que consideram distintas inclinaç ões em decorrência das linhas de 
crescimento (Á ustria, Picea). 
Vários autores propuseram estimar a classe de produç ão com o incremento, pelo 
menos em povoamentos jovens. Mas o chamado “growth intercept method” (Clutter et al., 
1983) apenas funciona se as árvores mostrarem verticílios anuais. 
2.3 Aplicaç ão 
2.3.1 Classificaç ão de sítio 
Atualmente a classificaç ão de sítios, em geral, se realiza por meio da altura 
dominante (hdom) de um povoamento, numa idade de referência (ao redor da idade da 
rotaç ão). A altura dominante é definida como sendo a altura média das cem árvores mais 
grossas por hectare. É mais razoável utilizar a altura dominante porque, no decorrer do 
desenvolvimento do povoamento, a altura dominante é medida num coletivo constante de 
árvores. Além disso, é mais independente de intervenç ões, pois, na maioria dos programas 
de desbaste, as árvores mais grossas não são retiradas. 
FIGURA 2.1 – Curvas de índice de sítio nas tabelas de produç ão para Araucá ria 
angustifolia de Schneider & Oesten (1999). Os sítios são classificados por 
meio da altura dominante (h100) na idade de 50 anos. 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
idade [anos]
al
tu
ra
 [m
] IS 14
IS 18
IS 22
IS 26
IS 30
 21 
O índice de sítio é uma altura dominante ou uma classe de produç ão relativa numa 
idade de referência do povoamento. 
FIGURA 2.2: Exemplo para curvas monomórficas e polimórficas. 
 
Na construç ão de curvas de índice de sítio, distinguem-se curvas monomórficas 
(eqüidistantes) e curvas polimórficas (Figura 2.2). Curvas polimórficas mostram 
comportamento não–proporcional das curvas ou, em alguns casos, se cruzam. Com a 
análise de covariância pode-se testar a igualdade da inclinaç ão das curvas. Parcelas 
temporárias só permitem o estabelecimento de curvas monomórficas. 
O índice de sítio é um bom indicador para o potencial do crescimento de um 
povoamento de uma espécie num sítio. Para testar se uma árvore cresce conforme uma 
curva de índice de sítio, conduz-se uma análise do incremento anual em altura (já proposto 
por Guttenberg 1870, apud Pretsch, 1992). Tomando uma curva não–adequada poderia 
levar à sub ou superestimativas do crescimento. Para o caso de se assumir um desvio do 
crescimento esperado da curva de índice de sítio com maior idade, é usado na Alemanha o 
seguintemétodo dinâmico: um povoamento jovem recebe uma classe de produç ão igual ao 
de um povoamento velho num sítio equivalente. Para obter a classe de produç ão, usa-se a 
“idade econômica ou fisiológica” no caso da supressão do crescimento na fase juvenil da 
árvore. 
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
idade [anos]
al
tu
ra
 [m
]
monomó rfica
polimó rfica
 22 
2.3.2 Base para uma produç ão sustentá vel 
As tabelas de produç ão, geralmente, oferecem uma variedade de variáveis do 
povoamento remanescente e do desbaste como dg, hdom, G/ha (p. rem.), VAC (p. desb.) e 
variáveis de produç ão (V/ha e IMA ou IPA). Com esses dados o usuário das tabelas têm 
uma ferramenta eficiente para fazer uma prognose do crescimento e da produç ão de um 
povoamento. Assim a floresta pode ser manejada de um modo que garanta a 
sustentabilidade do 
· volume de corte; 
· valor do volume de corte; 
· incremento; 
· rentabilidade. 
Também são facilitadas atividades tais como o planejamento da regeneraç ão e da 
forç a de trabalho (Schneider & Finger, 2000). 
Na sua aplicaç ão, é necessário conhecer o grau de estoqueamento (GE) de um povoamento 
que é definido como a relaç ão do volume (ou da área basal) real do povoamento com os 
respectivos valores da tabela. O valor obtido de volume p.ex. tem que ser corrigido com o 
GE. 
TABELA 2.1 – Exemplo de uma tabela de produç ão de Pinus elliottii (Schneider & Oesten, 
1999). 
 
Índice de Sítio = 22 
Tabela de Produç ão Dinâmica para Pinus elliottii 
IMA (m³/ha) 30 = 18,2 
 POVOAMENTO REMANESCENTE DESBASTE PRODUÇÃ O TOTAL 
ANO DG HM HO N/HA G/HA F V/HA N/HA V/HA VAC % V/HA IMA IPA ANO 
 
5 10,1 4,9 5,6 2446 19,4 4696 44,8 
25 
 
1,1 
0.0 0,0 44,8 9 
27,7 
5 
10 13,5 
 
10,8 11,7 2400 34,4 4913 182,3 
1134 
 
114,8 
1,1 0,6 183,4 18,3 
30,7 
10 
15 17,4 14,7 15 1266 30,1 4990 221,1 
375 
 
64,1 
115,9 52,4 337,0 22,5 
19,6 
15 
20 20,5 17,3 18,7 890 29,3 5052 255,2 
169 
 
39,8 
180,0 70,5 435,2 21,8 
13,2 
20 
25 22,7 19,1 20,7 720 29,3 5043 281,4 
89 
 
25,5 
219,8 78,1 501,2 20,0 
8,9 
25 
30 24,3 20,2 22 631 29,4 5053 300,3 
50 
 
16,2 
245,3 81,7 545,6 18,2 
5,8 
30 
 
35 
25,4 20,9 22,9 581 29,6 5059 313,2 
28 
 
9,9 
261,5 83,5 574,7 16,4 
3,6 
35 
40 26,1 21,4 23,4 553 29,7 5063 321,4 271,4 84,4 592,9 14,8 40 
 
 23 
TABELA 2.2 – Explicaç ão dos parâmetros. 
Dap ou 
D1,3 
Diâmetro à altura do peito = 
Diâmetro à altura de 1,30 m 
DG (dg) Diâmetro correspondente à árvore média de área basal do povoamento (a altura de 
1,30 m) 
F Fator de forma artificial 
G/HA Á rea basal de todas as árvores do povoamento, tomando como referência o diâmetro a 
altura do peito 
GE Grau de Estoqueamento 
H/D Relaç ão da altura total ao diâmetro à altura do peito 
HM Altura média aritmética 
HO (hdom, ou h100) Altura dominante 
IMA Incremento médio anual em volume, relativo à produç ão total do povoamento 
IMAi Incremento de volume médio anual na idade do índice 
Índice de sítio O índice do sítio representa a qualidade do sítio, em valor absoluto, tomada na idade 
índice. 
IPA Incremento periódico anual em volume, em relaç ão à produç ão total do povoamento 
N/HA Nú mero de árvores por hectare 
Povoamento 
remanescente 
Povoamento remanescente após uma intervenç ão de desbaste 
V/HÁ 
 
Vc/c ou s/c 
Representa o volume com casca por hectare para o povoamento remanescente 
V = h * f * G 
Volume com casca/sem casca 
VAC. Volume acumulado dos desbastes 
 
Em vários países europeus, as tabelas de produç ão são a base para as taxas e os 
impostos que o proprietário tem que pagar. 
 
