26229281 Exercicios Resolvidos Geometria Euclidiana Plana Wenes
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Geometria Euclidiana Plana Diego Alves Oliveira - UESB
Livro: Geometria Euclidiana Plana - SBM
(Joa\u2dco Lucas Marques Barbosa)
diegoalvez@pop.com.br
Compilado dia 21/01/2015
O livro do Joa\u2dco Lucas de Geometria Euclidiana Plana a-
presenta uma Geometria que quase beira a inutilidade. Publicado
inicialmente em 1995 vem sendo usado ate´ hoje, quase 20 anos
depois, nos cursos de licenciatura em matema´tica.
O documento a seguir traz algumas respostas dessa obra,
embora ainda na\u2dco esteja completo devido a falta de tempo. Pode
haver tambe´m uma ou outra passagem obscura, ou mesmo va´rios
erros de portugue\u2c6s. Contudo lembre-se da dificuldade em sentar-se
na frente de um computador e digitar por horas textos em LATEX
e desenhos em Postscript. Se o leitor identificar algum problema
desse tipo e/ou mesmo quiser contribuir de alguma forma, re-
solvendo algum exerc´\u131cio ou refazendo algum desenho, sinta-se a
vontade para me escrever por e-mail.
EXERCI´CIO PAGINA 7
1. Sobre uma reta marque quatro pontos A, B,C e D, em ordem, da esquerda para a direita.
Determine:
a) AB \u222a BC
b) AB \u2229 BC
c) AC \u2229 BD
d) AB \u2229 CD
e) SAB \u2229 SBC
f) SAB \u2229 SAD
g) SCB \u2229 SBC
e) SAB \u222a SBC
Soluc¸a\u2dco: a) AC b) B c) BC d) \u2205 e) SBC f) SAB g) BC h) SAB
2. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no
plano? E um conjunto de 4 retas do plano?
Soluc¸a\u2dco:
1
Geometria Euclidiana Plana Diego Alves Oliveira - UESB
Na pior das hipo´teses teremos 3 retas r1, r2 e r3 que sera\u2dco distintas. Assim formara\u2dco pontos
Pij de intercessa\u2dco conforme indicado na tabela abaixo:
\u2022 r1 r2 r3
r1 \u2013 P12 P13
r2 P21 \u2013 P23
r3 P31 P32 \u2013
A tabela possui tre\u2c6s linhas e tre\u2c6s colunas logo o numero de ce´lulas e´ 3 · 3 = 9.
Os elementos das diagonais sa\u2dco nulos (pois as retas na\u2dco podem se interceptar com elas mes-
mas), assim o numero de pontos de intercessa\u2dco passa a ser 9\u2212 3
Como os pontos P12 e P21 sa\u2dco o mesmo ponto de intercessa\u2dco, nesse caso entre as retas r1 e
r2, e a mesma situac¸a\u2dco ocorre para os demais pontos enta\u2dco o numero de pontos de intercessa\u2dco
distintos sa\u2dco:
6
2
=
3(3\u2212 1)
2
= 3
Se tive´ssemos n retas com racioc´\u131nio ana´logo chegar´\u131amos a formula n(n\u22121)2 onde n e´ o numero
de retas.
Assim para n = 3 temos 3 pontos e para n = 4 temos 6 pontos.
3. Prove o item (b) da proposic¸a\u2dco (1.4).
Soluc¸a\u2dco:
Definido as semi-retas tem se:
SAB = {AB e os pontos X| B esta´ entre A e X}
SBA = {BA e os pontos X \u2032| A esta´ entre B e X \u2032}
Como AB = BA enta\u2dco se torna evidente que AB \u2208 SAB \u2229 SBA. Agora imagine um ponto D
tal que D \u2208 SAB \u2229 SBA porem na\u2dco pertenc¸a a AB. Pode ocorrer enta\u2dco dois casos:
\u2022 A-B-D: (B esta´ entre A e D), nesse caso D \u2208 SAB mas D /\u2208 SBA o que contraria
a hipo´tese.
