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26229281 Exercicios Resolvidos Geometria Euclidiana Plana Wenes

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Geometria Euclidiana Plana Diego Alves Oliveira - UESB
Livro: Geometria Euclidiana Plana - SBM
(Joa˜o Lucas Marques Barbosa)
diegoalvez@pop.com.br
Compilado dia 21/01/2015
O livro do Joa˜o Lucas de Geometria Euclidiana Plana a-
presenta uma Geometria que quase beira a inutilidade. Publicado
inicialmente em 1995 vem sendo usado ate´ hoje, quase 20 anos
depois, nos cursos de licenciatura em matema´tica.
O documento a seguir traz algumas respostas dessa obra,
embora ainda na˜o esteja completo devido a falta de tempo. Pode
haver tambe´m uma ou outra passagem obscura, ou mesmo va´rios
erros de portugueˆs. Contudo lembre-se da dificuldade em sentar-se
na frente de um computador e digitar por horas textos em LATEX
e desenhos em Postscript. Se o leitor identificar algum problema
desse tipo e/ou mesmo quiser contribuir de alguma forma, re-
solvendo algum exerc´ıcio ou refazendo algum desenho, sinta-se a
vontade para me escrever por e-mail.
EXERCI´CIO PAGINA 7
1. Sobre uma reta marque quatro pontos A, B,C e D, em ordem, da esquerda para a direita.
Determine:
a) AB ∪ BC
b) AB ∩ BC
c) AC ∩ BD
d) AB ∩ CD
e) SAB ∩ SBC
f) SAB ∩ SAD
g) SCB ∩ SBC
e) SAB ∪ SBC
Soluc¸a˜o: a) AC b) B c) BC d) ∅ e) SBC f) SAB g) BC h) SAB
2. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no
plano? E um conjunto de 4 retas do plano?
Soluc¸a˜o:
1
Geometria Euclidiana Plana Diego Alves Oliveira - UESB
Na pior das hipo´teses teremos 3 retas r1, r2 e r3 que sera˜o distintas. Assim formara˜o pontos
Pij de intercessa˜o conforme indicado na tabela abaixo:
• r1 r2 r3
r1 – P12 P13
r2 P21 – P23
r3 P31 P32 –
A tabela possui treˆs linhas e treˆs colunas logo o numero de ce´lulas e´ 3 · 3 = 9.
Os elementos das diagonais sa˜o nulos (pois as retas na˜o podem se interceptar com elas mes-
mas), assim o numero de pontos de intercessa˜o passa a ser 9− 3
Como os pontos P12 e P21 sa˜o o mesmo ponto de intercessa˜o, nesse caso entre as retas r1 e
r2, e a mesma situac¸a˜o ocorre para os demais pontos enta˜o o numero de pontos de intercessa˜o
distintos sa˜o:
6
2
=
3(3− 1)
2
= 3
Se tive´ssemos n retas com racioc´ınio ana´logo chegar´ıamos a formula n(n−1)2 onde n e´ o numero
de retas.
Assim para n = 3 temos 3 pontos e para n = 4 temos 6 pontos.
3. Prove o item (b) da proposic¸a˜o (1.4).
Soluc¸a˜o:
Definido as semi-retas tem se:
SAB = {AB e os pontos X| B esta´ entre A e X}
SBA = {BA e os pontos X ′| A esta´ entre B e X ′}
Como AB = BA enta˜o se torna evidente que AB ∈ SAB ∩ SBA. Agora imagine um ponto D
tal que D ∈ SAB ∩ SBA porem na˜o pertenc¸a a AB. Pode ocorrer enta˜o dois casos:
• A-B-D: (B esta´ entre A e D), nesse caso D ∈ SAB mas D /∈ SBA o que contraria
a hipo´tese.
• D-A-B: nesse caso D ∈ SBA mas D /∈ SAB que novamente contraria a hipo´tese.
Ou seja, na˜o existe um ponto D /∈ AB e que tambe´m pertenc¸a a SAB∩SBA. Conclui-se assim
que SAB ∩ SBA = AB.
4. Prove a afirmac¸a˜o feita, no texto, de que existem infinitos pontos em um segmento.
Soluc¸a˜o:
Dada uma reta r com os pontos A e B distintos, suponha por absurdo que entre A e B exista
um conjunto finito de pontos. Por definic¸a˜o um conjunto e´ finito quando pode ser colocado
em correspondeˆncia biun´ıvoca com o conjunto N. Assim teremos que AB = {P1, P2, ..., Pn}, que
significa que AB e´ um conjunto com n elementos.
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Geometria Euclidiana Plana Diego Alves Oliveira - UESB
Tomando agora um ponto Pk (k ≤ n) e o ponto Pk−1 pelo axioma II2 existe um ponto Pr,
(k − 1 < r < k) tal que Pk−1 − Pr − Pk o que seria um absurdo pois nesse caso AB teria n + 1
elementos.
5. Sejam P = {a, b, c}, m1 = {a, b}, m2 = {a, c}, m3 = {b, c}. Chame P de plano e m1, m2 e
m3 de retas. Verifique que nesta “geometria” vale o axioma I2.