2.4 Nível de produç ão 
Para considerar a variaç ão dentro da produç ão de povoamentos com alturas 
equivalentes, Assmann (1961) introduziu o conceito do nível de produç ão. O nível de 
produç ão também é chamado de classificaç ão horizontal do povoamento (seg. Kennel, 
1973). 
è altura = funç ão da idade (classificaç ão do sítio) 
è nível de produç ão = funç ão da altura (classificaç ão do nível de produç ão) 
 
Dentro da variaç ão obtida, Assmann distingiu três níveis de produç ão: superior, 
médio e inferior. 
Conhece-se duas noç ões do nível de produç ão: 
1) Nível de produç ão geral: povoamentos podem mostrar diferentes níveis de produç ão 
total na mesma altura (dominante). 
 24 
2) Nível de produç ão especial: povoamentos podem mostrar diferentes níveis de 
produç ão total na mesma classe de produç ão (na mesma relaç ão altura – idade). 
 
A respeito do nível de produç ão, as leis de Eichhorn e de Gehrhard apenas tem valor 
histórico: 
1) Lei de Eichhorn: povoamentos de Abeto branco (Abies alba) mostram o mesmo 
volume em alturas iguais. 
2) Na lei de Gerhard, fez-se uma amplificaç ão: povoamentos (mediante toda a gama das 
espécies), tem a mesma produç ão total em alturas iguais. 
 
Bradley e Christie (1966) denominaram as diferenç as nos níveis de produç ão (classes 
de produç ão) como diferenç as na relaç ão h/d. Povoamentos com maior nível de produç ão 
mostram menor relaç ão h/d. Segundo Schmidt (1973), o nível de produç ão significa a 
capacidade de uma árvore em relaç ão ao aproveitamento da área ú til em um sítio. Sterba 
(1987) salientou que distintos níveis de produç ão se manifestam em distintos SDI de 
Reinecke na mesma altura dominante. Esse autor calculou o SDI máximo de linhas de 
tendências de crescimento com o auxílio da “competition density rule” modificada de Kira. 
Franz (1974) mencionou que o nível de produç ão se expressa numa determinada área basal 
máxima. 
 
 25 
Exercícios capitulo 2 
 
1) Faç a a definiç ão das seguintes grandezas! 
dg; G/ha; produç ão total em volume; incremento médio anual; h100; grau de estoqueamento; 
índice de sítio; VAC (em %). 
 
2) Dê uma definiç ão do termo “tabela de produç ão”! Para que podem ser usados e quais são 
as vantagens e desvantagens! 
 
3) Dado é um inventário de um povoamento de Araucaria angustifolia com as seguintes 
informaç ões: (40 anos, hm= 17,9 m, G/ha = 30 m²) 
Qual é o V/ha do povoamento remanescente, usando as tabelas de Schneider & Oesten 
(1999)? 
 
4) Complemente as colunas! 
idade Hm V/ha 
(remanescente) 
IMA V/há 
(desbaste) 
IPA VAC 
[anos] [m] [m3] [m3] [m3] [m3] [m3] 
40 19,4 351 13,9 
60 25,9 508 14,7 
80 30,6 611 14,4 
100 34,0 671 13,7 
120 36,3 698 12,9 
40 30,1 513,9 12,9 481,8 
Tabela de produç ão Pinus elliottii (Schneider & Oesten 1999), índice de sítio 32, nível de produç ão superior. 
 
5) Calcule o incremento periódico entre 30 e 35 anos e o diâmetro médio de Pinus elliottii 
(tabela de produç ão Schneider e Oesten [1999], índice de sítio 24, idade 30 anos, grau de 
estoqueamento 0,7!) 
 26 
3 Matriz de transiç ão (modelos de distribuiç ão de diâmetros) 
3.1 Conceito e objetivos 
Matrizes de transiç ão são modelos de classe de diâmetro. Na hierarquia estabelecida 
elas estão localizadas entre modelos de povoamento (veja capitulo anterior) e modelos 
baseados na árvore singular (modelos individuais). Matrizes de transiç ão são extensões 
formalizadas do método de projeç ão de tabelas de povoamento (Vanclay, 1994). 
TABELA 3.1 – Tabela de povoamento (projeç ão com taxa de movimento 0,5). 
dc [cm] ni ni+x ni+2x ni+3x 
5 85 43 22 11 
7,5 50 68 56 39 
10 22 36 52 54 
12,5 12 17 26 39 
15 4 8 13 20 
 
A Tabela 3.1 e Figura 3.1 mostram como evolui a distribuiç ão diamétrica de um 
povoamento com o tempo (t1 à t4) se 0,5% das árvores saem da sua respectiva classe de 
diâmetro. 
FIGURA 3.1 –Desenvolvimento da distribuiç ão diamétrica de um povoamento com uma 
taxa de movimento de 0,5. 
 
Os primeiros modelos matriz foram desenvolvidos por Leslie and Lewis para estimar 
o crescimento de animais (apud Buongiorno & Mitchie 1980). Buongiorno & Michie 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20
dap [cm]
n
t1
t2
t3
t4
 27 
adaptaram esses modelos para povoamento florestais, estimando o recrutamento como 
funç ão da área basal e o nú mero de árvores. 
Matrizes de transiç ão são modelos empíricos determinísticos. As taxas de movimento 
das árvores, de uma classe de diâmetro para a próxima, são arranjados em uma matriz (um 
campo quadrado de elementos de m linhas e k colunas). Multiplicando a matriz de 
probabilidade com um vetor que representa a distribuiç ão de diâmetro de um povoamento, 
obtém-se a nova distribuiç ão de diâmetros. A formulaç ão matemática geral de uma matriz 
de transiç ão é mostrada na seguinte equaç ão: 
(Equaç ão 3.1) 
Em que: 
A = Matriz de transiç ão de probabilidades; 
E0 = vetor de estoque no tempo 0; 
R = vetor de recrutamento; 
E1 = vetor de estoque no tempo de prognose. 
 
Uma matriz de transiç ão pode conter a mortalidade e o corte planejado em um 
povoamento. A seguinte equaç ão mostra a matriz de transiç ão com as partes matriz de 
probabilidade, recrutamento e colheita. A mortalidade é considerada subtraindo a taxa de 
mortalidade da probabilidade das árvores nas respectivas classes de diâmetro. A diagonal 
maior mostra as árvores que ficam na sua classe de diâmetro e a segunda diagonal aquelas 
que se movem para a próxima classe de diâmetro. 
(Equaç ão 3.2) 
Em que: 
a1,..i = proporç ão de árvores que permanecem na respectiva classe de diâmetro menos taxa 
de mortalidade; 
b1,..i = proporç ão de árvores que crescem para a próxima classe de diâmetro; 
a1 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
1 2
2 3
3 4
4 5
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
1
2
3
4
5
b a
b a
b a
b a
y h
y h
y h
y h
y h
r y
y
y
y
y
t t
t t
t t
t t
t t
t k
t k
t k
t k
t k
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
ú
´
-
-
-
-
-
é
ë
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ê
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ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
ú
+
é
ë
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
ú
=
é
ë
ê
+
+
+
+
+
ê
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
ú
ú
10* EREA =+
 28 
y1t,..it = tabela do povoamento no tempo t; 
h1t+k,..it+k = colheita no tempo t; 
r = recrutamento; 
ylt+k,..it+k = tabela do povoamento no tempo t+k. 
 
