Derivada Implicita de funcoes de varias variaveis_Teoria e exercicios

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LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO III 
DERIVADA DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ÍMPLICITA 
 
Teorema 1. Dadas as funções F = F(x,y) e y = f (x) definidas e diferenciáveis, respectivamente, 
em D  R2 e a  x  b. Seja f a função definida implicitamente por F(x,y) = 0, isto 
é, F(x,f (x)) = 0 para a  x  b. Então, 
 
 
 
 
 
 
 
, a  x  b 
Onde as derivadas do segundo membro devem ser calculadas nos pontos (x,f (x)) 
e supõe-se que 
 
 
 . 
 
Teorema 2. Dadas as funções F = F(x,y,z) e z = f (x,y) definidas e diferenciáveis, 
respectivamente, em D  R3 e S  R2, seja f a função de (x,y) definida 
implicitamente por F(x,y,z) = 0, isto é, F(x,y,f (x,y)) = 0 em S. Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
para todo (x,y)  S. As derivadas do segundo membro são calculadas nos pontos 
(x,y,f (x,y)) e supõe-se que 
 
 
 . 
 
1. Dado que x = rcos e y = rsen, calcule 
 
 
 e 
 
 
. 
Resp.: 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
. 
 
2. Dê a equação do plano tangente à superfície z = f (x,y) definida implicitamente por 
F(x,y,z) = z3 + (x2 + y2)z + 1 = 0 que passa pelo ponto P = (1,1,1). 
Resp.: x + y +z – 3 = 0 
 
3. Suponha que a função y = f (x) definida implicitamente por F(x,y) = 
 
 
 
 
 
 
seja contínua em [-a,a]. Determine os extremos de f (x). (sugestão: resolva 
 
 
 ). 
Resp.: Em x = 0 temos os extremos y =  b. 
 
4. Determine os pontos críticos de z = f (x,y) definida implicitamente por F(x,y,z) = 6x – 4y 
– x2 – 2y2 – z2 = 0. 
Resp.: x = 3 e y = -1. 
 
5. São dadas as equações F(x,y,u,v) = x + y3 + u3 + v3 = 0 e G(x,y,u,v) = x3 – y – u4 – v4 = 0 
tal que elas definem u e v como funções implícitas de x e y. Calcule 
 
 
. 
Resp.: 
 
 
 
 
 
 
A transformação definida implicitamente no caso em discussão por u = u(x,y), v = (x,y) 
é uma transformação do plano no plano e corresponde a uma mudança de sistemas de 
coordenadas no plano: passagem das coordenadas x e y para u e v desde que esta 
transformação seja bijetora. Saber calcular as derivadas parciais de u e v numa tal 
transformação, desempenha papel importante no cálculo de integrais duplas e triplas, 
quando são necessários mudanças de variáveis nestas integrais.