Aula_12_EMPRESTIMOS_PARTE_2_mat_fin

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Aula
SISTEMA DE AMORTIZAC¸A˜O CONSTANTE – SAC
12
O b j e t i v o s
Ao final desta aula, voceˆ devera´ ser capaz de:
1 entender os conceitos do Sistema de Amortizac¸a˜o
Constante – SAC;
2 interpretar e resolver os problemas propostos.
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Matema´tica Financeira | Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC
INTRODUC¸A˜O
Neste sistema, as amortizac¸o˜es perio´dicas sa˜o constantes e
iguais ao valor do empre´stimo dividido pelo nu´mero de paga-
mentos. Sabemos que os juros incidem sobre o saldo deve-
dor, que nesse caso decrescem de forma constante apo´s o paga-
mento das prestac¸o˜es. Como consequ¨eˆncia do comportamento
da amortizac¸a˜o e dos juros, as prestac¸o˜es perio´dicas e sucessivas
do SAC sa˜o decrescentes em progressa˜o aritme´tica.
SAC – SEM CAREˆNCIA
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�
�
�Exemplo 12.1
Um empre´stimo de R$ 10.000,00 sera´ pago pelo Sistema
de Amortizac¸a˜o Constante em quatro prestac¸o˜es mensais, sem
perı´odo de careˆncia. Se a taxa de juros contratada for de 10% ao
meˆs, construa a planilha.
Soluc¸a˜o: A amortizac¸a˜o mensal e´
Ak =
10.000,00
4
= 2.500,00,1 ≤ k ≤ 4.
Planilha do financiamento
Meses Saldo devedor Amortizac¸a˜o Juros Prestac¸a˜o
(k) (Sdk) (Ak) (Jk = i×Sdk) (Pk = Ak + Jk)
0 10.000,00 - - -
1 7.500,00 2.500.00 1.000,00 3.500,00
2 5.000,00 2.500.00 750,00 3.250,00
3 2.500,00 2.500.00 500,00 3.000,00
4 2.500.00 250,00 2.750,00
TOTAL - 10.000,00 2.500,00 12.500,00
�
´E fa´cil estabelecer expresso˜es gene´ricas de ca´lculo de forma
a determinar cada parcela da planilha do SAC, sem careˆncia.
Amortizac¸a˜o (Ak) : os valores sa˜o iguais em cada perı´odo
k e obtidos por Ak = Sd0n , onde Sd0 e´ o valor do financiamento
(saldo inicial ou principal), n e´ no
¯
de prestac¸o˜es e 1≤ k ≤ n.
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Saldo devedor (Sdk): e´ decrescente em PA (progressa˜o arit-
me´tica) de raza˜o Ak = Sd0n , portanto o saldo do perı´odo k, deno-
tado por Sdk, sera´ dado por
Sdk = Sd0− k×
Sd0
n
, ou
Sdk = Sd0− k×Ak,1≤ k ≤ n.
Juros (Jk): tendo em vista a reduc¸a˜o constante do saldo
devedor, os juros tambe´m diminuem em progressa˜o aritme´tica
cujo 1o
¯
termo e´ i×Sd0 e raza˜o i× Sd0n , logo os juros referentes
ao k-e´simo perı´odo sera˜o dados por
Jk = i×Sd0− (k−1)× i×
Sd0
n
, isto e´,
Jk =
[
Sd0− (k−1)Sd0n
]
× i⇒ Jk =
Sd0
n
× (n− k +1)× i ou
Jk = Ak× (n− k +1)× i.
Prestac¸a˜o (Pk): a k-e´sima prestac¸a˜o sera´ obtida pela soma da
respectiva amortizac¸a˜o com os respectivos juros, ou seja, Pk =
Ak + Jk e, portanto, tem-se que:
Pk =
Sd0
n
+
[
Sd0
n
(n− k +1)
]
× i ⇒
Pk =
Sd0
n
[1+(n− k +1)× i] ou
Pk = Ak[1+(n− k +1)× i].
�
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�Exemplo 12.2
Um empre´stimo no valor de R$ 80.000,00 sera´ liquidado
pelo sistema de amortizac¸a˜o constante em 40 parcelas mensais.
A taxa de juros contratada para a operac¸a˜o e´ de 4% ao meˆs.
