PO 2018-2 - Exercício 3 Resolução (1)

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Pesquisa Operacional
	PO 2018-2 - Exercício 3 Resolução
 Objetivo 
Exercitar a leitura de uma situação-problema e encontrar a solução ótima. 
Responda às seguintes questões para a situação-problema proposta 
a) Elaborar o quadro-resumo. 
b) Identificar as variáveis de decisão. 
c) Definir a função-objetivo. 
d) Definir as restrições. 
e) Elaborar os gráficos. 
f) Encontrar a região final permissível. 
g) Calcular os valores possíveis. 
h) Encontrar a solução ótima. 
Situação-problema 
Uma fábrica produz dois produtos, A e B. Cada um deles deve ser processado por duas máquinas, M1 e M2. Devido à programação de outros produtos, que também utilizam essas máquinas, a máquina M1 tem 24 horas de tempo disponível para os produtos A e B, enquanto a máquina M2 tem 16 horas de tempo disponível. Para produzir uma unidade do produto A, gastam-se 4 horas em cada uma das máquinas M1 e M2. Para produzir uma unidade do produto B, gastam-se 6 horas na máquina M1 e 2 horas na máquina M2. Será produzida, no mínimo, uma unidade de A e de B. Cada unidade vendida do produto A gera um lucro de R$ 80 e cada unidade do produto B, um lucro de R$ 60. Existe uma previsão máxima de demanda para o produto B de 3 unidades, não havendo restrições quanto à demanda do produto A. Deseja-se saber quantas unidades de A e de B devem ser produzidas, de forma a maximizar o lucro e, ao mesmo tempo, obedecer a todas as restrições desse enunciado. 
a) Elaborar o quadro-resumo 
Em toda formulação de uma situação-problema é conveniente sintetizar os dados por meio de um quadro-resumo, que facilita a consulta e evita ler, a todo momento, o enunciado original. Nessa situação-problema, um arranjo conveniente é apresentado no seguinte quadro-resumo:
 
b) Identificar as variáveis de decisão 
As variáveis de decisão da situação-problema são facilmente reconhecíveis: 𝑥≥1 →𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 "𝐴" 𝑦≥1 →𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 "𝐵" 
c) Definir a função-objetivo 
A função-objetivo é uma expressão formada por uma combinação linear das variáveis de decisão x e y, que são os valores procurados serão a solução da situação-problema. 
É necessário maximizar o lucro na venda de x unidades de A e y unidades de B, ou seja, maximizar o resultado numérico da seguinte expressão 80x + 60y já que cada unidade de A gera um lucro de R$ 80 e cada unidade de B gera um lucro de R$ 60. 𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧=80𝑥+60𝑦
d) Definir as restrições 
As restrições dizem respeito à escassez de recursos, por um lado, e a limites impostos sobre as ações na tentativa de maximizar a função objetivo. 
Existe um número limitado de horas de máquina, tanto para M1 como para M2, ou seja, não se pode gastar mais de 24 horas na máquina M1 ou mais de 16 horas na máquina M2. 
As restrições sempre devem ser colocadas em função de x e y, que são as incógnitas da situação-problema. 
Cada unidade de A consome 4 horas de trabalho na máquina M1 e cada unidade de B consome 6 horas de trabalho nessa mesma máquina, ou seja, horas consumidas na máquina M1 = 4x + 6y. 
Por sua vez, cada unidade de A consome 4 horas de trabalho na máquina M2, e cada unidade de B consome 2 horas de trabalho nessa mesma máquina, ou seja, horas consumidas na máquina M2 = 4x + 2y. 
4𝑥 + 6𝑦 ≤ 24 → 𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑀1 
4𝑥 + 2𝑦 ≤ 16 → 𝑀á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑀2 
Adicionalmente, não podem ser fabricadas mais de 3 unidades do produto B, pois sua demanda máxima é essa. Consequentemente: 
𝑦 ≤ 3 → 𝐷𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 "𝐵" 
Existem, por último, as chamadas condições de não negatividade, segundo as quais as variáveis de decisão não podem assumir valores negativos (não há sentido físico para que isso aconteça), ou seja: 𝑥 > 0 → 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑦 > 0 → 𝑄𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
ATENÇÃO: Não está sendo considerando a igualdade a zero, tendo em vista que na situação-problema está determinado a produção de pelo menos uma unidade de cada produto. 
e) Elaborar os gráficos 
Toda a solução gráfica é realizada por meio de um conjunto de dois eixos ortogonais, cada qual representando uma das variáveis de decisão, ou seja, haverá um eixo para a variável x (quantidade a fabricar do produto A) e outro, perpendicular a ele, para a variável y (quantidade a fabricar do produto B). 
Cada uma das restrições será representada por uma reta no sistema de eixos e pela definição de uma região permissível de soluções. 
A análise da região final, comum a todas as restrições, dará a solução final ao problema. Em nosso caso, trata-se de grafar três retas e determinar três regiões permissíveis iniciais de solução.
Primeira restrição 
A inequação diz respeito ao número de horas que pode ser gasto na máquina M1, (no máximo, 24) deve ser transformada em uma equação: 4𝑥 + 6𝑦 = 24 
	A partir dessa equação é possível determinar duas coordenadas utilizadas na representação da reta no sistema de eixos ortogonais:
 Se y = 0, então: 
4𝑥 + 6(0) = 24 
4𝑥 = 24 
𝑥 = 24 4 
𝑥 = 6 
	
