Miolo_Apostila_completa_Geometria_Analítica_e_Algebra_Linear - WEB

Prévia do material em texto

0
y x
0
y x
Ib
Pb
0
y x
0
y x
Ib
Pb
y
x0
BY
MY
AY
MX BX
A
M
C
D
B
y
x0
BY
MY
AY
MX BX
A
M
C
D
B
Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
SUMÁRIO
Apresentação ..........................................5
Sistema de Numeração (Parte 1) ................7
Sistema de Numeração (Parte 2) .............. 19
Noções de Lógica Matemática ................. 35
Noções de Lógica Matemática - 
Cálculo Proposicional (Parte 1) ................ 47
Noções de Lógica Matemática - 
Cálculo Proposicional (Parte 2) ................ 57
Geometria Analítica (Parte 1) .................. 69
Geometria Analítica (Parte 2) .................. 79
Geometria Analítica (Parte 3) .................. 85
Geometria Analítica (Parte 4) .................. 93
Álgebra Linear: Matrizes ......................... 99
Álgebra Linear: Determinantes ...............117
Álgebra Linear: Sistemas Lineares .......... 123
Geometria Analítica 
e Álgebra Linear
REITORIA
Reitor
Prof. Doutor Eduardo Martins de Lima
Vice-Reitora
Profa. Guadalupe Machado Dias
Pró-Reitor de Pós-Graduação, Pesquisa e Extensão
Prof. Doutor Cid Gonçalves Filho
Pró-Reitor de Graduação
Prof. Guilherme Guazzi Rodrigues
Pró-Reitora de Planejamento e Administração
Profa. Guadalupe Machado Dias
FACULDADE DE CIÊNCIAS 
EMPRESARIAIS (FACE)
Diretor-Geral
Prof. Ricardo José Vaz Tolentino
Diretor de Ensino
Prof. Marco Túlio de Freitas
FACULDADE DE CIÊNCIAS HUMANAS, 
SOCIAIS E DA SAÚDE (FCH)
Diretor-Geral
Prof. Antônio Marcos Nohmi
Diretor de Ensino
Prof. João Batista de Mendonça Filho
FACULDADE DE ENGENHARIA 
E ARQUITETURA (FEA)
Diretor-Geral
Prof. Luiz de Lacerda Júnior
Diretor de Ensino
Prof. Lúcio Flávio Nunes Moreira
BELO HORIZONTE 
2015
APRESENTAÇÃO
A Geometria surgiu na Grécia Antiga há aproximadamente 2600 anos, como Ciência 
Dedutiva, mas apesar do brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega. E isto 
só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, 
não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra 
estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria. Dois grandes 
filósofos franceses da época, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-
1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissio-
nal, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamen-
te por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. 
Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de 
Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda 
as propriedades dos números inteiros. Sua contribuição à Geometria Analítica encontra-se 
num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, 
de 1636 mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra comple-
ta. Como Fermat era bastante modesto, e avesso a publicar seus trabalhos, resultou daí, 
em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria 
Analítica. Assim a Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto 
chamado “A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método”, obra consi-
derada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o méto-
do matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.
A Geometria Analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria 
cartesiana, é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos 
princípios da álgebra e da análise. Ela contrasta com a abordagem sintética da geometria 
euclidiana, em que certas noções geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado 
o raciocínio dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições verdadeiras. 
A geometria analítica é muito utilizada na física e na engenharia, e é o fundamento das 
áreas mais modernas da geometria, incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e 
computacional.
Em geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para manipular equações para 
planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também 
em três ou mais dimensões. A geometria analítica ensinada nos livros escolares pode 
ser explicada de uma forma mais simples: ela diz respeito a definição e representação de 
formas geométricas de modo numérico e a extração de informação numérica dessa repre-
sentação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vector ou uma forma. 
O fato de que a álgebra dos números reais pode ser empregada para produzir resultados 
sobre o contínuo linear da geometria baseia-se no axioma de Cantor-Dedekind.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Nathan Ackerman Chagas de Souza
Therus Santana
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA DA DISCIPLINA 
Profa. Isabel Cristina 
Dias Alves Lisboa
BELO HORIZONTE - 2015
SISTEMA DE NUMERAÇÃO (PARTE 1)
HISTÓRIA
ANTIGO SISTEMA DE NUMERAÇÃO
• Sistema de agrupamentos simples; 
• Sistema de numeração posicionais; 
• Período: aproximadamente 3500 a.C.
A numeração escrita nasceu, nas épocas mais primitivas, do desejo de manter registros 
de gado ou outros bens, com marcas ou traços em paus, pedras, etc., aplicando o prin-
cípio da correspondência biunívoca. Os sistemas de escrita numérica mais antigos que 
se conhecem são os dos egípcios e dos babilônios, que datam aproximadamente do ano 
3500 a.C.. 
Os egípcios usavam um sistema de agrupamento simples, com base 10. 
Para os egípcios, representava-se:
• um traço vertical ( ) valia 1.
• Um osso de calcanhar invertido ( ) valia 10.
• Um laço encaracolado valia 100.
• Uma flor de lótus ( ) valia 1000.
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
um traço um arco um rolo uma flor um dedo um peixe um homem
Um exemplo, de um número escrito em símbolos egípcios é dado abaixo:
13.015 = 1.(10)4 + 3.(10)3 + 1.(10)1 + 5 que representado fica igual a:
13.015 = 
Escrevemos esse número da esquerda para a direita, embora os egípcios escrevessem em 
uma ou outra direção, dependendo do documento. 
Os babilônios usavam um sistema posicional que, em alguns aspectos era semelhante ao 
dos egípcios. Algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não 
somente um sistema decimal mas também um sistema sexagesimal (isto é, base 60). 
Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as dezenas:
1= 1=
No sistema decimal, os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes 
símbolos, por exemplo,
25 2(10) 5= + = 
Sistema de Numeração (Parte 1) 7
O símbolo para 100 era composto por traços:
e números superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim, por 
exemplo, temos:
123=
O símbolo indica 10 vezes 100, isto é, 1000. 
1 3 10 13 20 23 100 1000
Egípcios
Sumérios
Também empregava em algumas tabuletas o sistema sexagesimal. Os números de 1 a 
59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se escreviam 
“grupos de cunhas”, com base 60. Por exemplo, 
2(60) 3 123+ =
Os babilônios chegaram a empregar um símbolo, formado por duas cunhas inclinadas, 
para representar a ausência de um grupo. Por exemplo, 
21(60) 0(60) 2 3602+ + =
Como este símbolo não era de uso frequente, e ainda, nunca foi usado no fim de uma 
expressão, o sistema babilônio apresentava ambiguidades. 
Por exemplo, 
Essa simbologia poderia representar o número 12 ou 12 × 60 =720 ou 12 × 602 = 43.200, 
e outros.
O sistema de numeração indo-arábico é um sistema de numeração posicional de base 10. 
Ele é preciso e não apresenta ambiguidades, justamente porque temos o símbolo 0 (zero) 
para representar ausência de uma casa. 
A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos 
dez dedos disponíveis nas mãos para nos auxiliar nos cálculos.
Sistema de Numeração (Parte 1)8
SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO 
Período: 250 a.C. até século XVI
O sistema de numeração indo-arábico tem esse nome devido aos hindus que o inventa-
ram, e devido aos árabes, que o transmitiram para a Europa Ocidental. 
Na Índia encontramos colunas de pedras datadas no ano 250 a.C., com símbolos numé-
ricos que seriam os precursores do nosso sistema de numeração, mas nesses não encon-
tramos nem o zero (sinal para marcar ausência de unidade ou “o espaço vazio” de uma 
unidade faltante) e nem a notação posicional. Porém, a ideia de valor posicional e zero 
devem ter sido introduzida na Índia antes do ano 800 a.C., pois o matemático persa 
Al-Khowârizmî descreveu de maneira completa o sistema hindu num livro datado no ano 
825 d.C.. 
Não sabemos como esses numerais chegaram na Europa, provavelmente através de 
comerciantes e viajantes árabes, pelas costas do Mediterrâneo. Sabemos que foi uma 
tradução latina do tratado de Al-Khowârizmî, feita no século XII, seguida de alguns traba-
lhos europeus sobre o assunto, fez com que o sistema se disseminasse mais amplamente. 
Um primeiro divulgador de seu uso foi Gerbert (c. 950 - 1003). Nascido em Auvugne, 
França, foi um dos primeiros cristãos a estudar nas escolas muçulmanas da Espanha, 
e ao retornar de seus estudos, tentou introduzir na Europa cristã os numerais indo-
-arábicos (sem o zero). Á ele, atribui-se a construção de ábacos, globos terrestres e 
celestes e um relógio. 
Ele subiu na hierarquia da Igreja, tornando-se papa com o nome de Silvestre II no ano 999. 
Foi considerado um erudito profundo, escreveu sobre astrologia, aritmética e geometria. 
Na época de Gerbert, começaram a entrar na Europa Ocidental os clássicos gregos de 
ciência e matemática. Houve assim um período de transição, durante o qual o saber 
grego, preservado pelos muçulmanos, foi passando para os europeus ocidentais. 
No século XVI, Leonardo de Pisa defendeu e utilizou a notação indo arábica em seus 
trabalhos, colaborando para a introdução desses numerais na Europa. 
Muitos dos campos nos quais os cálculos numéricos são importantes, como a astrono-
mia, a navegação, o comércio, a engenharia e a guerra, fizeram com que esses numerais 
fossem utilizados para tornar os cálculos rápidos e precisos.
A Representação de um número em uma base
Como sabemos cada sistema de numeração está associado a um conjunto de símbolos, 
a partir dos quais escrevemos todos os outros números. Chamamos de base do sistema 
à quantidade destes símbolos. Por exemplo, os babilônios usavam um sistema de base 60 
e hoje usamos o sistema decimal (base 10).
A razão de utilizarmos base 10 é convencional e, provavelmente, é consequência do fato de 
quase todos os povos terem usado os dedos das mãos para contar. Temos então que no 
nosso sistema todo número pode ser representado por uma sequência an , a n-1 , ..., a1 , a0: 
onde cada ai é um dos algarismos 0 , 1 , 2 , 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9 e que cada ai representa 
dependendo de sua posição na sequência, de acordo com a seguinte regra: cada vez que 
deslocamos uma casa para a esquerda na sequência acima, o valor do algarismo fica 
multiplicado por dez.
Por exemplo, para representar o número de dias do ano civil 365 dias na base 10, o nosso 
primeiro passo consiste em fatorar grupos de dez dias, obtendo o diagrama abaixo, onde 
Sistema de Numeração (Parte 1) 9
cada cruzinha representa um dia, cada retângulo indica um grupo de dez dias, e cada 
coração indica um grupo de 10 de 10 dias:
 = 
 = 
 = 
 