Determinar:
a) o valor de cada amortizac¸a˜o mensal;
b) o valor dos juros e da prestac¸a˜o referentes ao 22o
¯
paga-
mento;
c) o valor da u´ltima prestac¸a˜o;
d) o valor do saldo devedor imediatamente apo´s o pagamento
da 10a
¯
prestac¸a˜o.
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Matema´tica Financeira | Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC
Soluc¸a˜o: Sabe-se que Sd0 = 80.000,00, n = 40 meses e i = 4% a.m.
ou i = 0,04 a.m.
a) Ak = 80.000,0040 = 2.000,00 com, 1≤ k ≤ 40
b) Sabemos que os juros do k−e´simo perı´odo pode ser obtido atrave´s
da equac¸a˜o
Jk =
Sd0
n
× (n− k + 1)× i,
portanto, temos que
J22 =
80.000,00
40
×(40−22+ 1)×0,04, isto e´, J22 = 2.000,00×
19×0,04 ⇒ J22 = 1.520,00,
e portanto, P22 = 2.000,00+ 1.520,00 = 3.520,00.
c) Sabe-se que k−e´sima prestac¸a˜o pode ser obtida da expressa˜o
Pk = Sd0n [1+(n− k + 1)× i], logo,
P40 =
80.000,00
40 [1+(40−40+ 1)×0,04 = 2.000,00×1,04]⇒
P40 = 2.080,00.
d) O saldo apo´s o pagamento da k−e´sima prestac¸a˜o pode ser obtida
da expressa˜o Sdk = Sd0− k×
Sd0
n
, logo,
Sd10 = 80.000,00−10× 80.000,0040 ⇒ Sd10 = 60.000,00.
Respostas
a) R$ 2.000,00.
b) R$ 1.520,00 e R$ 3.520,00.
c) R$ 2.080,00.
d) R$ 60.000,00.
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1SAC COM CAREˆNCIA
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�Exemplo 12.3
Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco
entrega no ato e que sera´ pago pelo Sistema de Amortizac¸a˜o
Constante. Sabendo que o banco concedeu treˆs anos de careˆncia,
que a taxa de juros e´ de 10% ao ano e que o principal sera´ amor-
tizado em quatro parcelas anuais, construa a planilha.
Ao se supor uma careˆncia de 3 anos, treˆs situac¸o˜es podem
ocorrer:
• 1o
¯
Os juros sa˜o pagos durante a careˆncia.
Soluc¸a˜o: A amortizac¸a˜o mensal e´ 100.000,004 = 25.000,00. O juro
pago no primeiro e no segundo perı´odo sera´ de 10% sobre o saldo
inicial de R$ 100.000,00 sendo que este na˜o se altera, pois na˜o ha´
amortizac¸a˜o nos perı´odos um e dois devido ao prazo de careˆncia.
A partir do perı´odo treˆs, o comportamento e´ semelhante ao realizado
no problema sem careˆncia. Temos enta˜o o seguinte quadro de desem-
bolsos:
Planilha do financiamento
Anos Saldo devedor Amortizac¸a˜o Juros Prestac¸a˜o
(k) (Sdk) (Ak) (Jk = i×Sdk) (Pk = Ak + Jk)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
2 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
3 100.000,00 - 10.000,00 10.000,00
4 75.000,00 25.000,00 10.000,00 35.000,00
5 50.000,00 25.000,00 7.500,00 32.500,00
6 25.000,00 25.000,00 5.000,00 30.000,00
7 - 25.000,00 2.500,00 27.500,00
TOTAL - 100.000,00 55.000,00 155.000,00
• 2o
¯
Os juros sa˜o capitalizados durante a careˆncia e acresci-
dos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizac¸o˜es de maior
valor.
Soluc¸a˜o: Nesse caso, o procedimento inicial e´ semelhante ao ante-
rior, isto e´, no primeiro e no segundo perı´odos, os juros sera˜o capi-
talizados e acrescidos ao saldo devedor. Temos enta˜o que, no primeiro
perı´odo, o saldo devedor passa a ser de R$ 100.000,00 × 1,1 =
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Matema´tica Financeira | Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC
R$ 110.000,00 e, no segundo perı´odo, o saldo passa a ser de R$ 110.000,00×
1,1 = R$ 121.000,00.