Soluc¸a˜o:
Basta observar que todas as combinac¸o˜es poss´ıveis entre os 3 pontos do plano P, tomados
dois a dois pertence a uma das treˆs retas dessa geometria. Por exemplo, as combinac¸o˜es poss´ıveis
sa˜o: ab, ac, ba, bc, ca e cb. Note que por ab passa somente uma reta, a reta m1. Do mesmo
modo pelos demais pares de pontos passam apenas uma das retas citadas (m1,m2,m3). O que
mostra que nessa geometria vale o axioma I2.
6. Os exemplos mais simples de conjuntos convexos sa˜o o pro´prio plano e qualquer semi-plano.
Mostre que a intersec¸a˜o de dois semi planos e´ um convexo.
Soluc¸a˜o:
Imagine os semi planos S1, S2 e S3 tal que S3 = S1∩S2, tomando dois pontos P1 e P2 ambos
pertencentes a S3 enta˜o:
P1, P2 ∈ S1, S2
Seja S1 e S2 convexos enta˜o P1P2 ∈ S1, S2 e portanto pertence a intersec¸a˜o, assim S3 tambe´m
e´ convexo.
7. mostre que a intercessa˜o de n semi-planos e´ ainda um convexo.
Soluc¸a˜o:
Considere os semi planos α1, α2, ..., αn todos convexos. Seja B = {α1∩α2∩, ...,∩αn} considere
os pontos X e Y pertencentes a B. Isso implicara´ no fato de que X,Y pertence a α1, α2, ..., αn
como todos esses semi-planos sa˜o convexos enta˜o o segmento XY pertence a α1, α2, ..., αn logo
tambe´m pertence a intercessa˜o e portanto tambe´m pertencem a B, o que mostra que B ainda e´
convexo.
8. Mostre, exibindo um contra exemplo, que a unia˜o de convexos pode na˜o ser um convexo.
Soluc¸a˜o: Os quatro retaˆngulos (em cinza) abaixo sa˜o figuras convexas e a unia˜o deles formam
uma figura com uma cavidade (parte em branco) e portanto coˆncava.
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Geometria Euclidiana Plana Diego Alves Oliveira - UESB
A B
C D
9. Treˆs pontos na˜o colineares determinam treˆs retas. Quantas retas sa˜o determinadas por
quatro pontos sendo que quaisquer treˆs deles sa˜o na˜o colineares?
Soluc¸a˜o:
Analogamente ao exerc´ıcio treˆs construiremos a seguinte tabela, onde rij e´ a reta determinada
pelos pontos Pi e Pj .
• P1 P2 P3
P1 – r12 r13
P2 r21 – r23
P3 r31 r32 –
o numero de retas sera´
3(3− 1)
2
= 3 e para n pontos
n(n− 1)
2
.
10. Repita o exerc´ıcio anterior para o caso de 6 pontos.
Soluc¸a˜o:
Para 6 pontos (n = 6),
6(6− 1)
2
= 15, ter´ıamos 15 retas.
EXERCI´CIO PAGINA 9
1. Discuta a seguinte questa˜o utilizando apenas os conhecimentos geome´tricos estabelecidos,
ate´ agora, nestas notas: “Existem retas que na˜o se iterceptam”?
Soluc¸a˜o:
Sim, retas que sa˜o paralelas como indica a proposic¸a˜o 1.1.
2. Prove que, se uma reta intercepta um lado de um triaˆngulo e na˜o passa por nenhum de
seus ve´rtices, enta˜o ela intercepta tambe´m um dos outros dois lados.
Soluc¸a˜o:
Dado um triaˆngulo ABC e uma reta r, se r intercepta o segmento AB enta˜o A esta´ do lado
oposto a B em relac¸a˜o a reta r. Como por hipo´tese r na˜o passa por C enta˜o C esta´ do lado da
A ou de B.
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Geometria Euclidiana Plana Diego Alves Oliveira - UESB
Se C esta´ do lado de A enta˜o C esta contrario a B e enta˜o r intercepta BC.
Se C esta´ do lado de B enta˜o e´ contrario a A e r intercepta AC
logo sempre intercepta um dos lados.
3. Repita o exerc´ıcio 2 para o caso de 5 e 6 retas. Fac¸a uma conjectura de qual sera´ a resposta
no caso de n retas.
Soluc¸a˜o:
Aproveitando o resultado para n retas ja´ obtido teremos:
Para n = 5 enta˜o
5(5− 1)
2
= 10
Para n = 6 enta˜o
6(6− 1)
2
= 15
4. Mostre que na˜o existe um exemplo de uma “geometria” com 6 pontos, em que sejam
validos os axiomas I1 e I2 e em que todas as retas tenham exatamente 3 pontos.
Axioma I1. Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem a reta e pontos que na˜o
pertencem a` reta.
Axioma I2. Dado dois pontos distintos existe uma u´nica reta que contem esses pontos.
Soluc¸a˜o:
Tomando uma reta r = {P1, P2} por hipo´tese existe um Q1 ∈ P diferente de P1 e P2.
Seja Q2 ∈ P e diferente de P1, P2 e Q1, tambe´m por hipo´tese, temos que Q2 /∈ r pois r
ja´ possui 3 pontos. Logo, existe uma reta s = {P1, Q2} e que contem um ponto Q3 ∈ P com
Q3 6= P1, P2, Q1, Q2.
Agora tome Q4 ∈ P com Q4 6= P1, P2, Q1, Q2, Q3. Novamente por hipo´tese

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