Estimativas feitas com matrizes de transiç ão dependem das seguintes condiç ões 
básicas: 
1) A chamada hipótese de Markov, segundo a qual a probabilidade de cada evento só 
depende do estado atual e não da história do povoamento. 
2) A hipótese de estacionaridade, segundo a qual as probabilidades assumidas no modelo 
são estáveis durante todo o período de observaç ão. 
 
Essas matrizes, em geral, são conhecidas como matrizes de Markov. Para facilitar o 
procedimento de prognose é assumido que cada árvore apenas cresce até a próxima classe 
de diâmetro durante o período de observaç ão (Usher assumption, Usher, 1966). Mais 
detalhes podem ser encontrados em Buongiorno & Michie (1980) ou Vanclay (1994, p. 43-
50). 
Em estudos recentes (Buongiorno et al., 1995), a hipótese de transiç ões constantes foi 
abandonada. Evidentemente o crescimento, ou seja, a taxa de movimento de uma árvore 
depende das condiç ões de competiç ão e, assim, leva à inestacionaridade (oscilaç ão) das 
probabilidades de movimento no decorrer do desenvolvimento do povoamento. Sobretudo 
em florestas homogêneas equiâneas, observa-se uma tendência na taxa de crescimento com 
a idade. 
O modelo da matriz de transiç ão pode ser usado para vários fins. Primeiro, pode-se 
achar o estado de equilíbrio de uma floresta a longo prazo, sendo este o estado de clímax 
em florestas naturais. Além disso, a abordagem da matriz de transiç ão permite avaliar 
diferentes estratégias de intervenç ão em florestas, levando em consideraç ão os objetivos 
estabelecidos do manejo florestal. 
 
3.2 Exemplo: floresta estacional 
Tomando-se por base um exemplo da floresta (secundária) estacional decidual da 
região de Santa Maria, levantada nos anos 1994, 1995 e 1997 em parcelas permanentes, é 
 29 
introduzida uma aplicaç ão da matriz de transiç ão (Spathelf & Durlo, 2000). O objetivo do 
estudo era determinar intervenç ões sustentáveis, ou seja, intervenç ões que não 
prejudicassem o futuro potencial de crescimento da floresta. 
A matriz das probabilidades é obtida por meio da divisão do nú mero das árvores de 
cada classe de diâmetro que cresceram para a próxima classe, pelo nú mero inicial de 
árvores nessa classe de diâmetro. A proporç ão de mortalidade é obtida dividindo as árvores 
mortas no ano 1997 (final do período de observaç ão) que estavam vivas no início do 
período de observaç ão, pelo nú mero total das árvores por classe de diâmetro no ano 1994. 
Foi levantado, durante o período de observaç ão, todo o recrutamento acima de 5 cm de 
diâmetro com casca. 
O tipo e o peso das intervenç ões foram derivados aplicando o conceito da floresta 
balanceada (Meyer segundo Loetsch et al., 1973). Nesse conceito, uma distribuiç ão 
desejada de árvores pode ser obtida estabelecendo as seguintes grandezas de um 
povoamento: valor q (quociente do nú mero de árvores de duas classes sucessivas de 
diâmetro numa floresta balanceada), área basal remanescente, e o respetivo diâmetro-meta. 
 
Q é obtido ajustando a distribuiç ão atual de diâmetros com a funç ão: 
 
(Equaç ão 3.3) 
 
Em que: 
N = nú mero de árvores; 
dz = centro de classe de diâmetro [cm]; 
a, b = coeficientes. 
 
Foram escolhidos valores de q de 1,5 e 1,2. O valor q = 1,5 representa a distribuiç ão 
atual dos diâmetros levantados. O povoamento com um valor de q = 1,2 mostra uma curva 
mais achatada da distribuiç ão de diâmetros, levando a nú meros menores de árvores de 
pequena dimensão. Geralmente, a proporç ão de madeira de grandes dimensões para serraria 
aumenta com uma diminuiç ão de q, sendo iguais à área basal e o diâmetro-meta. 
dzbaN *ln +=
 30 
Para minimizar os danos na regeneraç ão (muito importante em sistemas policíclicos 
de manejo), foi determinado que a intervenç ão não deve ultrapassar o equivalente a 15 m2 
de área basal. A seleç ão de diâmetros-meta não é fácil em florestas compostas por uma 
grande variedade de espécies. Geralmente essa escolha apenas poderia ser feita com base na 
espécie. As espécies mais valiosas como canjerana, louro ou cedro facilmente podem 
alcanç ar diâmetros-meta de 60 a 80 cm, enquanto as outras só alcanç am 40 a 50 cm 
(Cambuatá [Cupania vernalis], Umbú [Phytolacca dioica]). Por outro lado, a Figueira 
(Ficus insipida), por exemplo, facilmente cresce até diâmetro de 2 m, mas não é uma 
espécie valiosa. Para os cálculos são usados diâmetros-meta de 80 e 60 cm 
respectivamente, estando-se consciente dos inconvenientes dessa abordagem. 
TABELA 3.2 = Variantes de intervenç ão no exemplo apresentado. 
Variante de 
intervenç ão 
Ciclo de corte 
 
[anos] 
Intensidade de 
intervenç ão DG 
[m2] 
Q Diâmetro-meta 
 
[cm] 
Ia 15 5 1,5 80 
IIa 15 10 1,5 80 
IIIa 30 5 1,5 80 
IVa 30 10 1,5 80 
Va 30 15 1,5 80 
Ib 15 5 1,2 60 
IIb 15 10 1,2 60 
IIIb 30 5 1,2 60 
IVb 30 10 1,2 60 
Vb 30 15 1,2 60 
 
Como ciclos de corte, foram selecionados 15 e 30 anos. Com ciclos de corte mais 
amplos, pode-se obter madeira mais grossa. Economicamente mais atrativas, em geral, são 
as variantes com um ciclo de corte mais curto, tendo maiores receitas "descontadas". Na 
Tabela3.2, mostra-se as estratégias de intervenç ão adotadas. O objetivo era determinar 
caminhos de intervenç ão sustentável. 
 31 
 
FIGURA 3.2 – Distribuiç ão do volume da madeira e de espécies de importância florestal, 
respectivamente, na floresta secundária estudada. 
 
