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Problemas de Força Central).pdf

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA – UESB 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS– DCET 
DISCIPLINA: Mecânica Clássica I 
PROFESSOR: Jorge Anderson Paiva Ramos 
CONTEÚDO: Problemas de Força Central para Dois Corpos 
CURSO: Licenciatura em Física 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 7 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE!!!: 
A lista de Exercícios valerá 2,0 (dois) pontos se for entregue, TODA 
respondida CORRETAMENTE, impreterivelmente até o dia da avaliação da III unidade. 
 
 
1) Obtenha a Lagrangiana para um projétil (livre da resistência do ar) em termos de suas coordenadas 
Cartesianas (x,y,z) com z medido verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange e mostre 
que elas são exatamente o que você esperava para as equações de movimento. 
 
2) Obtenha a Lagrangiana para uma partícula movendo-se em uma dimensão ao longo do eixo x e sujeita à 
força 𝐹 = −𝑘𝑥 (com k positivo). Determine a equação de Lagrange do movimento e resolva-a. 
 
3) Considere uma massa m movendo-se em duas dimensões com energia potencial 𝑈(𝑥, 𝑦) =
1
2
𝑘𝑟2, onde 
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2. Obtenha a Lagrangiana, usando coordenadas x e y, e determine as duas equações de 
movimento de Lagrange. Descreva as suas soluções. 
 
4) Considere uma massa m movendo-se em uma rampa, sem atrito, que tem uma declividade com ângulo  
com a horizontal. Obtenha a Lagrangiana em termos da coordenada x, medida horizontalmente através da 
rampa e da coordenada y, medida para baixo da rampa. (Trate o sistema como bidimensional, mas inclua a 
energia potencial gravitacional.) Determine as duas equações de Lagrange e mostre que elas são o que você 
esperava. 
 
5) Considere duas partículas movendo-se sem vínculos em três dimensões, com energia potencial 𝑈(𝑟1, 𝑟2). 
(a) Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada 
partícula. (b) Obtenha a Lagrangiana ℒ(𝐫1, 𝐫2, �̇�1, �̇�2) = 𝑇 − 𝑈 e mostre que as seis equações de Lagrange são 
as mesmas que as seis equações de Newton do item (a). 
 
6) Duas partículas de massas m1 e m2 estão conectadas por uma mola, de massa desprezível e comprimento 
natural L e com constante de força k. Inicialmente, m2 está em repouso sobre a mesa e estou segurando m1 
verticalmente acima de m2 a uma altura L. No instante t=0, projeto m1 verticalmente para cima com 
velocidade inicial vo. Determine a posição das duas massas para qualquer instante de tempo t subsequente 
(antes de qualquer uma das massas retornar à mesa) e descreva o movimento. 
 
7) Usando a Lagrangiana ℒ =
1
2
𝑀�̇�2 + (
1
2
𝜇�̇�2 − 𝑈(𝑟)), obtenha as três equações de movimento para as 
coordenadas relativas x, y e z e mostre claramente que o movimento da posição relativa r é o mesmo que o 
de uma única partícula com posição r, energia potencial U(r) e massa igual à massa reduzida . 
 
8) Duas massas m1 e m2 se movem em um plano e interagem por uma energia potencial 𝑈(𝑟) =
1
2
𝑘𝑟2. 
Obtenha a Lagrangiana em termos do CM e posições relativas R e r e determine as equações de movimento 
para as coordenadas X, Y e x,y. Descreva o movimento e determine a frequência do movimento relativo. 
 
9) (a) Examinando a energia potencial efetiva 𝑈𝑒𝑓(𝑟) = −
𝐺𝑚1𝑚2
𝑟
+
ℓ2
2𝜇𝑟2
, determine o raio para o qual um 
planeta (ou cometa), com momento angular ℓ, pode orbitar em torno do Sol em uma órbita circular com raio 
fixo. (b) Mostre que esta órbita circular é estável, no sentido de que um pequeno empurrão radial causará 
apenas uma pequena oscilação radial. Mostre que o período dessas oscilações é igual ao período orbital do 
planeta. 
10) Duas partículas cuja massa reduzida é  interagem via uma energia potencial 𝑈 =
1
2
𝑘𝑟2, onde r é a 
distância entre elas. (a) Faça um esboço ilustrando U(r), a energia potencial centrífuga Ucf(r) e a energia 
potencial efetiva Uef(r). (b) Determine a separação de “equilíbrio” ro, a distância que as duas partículas 
podem circular uma a outra com constante r. (c) Fazendo uma expansão em série de Taylor do Uef(r) em 
torno do ponto de equilíbrio ro e negligenciando todos os termos em (r-ro)
3 e mais elevados, determine a 
frequência das pequenas oscilações próximas da órbita circular se as partículas forem perturbadas um pouco 
da separação ro. 
 
11) Na dedução da terceira lei de Kepler, fizemos uma aproximação baseada no fato de que a massa do Sol 
MS era muito maior do que a massa m do planeta. Mostre que a lei deve, na verdade, ser expressa por 𝜏2 =
[
4𝜋2
𝐺(𝑀𝑠+𝑚)
] 𝑎3 e, portanto, que a “constante” de proporcionalidade é na verdade um pouco diferente para 
diferentes planetas. Sabendo que a massa do planeta mais pesado (Júpiter) é cerca de 2 × 1027kg, enquanto 
MS é cerca de 2 × 1030kg (e alguns planetas tem massas de várias ordens de magnitude menor do que a de 
Júpiter), por qual percentagem você espera que a “constante” na terceira lei de Kepler varie dentre vários 
planetas? 
 
12) Um satélite da Terra é observado no perigeu a 250 km acima da sua superfície e viajando a cerca de 
8500 m/s. Determine a excentricidade de sua órbita e sua altitude acima da Terra no apogeu. 
 
13) Considere um cometa que passa através de seu afélio com uma distância rmáx do Sol. Imagine que, 
mantendo rmax fixo, de alguma forma, fazendo o momento angular ℓ cada vez menor, embora não 
exatamente zero; ou seja, fazendo ℓ → 0. Use as 𝑐 =
ℓ2
𝛾𝜇
 , 𝑟𝑚𝑖𝑛 =
𝑐
1+𝜖
 e 𝑟𝑚á𝑥 =
𝑐
1−𝜖
 para mostrar que nesse 
limite a excentricidade 𝜖 da órbita elíptica tende a 1 e que a distância de maior aproximação rmin tende a 
zero. Descreva a órbita com rmáx fixo, mas ℓ muito pequeno. Qual é o semi-eixo maior a? 
 
14) Mostre que a validade das duas primeiras leis de Kepler, para qualquer corpo orbitando o Sol, requer que 
a força (assumida como conservativa) do Sol sobre qualquer corpo seja central e proporcional a 1/r2. 
 
15) A órbita geral de Kepler é dada em coordenadas polares pela expressão 𝑟(𝜙) =
𝑐
1+𝜖 cos 𝜙
. Reescreva essa 
equação em coordenadas Cartesianas para os casos em que 𝜖 = 1 e 𝜖 > 1. Mostre que, se 𝜖 = 1, você obtém 
uma parábola e ser 𝜖 > 1, obtém uma hipérbole. Para essa última, identifique as constantes 𝛼, 𝛽 e 𝛿 em 
termos de 𝑐 e 𝜖.

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