A partir do terceiro perı´odo dar-se-a´ o inı´cio do pagamento das
amortizac¸o˜es, sendo que estas sera˜o calculadas tendo como base o
saldo do perı´odo treˆs, isto e´, R$ 121.000,00 e na˜o R$ 100.000,00 como
no caso anterior. Temos enta˜o que o valor das amortizac¸o˜es sera´ de
121.000,00
4 = 30.250,00 e, a partir do perı´odo treˆs, o comportamento e´
semelhante ao realizado no problema sem careˆncia. Temos enta˜o o
seguinte quadro de desembolsos:
Planilha do financiamento
Anos Saldo devedor Amortizac¸a˜o Juros Prestac¸a˜o
(k) (Sdk) (Ak) (Jk = iSdk−1) (Pk = Ak + Jk)
0 100.000,00 - - -
1 110.000,00 - 10.000,00 0,0
2 121.000,00 - 11.000,00 0,0
3 133.100,00 - 12.100,00 0,0
4 99.825,00 33.275,00 13.310,00 46.585,00
5 66.550,00 33.275,00 9.982,50 43.257,50
6 33.275,00 33.275,00 6.655,00 39.930,00
7 0,00 33.275,00 3.327,50 36.602,50
TOTAL - 100.000,00 66.375,00 166.375,00
Resumo
Nesta aula, continuamos o estudo dos Sistemas de Amorti-
zac¸a˜o de Empre´stimos. Os conceitos envolvidos nesse estudo
foram agora utilizados no desenvolvimento dos conceitos que
envolvem o estudo do Sistema de Amortizac¸a˜o Constante.
Exercı´cio 12.1
1. Um financiamento de R$ 10.000,00 pelo SAC devera´ ser
pagoem dez prestac¸o˜es anuais e consecutivas sem careˆncia,
com juros de 4% ao ano. Determine:
a) o valor do juro pago na oitava prestac¸a˜o;
Resposta: R$ 120,00.
b) o valor da quinta prestac¸a˜o;
Resposta: R$ 1.240,00.
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c) o valor do saldo devedor imediatamente apo´s o paga-
mento da 5a
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prestac¸a˜o;
Resposta: R$ 5.000,00.
d) o total de juros pagos durante o financiamento.
Resposta: R$ 2.200,00.
2. Um empre´stimo de R$ 100.000,00, sera´ saldado em 25
amortizac¸o˜es quadrimestrais pelo sistema SAC, tendo sido
contratada a taxa de juros de 5% ao quadrimestre. Quais
sa˜o o saldo devedor, os juros e a prestac¸a˜o referentes ao
16o
¯
quadrimestre?
Respostas: R$ 36.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 6.000,00.
3. Em janeiro de 1989, uma pessoa adquiriu uma casa fi-
nanciada por uma instituic¸a˜o financeira em 120 prestac¸o˜es
mensais pelo SAC. Sabendo que o valor financiado foi de
R$ 84.000,00, que a taxa de juro nominal contratual foi
de 18% ao ano e que a primeira prestac¸a˜o foi paga no meˆs
de fevereiro desse mesmo ano, calcule:
a) o valor das amortizac¸o˜es pagas ate´ dezembro de 1989
(inclusive);
Resposta: R$ 7.700,00.
b) o valor da prestac¸a˜o a vencer em maio de 1991;
Resposta: R$ 1.676,50.
c) o total de juros pagos durante o ano de 1990;
Resposta: R$ 12.978,00.
d) o saldo apo´s o pagamento da de´cima quinta prestac¸a˜o.
Resposta: R$ 73.500,00.
4. Um empre´stimo de R$ 120.000,00 e´ feito pelo SAC, a` taxa
de 2% ao meˆs, devendo ser devolvido em oito prestac¸o˜es
mensais. Sabendo que houve um prazo de careˆncia de treˆs
meses, elabore a planilha de pagamentos.