FIGURA 3.3 – Distribuiç ão da mortalidade observada em 1997 na floresta secundária 
como porcentagem do nú mero de árvores vivas em 1994. 
Uma quantidade considerável de madeira comercial e madeira de qualidade encontra-
se na floresta secundária estudada. As três espécies clímax canjerana, cedro e louro 
representam 57% do volume da madeira valiosa e 17% da madeira total (Figura 3.2). 
0
20
40
60
80
100
120
Canjerana Cedro Louro madeira
val.
madeira
com.
outros
vol [m3/ha]
0
5
10
15
[7,5] [12,5] [17,5] [22,5] [27,5] [32,5] [37,5] [42,5] [47,5] [52,5]
dap [cm]
mort [%]
 32 
A mortalidade encontrada em todos os diâmetros foi 4,8% em 3 anos, isso significa 
66 de 1.361 árvores (Figura 3.3). A mortalidade de árvores atinge um pico com diâmetros 
entre 15 e 20 cm, diminuindo nos diâmetros maiores. Á rvores menores no estrato inferior 
mostram uma mortalidade mais alta do que árvores emergentes, provavelmente em 
conseqüência da severa competiç ão na fase juvenil do crescimento. 
As probabilidades de transiç ão são mostradas numa matriz 14x14 (Tabela 3.3). A 
primeira diagonal representa a proporç ão das árvores que permanecem na respectiva classe 
de diâmetro, a segunda o movimento para a classe seguinte. A mortalidade já foi subtraída 
dos valores da primeira diagonal, portanto, a coluna não é igual a 1. Na linha 12 e coluna 
12 como na linha 14 e coluna 14 os valores de 1 representam um estado absorvente, 
significando que não houve movimento de árvores dessas classes de diâmetro para as 
classes seguintes. Esse efeito artificial ocorre por causa de uma base insuficiente de dados. 
Geralmente em todos os povoamentos naturais, deve-se observar uma mortalidade nas 
maiores classes de diâmetro, senão acumulam-se as árvores mais grossas. Portanto, as 
estimativas, obtidas com a matriz, devem ser interpretadas cautelosamente. 
FIGURA 3.4 – Evoluç ão da área basal (G/ha) do povoamento estimado com o modelo da 
matriz de transiç ão, considerando as diferentes estratégias de intervenç ões 
Ia, IIa, IIIa, IVa and Va (veja Tabela 3.2). 
 
Como se observa na Figura 3.4, o cálculo com o modelo estabelecido mostra que 
intervenç ões com uma retirada de, aproximadamente, 7 m2 de área basal num ciclo de corte 
0
10
20
30
40
50
60
70
1980 2000 2020 2040 2060 2080 2100
ano
ab [m²/ha]
Ib IIb IIIb IVb Vb
 33 
de 15 anos (ou ~14 m2 num ciclo de 30 anos) levam a um desenvolvimento sustentável da 
área basal da floresta (variante IIa). 
 
 34 
TABELA 3.3 – Matriz de transiç ão com as árvores remanescentes nas suas respectivas classes de diâmetro (primeira diagonal) e as 
árvores que se movem para a próxima classe de diâmetro (segunda diagonal). A mortalidade na respectiva classe de 
diâmetro é subtraída dos valores da primeira diagonal. 
[cm] 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 
7,5 0,904 
12,5 0,055 0,864 
17,5 0,075 0,848 
22,5 0,079 0,673 
27,5 0,268 0,847 
32,5 0,121 0,769 
37,5 0,201 0,683 
42,5 0,3 0,795 
47,5 0,205 0,788 
52,5 0,182 0,69 
57,5 0,167 0,666 
62,5 0,334 1 
67,5 0 0,666 
72,5 0,334 1 
 35 
Exercícios capitulo 3 
 
1) Defina o conceito da matriz de transiç ão. 
 
2) Discuta as restriç ões da matriz como modelo para descrever e prognosticar o 
desenvolvimento de florestas heterogêneas. 
 
3) Complemente a seguinte tabela de povoamento (taxa de movimentaç ão: 0,25). 
 
Nt0 Nt1 Nt2 Nt3 
128 
66 
99 
18 
7 
 
 
 36 
4 Modelos para a produç ão de madeira de qualidade (modelos baseados 
na árvore singular) 
4.1 Introduç ão 
A madeira é uma matéria-prima com muitas utilidades. Usada pela indú stria pode ser 
transformada em vários produtos com valores variáveis. O seguinte exemplo com a espécie 
carvalho (Quercus ssp.) e preç os europeus (1999) deve ilustrar isto: 
TABELA 4.1 – Diferentes produtos e preç os para 1 m³ de carvalho em Marco alemão 
(1999, 1 DEM = 0,85 BRR). 
Utilizaç ão valor 
(1 m³ de madeira) 
fator 
lenha 100 1 
madeira para parquete 200 a 400 2 a 4 
madeira para serraria (alta qualidade) 600 a 1000 6 a 10 
madeira para laminaç ão 1000 a 10000 10 a 100 
 
Segundo a Tabela 4.1, o valor da mesma quantidade de matéria-prima pode aumentar 
em até 100 vezes, naturalmente exigindo diferentes critérios de qualidade. Por isso, uma 
tarefa importante na disciplina de crescimento e produç ão florestal é, entre outros, o 
fornecimento de modelos para conduzir/manejar povoamentos ou árvores individuais, a fim 
de produzir madeira de boa qualidade. 
A conduç ão do crescimento de povoamentos florestais abrange: 
1) A determinaç ão de objetivos; 
2) a disposiç ão de informaç ões; 
3) o estabelecimento de modelos. 
 
1) Estabelecimento de um sistema de objetivos 
Na determinaç ão dos objetivos devem ser consideradas as restriç ões ecológicas, 
econômicas e legais. 
a) Espécie e mistura (adaptaç ão ao sítio, diversidade, riscos, pragas, disponibilidade de 
sementes/mudas, mercado para os sortimentos produzidos). 
b) Produç ão (custos, volume, valor esperado). 
c) Dimensão (diâmetro-meta), idade de rotaç ão, nú mero de "árvores-F". 
 37 
d) Qualidade do fuste (inserç ão da copa, poda/nós, torç ão, ramos laterais secundários, 
forma do fuste). 
e) Definiç ão do risco (ecológico e econômico). 
f) Minimizaç ão do "input" para obter os objetivos preestabelecidos (princípio 
econômico). 
 
Alguns desses objetivos não podem ser influenciados pela silvicultura ou pelo 
manejo, mas os riscos de produç ão podem ser limitados com um cuidadoso planejamento e 
escolha das sementes/mudas (seleç ão genética). Também devem ser levados em 
consideraç ão os riscos do mercado (preferências ou modas) como a cor ou a textura da 
madeira que podem causar diferenç as enormes nos preç os da matéria-prima. 
 
2) Informaç ões de crescimento 
a) IMA, incremento em diâmetro, área basal, nú mero de árvores por hectare. 
b) Tamanho e expansão da copa, área coberta pelo dossel. 
c) Crescimento em altura (determinado pela qualidade do sítio). 
 
3) Modelagem 
a) Teste das hipóteses e das relaç ões entre os parâmetros levantados. 
b) Avaliaç ão das relaç ões. 
c) Modelagem dos parâmetros com os tipos adequados de modelos para os objetivos 
preestabelecidos – modelos de descriç ão. 
d) Validaç ão/Comparaç ão dos modelos com outros modelos ou dados externos 
e) Ferramentas para a aplicaç ão prática – modelos de decisão. 
 