 
 Representa 1 dia (uma unidade)
 Representa grupo de 10 dias
 Representa grupo de 100 dias
 = 
 = 
 = 
 
 
Centenas Dias Dezenas Dias Unidades Dias
 
Assim, cada representa 1 dia, e cada representa 10 dias, e cada representa um 
grupo de 10 ,ou seja, 100 dias.
Obtemos assim três grupos de cem dias cada, seis grupos de dez dias cada e cinco dias. 
Podemos, então, representar o número de dias do ano por 365, onde o algarismo 5 repre-
senta o número de dias que sobraram quando da divisão em grupos de dez; o algarismo 
6 representa o número de grupos de dez dias e o algarismo 3 o número de grupos de dez 
grupos de dez dias. Em outras palavras, como o algarismo 6 está deslocado uma casa à 
esquerda na sequência 365, seu valor é de 6 vezes 10 e como o algarismo 3 está desloca-
do duas casas a esquerda, seu valor é de 3 vezes 10 vezes 10. Isto significa que:
365 = 3 × 10 × 10 + 6 × 101 + 5 × 100 
365 = 3 × 102 + 6 × 101 + 5 × 100
Generalizando, se o número de elementos de um conjunto é representado por uma sequ-
ência an,an-1 , ... ,a1 ,a0, este conjunto tem a0 elementos mais a1 grupos de dez, mais a2 
grupos de 102, e assim sucessivamente, ou seja, ele tem:
a0 × 100 + a1 × 101 + a2 × 102 + ... + an × 10n elementos .
O que fizemos com grupos de dez poderíamos ter feito com outros grupos. Por exemplo, 
se estivéssemos contando com os dedos da mão, o natural seria usar grupos de cinco, 
isto é, base 5.
Por exemplo, o número 23 na base 5 é representado por: 
Sistema de Numeração (Parte 1)10
Temos 4 grupos completos de 5 elementos e 1 incompleto com apenas 3 elementos.
Cada grupo completo de 5 unidades 
forma uma nova representação
4 grupos completos de 5 unidades e mais 
3 elementos isolados
 
 
 
 
 
Assim os grupos completos de unidades passam a ocupar uma nova ordem superior 
conforme vemos abaixo:
4 grupos completos de 5 unidades 
formam uma nova ordem 
3 elementos isolados (Nenhum grupo 
completo de 5 unidades) 
 
 
 
 
 
2ª ordem de grupos de 5 1ª ordem que não formam grupos de 5
 
Assim para a base 5 consideramos cinco símbolos, um para cada número de um a quatro 
e outro para indicar posições vazias, usaremos os símbolos 0 , 1 , 2 ,3 e 4 como os 
algarismos desse sistema. 
Para representar o número 7 na base 2 devemos, de maneira análoga aquela utilizada para 
base 5, formar grupos de dois.
7 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
7 = ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + ( 1 + 1 ) + 1 
Quantidade de elementos 
 
Sistema de Numeração (Parte 1) 11
1 grupo de 
2 elementos de 2
3 grupos de 
2 elementos
1 elemento que não 
forma grupo de 2
1 grupo de 2 grupos 
de 2 elementos
1 grupo de 2 elementos Sobrou 1 unidade 
Poderíamos ver assim também:
SOBROU SÓ “1” A CADA “2” VAI “1” A CADA “2” VAI “1”
I
 I 
 I
 I
 
 I I
 I I
 I I
 I 
3ª ORDEM 2ª ORDEM 1ª ORDEM
I I I
Assim temos:
7 = 3x2 + 1
7 = (1x2 + 1) x 2 + 1 
7 = 1x2x2 + 1x2 + 1 
7 = 1 x 22 + 1x21 + 1x20
Escrevemos o número 7 na base 2 como sendo:
7 = 1112
Na verdade não é difícil demonstrar que podemos ter sistemas de numerações posicio-
nais com qualquer base b > 1. Depois de escolhida a base b, devemos adotar b símbolos 
básicos para representar os números de 0 à (b -1); tais símbolos são chamados de alga-
rismos do sistema. Se b ≤ 10, podemos utilizar os nossos algarismos hindu-arábicos; se 
b > 10, podemos utilizar os nossos algarismos hindu–arábicos de 0 até 9 e escrever outros 
símbolos (geralmente usamos letras) para representar os números 10, 11, 12, ... , (b-1). 
Sistemade Numeração (Parte 1)12
Assim, se b > 1 qualquer número natural “x” pode ser escrito como:
x b = a0 . b0 + a1 . b1 + a2 . b2 + . . . + an .bn
onde os coeficientes an, an-1, . . ., a2, a1, a0 tomam valores de 0 a (b – 1).
Assim o número x acima é representado posicionalmente na base b pela sequência:
an, an-1, . . ., a2, a1, a0
E escrevemos assim:
x = (an, an-1, ... , a2 , a1 ,a0)b .
Exemplo:
7 = 1x22 + 1x21 + 1x20
7= 1112
Convencionamos não escrever o subscrito da base b quando estamos utilizando a base 
usual 10. 
Cada um dos símbolos ai, i ≥ 1 (an, an-1, . . ., a2, a1, a0), representa, portanto, um múltiplo 
de alguma potência da base b, a potência dependendo da posição na qual o algarismo 
aparece, de modo que ao mover um símbolo uma casa para a esquerda este tem seu 
valor multiplicado por b.
Alguns tipos de sistemas 
numéricos importantes
Um sistema de numeração é um sistema em que um conjunto de números é representado 
por numerais de forma consistente. Esse sistema deve, em condições ideais, representar 
uma grande quantidade de números úteis, deve dar a cada número representado uma 
única representação padrão e refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos números.
Nos sistemas digitais/computação é frequente recorrer-se a diferentes sistemas de nume-
ração para proceder à representação da informação digital. O sistema de numeração deci-
mal (ou na base 10), que usa dez algarismos é sem duvida o sistema mais utilizado por 
seres humanos no seu dia a dia, e o sistema binário é o mais frequente no mundo da 
computação, apenas são utilizados os dois valores 0 e 1 (pois facilita a representação de 
tensões), no entanto, existem outros como o sistema de numeração Octal, Hexadecimal, 
entre outros. 
A quantidade de algarismos disponíveis num sistema de numeração designa-se de base, 
sendo que a representação numérica mais utilizada é a notação posicional (valor atribuído a 
um símbolo dependente da posição em que este se encontra, num conjunto de símbolos).
Alguns sistemas de numeração especiais são:
• Decimal (base 10)
• Binário (base 2)
• Octal (base 8)
• Hexadecimal (base 16)
Inicialmente vamos aprender um pouco sobre cada um desses sistemas. 
Sistema de Numeração (Parte 1) 13
Sistema Decimal
É o sistema mais utilizado pelos seres humanos, normalmente para indicar quantidades, e 
é constituído por dez algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. A origem dessa base provavelmente 
estás relacionada a normalidade das pessoas possuírem dez dedos nas mãos.
 