\u2022 D-A-B: nesse caso D \u2208 SBA mas D /\u2208 SAB que novamente contraria a hipo´tese.
Ou seja, na\u2dco existe um ponto D /\u2208 AB e que tambe´m pertenc¸a a SAB\u2229SBA. Conclui-se assim
que SAB \u2229 SBA = AB.
4. Prove a afirmac¸a\u2dco feita, no texto, de que existem infinitos pontos em um segmento.
Soluc¸a\u2dco:
Dada uma reta r com os pontos A e B distintos, suponha por absurdo que entre A e B exista
um conjunto finito de pontos. Por definic¸a\u2dco um conjunto e´ finito quando pode ser colocado
em corresponde\u2c6ncia biun´\u131voca com o conjunto N. Assim teremos que AB = {P1, P2, ..., Pn}, que
significa que AB e´ um conjunto com n elementos.
2
Geometria Euclidiana Plana Diego Alves Oliveira - UESB
Tomando agora um ponto Pk (k \u2264 n) e o ponto Pk\u22121 pelo axioma II2 existe um ponto Pr,
(k \u2212 1 < r < k) tal que Pk\u22121 \u2212 Pr \u2212 Pk o que seria um absurdo pois nesse caso AB teria n + 1
elementos.
5. Sejam P = {a, b, c}, m1 = {a, b}, m2 = {a, c}, m3 = {b, c}. Chame P de plano e m1, m2 e
m3 de retas. Verifique que nesta \u201cgeometria\u201d vale o axioma I2.
Soluc¸a\u2dco:
Basta observar que todas as combinac¸o\u2dces poss´\u131veis entre os 3 pontos do plano P, tomados
dois a dois pertence a uma das tre\u2c6s retas dessa geometria. Por exemplo, as combinac¸o\u2dces poss´\u131veis
sa\u2dco: ab, ac, ba, bc, ca e cb. Note que por ab passa somente uma reta, a reta m1. Do mesmo
modo pelos demais pares de pontos passam apenas uma das retas citadas (m1,m2,m3). O que
mostra que nessa geometria vale o axioma I2.
6. Os exemplos mais simples de conjuntos convexos sa\u2dco o pro´prio plano e qualquer semi-plano.
Mostre que a intersec¸a\u2dco de dois semi planos e´ um convexo.
Soluc¸a\u2dco:
Imagine os semi planos S1, S2 e S3 tal que S3 = S1\u2229S2, tomando dois pontos P1 e P2 ambos
pertencentes a S3 enta\u2dco:
P1, P2 \u2208 S1, S2
Seja S1 e S2 convexos enta\u2dco P1P2 \u2208 S1, S2 e portanto pertence a intersec¸a\u2dco, assim S3 tambe´m
e´ convexo.
7. mostre que a intercessa\u2dco de n semi-planos e´ ainda um convexo.
Soluc¸a\u2dco:
Considere os semi planos \u3b11, \u3b12, ..., \u3b1n todos convexos. Seja B = {\u3b11\u2229\u3b12\u2229, ...,\u2229\u3b1n} considere
os pontos X e Y pertencentes a B. Isso implicara´ no fato de que X,Y pertence a \u3b11, \u3b12, ..., \u3b1n
como todos esses semi-planos sa\u2dco convexos enta\u2dco o segmento XY pertence a \u3b11, \u3b12, ..., \u3b1n logo
tambe´m pertence a intercessa\u2dco e portanto tambe´m pertencem a B, o que mostra que B ainda e´
convexo.
8. Mostre, exibindo um contra exemplo, que a unia\u2dco de convexos pode na\u2dco ser um convexo.
Soluc¸a\u2dco: Os quatro reta\u2c6ngulos (em cinza) abaixo sa\u2dco figuras convexas e a unia\u2dco deles formam
uma figura com uma cavidade (parte em branco) e portanto co\u2c6ncava.