A conduç ão de povoamentos florestais é facilitada com as quatro questões (fictícias) 
segundo o silviculturista suíç o Leibundgut: 
· Donde você vem? (história e tratamento do povoamento florestal) 
· Onde você está? (estágio, fase de desenvolvimento) 
· Aonde você vai? (desenvolvimento sem intervenç ão) 
· Onde eu quero você? (especificaç ão dos objetivos) 
 38 
Quando o estágio é definido, a diferenç a entre o desenvolvimento natural e os 
objetivos silviculturais indica o tratamento que deve ser aplicado para conduzir o 
povoamento ou a árvore individual. O problema, muitas vezes, fica na previsão do 
desenvolvimento sem–intervenç ão, que apenas pode ser estimado. 
 
4.2 Conduç ão do crescimento segundoo exemplo do manejo do carvalho 
(Quercus ssp.) na Alemanha 
4.2.1 Introduç ão 
TABELA 4.3 – Repartiç ão de espécies folhosas em Baden-Württemberg (Estado sudoeste 
da Alemanha). 
Espécie I II III IV V VI VII+ Total IMA 
[m³] 
Fagus 11 15 22 23 25 28 33 22 5,6 
Quercus 3 3 4 5 6 8 19 6 4,7 
Acer 3 2 1 1 1 1 1 1 4,9 
Alnus 1 1 1 1 1 1 - - 5,5 
Demais espécies 2 2 2 2 2 1 1 2 5,0 
Folhosas 27 29 34 35 37 41 58 36 - 
 
TABELA 4.4 – Orientaç ão para o manejo de Quercus ssp. nas florestas estaduais de 
Baden-Württemberg. 
Altura dominante Medidas 
Implantaç ão espaç amento 2,5 até 3 x 0,5 até 1 m 
até 5 m só remoç ão de árvores com deficiências e árvores com 
galhosidade extrema (seleç ão qualitativa) 
à Fase da qualificaç ão 
ao redor de 10 m Reduç ão do nú mero das árvores a 1.200 por ha; Escolha de 
árvores positivas cada 3-6 m de distância 
com base em 17 m Escolha de "árvores-F" (nú mero: 80, dependendo do diâmetro-
meta); à Fase da promoç ão da dimensão 
com base em 20 m, se for 
necessário 
Enriquecimento com Carpinus para favorecer a desrama 
natural do fuste e proteç ão do solo 
 
O desenvolvimento dos programas de manejo de Quercus robur é mostrado na Tabela 4.5. 
 
 
 39 
TABELA 4.5 – Programas de produç ão para Quercus ssp. na Alemanha. 
Modelo Estado Objetivo 
Jüttner (1955) 
(Tabela de produç ão) 
Índice de sítio 
desbaste por baixo médio/forte 
não–definido 
Kenk (1980) 
(programa orientado 
nos objetivos) 
válido para sítios onde madeira de 
qualidade pode ser produzida 
(B.-W., Alemanha) 
dap meta = 70 cm; 
idade d. rotaç ão = 180 anos 
80 a 100 "árvores-F" 
Spiecker (1991) 
(programa orientado 
no objetivo e no 
estado) 
válido para sítios da classe I, II das 
tabelas de produç ão de Zimmerle; 
relaç ão do diâmetro das árvores 
desbastadas e das "árvores-F" 
dap-meta = variável 
Idade de rotaç ão = variável 
Nú mero de "árvores-F" = 
variável 
 
4.2.2 Programa de produç ão orientado nos objetivos (Quercus robur de Kenk, 
1980) 
O programa de Kenk é mais avanç ado que as tabelas de produç ão: 
· O objetivo da produç ão é madeira para serraria e laminaç ão; 
· modelo de povoamento; 
· intervenç ões orientadas no crescimento em altura; 
· densidade inicial de 5000-8000 plantas/ha; 
· desbaste seletivo até a metade da rotaç ão, depois desbaste por baixo e ausência de 
intervenç ões 4 a 6 décadas antes do final da rotaç ão; 
· determinaç ão de 80 a 100 "árvores-F" (escolhidas numa altura a partir de 15 m); 
critérios de seleç ão: vitalidade e qualidade, distribuiç ão; 
· válido para sítios apropriados para produzir madeira de qualidade. 
 
O programa de Kenk ainda é orientado em parâmetros do povoamento como a área 
basal, o volume e nú mero de árvores. Isso reduz a flexibilidade do programa como 
ferramenta de decisão. Além disso, o programa tem a desvantagem de ser orientado apenas 
nos objetivos. Se, no caso da aplicaç ão do programa, um povoamento de carvalho apenas 
tem trezentas árvores por hectare na idade de 55 anos ou as árvores têm um diâmetro de 15 
cm (Tabela 4.6), o programa perde a validade porque esses casos não foram incluídos na 
base de dados. 
 
 
 40 
TABELA 4.6 – Programa de produç ão para carvalho (Quercus robur) Kenk (1980). 
Objetivos pré-estabelecidos: povoamento com 100% de carvalho (Quercus robur L.) no 
estrato dominante; diâmetro meta 60 a 80 (70) cm; período de rotaç ão 160 a 200 (180) anos; 
nú mero de árvores futuras por hectare: 80 a 100. 
Desbaste 
[m³ha-1] 
d100 Idade 
 
 
 
[anos] 
Altura 
dominante 
h100 
 
[m] 
N de 
árvores 
dominantes 
por ha-1 
 
VN SVN 
G ha-1 
após 
desbaste 
 
[m² ha-1] 
V ha-1 
após 
desbaste 
 
[m³ ha-1] 
IMA 
 
 
 
[m³ha-1] 
d1,3 
 
[cm] 
id1,3 
 
[mm] 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
 Até 2 6.000 
 5 
8 
11 
14 
4.400 
3.200 
2.000 
1.250 
 
 
 
15 
 
 
 
15 
 
 
12 
14 
 
 
35 
87 
 
 
35 
102 
 
 
11 
14 
 
41 
48 
55 
65 
75 
85 
100 
120 
140 
17 
19 
21 
23 
25 
27 
29 
31 
33 
780 
580 
400 
280 
220 
180 
145 
120 
100 
30 
35 
35 
40 
40 
40 
40 
40 
45 
80 
115 
155 
195 
135 
275 
315 
315 
14 
14 
14 
15 
16 
18 
19 
23 
26 
110 
132 
143 
178 
218 
238 
279 
352 
421 
155 
212 
258 
333 
413 
473 
554 
667 
736 
17 
21 
24 
29 
33 
37 
42 
49 
56 
4,5 
4,4 
4,3 
4,0 
3,5 
3,4 
3,3 
3,3 
3,3 
160 
180 
33 
33 
100 
100 
 315 
315 
31 
35 
508 
577 
823 
892 
62 
68 
3,2 
3,2 
 
4.2.3 Programa de produç ão orientado nos objetivos e no estado da á rvore 
individual ou do povoamento 
4.2.3.1 Quercus ssp. de Spiecker (1991) 
O programa de produç ão de Spiecker é baseado em dados de árvores individuais e 
assim pode ser aplicado em cada árvore futuramente selecionada. Já que a intensidade dos 
desbastes depende do espaç o vital necessitado por cada "árvore-F", para manter um 
incremento diamétrico determinado no período entre dois desbastes, a ferramenta é 
oferecida em várias tabelas para os diferentes estádios que podem ocorrer. Tabela 4.7 
mostra uma possível constelaç ão. 
Descriç ão do programa: 
· Tabelas com nú meros de árvores para desbastar. 
· Intervenç ões orientadas no crescimento da copa (ligaç ão estreita entre diâmetro na 
altura do peito e largura da copa). 
 41 
· Desbaste seletivo depois da fase de desrama natural (conceito com duas fases de 
manejo). 
· Determinaç ão de 80 "árvores-F" numa altura de 15 a 20 m; critérios de seleç ão: 
vitalidade e qualidade, distribuiç ão). 
· Válido para os sítios da qualidade I e II das tabelas de produç ão para carvalho de 
Zimmerle (1930). 
 