No sistema decimal cada algarismo tem um valor posicional, ou seja, cada algarismo tem 
um peso de acordo com a sua posição na representação do valor (unidades, dezenas e 
centenas das classes).
Sistema Binário
O sistema binário é o sistema mais utilizado por máquinas, uma vez que os sistemas digi-
tais trabalham internamente com dois estados (ligado/desligado, verdadeiro/falso, aberto/
fechado). O sistema binário utiliza os símbolos: 0, 1, sendo cada símbolo designado por 
bit (binary digit).
Para representarmos a quantidade zero, utilizamos o algarismo (0) e para representarmos 
a quantidade um utilizamos o algarismo (1). Podemos então perguntar como representare-
mos a quantidade dois nesse sistema, se nós não possuímos o algarismo (2)?Responder 
a essa pergunta requer uma simples comparação com o sistema decimal, veja: é fácil 
observar que no sistema decimal, nós não possuímos o algarismo dez e nós representa-
mos a quantidade de uma dezena utilizando do algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 
(zero). Neste caso, o algarismo 1 (um) significa que temos um grupo de uma dezena e o 
algarismo 0 (zero) nenhuma unidade, o que significa dez .
No sistema binário, agimos da mesma forma, para representarmos a quantidade dois, 
utilizamos o algarismo (1) (significa que temos um grupo de dois elementos) seguido do 
algarismo (0) (significa que temos um grupo de nenhuma unidade).
Sistema de Numeração (Parte 1)14
Podemos notar na tabela a seguir, a numeração em binário:
DECIMAL BINÁRIO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
...
Sistema Octal
O sistema octal é um sistema de numeração de base 8, ou seja, recorre a 8 símbolos 
(0,1,2,3,4,5,6,7) para a representação de um determinado valor. O sistema octal foi muito 
utilizado no mundo da computação, como uma alternativa mais compacta do sistema 
binário, na programação em linguagem de máquina. 
 