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Geometria Euclidiana Plana Diego Alves Oliveira - UESB
A B
C D
9. Tre\u2c6s pontos na\u2dco colineares determinam tre\u2c6s retas. Quantas retas sa\u2dco determinadas por
quatro pontos sendo que quaisquer tre\u2c6s deles sa\u2dco na\u2dco colineares?
Soluc¸a\u2dco:
Analogamente ao exerc´\u131cio tre\u2c6s construiremos a seguinte tabela, onde rij e´ a reta determinada
pelos pontos Pi e Pj .
\u2022 P1 P2 P3
P1 \u2013 r12 r13
P2 r21 \u2013 r23
P3 r31 r32 \u2013
o numero de retas sera´
3(3\u2212 1)
2
= 3 e para n pontos
n(n\u2212 1)
2
.
10. Repita o exerc´\u131cio anterior para o caso de 6 pontos.
Soluc¸a\u2dco:
Para 6 pontos (n = 6),
6(6\u2212 1)
2
= 15, ter´\u131amos 15 retas.
EXERCI´CIO PAGINA 9
1. Discuta a seguinte questa\u2dco utilizando apenas os conhecimentos geome´tricos estabelecidos,
ate´ agora, nestas notas: \u201cExistem retas que na\u2dco se iterceptam\u201d?
Soluc¸a\u2dco:
Sim, retas que sa\u2dco paralelas como indica a proposic¸a\u2dco 1.1.
2. Prove que, se uma reta intercepta um lado de um tria\u2c6ngulo e na\u2dco passa por nenhum de
seus ve´rtices, enta\u2dco ela intercepta tambe´m um dos outros dois lados.
Soluc¸a\u2dco:
Dado um tria\u2c6ngulo ABC e uma reta r, se r intercepta o segmento AB enta\u2dco A esta´ do lado
oposto a B em relac¸a\u2dco a reta r. Como por hipo´tese r na\u2dco passa por C enta\u2dco C esta´ do lado da
A ou de B.
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Geometria Euclidiana Plana Diego Alves Oliveira - UESB
Se C esta´ do lado de A enta\u2dco C esta contrario a B e enta\u2dco r intercepta BC.
Se C esta´ do lado de B enta\u2dco e´ contrario a A e r intercepta AC
logo sempre intercepta um dos lados.
3. Repita o exerc´\u131cio 2 para o caso de 5 e 6 retas. Fac¸a uma conjectura de qual sera´ a resposta
no caso de n retas.
Soluc¸a\u2dco:
Aproveitando o resultado para n retas ja´ obtido teremos:
Para n = 5 enta\u2dco
5(5\u2212 1)
2
= 10
Para n = 6 enta\u2dco
6(6\u2212 1)
2
= 15
4. Mostre que na\u2dco existe um exemplo de uma \u201cgeometria\u201d com 6 pontos, em que sejam
validos os axiomas I1 e I2 e em que todas as retas tenham exatamente 3 pontos.
Axioma I1. Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem a reta e pontos que na\u2dco
pertencem a` reta.
Axioma I2. Dado dois pontos distintos existe uma u´nica reta que contem esses pontos.
Soluc¸a\u2dco:
Tomando uma reta r = {P1, P2} por hipo´tese existe um Q1 \u2208 P diferente de P1 e P2.
Seja Q2 \u2208 P e diferente de P1, P2 e Q1, tambe´m por hipo´tese, temos que Q2 /\u2208 r pois r
ja´ possui 3 pontos. Logo, existe uma reta s = {P1, Q2} e que contem um ponto Q3 \u2208 P com
Q3 6= P1, P2, Q1, Q2.
Agora tome Q4 \u2208 P com Q4 6= P1, P2, Q1, Q2, Q3. Novamente por hipo´tese