TABELA 4.7 – Programa de produç ão para carvalho (Quercus ssp.) de Spiecker (1991) 
com o nú mero médio de árvores de desbaste em favor de cada "árvore-F". 
dap 
[cm] 
idade [anos] 
 40 50 60 70 80 90 100 110 120 
 
16 5,2 4,2 3,6 
20 4,5 3,9 3,5 3,1 
24 3,0 2,6 2,3 2,2 2,1 2,0 
 
28 2,2 1,8 1,6 1,5 1,4 1,3 1,3 1,3 
32 1,4 1,2 1,1 1,0 0,9 0,9 0,9 0,9 
36 1,1 0,9 0,8 0,8 0,7 0,7 0,7 0,6 
 
40 0,7 0,6 0,6 0,6 0,5 0,5 0,5 
44 0,5 0,5 0,4 0,4 0,4 0,4 
48 0,4 0,4 0,3 0,3 0,3 
Dap das árvores de desbaste = 80% do dap das árvores futuras. 
Restriç ões para a Tabela 4.7: área coberta pelo dossel = 70%, cada árvore selecionada para o desbaste só é 
contada uma vez, mesmo que vá competir com outras árvores futuras, nú mero de árvores futuras por hectare = 
80, incremento radial constante. 
 
O programa de produç ão de Spiecker é orientado nos objetivos como também no 
estado de povoamentos e árvores individuais, podendo ser usado com grande flexibilidade 
em várias situaç ões encontradas na prática. Como desvantagem, contata-se que as tabelas 
não fornecem informaç ões sobre o incremento diamétrico máximo que a espécie pode 
alcanç ar em sítios de diferentes produtividades, problema que foi considerado no programa 
de produç ão para carvalho de Nutto (1999). 
Este problema foi considerado no programa de produç ão para carvalho de Nutto (1999). 
 
 42 
4.2.3.2 Quercus ssp. de Nutto (1999) com enfoque na qualidade da desrama natural – 
um exemplo de um modelo largura da copa e crescimento em diâmetro 
 
espaç o vital
–dimensão e forma
da copa
genetica
–variedade
–sexo
crescimento
 em altura
crescimento
em diâmetro
sítio
–nutrientes
–clima
–balanço hídrico
dinâ mica da poda
–altura comercial
–inserç ão da copa
crescimento
fatores de
influência
qualidade/
poda
qualidade da poda
–diámetrodos galhos
–comprimento dos galhos
–parte inteira com nós
 
FIGURA 4.2 – Definiç ão das hipóteses de trabalho no programa de Nutto (1999). 
 
1) Objetivos 
O objetivo primordial é modelar o crescimento do diâmetro e da poda natural da 
espécie carvalho em sítios com diferentes qualidades. Valendo-se dos modelos devem ser 
desenvolvidas ferramentas de decisão que permitam a prognose e tratamentos diferentes, 
influenciando na qualidade da madeira, bem como sejam aplicáveis em florestas mistas e 
em e em árvores individuais. 
 
2) Hipótese de trabalho 
Há vários fatores externos que influenciam o crescimento (Figura 4.2). Alguns deles 
são fixos ou pouco variáveis (como a qualidade do sítio, a genética e o clima), outros 
podem ser usados para conduzir o crescimento, tal como o espaç o vital. O crescimento em 
diâmetro pode ser influenciado com o regulamento da competiç ão. Por outro lado, o 
crescimento em altura é determinado pela qualidade do sítio. Entre a qualidade da madeira 
(poda natural) e as duas formas de crescimento também existe uma ligaç ão. Assim, pode-se 
 43 
concluir que os fatores mais importantes para a modelagem da dinâmica e da qualidade da 
poda são a competiç ão e a qualidade do sítio. 
 
3) Análise dos fatores biológicos 
Constata-se uma relaç ão estreita entre o tamanho da copa e o crescimento diamétrico 
da árvore. O crescimento em altura depende dos fatores climáticos e das propriedades do 
solo. A dinâmica da poda natural e, conseqüentemente, a qualidade da madeira dependem 
da velocidade com que os galhos morrem, apodrecem e caem, para deixar um fuste limpo, 
no qual se pode acrescentar madeira valiosa. Nesse caso, uma copa maior significa um 
crescimento em diâmetro melhor, mas também galhos mais grossos e inserç ão da copa mais 
baixa. Um sítio de boa qualidade causa um melhor crescimento em altura e, assim, acelera 
o processo da poda natural em conseqüencia dos galhos mais baixos morrerem mais 
rápidamente. 
 
4) Definiç ão dos parâmetros 
Parâmetro Funç ão 
· largura da copa 
· dap, idade 
· altura, idade 
estimar o espaç o vital 
descrever o crescimento em diâmetro 
classificar a qualidade do sítio 
 
5) Estudo preliminar para controlar as hipóteses e verificar a amostragem escolhida 
Nesta pesquisa, amostras de um tamanho fixo de vinte árvores cada garantiam uma fonte 
suficiente de dados para obter resultados estatísticamente representativos. 
 
6) Escolha do material apropriado 
Os modelos devem ser válidos para a Europa Central, para sítios de várias qualidades, 
de idades entre 10 a 45 anos, para Quercus robur e Quercus petraea e também para vários 
tratamentos silviculturais. Sua validade restringe-se à base de dados incorporados no 
estudo. 
 
 
 44 
7) Mediç ão dos dados e testes de plausibilidade 
É muito importante que as mediç ões sejam feitas com máxima precisão e que os 
dados sejam controlados com testes de plausibilidade. 
 