Para representarmos quantidades igual ou superior a oito agimos de maneira análoga aos 
números binários, combinando ordenadamente os oito símbolos entre si.
Este é um sistema que simplifica muito a numeração do mapa de memórias de máquina 
digitais de palavras de 6 bits.
Vejamos a sequência da numeração octal:
DECIMAL OCTAL
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
17
18
19
20
...
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
...
21
22
23
24
...
Sistema de Numeração (Parte 1) 15
Sistema Hexadecimal
O sistema hexadecimal, ao contrário do sistema decimal que dispõe de apenas dez símbo-
los necessita da inclusão de seis letras para completar o sistema. Esse conjunto exige 16 
dígitos e / ou letras para expressar um número, que fica assim enumerado:
 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Nesse sistema de numeração as letras de “A” até “F” são usados para obter os números:
 1010= A 
 1110= B 
 1210= C
 1310= D
 1410= E
 1510= F
Um número no sistema hexadecimal é formado por vários números divididos em pesos 
diferentes (potências): 1, 16, 256, 4096, 65536, etc...
A letra A representa o algarismo A que por sua vez representa a quantidade dez. A letra B 
representa o algarismo B que representa a quantidade onze, e assim sucessivamente até 
a letra F que representa a quantidade quinze.
Pode parecer pouca a diferença para os números decimais, porem esses 6 dígitos a mais 
fazem muita diferença. Por exemplo, com dois dígitos, em decimal, é possível fazer 100 
combinações diferentes. Em hexadecimal, esse número sobe para 256. 
Imagine mãos que 
contenham 8 dedos cada
Para representar a quantidade dezesseis, utilizamos o conceito básico da formação de um 
número, ou seja, colocamos o algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). Isso repre-
sentará um grupo de dezesseis adicionado a nenhuma unidade.
O Sistema Hexadecimal está vinculado a informática, pois os computadores costumam 
utilizar o byte ou octeto como unidade básica da memória. Assim são usados para repre-
sentar números binários de uma forma mais compacta, pois é muito fácil converter biná-
rios pra hexadecimal e vice-versa. 
Dessa forma, esse sistema é bastante utilizado em aplicações de computadores e micro-
processadores, especialmente nos equipamentos de estudo e sistemas de desenvolvimento 
(programação, impressão e displays). 
Sistema de Numeração (Parte 1)16
Vejamos a sequência da numeração hexadecimal:
DECIMAL HEXADECIMAL
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
...
26
27
...
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
...
1A
1B
...
SAIBA MAIS 
Em 1510, o índice do número significa a base do sistema em que estamos trabalhando, neste 
exemplo a base é 10. O único sistema universal que não se usa índice para a representação da 
base é o sistema decimal, os demais são necessários a indicação da base utilizada.
Ex: O número 110112 está escrito na base binária.
Sistema de Numeração (Parte 1) 17
SISTEMA DE NUMERAÇÃO (PARTE 2)
Conversões de sistemas
Nos sistemas digitais/computação é frequente recorrer-se a diferentes sistemas de nume-
ração para proceder à representação da informação digital. Quando utilizamos sistemas 
diferentes entre si, para operacionalizar precisamos trabalhar na mesma base, assim preci-
samos fazer a conversãopara uma única base, e para tal existem regras.
SISTEMA DECIMAL PARA OS OUTROS SISTEMAS
Nesse caso vamos utilizar a divisão Euclidiana, onde o resto é sempre menor que o divisor 
(base ou módulo), e a cada quociente maior ou igual ao módulo gera nova divisão, assim 
utilizamos as Divisões Sucessivas.
a. Conversão do sistema decimal para o sistema binário
O método prático utilizado é o das Divisões sucessivas por 2.
Exemplo 1: Vamos converter o número 27 para o sistema binário:
Dividindo o número 27 por 2 teremos:
27 2
07 13
1
teremos: 2 × 13 + 1 = 27
que poderemos escrever: 13 × 21 + 1 × 20 = 27
1º resto
Dividindo agora 13 por 2 encontraremos:
13 2
1 6
teremos: (2 × 6 + 1) × 21 + 1 × 20 = 27
podendo ser escrito na forma: 6 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 27
2º resto
Se dividirmos o 6 por 2 encontraremos:
6 2
0 3
teremos: (2 × 3 + 0) × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 27
podendo ser escrito na forma: 3 × 22 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 27
3º resto
E finalmente, se dividirmos o 3 por 2 encontraremos:
3 2
1 1
4º resto
último quociente
Sistema de Numeração (Parte 2) 19
Teremos: 
27 = 13×2 + 1
27= ((6×2 + 1)) × 2+ 1
27= (((3×2 + 0)×2 + 1)) × 2 + 1 
27= ((((1×2 + 1) ×2 + 0) ×2 + 1)) × 2 + 1
27 = (((1×2×2 + 1×2) + 0) ×2 + 1)) × 2 + 1
27 = ((1×2×2×2 + 1×2×2 + 0×2) + 1) × 2 + 1
27 = (1×2×2×2×2 + 1×2×2×2 + 0×2×2 + 1×2) + 1
27= 1×24 + 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20
A escrita nessa forma se denomina FORMA POLINOMIAL.
Assim o número decimal 27 escrito na forma polinomial é:
 27 = 1 × 24 + 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 
Desta última expressão podemos fazer a seguinte associação:
 24 23 22 21 20
 1 1 0 1 1
Que pode ser observado pelo método prático das divisões sucessivas.
27 2
1 13 2
1 6 2
0 3 2
1 1 último quociente (menor que o módulo)
O último quociente será o algarismo mais significativo (maior potência), fica colocado á 
esquerda: os outros algarismos seguem-se na ordem: último resto, penúltimo resto, ante-
penúltimo resto, ..., até o 1º resto. 
Concluímos: 2710 = 110112
Exemplo 2: Converta o decimal 19 para binário e o represente na forma Polinomial
19 2
1 9 2
1 4 2
0 2 2
0 1
Portanto temos:
19 = 100112
 24 23 22 21 20
 1 0 0 1 1
 19 = 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 
Sistema de Numeração (Parte 2)20
b. Conversão do sistema decimal para o sistema octal
O método é análogo à conversão do sistema decimal para o binário, utilizando ao invés 
da divisão por 2, a divisão por 8, pois o sistema é octal.
Exemplo 1:Converta o decimal 95 em número octal 
95 8
7 11 8
3 1 último quociente
∴ 9510 = 1378
Na forma polinomial teremos:
82 81 80
1 3 7
95 = 1 × 82 + 3 × 81 + 7× 80
c. Conversão do sistema decimal para o sistema hexadecimal
O método também é análogo à conversão do sistema decimal para o binário, utilizando ao 
invés da divisão por 2, a divisão por 16, pois o sistema é hexadecimal.
1002 16
10 11 16
14 3 último quociente
Mas no sistema hexadecimal 1010 = A e 1410 = E, então:
∴ 1002 10 = 3EA16
Na forma polinomial tem-se:
1002 = 3×162 + 14 × 161 + 10 × 160
Concluindo tem-se:
1002 = 3×162 +E × 161+ A × 160
Exemplo 2: Converta o decimal 28.459 em hexadecimal
28459 16
11 1778 16
2 111 16
15 6
28.459 = 11 × 160 + 2 × 161 + 15 × 162 + 6 × 163 (ordem crescente)
28.459 = 6 × 163 + F × 162 + 2 × 161 + B × 160 (ordem decrescente)
∴ 28.459 = 6F2B16
Sistema de Numeração (Parte 2) 21
OUTROS SISTEMAS PARA O SISTEMA DECIMAL 
A transformação de um sistema qualquer para a forma decimal (a volta) faz-se utilizando 
a forma Polinomial.
a. Conversão do sistema binário para o sistema decimal
Utilizando o conceito básico de formação de um número, ou seja, a forma polinomial.
Exemplo 1: Converta o binário 101 em número decimal
Podemos mostrar que o número 101 na base 2 (sistema binário), é igual ao número 5 na 
base 10 (sistema decimal). 
Vejamos: 
22 21 20
1 0 1
1012 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 
1012 = 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 
1012 = 4 + 0 + 1
1012 = 5
∴ 1012 = 5
Exemplo 2: Converta o número 101012 para o sistema decimal.
 24 23 22 21 20
 1 0 1 0 1
 101012 =1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 
 101012 =1 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2+ 1 × 1 
 101012 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1
 101012 = 21
 ∴ 101012 = 2110
Exemplo 3: Converta o binário 100011 para a forma decimal
1000112 = 1×25 + 0×24 + 0×23 + 0×22 + 1 ×21 + 1×20
1000112 = 1 × 32 + 0 + 0 + 2 + 1
1000112 = 32 + 2 + 1
1000112 = 35
No Quadro das Potências temos:
25 24 23 22 21 20
1 0 0 0 1 1
32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 1
1000112 = 32 + 2 + 1
1000112 = 35
 ∴ 1000112 = 35
Sistema de Numeração (Parte 2)22
b. Sistema Octal Para o Sistema Decimal
Utiliza-se a Forma Polinomial ou o Quadro das Potências que geram os conceitos básicos 
de formação de um número, para convertermos um número octal em decimal.
Exemplo 1: 1328 = (?)10
82 81 80
1 3 2
 132 8 = 1 × 82 + 3 × 81 + 2 × 20 
 132 8 = 1 × 64 + 3 × 8 + 2 × 1 
 132 8 = 90
∴ 132 8 = 90 
Exemplo 2: 74568 = (?)10
83 82 81 80
7 4 5 6
74568 = 7×83 + 4×82 + 5×81 + 6×80
74568 = 7×512 + 4×64 + 5×8 + 6×1
74568 = 3.584 + 256 + 40 + 6
74568 = 3.886
∴ 74568 = 3.886
c. Sistema hexadecimal para o sistema decimal
A transformação é análoga aos outros sistemas, ou seja, utilizando-se a Tabela das 
Potências, ou seja, a Forma Polinomial. 
Exemplo 1: Converter para o sistema decimal o número hexadecimal 4E .
161 160
4 E
 4E16 = 4 × 161 + 14 × 160 
 4E16 =64 +14
 4E16 = 78 
Exemplo 2: Converter para o sistema decimal o número hexadecimal DAD04.
164 163 162 161 160
65.536 4.096 256 16 1
D A D 0 4
13 10 13 0 4
DAD0 416 = 13×65.536 + 10×4.096 + 13×256 + 0×16 + 4×1
DAD0 416 = 851.968 + 40.960 + 3.328 + 0 + 4
DAD0 416 = 896.260
Sistema de Numeração (Parte 2) 23
CONVERSÃO DO SISTEMA BINÁRIO PARA OS DEMAIS
a. Sistema binário para o sistema octal
O número 8 transformado em potência de base 2 é:
 8 = 23
Assim utilizamos três bases 2 para se obter um octal, ou seja, agrupamos de três em três 
binários para obter um octal.
Exemplo 1: Consideremos o número binário 11001 para transformarmos esse número em 
octal, vamos separá-lo em grupos de três algarismos a partir da direita. Mas antes iremos 
acrescentar zeros à esquerda até completarmos o grupo de três algarismos. Assim:
Acrescentamos um zero à esquerda 011001
Faremos então a conversão desses grupos de algarismos para o sistema decimal (ver 
tabela). Notemos que o maior número que se pode formar com três algarismos binários 
é o número sete (7). 
 ∴ 11001 2 = 31 8
Exemplo 2: 1111111102 = (?) 8
  
111 111 100
7 7 6
  
111 111 100
7 7 6
 ∴ 1111111102 = 776 8
b. Sistema binário para sistema hexadecimal
É análoga à conversão do sistema binário para o octal, apenas agrupamos de quatro em 
quatro algarismos da direita para a esquerda, porque 16 = 24.
Exemplo 1: 10 0011 11002 = (?)16
Acrescentamos dois zeros à esquerda
  
0010 0011 1100
2 3 C
∴ 10001111002 = 23C16
Exemplo 2: 1110 0001 1011 10002 = (?)16
 
   
1110 0001 1011 1000
1 8E B
∴ 1110 0001 1011 10002 = E1B816
Sistema de Numeração (Parte 2)24
c. Sistema octal para o sistema binário 
utilizaremos a mesma regra, ou seja, como 8 = 23 o método consiste em desmembrar o 
número octal em que cada algarismo é composto por três binários. 
Exemplo 1: 728 = (?)2
 
 
7 2
111 010
 ∴ 728=1110102
Exemplo 2 : 357068 = (?)2
    
3 5 7 0 6
011 101 111 000 110
∴357068=011 101 111 000 1102
d. Sistema hexadecimal para o sistema binário 
É análoga à conversão do sistema octal para binário, apenas necessitamos de quatro 
algarismos binários para representarmos um algarismo hexadecimal.
Exemplo: Converter o número hexadecimal F1316 para o sistema binário.  
1 3
1111 0001 0011
F
∴ F1316=1111000100112
CONVERSÕES ENTRE OS SISTEMAS 
OCTAL E HEXADECIMAL 
Não há uma transformação direta, o ideal é intermediar com o sistema binário, porque 
8 = 23 e 16 = 24 . Assim agrupamos de três em três ou de quatro em quatro como veremos 
a seguir.
Exemplo 1: 73418 = (?) 16
Inicialmente transformamos o octal em binário.
   