5. Uma empresa em fase de expansa˜o obte´m de uma ageˆncia
governamental o financiamento de R$ 48.000.000,00 a ser
liberado em treˆs parcelas quadrimestrais sequ¨enciais, sendo
de R$ 13.000.000,00 a primeira, de R$ 30.000.000,00 a
segunda e de R$ 5.000.000,00 a terceira. Os encargos fi-
nanceiros sa˜o basicamente os seguintes:
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Matema´tica Financeira | Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC
a) Taxa efetiva de juros: 9% a.a.
b) Comissa˜o de abertura de cre´dito igual a 0,5% sobre
o valor do financiamento, esse valor sera´ cobrado
quando da liberac¸a˜o da primeira parcela.
c) Imposto sobre Operac¸o˜es Financeiras (IOF) de 1%
sobre o total geral, ou seja, valor do financiamento
mais encargos financeiros.
O o´rga˜o financiador concede 4 quadrimestres de careˆncia,
sendo os juros pagos durante a careˆncia. O prazo total do
financiamento sera´ de 5 anos, e o sistema de amortizac¸a˜o
adotado e´ o SAC. As amortizac¸o˜es sera˜o quadrimestrais.
Construir a planilha do financiamento.
6. Um banco empresta R$ 1.000.000,00 sob as seguintes con-
dic¸o˜es:
a) juros de 20% ao ano, pagos semestralmente;
b) careˆncia de um ano;
c) comissa˜o de abertura de cre´dito de 0,5% sobre o valor
financiado, pago no ato;
d) comissa˜o de l% sobre o saldo devedor anual;
e) IOF de l% sobre o valor total do financiamento (prin-
cipal + encargos), pago no ato;
f) amortizac¸o˜es semestrais constantes;
g) prazo total de quatro anos e meio.
Construir a planilha do financiamento.
7. Uma dı´vida de R$ 600.000,00 vai ser amortizada, atrave´s
do SAC em 12 prestac¸o˜es anuais, a` taxa de 20% ao ano.
Calcule o saldo devedor apo´s ter sido paga a oitava pres-
tac¸a˜o.
Resposta: R$ 200.000,00.
8. Um banco de desenvolvimento empresta sob as seguintes
condic¸o˜es:
a) taxa nominal de juros de 6% ao ano com capitalizac¸a˜o
semestral;
b) prestac¸o˜es semestrais, sem careˆncia;
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c) Sistema de Amortizac¸a˜o Constante – SAC ou Sis-
tema Franceˆs de Amortizac¸a˜o.
Pede-se: para um empre´stimo de R$ 12.000,00, qual seria
o valor da primeira prestac¸a˜o pelo SAC se, pelo Sistema
Franceˆs, as prestac¸o˜es sa˜o iguais a R$ 1.406,77?
Resposta: R$ 1.560,00.
9. Um imo´vel no valor de R$ 500.000,00 foi financiado por
um banco em 180 meses. A taxa de juros cobrada nesse
tipo de financiamento e´ de 1% ao meˆs e a amortizac¸a˜o
pode ser efetuada tanto pelo SAC - Sistema de Amortizac¸a˜o
Constante como pelo SAF – Sistema de Amortizac¸a˜o Fran-
ceˆs. Determinar em que momento os valores das prestac¸o˜es
apuradas pelos dois sistemas tornam-se iguais.
Resposta: Por volta da 65a
¯
prestac¸a˜o (k = 64,96976).
10. A fim de expandir seus nego´cios, uma pessoa consegue
um financiamento de R$ 300.000,00, nas seguintes condi-
c¸o˜es:
a) taxa de juros de 8% ao ano com capitalizac¸a˜o se-
mestral;
b) amortizac¸o˜es pelo SAC com pagamentos semestrais;
c) prazo de amortizac¸a˜o: 5 anos.
Determine os juros pagos na de´cima prestac¸a˜o.
Resposta: R$ 1.200,00.
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Auto-avaliac¸a˜o
Voceˆ conseguiu resolver todos os exercı´cios propostos sem
dificuldade? Se a resposta foi sim, enta˜o voceˆ entendeu os
conceitos e as te´cnicas de resoluc¸a˜o dos problemas que en-
volvem o Sistema de Amortizac¸a˜o Constante. Se na˜o con-
seguiu, na˜o desista, volte a` aula e reveja os conceitos e exem-
plos. Na˜o deixe que suas du´vidas se acumulem. Procure
dirimi-las com os colegas do po´lo e tambe´m com os tutores.
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