8) Análise estatística dos parâmetros, concepç ão dos modelos e modelagem 
No presente exemplo, a análise estatística mostrou que, com os parâmetros dap 
(diâmetro à altura de 1,30 m), idade e altura, são muito fáceis de medir, podendo ser 
estabelecidas as seguintes funç ões: 
Largura da copa = 0,16 + 0,226*dap - 0,026*idade 
(Equaç ão 4.1) 
 
Inserç ão da copa = -0,96 + 0,74*altura - 0,247*dap + 0,064*idade 
(Equaç ão 4.2) 
 
Altura do primeiro galho morto = -2,27 + 0,166*idade + 0,29*altura - 0,149*dap 
(Equaç ão 4.3) 
 
Equaç ão 4.1 
A largura da copa é um parâmetro que pode ser usado para descrever o espaç o vital 
necessário para uma árvore, a fim de obter um certo incremento em diâmetro, 
exemplificando: 
Uma árvore com 20 cm de dap na idade de 40 anos mostra uma largura de copa de 
0,16 + 0,226 * 20 cm – 0,026 * 40 anos = 3,64 m. A projeç ão da copa (calculado como 
círculo) então é: P/4 * 3,64² = 10,4 m². 
O resultado mostra que essa árvore precisa de uma área de copa de 10,4 m² na idade 
de 40 anos, para ter o diâmetro desejado de 20 cm. Para acelerar ou diminuir o crescimento 
diamétrico, o espaç o vital deve ser maior ou menor respectivamente, o que pode ser 
regulado por desbastes. É obvio que, considerando as regras biológicas, o crescimento só 
pode ser conduzido entre certos limites. A participaç ão do parâmetro idade no modelo pode 
ser explicada com ajuda da Figura 4.3. 
 
 45 
 
FIGURA 4.3 – Projeç ão horizontal da copa de dois carvalhos com o mesmo dap mas idades 
diferentes. 
 
Já existem muitos trabalhos sobre a relaç ão entre o dap e a largura da copa. Incluindo 
a idade nessa funç ão, pode ser explicada uma boa parte da variaç ão causada por esse fator. 
Uma árvore mais jovem precisa de uma copa bem maior para alcanç ar um certo diâmetro 
que uma árvore idosa; esta produz o mesmo diâmetro em muito mais tempo com uma copa 
pequena. 
A qualidade do sítio não tem influência na funç ão estabelecida. Se duas árvores da 
mesma idade têm o mesmo diâmetro da copa, elas também têm o mesmo dap. Mas também 
deve ser considerado que a expansão máxima da copa numa certa idade e, portanto, o 
incremento radial máximo, depende da qualidade do sítio (Figura 4.3). 
 
-7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
15.0
Carvalho 2,
180 anos de idade,
dap=75cm
Carvalho 1, 95 anos de
idade, dap=75cm
Posiç ão e diâmetro do
fuste (ampliaç ão 3x)
Projeç ão horizontal
da copa
 
 46 
dc = 2,7 m
alt = 18,4 m
alt = 12,2 m
da
p
ap = 15,4 cm
dc = 4,8 m
IIdade = 35a
dGz = 8
dGz = 5
dap= 24,5 cm
ir 1,3= 3,5 mmir 1,3= 2,2 mm
índice
do sítio
máximo
Æir1,3 [mm] dos
10 mais fortes
arvores (35 a)
dGz100=5 2,2 (2,6)
dGz100=6 2,6 (2,8)
dGz100=7 3,2 (3,5)
dGz100=8 3,5 (3,9)
dap dap
 
FIGURA 4.4 – Relaç ão entre a qualidade do sítio e a expansão máxima da copa. 
Comparando duas árvores solitárias, em sítios de qualidades diferentes, não 
há influência apenas no crescimento em altura, mas também na expansão 
máxima da copa. 
 
Equaç ões 4.2 e 4.3 
Os modelos, para descrever a dinâmica da poda natural, contêm os parâmetros dap, 
idade e altura. O dap numa certa idade coincide com o crescimento em diâmetro que pode 
ser manipulado por desbastes. A altura que a árvore alcanç a numa idade determinada 
geralmente é usada para classificar a qualidade do sítio (veja acima). A dinâmica da poda 
natural e, conseqüentemente, também a qualidade da madeira dependem do crescimento de 
diâmetro, o qual pode ser influenciado por intervenç ões silviculturais e pelo crescimento 
em altura. Isso indica, mais uma vez, que o ú nico meio de influenciar na qualidade de uma 
árvore é a intervenç ão no seu espaç o vital. 
 
9) Avaliaç ão e comparaç ão dos modelos já existentes com dados de outros trabalhos 
Neste trabalho, os modelos foram comparados com tabelas e programas de produç ão 
já existentes, para fazer um teste de validade e verificar os resultados. 
 47 
10) Ferramentas de decisão – o programa de produç ão 
O seguinte programa de produç ão (Tabela 4.9) é capaz de servir como ferramenta de 
decisão para produzir madeira de qualidade, considerando o crescimento em diâmetro e o 
crescimento em altura (qualidade do sítio). 
 
TABELA 4.9 – Programa de produç ão para Quercus ssp. (Nutto, 1999). Ferramenta de 
decisão para a conduç ão do crescimento em diâmetro baseado no espaç o 
vital necessário por cada "árvore-F" para manter um determinado incremento 
de diâmetro no próximo período entre dois desbastes. 
 dap [cm] com 
ir1,3 [mm] 
distâ ncia média de árvore a 
árvore [m] com ir1,3 [mm] 
Idade 
[anos] 
 
1,5 
 
2 
 
2,5 
 
33,5 
 
1,5 
 
2 
 
2,5 
 
3 
 
3,5 
15 4,5 6 7,5 9 10,5 1,0 1,3 1,7 2,1 2,5 
20 6 8 10 12 14 1,1 1,7 2,1 2,7 3,4 
25 7,5 10 12,5 15 17,5 1,3 2,1 2,7 3,3 4,1 
30 9 12 15 18 21 1,5 2,5 3,3 4,1 4,9 
35 10,5 14 17,5 21 24,5 1,9 2,7 3,7 4,7 5,3 
40 12 16 20 24 28 2,2 3,1 4,3 5,3 6,5 
45 13,5 18 22,5 27 31,5 2,4 3,5 4,7 5,9 7,3 
 
Essa ferramenta deve ser usada junto com a Tabela 4.9 que indica o incremento 
diamétrico máximo em sítios de diferentes qualidades. Num sítio com o índice dGz100 = 5 
não será possível produzir uma árvore com um incremento radial superior a 2,2 mm. 
TABELA 4.10 – Incremento radial máximo (ir1,3) em sítios de diferentes qualidades 
(dGz100 = índice de sítio). 
 dGz100=5 dGz100=6 dGz100=7 dGz100=8 
ir1,3 [mm] máximo até a 
idade de 35 anos 
2,2 2,6 3,2 3,5 
 
Se as árvores são manejadas por um tratamento conforme Tabela 4.9, a poda natural 
pode ser estimada com a ajuda dos modelos “inserç ão da copa” (equaç ão 4.2) e “altura do 
primeiro galho morto” (equaç ão 4.3). Na Figura 4.5 é dado um exemplo para um sítio com 
 48 
o índice 6, com duas variaç ões de incremento radial. Nota-se, que um crescimento 
diamétrico mais rápido causa uma poda natural menos dinâmica e, assim, leva a uma pior 
qualidade de madeira. O usuário deve ponderar entre alcanç ar o diâmetro-meta num 
período de rotaç ão mais curto ou optar por uma poda natural forç ada. 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
10 15 20 25 30 35 40 45
h dGz 6
 ic,ir =1,5mm
 ic, ir=2,5mm
 1.gm, ir=1,5mm
 1.gm, ir=2,5mm
Altura [m]
 Idade[anos] 
FIGURA 4.5 – Altura total (segundo a altura dominante do dGz100 = 6 das tabelas de 
produç ão de Jüttner, dGz 6), altura da inserç ão da copa (ic) e a altura 
comercial (gm), para incrementos radiais de 1,5 e 2,5 mm/ano. 
Para prognosticar a parte interna da madeira com nós, aplicando diferentes 
tratamentos, foram gerados modelos que são capazes de estimar o volume da madeira de 
alta qualidade (Fig. 4.6). Assim o usuário tem a opç ão de avaliar os resultados de um 
tratamento antes de aplicá–lo. 
 