7 3 4 1
111 111 000 001
O binário originalizado é transformado em hexadecimal a partir de agrupamentos de quatro 
em quatro binários, da direita para a esquerda.
0 11111 10
1
00 01
E E
  
7341 8= 1111000100112 = EE1 16
∴ 73418 = EE116
Sistema de Numeração (Parte 2) 25
Exemplo 2: 100648 = (?) 16
    
001 000 100
001 000 100
001
1 0 0 6 4
000 110
000 110
0 000 11 0
1
0 00 00
0 4
1
3
   
 ∴ 100648= 103416
Exemplo 3: 8A01F16 = (?)8
Inicialmente transformamos o hexadecimal em binário (agrupamento de 4 em 4), 
 8 A 0 1 F
 1000 1010 0000 0001 1111
E depois esse binário em octal (agrupamento de 3 em 3).
 010 001 010 000 000 011 111
 2 1 2 0 0 3 7
E assim a conversão de Hexadecimal para Octal é realizada dessa forma, passando inicial-
mente pelo sistema Binário.
 ∴ 8A01F16= 21200378
Exemplo 4: FEDE16 = (?)8
Passando para binário (4 em 4)
 1111 1110 1101 1110
Separando de 3 em 3 (octal)
 001 111 111 011 011 110
 1 7 7 3 3 6
 ∴ FEDE116 = 1773368
Operações envolvendo 
os sistemas de numeração
Quando operamos no mesmo sistema de numeração basta seguir a regra prática da opera-
ção como foi visto no sistema decimal desde o início de nosso aprendizado, fazemos os 
agrupamentos de bases. Mas como faremos com outros sistemas? Faremos as operações 
de forma análoga, lembrando que só poderemos trabalhar com os dígitos que compõem 
o correspondente sistema em questão. 
Assim quando num agrupamento conseguimos formar um conjunto completo de elemen-
tos que compõe aquele sistema automaticamente a ordem supera, isto é, “vai um”.
Vamos verificar isso com alguns exemplos.
Sistema de Numeração (Parte 2)26
Exemplo 1: 
 12 + 12 = (?)2
A cada conjunto de dois algarismos “1” do 
sistema binário formaremos uma ordem superior
 1
1 1
 
 0
∴ 12 + 12 = 102
Exemplo 2: 
12 + 12 + 12 = (?)2
A cada conjunto de dois algarismos “1” do 
sistema binário formaremos uma ordem superior
 1
1 1
 
 1
∴ 12 + 12 + 12 = 112
Exemplo 3: 
 1100112 + 100102 = (?)2
Veja como formamos os resultados e aumentamos a ordem.
1 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 +
1 2 0 0 2 1
Mas não existe o símbolo “2” no sistema binário. A quantidade 2 é representada pelo 
número 10, ou seja, dois dígitos (dois algarismos), aí vai “1”, e assim sucessivamente.
1 1 1
1 1 0 0 1 1
0 1 0 0 1 0 +
1 0 0 0 1 0 1
Assim o resultado da operação (110011 + 10010)2 = 10001012
Exemplo 4: 
15A16 + 7B16 = (?)16
Vamos lembrar inicialmente que o algarismo A representa a quantidade 10 e que o algaris-
mo B representa a quantidade 11, assim ao somarmos 10 + 11 obtemos 21, vamos a cada 
agrupamento completo da base subir uma ordem no sistema, ou seja, supera 1 unidade e 
fica apenas o resto que não forma um agrupamento completo do sistema. 
Assim A + B = 10 + 11 = 21 que representa 16 + 5 , isto é, temos uma quantidade comple-
ta de “16” e restam 5, portanto:
Sistema de Numeração (Parte 2) 27
1
1 5 A
0 7 B +
5
A + B = 21 menos 16 sobram 5 e vai 
uma ordem
1
1 5 A
0 7 B +
D 5
1 + 5 + 7 = 13 que representamos pelo 
algarismo "D"
1
1 5 A
0 7 B +
1 D 5
1 + 0 = 1
Exemplo 5: 
548 + 378 = (?)8
1
5 4
3 7
3
4 + 7 = 11 tirando uma classe completa 
restam 3 (11 – 8 = 3) e "vai um"
1 1
5 4
3 7
1 3
1 + 5 + 3 = 9 tirando uma classe comple-
ta resta 1 (9 – 8 = 1) e "vai um"
1 1
0 5 4
0 3 7
1 1 3
1 + 0 + 0 = 1
Assim 548 + 378 = 1138 
Com base nos conhecimentos de cálculos envolvendo operações no sistema decimal, 
de forma análoga faremos cálculos também em outros sistemas de numeração, basta 
lembrarmos dos conjuntos de algarismos que compõe cada sistema, pois as regras para 
as outra operações têm os mesmos procedimentos.
A forma mais simples de operar com outros sistemas é trabalhando tudo na base binária, 
porque tem menos algarismos nesse sistema (“0” e “1”) , gerando menos possibilidades 
de erros.
Exemplo 6: 
100112 × 7 = (?) 8
Inicialmente vamos transformar o decimal 7 em binário, depois multiplicar, e o resultado 
obtido passar para a base octal agrupando os binários encontrados de três em três.
Sistema de Numeração (Parte 2)28
7 = 1112
(10011 × 111)2
1 0 0 1 1
1 1 1 ×
1 0 0 1 1
1 0 0 1 1 0
+ 1 0 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0 1
(10011 × 111)2 = 100001012
 Agora passando o binário encontrado para octal basta agrupar de 3 em 3:
 010 000 101
 2 0 5
100112 × 7 = 2058
Exemplo 7: 
 5718 – 3C16 = (?)16 
Transformando o octal 571 e o hexadecimal 3C em binários teremos: 
    
5 7 1 3
101 111 001 0011 0
e
110
C
5718 – 3C16 = 1011110012– 001111002 = ?
1 0 1 1 1 1 0 0 1
0 0 1 1 1 1 0 0
0 1
1 – 0 = 1 e 0 – 0 = 0 mas 0 – 1 = ?
0 1
1 0 1 1 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 1 1 0 0
0 1
Nesse caso vamos tomar emprestados 
da casa anterior. 
E continuamos até que tenhamos que 
tomar emprestados de novo.
1 1 1
0 0 0 0 1
1 0 1 1 1 1 0 0 1
0 0 0 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1
1 – 1 = 0 e voltamos a 1 – 0, emprésti-
mo da casa anterior. 
E assim sucesivamente.
Sistema de Numeração (Parte 2) 29
Mas o resultado foi pedido na base hexadecimal, então agora é só fazer agrupamentos de 
4 em 4 que teremos o correspondente número hexadecimal.
  