Se x = 0, então: 
4(0)𝑥 + 6𝑦 = 24 
6𝑥 = 24 
𝑦 = 24 6 
𝑦 = 4 
	𝑥 = 6; 𝑦 = 0 
	𝑥 = 0; 𝑦 = 4 
A região destacada no gráfico a seguir é chamada região permissível ou região possível dessa restrição:
Segunda restrição 
Diz respeito ao número máximo de horas disponíveis na máquina M2, (no máximo, 16) deve ser transformada em uma equação: 
4𝑥 + 2𝑦 = 16 
	A partir dessa equação é possível determinar duas coordenadas utilizadas na representação da reta no sistema de eixos ortogonais: 
Se y = 0, então: 
4𝑥 + 2(0) = 16 
4𝑥 = 16 
𝑥 = 16 4 
𝑥 = 4 
	
Se x = 0, então: 
4(0)𝑥 + 2𝑦 = 16 
2𝑥 = 16 
𝑦 = 16 2 
𝑦 = 8 
	𝑥 = 4; 𝑦 = 0 
	𝑥 = 0; 𝑦 = 8 
Demais restrições 
As últimas restrições (chamadas de condições de não negatividade) informam que é exigida, no mínimo, 1 unidade de cada produto e que a demanda máxima do produto B não pode ser superior a 3: 
𝑥 ≥ 1 
𝑦 ≥ 1 
𝑦 ≤ 3 
A região destacada no gráfico a seguir é chamada região permissível ou região possível dessas restrições:
f) Encontrar a região final permissível 
A representação gráfica da região final contendo todas as restrições permite identificar o polígono resultante, conforme ilustrado a seguir:
As restrições delimitadas pelo polígono PQRST (também chamada região permissível) corresponde aos pontos internos ou sobre as retas (pontos extremos) que obedecem simultaneamente a todas as restrições. 
Cada ponto precisa ter as suas coordenadas x e y conhecidas ou calculadas, quando necessário.
Coordenadas conhecidas do ponto P: 
	𝒙 = 𝟏; 𝒚 = 𝟏 
Coordenadas conhecidas do ponto Q, que passa pela restrição da Máquina M2 e possui valor conhecido de y = 1: 
	4𝑥 + 2𝑦 = 16 
4𝑥 + 2(1) = 16 
4𝑥 = 16 − 2 
4𝑥 = 14 𝑥 = 14 4 
𝑥 = 3,5 
	𝒙 = 𝟑, 𝟓; 𝒚 = 𝟏 
Coordenadas conhecidas do ponto R: 
	𝒙 = 𝟑; 𝒚 = 𝟐 
Coordenadas calculadas do ponto S, que passa pela restrição da Máquina M1 e possui valor conhecido de y = 3: 
	4𝑥 + 6𝑦 = 24 
4𝑥 + 6(3) = 24 
4𝑥 = 24 − 18 
4𝑥 = 6 𝑥 = 64 
𝑥 = 1,5 
	𝒙 = 𝟏, 𝟓; 𝒚 = 𝟑 
Coordenadas conhecidas do ponto T: 
	𝒙 = 𝟎; 𝒚 = 𝟑 
g) Calcular os valores possíveis 
A solução ótima da situação-problema está entre os valores possíveis entre os pontos extremos da região permissível. 
Substituindo-se as coordenadas de todos os pontos possíveis na função-objetivo verifica-se quais delas fornece o valor máximo:
h) Encontrar a solução ótima 
O ponto extremo R é, portanto, a solução do nosso problema de maximização, resultando no maior lucro possível (R$ 360). 
As coordenadas neste ponto indicam a necessidade de produzir 3 unidades do Produto “A” (x = 3) e 2 unidades do Produto “B” (y = 2).
Administração – Prof. Fabio Uchoas	Pág. 1 de 5