Descriç ão resumida do programa: 
· Tabela com a distância de árvore à árvore para o crescimento de um diâmetro desejado; 
· consideraç ão dos limites para o crescimento em diâmetro para sítios de diferentes 
qualidades; 
 49 
· intervenç ões orientadas no crescimento da copa (ligaç ão estreita entre diâmetro na 
altura do peito e largura da copa); 
· desbaste seletivo com enfoque nas árvores futuras; 
· critérios de seleç ão: vitalidade e qualidade (desrama natural), distribuiç ão; 
· válido para os sítios da qualidade dGz100 5 a 8 das tabelas de produç ão de 
Baden-Württemberg (Alemanha); 
§ gráficos de decisão para a poda natural para várias intensidades de intervenç ões e 
qualidades de sítios; 
§ gráficos para estimar a qualidade interna da madeira (parte com nós). 
40 30 20 10 0 10 20 4030
Raio [cm]
8
7
6
5
4
3
1
2
altura [m]
ir=3.5 ir=2.5ir=1.5
 Fuste
 Parte interna
com nó s para
diferentes
crescimentos de
diâ metro
 
 
FIGURA 4.6 – Modelo para estimar a qualidade interna com nós, dependendo do 
crescimento radial (tamanho da copa) e do crescimento em altura (qualidade do 
sítio, índice do sítio dGz100 = 6). O diâmetro-meta de 60 cm pode ser alcanç ado 
dentro de 200 anos (ir1,3 = 1,5 mm/a), 120 anos (ir1,3 = 2,5 mm/a) ou 85 anos 
(ir1,3 = 3,5 mm/a). 
 
 
 50 
Exercícios capitulo 4 
 
1) Complete as tabelas usando o modelo 
Largura da copa = 0,16 + 0,226*d1,3 – 0,026*idade 
 
 Largura da 
copa 
[m] 
Idade 
 
[anos] 
Dap 
 
[cm] 
Ir1,3 
 
[mm/ano] 
árvores/ha 
(área coberta pelo 
dossel = 80 %) 
Carvalho 1 2,0 20 
Carvalho 2 2,0 35 
 
 Ir1,3 
 
[mm/ano] 
Idade 
 
[anos] 
Dap 
 
[cm] 
Largura da 
copa 
[m] 
árvores/ha 
(área coberta pelo 
dossel = 80%) 
Carvalho 1 2,5 40 
Carvalho 2 3,7 20 
 
 Largura da 
copa 
[m] 
Dap 
 
[cm] 
Ir 
 
[mm/ano] 
Idade 
 
[anos] 
árvores/ha 
(área coberta pelo 
dossel = 80%) 
Carvalho 1 2,5 15,0 
Carvalho 2 3,2 18,0 
 
2) Um povoamento de carvalho localiza-se num sítio com o índice dGz100 = 6. 
· Qual é o incremento radial máximo que um carvalho pode atingir nos primeiros 35 anos 
num tal sítio? 
· Calcule para esse caso as seguintes grandezas para a idade de 35 anos: dap, largura da 
copa, nú mero de árvores por hectare (cobertura pelo dossel 75%), inserç ão da copa e 
primeiro galho morto. 
(Use as equaç ões 4.1, 4.2 e 4.3. A altura na idade de 35 anos pega da figura 4.5.) 
3) Calcule para as duas variaç ões de crescimento (1,5 e 2,5 mm/anos) os nú meros de 
árvores que cabem num hectare (cobertura pelo dossel = 70%) e a distância média de 
árvore a árvore. 
 
 51 
5 Modelos para avaliar o impacto de fatores ambientais no crescimento 
de árvores 
5.1 Fontes de dados 
Para a investigaç ão do impacto de fatores ambientais no crescimento são acessíveis as 
seguintes fontes de dados: 
1) Dados de árvores/análise de tronco (análise retrospetiva); 
2) dados de parcelas e experimentos/ensaios; 
3) dados de inventários; 
4) dados do meio ambiente. 
 
Todas essas fontes de dados têm suas características. 
1) Análise retrospectiva 
Dados da análise de árvores podem ser oriundos do monitoramento de árvores ou 
povoamentos, mas também da análise retrospectiva do crescimento de árvores (anéis anuais 
e brotaç ões). Alteraç ões no crescimento radial, em curto prazo, podem ser continuamente 
levantadas com dendrômetros. Com os métodos retrospectivos, é possível reconstruir o 
crescimento com dissoluç ão anual. Métodos dendrocronológicos permitem datar amostras 
até muito longe no passado. Becker (1993), na Alemanha, estabeleceu uma cronologia de 
carvalho com 10.000 anos. Com um fator de forma conhecido e o crescimento em altura 
junto com a análise do crescimento radial, é possível reconstruir o crescimento em volume 
das árvores individuais. O método de análise de tronco é muito oneroso quanto ao tempo e 
leva a destruiç ão das amostras. Mas, os dados obtidos geralmente são mais precisos do que 
dados oriundos de levantamentos periódicos de parcelas permanentes ou inventários. 
Spiecker (1992) mostrou que é quase impossível encontrar árvores individuais que 
representam – para um período mais longo – o desenvolvimento de um povoamento. 
 
Os anéis anuais podem ser caracterizados pelos seguintes critérios: 
PARÂ METROS ANATÔMICOS 
Macroscopicamente: largura de anéis, incremento radial, largura do lenho 
primaveril e tardio 
 52 
Microscopicamente: nú mero de células, espessura de células, diâmetros dos vasos, 
lenho juvenil, lenho adulto 
PARÂ METROS DE DENSIDADE 
Densidade máxima, mínima 
Densidade do lenho primaveril e tardio 
PARÂ METROS DE ISÓTOPOS 
14C (radiocarbono) 
relaç ões de isótopos estáveis (13C/12C) 
PARÂ METROS QUÍMICOS 
elementos de nutriç ão (N, Ca, K etc.) 
metais pesados (Mn, Cu, Zn) 
 
2) Parcelas permanentes 
Na Europa, há 150 anos, já haviam sido estabelecidas parcelas permanentes para 
estudar a produtividade de espécies florestais (produç ão), o impacto de tratamentos 
florestais como desbaste e o crescimento de diferentes proveniências, entre outros. A 
vantagem dessa fonte de dados e o relacionamento com a área são o conhecimento preciso 
da história dos povoamentos. Como desvantagens, muitas vezes, são mencionadas a 
carência de adequados delineamentos estatísticos (falta de repetiç ões, de representatividade 
espacial), e, além disso, a falta de uma dissoluç ão anual dos dados. 
Em parcelas permanentes na Europa