1 0000 0001
1 0
000
1
∴ 5718 – 3C16 = 10116
SUBTRAÇÃO
Outro processo de efetuar a subtração numa certa base é por meio do “Complemento da 
base “b-1”
Mas como isso acontece?
Vamos aprender o processo do Complemento de base 1 ( maior algarismo do sistema 
binário).
Numa subtração temos x – y = z onde os termos são:
x: minuendo
y: subtraendo
z: é a diferença 
Procedimentos: 
1º Completamos com zeros à esquerda do número (minueno ou subtraendo) que possuir 
o menor número de casas (dígitos);
2º Para o subtraendo vamos trocar todos os algarismos pelos seus complementos: zero 
vira 1 e 1 vira zero..
3º Adicionamos o subtraendo ao novo número encontrado (complemento do subtraendo).
4º Se o minuendo for maior que o subtraendo, significa que a diferença é positiva. Nesse 
caso, se o número obtido pela soma anterior terá o 1º dígito da esquerda igual a “1” 
(positivo), portanto ele sai da poisição em que se encontra (1º da esquerda) e será 
adicionado ao último algarismo da direita do número encontrado. Esse novo resultado 
será o resultado final da diferença proposta.
Exemplo: 1110112 – 101012 = ( ? )2
Resolução:
Vamos seguir os procedimentos anteriores
1º Completar com zeros o menor dos números.
1 1 1 0 1 1
0 1 0 1 0 1
2º Trocamos os dígitos do subtraendo pelos complementos:
1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0
Sistema de Numeração (Parte 2)30
3º Somamos esses números do passo anterior:
1 1 1 1
1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0 +
1 1 0 0 1 0 1
4º O primeiro dígito da esquerda é “1” ele sai da posição em que se encontra (esquerda) 
e vai ser adicionado ao último algarismo da direira do número encontrado.
1 1 1 1
1 1 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0 +
1 1 0 0 1 0 1
1
1 0 0 1 1 0
Portanto 1110112 – 101012 = 1001102
5º) Se o minueno for menor que o subtraendo, significa que a diferença é negativa.
Nesse caso, após o 3º procedimento, teremos o resultado encontrado terá como primeiro 
dígito à esquerda igual a zero (negativo), ainda teremos que trocar cada dígito desse novo 
númeropelo seu complemento de 1, ou seja zero vira 1 e 1 vira zero.
Exemplo: 101012 - 1100112 = ( ? )2
Vamos aos procedimentos:
1º Completamos o meor número com ”zeros” à esquerda.
0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1
2º O subtraendo é substituído pelo seu complemento.
0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0
3º Somamos esses números:
1 1 1
0 1 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 +
0 1 0 0 0 0 1
4º O 1º díigito da esquerda é zero, significa que a diferença é negativa portanto despre-
zamos esse dígito e trocamos cada um dos outros dígitos desse resultado pelo seu 
complemtento de 1 e o novo resultado será o resultado final.
1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 02
Sistema de Numeração (Parte 2) 31
TOME NOTA
NOTA: O Zero à esquerda representa o sinal negativo, nesse caso teremos “ – 100001”, onde 
cada algarismos será substituído pelo seu complemento de 1, ou seja, 011110.
Assim teremos que: 101012 – 1100112 = 111102
Dessa forma você pode operar em qualquer sistema bastando para isso você utilizar uma 
base padrão. 
A seguir apresentaremos a Tabela de Conversões dos Sistemas, para que você possa 
exercitar ou convertendo ou operando os números de qualquer sistema.
Tabela de Conversões de Sistemas
Decimal Binário Octal Hexadecimal
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
AGORA VOCÊ JÁ ESTÁ PRONTO PARA PRATICAR SOZINHO
1. Converter os seguintes números:
a. 1A3ED16 = ( _____________ ) 8 
b. 34578 = ( _____________ )16 
c. 110110= ( _____________ ) 8 
d. B0DE16= ( _____________ ) 2
e. C3FB516= ( _____________ )10
f. 92CD16 = ( _____________ ) 2
g. 16428 = ( _____________ ) 2
h. 47028 = ( _____________ ) 10
Sistema de Numeração (Parte 2)32
2. Quantos dígitos são necessários, sem fazer a conversão, para escrever os seguintes 
números nas bases indicadas:
a. 342= ( _____________ )2 ___ dígitos
b. 5.217 = ( _____________ )16 ___ dígitos
c. 1.343 = ( _____________ )8 ___ dígitos
3. Calcule:
a. 111110111012 + EB716= ( _____________ )8
b. 7458 – 111011012= ( _____________ )16
c. EB416× 10112 = ( _____________ ) 8
d. 6713758 – FACA16 = ( _____________ ) 2
e. DAD516 – 1111100011012 = ( _____________ ) 8
f. 1111011101012 – 73758= ( _____________ )16
4. Calcule as seguintes subtrações utilizando o processo do Complemento de 1:
a. 11000110002 – 1100112 = ( ? )2
b. 11011012 – 1110111002 = ( ? )2
Confira as respostas na próxima página.
Sistema de Numeração (Parte 2) 33
RESPOSTAS
1. 
a. 3217558
b. 72F16
c. 3270368
d. 10110000110111102
e. 802.741
f. 10010010110011012
g. 11101000102
h. 2.498
2. 
a. 9 dígitos
b. 4 dígitos
c. 4 dígitos
3. 
a. 132248
b. F816
c. 1206748
d. 4740638 = 100 111 100 000 110 0112
e. 1455108
f. 7816
4. 
a. 10111001012
b. 111011112
Sistema de Numeração (Parte 2)34
NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA
História 
Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste 
caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada 
na Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma 
definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua ideia está 
ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que dependem dos estruturados argu-
mentos envolvidos nele. Assim a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, 
isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as 
proposições.
A Lógica tem, por objeto de estudo, as leis gerais do pensamento, e as formas de aplicar 
essas leis corretamente na investigação da verdade. Considerada como ciência do racio-
cínio e da demonstração, começou a desenvolver-se com Aristóteles (384-322 a.C) e 
os antigos filósofos gregos passaram a usar em suas discussões sentenças enunciadas 
nas formas afirmativas e negativa, resultando assim grande simplificação e clareza, com 
efeito de grande valia em toda a Matemática. Aristóteles se preocupava com as formas 
de raciocínio que, a partir de conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter 
novos conhecimentos. A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à 
Lógica a formulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam à descoberta 
de novas verdades. Essa forma de encadeamento é chamada, em Lógica, de argumento. 
Argumento é uma sequência de proposições na qual uma delas é a conclusão e as 
demais são premissas. As premissas justificam a conclusão. 
• Proposições: sentenças afirmativas que podem ser verdadeiras ou falsas. 
• Premissas: afirmações disponíveis. 
O objetivo de um argumento é justificar uma afirmação que se faz, ou dar as razões para 
uma certa conclusão obtida. 
Por volta de 1666, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) usou em vários trabalhos o que 
se chamou calculus ratiotinator, ou logica mathematica ou logística. estas ideias nunca 
foram teorizadas por Leibniz, porém seus escritos trazem a idéia da Lógica Matemática.
No século XVIII, Leonhard Euler (1707-1783) introduziu a representação gráfica das 
relações entre sentenças ou proposições, mais tarde ampliada por John Venn (1834-
1923), E.W. Veitch em 1952 e M . Karnaugh em 1953. Em 1847, Augustus De Morgan 
(1806-1871) publicou um tratado Formal Logic envolvendo-se em discussão pública com 
o filósofo escocês William, conhecido por sua aversão à Matemática, o qual entre outras 
coisas escreveu: “ A Matemática congela e embota a mente; um excessivo estudo da 
Matemática incapacita a mente para as energias que a filosofia e a vida requerem “ . 
George Boole (1815-1864), ligado pela amizade de De Morgam, interessou-se pelo deba-
te entre o filosofo e o matemático, escrevendo The mathematical analysis of logic (1848) 
em defesa de seu amigo; mais tarde publicou um livro sobre Álgebra de Boole, chamado 
Na investigation of the laws of thought (1854) e em 1859 escreveu Treatise on differen-
tial equations no qual discutiu o método simbólico geral. O trabalho de Boole foi ampliado 
por Lewis Carrol (1896), Whitehead (1898), Huntington (1904 e 1933), Sheffer (1913) 
e outros. Esse período de desenvolvimento da Lógica culminou com a publicação do 
Principia mathematica por Alfred North-Whitehead (1861-1947) e Bertrand Russel (1872-
1970), que representou grande ajuda para completar o programa sugerido por Leibniz, que 
visava dar uma base lógica para toda a Matemática.
Noções de Lógica Matemática 35
A Álgebra de Boole, embora existindo há mais de cem anos, não teve qualquer utilização 
prática até 1937,quando foi feita a 1ª aplicação à análise de circuitos de relés por A. 
Nakashima, que não foi bem sucedido, pois, ao invés de desenvolver a teoria já existen-
te, tentou desenvolver a Álgebra Booleana por conceitos próprios. Em 1938 Claude E. 
Shannon mostrou, em sua tese de mestrado no Departamento de Engenharia Elétrica do 
MIT (Massachusetts Institute of Technology), a aplicação da Álgebra de Boole na análise 
de circuitos de relés, usando-a com rara elegância, o que serviu de base para o desenvol-
vimento da teoria dos interruptores.
Sistemas dicotômicos
O mundo em que vivemos apresenta situações com dois estados apenas, que mutuamen-
te se excluem, como veremos, na tabela a seguir, alguns exemplos:
1 0
Sim Não
Dia Noite
Preto Branco
Ligado Desligado
Há situações como morno e tépido, diferentes tonalidades de vermelho, e outros que não 
se apresentam como estritamente dicotômicas, ou seja, com dois estados excludentes 
bem definidos.
Tipos de linguagens
Linguagem é o uso da palavra como meio de expressão e de comunicação entre pessoas. 
É a forma de expressão pela linguagem própria do indivíduo. 
Ostipos de linguagens que serão usados na Lógica serão:
• Linguagem comum (usual, escrita e falada)
Exemplo: Ana é professora.
• Linguagem simbólica (com gráficos, diagramas, tabelas, símbolos)
Exemplo: Ana é professora.
Linguagem simbólica: A
• Linguagem técnica (com termos técnicos específicos de cada área)
Exemplo: Ana é professora: A
Conjunto de professores: P
Linguagem Técnica: Ana pertence ao conjunto de professores: A ∈ P
Noções de Lógica Matemática36
Cálculo das proposições 
A Lógica matemática (ou Lógica Simbólica) trata do estudo das proposições, as quais 
devem satisfazer, ou seja, ser governada por três princípios fundamentais: 
• Princípio do Terceiro Excluído: 
Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, nunca um terceiro caso, outra 
alternativa. De acordo com esses princípios, podemos afirmar que: toda proposição 
admite um e um só dos valores 1 ou 0.
Exemplo: 2 é par. 
Essa proposição é verdadeira, não é falsa e jamais terá outra possibilidade.
• Princípio da Não Contradição: 
Uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo.
Exemplo: Se 2 é par então não pode ser ímpar.
Uma contraria a outra.
• Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. 
Ex: 2 é par porque é par (todo par termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, portanto 2 é par).
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas, sendo 
mutuamente exclusivos os dois casos, por isso, a Lógica Clássica é Bivalente.
A Lógica é extensivamente usada em áreas como Inteligência Artificial e Ciência da 
computação. 
Nas décadas de 50 e 60, pesquisadores previram que quando o conhecimento humano 
pudesse ser expresso usando lógica com notação matemática, supunham que seria possí-
vel criar uma máquina com a capacidade de pensar, ou seja, inteligência artificial. Isto se 
mostrou mais difícil que o esperado em função da complexidade do raciocínio humano. A 
programação lógica é uma tentativa de fazer computadores usarem raciocínio lógico e a 
linguagem de programação Prolog é comumente utilizada para isto.
Na lógica simbólica e lógica matemática, demonstrações feitas por humanos podem ser 
auxiliadas por computador. Usando demonstração automática de teoremas os computa-
dores podem achar e verificar demonstrações, assim como trabalhar com demonstrações 
muito extensas.
Na ciência da computação, a álgebra booleana é a base do projeto de hardware. As 
aplicações da Álgebra de Boole ou Álgebra Lógica são usadas não só no processamento 
automático de dados (computação), como também na automatização da produção 
industrial, mediante a utilização da teoria aplicada aos fluidos. A Lógica simbólica aplica-
se em alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica.
Noções de Lógica Matemática 37
Proposição ou sentença
DEFINIÇÃO
É uma frase afirmativa (jamais exclamativa, imperativa ou interrogativa) que assume um 
e apenas um valor-verdade: ou é verdadeira ou é falsa;
É toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
Portanto de acordo com as considerações acima as expressões do tipo: 
“O dia está lindo! ” 
“ Que dia é hoje ?” 
“ 2+6 =x ”
“ x é um número real ” 
"Vá estudar"
não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico 
definido (verdadeiro ou falso) ou por serem interrogativas, imperativas ou exclamativas.
CLASSIFICAÇÃO
1) PROPOSIÇÃO SIMPLES
Conhecida pelo verbo de ligação (se não tem operador lógico). 
Proposição Simples = Proposição Atômica = Átomo.
As proposições atômicas são indicadas por letras isoladas do nosso alfabeto: 
Minúsculas: a, b , c ,... 
ou maiúsculas: A, B, C, ... .
Exemplo 1: Ana é professora.
Letra sentencial: A
Exemplo 2: π é um número racional.
Letra Sentencial: P
2) PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Conhecida pelo operador lógico, é formada através de junção de duas ou mais proposições ou 
da transformação de uma proposição simples por um conectivo (ou operador lógico). 
Chamam-se conectivos lógicos ou operadores lógicos palavras ou expressões que se 
usam para formar novas proposições, a partir de proposições dadas. Veja algumas propo-
sições compostas formadas por diferentes conectivos (grifados): 
P: O número 4 é quadrado perfeito e o número 3 é ímpar.
Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.
R: Se 2 é par, então π é racional.
Noções de Lógica Matemática38
Operadores lógicos ou conectivos
Os operadores lógicos são elos (ligação) entre duas ou mais proposições ou é um modifi-
cador de valor verdade de uma proposição. Os operadores se classificam em:
1) Monádicos: 
É o operador que gera uma sentença a partir de uma proposição dada por uma partícula 
de Negação.
Operador Monádico de Negação: Se é uma proposição alterada pelo negador “NÃO” 
(partícula que inverte o valor de uma proposição).
Exemplo: 
Proposição Simples: Ana é professora: A
Proposição Composta por Negação:
Ana não é professora.
 não A
2) Diádicos: 
São operadores que geram novas proposições a partir de pelo menos duas (2) proposições 
dadas, denominadas proposições compostas ou moleculares. Os operadores diádicos são: 
Conjunção, Alternação, Discordância, Condicional e Bicondicional.
Assim as proposições compostas (moleculares) são classificadas em:
a) Conjunção: 
Formada de duas proposições ligadas pelo conjuntor “e” (ou termo semelhante). 
Exemplo:
Proposições Simples: Ana é professora: A
 Ana é bonita: B
Proposição Composta por Conjunção: 
 Ana é professora e é bonita.
 A e B
b) Alternação: 
Formada por duas proposições ligadas pelo alternador “ou”.
Exemplo:
Proposições Simples: Ana é professora: A
 Ana é bonita: B
Proposição Composta por Alternação: 
 Ana é professora ou é bonita. 
 A ou B
Noções de Lógica Matemática 39
c) Discordância: 
Formada de duas proposições ligadas pelo discordante “...ou ...ou...”.
Exemplo:
Proposições Simples: Ana é professora: A
 Ana é bonita: B
Proposição Composta por Discordância:
 Ana ou é professora ou é bonita. 
 ou A ou B
d) Condicional: 
Formada de duas proposições ligadas pelo condicionador “Se..., então...”.
Exemplo:
Proposições Simples: Ana é professora: A
 Ana é bonita: B
Proposição Composta por Condicional: 
 Se Ana é professora, então ela é bonita. 
 Se A, então B
e) Bicondicional: 
Formada por proposições ligadas pelo bicondicionador “se, e só se...”.
Exemplo:
Proposições Simples: Ana é professora: A
 Ana é bonita: B
Proposição Composta por Bicondicional: 
 Ana é professora se, e somente se é bonita. 
 A se, e somente se B
Na Tabela abaixo, temos a representação de todos os tipos de proposições compostas, 
com as respectivas expressões e os símbolos desses operadores lógicos. 
PROPOSIÇÂO EXPRESSÃO SÍMBOLO
1) Negação Não ¬, ~ , –
2) Conjunção e ∧ , &
3) Alternação ou v
4) Discordância ... ou... ou... w , v
5) Condicional Se..., então... →
6) Bicondicional ...se, e somente se... ↔
Noções de Lógica Matemática40
Vamos exercitar um pouco.
Exemplo 1: Para as proposições a seguir:
1. O meu gato é amarelo.
2. Alguns gatos são amarelos.
3. Os gatos são pretos.
4. Alguns gatos não são pretos.
5. O gato de Maria é branco.
6. O meu gato é amarelo ou o gato de Maria não é branco, no entanto existem gatos 
amarelos.
7. Se meu gato é amarelo, então existem gatos que não são pretos.
8. Alguns gatos são amarelos se, e somente se existem gatos pretos ou brancos.
9. Ou o gato de Maria é branco ou o meu não é amarelo, mas alguns gatos são pretos.
10. Se meu gato é azul, então o gato de Maria é branco ou o meu gato não é amarelo.
pede-se:
• Construir o esquema Abreviador (letras sentenciais = Átomos)
• Simbolizá-las 
• Classificá-las em Simples ou Compostas (tipo).Resolução: 
Esquema Abreviador (átomos):
A: O meu gato é amarelo.
B: Alguns gatos são amarelos.
C: Os gatos são pretos.
D: O gato de Maria é branco.
E: Os gatos são brancos.
F: O meu gato é azul.
A simbolização e classificação de cada uma delas:
1. Simples: A
2. Simples: B
3. Simples: C
4. Composta por Negação (não C): ~C
5. Simples: D
6. Composta por Conjunção: (A ou não D, e B): (A v ~D) ∧ B 
7. Composta por Condicional: Se A então não C: A → ~C
8. Composta por Bicondicional: B se e só se, C ou E: B ↔ (C v E)
9. Composta por Conjunção: Ou D ou não A, mas C: (D w ~A) ∧ C
10. Composta por Condicional: Se F, então D ou não A: F → (D v ~A)
Noções de Lógica Matemática 41
CONSTRUÇÃO DE TABELAS-VERDADE DE 
UMA PROPOSIÇÂO COMPOSTA QUALQUER: 
NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE
Considerando que as proposições admitem um e só um valor-verdade, cada uma delas é 
verdadeira ou é falsa. Indiferentemente, os valores lógicos também costumam ser repre-
sentados por 0(zero) para proposições falsas e 1(um) para proposições verdadeiras.
Proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), estão associadas à 
analogia de que zero(0) significa um circuito elétrico desligado e um(1) significa um circui-
to elétrico ligado, que nos lembra alguma coisa vinculada aos computadores, ou seja, a 
base lógica da arquitetura dos computadores. 
“VERDADE OU FALSIDADE” (V=1 e F=0)
P P
F 0
V 1
P
F
V
OPERAÇÔES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES
Nas composições, o valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente 
dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univoca-
mente determinado. Usaremos como meio auxiliar na construção das tabelas-verdade o 
“diagrama da árvore”, que se vê ao lado das tabelas. Na situação atual, os números que 
aparecem na primeira coluna têm apenas a finalidade de indicar o número de linhas para 
cada exemplo apresentado.
Para as proposições compostas, veremos que o número das componentes simples deter-
mina o número de linhas das tabelas-verdade.
Se a proposição é formada por dois átomos P e Q, teremos 4 linhas:
 
P
Q
Q
0
0
0
0
1
1
1
LINHAS P Q
1a 0 0
2a 0 1
3a 1 0
4a 1 1
Noções de Lógica Matemática42
Assim a cada átomo novo duplica o número de possibilidades (valores 1 e 0).
Se a proposição é formada por três átomos P, Q e R, teremos 8 linhas:
P
Q
Q
R
R
R
R
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
LINHAS P Q R
1ª 0 0 0
2ª 0 0 1
3ª 0 1 0
4ª 0 1 1
5ª 1 0 0
6ª 1 0 1
7ª 1 1 0
8ª 1 1 1
E assim sucessivamente. Portanto o número de linhas da tabela-verdade depende do 
número de átomos (combinações dos binários) que a compõem.
Sendo assim, cada proposição simples “ P “ tem dois valores: 1 ou 0, que se excluem. Daí, 
para “n” proposições atômicas distintas P1 , P2 , P3 , ... , Pn há tantas possibilidades quantos 
são os arranjos com repetição de 2 elementos (0 e 1), n a n , isto é, A2,n= 2n. Segue-se que 
o número de linhas da tabela-verdade é 
2n 
onde n é o número de átomos distintos que a compõe.
Portanto, para a construção prática da tabela de uma proposição composta basta verifi-
carmos o número de átomos que a compõe e daí combinarmos alternadamente os valores 
verdade 0 e 1, sendo que o primeiro átomo levará o maior número possível de valores 0 e 
1 seguidamente (metade da tabela será composta com número 0 e a outra metade será 
completada com número 1) e assim sucessivamente. A convenção que adotaremos inicia-
rá por falso e depois por verdadeiro. 
Assim, para a proposição composta com dois átomos distintos teremos 22 = 4 linhas; para 
3 átomos distintos teremos 23 = 8 linhas, e assim sucessivamente, como foi visto acima.
Além disso, para determinar o valor-verdade da proposição composta precisa-se saber o 
valor-verdade de cada operador (conectivo) que a compõe, e isso será dado pelas defini-
ções de cada operador lógico. 
Noções de Lógica Matemática 43
Definições dos operadores 
lógicos: valor-verdade
a. NEGAÇÃO
~ (lê-se “ não”)
~ P inverte o valor-verdade da proposição P
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma 
delas, seu valor lógico V ou F, podendo ser também 1 ou 0. 
Exemplo 1:
 P : 2 > 0 (V)
 ~ P : 2 > 0 (F)
Exemplo 2:
P : 3 é o divisor de 5 (F)
~ P : 3 não é o divisor de 5 (V)
b. CONJUNÇÃO
∧ (lê-se “e”)
P ∧ Q só e verdadeiro quando as proposições P e Q são ambas verdadeiras.
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma 
delas, seu valor lógico V ou F, podendo ser também 1 ou 0. 
Exemplo 1:
 P : 2 > 0 (V)
 Q : 2 ≠ 1 (V)
 P ∧ Q : 2>0 e 2 ≠ 1 (V)
Exemplo 2:
P : 3/5 (3 é o divisor de 5) (F)
Q : 4/5 (F)
P ∧ Q : 3/5 e 4/5 (F)
Exemplo 3:
 P : A Lua é quadrada (F)
Q : A neve é branca (V)
P ∧ Q : A Lua é quadrada e a neve é branca.(F)
TABELA VERDADE: P ∧ Q (P e Q são chamados conjuntores).
P ∧ Q
0 0 0
0 0 1
1 0 0
1 1 1
Noções de Lógica Matemática44
c. DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE
∨ (lê-se “ou” inclusivo)
‘P ∨ Q - só será falsa se ambas, P e Q, forem falsas
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma 
delas, seu valor lógico V ou F, podendo ser também 1 ou 0. 
Exemplo 1:
P : 10 é nº primo.(F) 
Q : 10 é nº composto. (V)
P ∨ Q : 10 é nº primo ou é nº composto (V)
Exemplo 2:
 P : 34 < 26 (F)
Q : 22 < (-3)5 (V)
P ∨ Q : 34 < 26 ou 22 < (-3)5 (V)
Exemplo 3:
P : A lua é quadrada (F)
Q : A neve é branca. (V)
P ∨ Q : A lua é quadrada ou a neve é branca. (V) 
TABELA VERDADE: P ∨ Q (P e Q são chamados disjuntores)
P v Q
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 1 1
d. DISJUNÇÂO EXCLUSIVA
w (lê-se: ou excludente)
P w Q - só será falsa se ambas, P e Q, receberem o mesmo valor lógico 
Exemplo:
P : O número 2 é ímpar. (F)
Q : π é um número racional. (F)
P w Q : Ou 2 é ímpar ou π é número racional. (F) 
 A TABELA-VERDADE: P w Q
P w Q
0 0 0
0 1 1
1 1 0
1 0 1
Noções de Lógica Matemática 45
e. CONDICIONAL 
→ (lê-se “se ... , então .. ”).
P → Q só será falsa se P for verdadeira e Q for falsa
Na Condicional P → Q teremos:
P é o antecedente (hipótese) e 
 Q é o consequente (tese).
Exemplo:
P: “a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por S1= 180(n-2) “ (V)
Q: “O Sol é um planeta” (F)
P → Q : Se a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si=180(n-2), 
então o Sol é um planeta. (F)
Q → p : Se O Sol é um planeta, então a soma dos ângulos internos de um polígono de n 
lados é dada por S i = 180 (n- 2).(V)
Podemos verificar que na proposição composta abaixo é logicamente verdadeira não 
obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase.
“Se o Sol é um planeta, então a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é 
dada por Si=180(n-2)” (V)
A TABELA VERDADE: P → Q
P → Q
0 1 0
0 1 1
1 0 0
1 1 1
f. BICONDICIONAL
↔ (lê-se “... se e somente se ...”).
P ↔ Q só será verdadeira se P e Q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas.
Exemplo 1:
P : 2 | 14 (2 é divisor de 14) (V)
Q : 2 . 5 | 14 . 5 (V)
P ↔ Q : 2 | 14 se e somente se 2 . 5 | 14 . 5 (V)
Exemplo 2:
P : O Sol é um planeta. (F) 
Q : Tiradentes morreu afogado (F)
P ↔ Q : O Sol é um planeta se, e somente se Tiradentes morreu afogado. (V) 
A TABELA VERDADE: P ↔ Q
P ↔ Q
0 1 0
0 0 1
1 0 0
1 1 1
Noções de Lógica Matemática46
NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA - 
CÁLCULO PROPOSICIONAL (PARTE 1)
Tabela verdade de uma proposição 
composta qualquer
Para determinar o valor lógico de uma proposição composta vai depender do número de 
proposições simples e dos operadores que a compõem.
Vejamos como proceder através de alguns exemplos de construção databela-verdade de 
proposições formadas por átomos quaisquer, cujos valores verdade não são conhecidos. 
Exemplo 1: Construir a tabela-verdade da proposição ~ (P ∧ ~ Q)
Resolução: 
Como a proposição é formada por dois átomos distintos P e Q,dos quais não conhecemos 
seus valores verdade, então pesaremos em todas as suas possibilidades de V ou F, ou 
seja, teremos 4 linhas. A proposição negada começará com o valor-verdade 1.
Assim a tabela-verdade será:
~ (P ∧ ~ Q)
1 0 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
1 1 0 0
Resposta
Exemplo 2: Construir a tabela-verdade da proposição Q v (P → R)
Resolução: 
Essa proposição é formada por 3 átomos distintos portanto são 8 possibilidades, ou seja, 
a tabela-verdade é formada por 8 linhas.
As combinações dos valores verdade seguirá a ordem das letras do alfabeto, portanto P 
ganhará o maior número sucessivo de combinações falsas e depois verdadeiras (de quatro 
em quatro), Q será a segunda (de duas em duas), e finalmente R será a última cujos 
valores aparecem alternadamente falso e verdadeiro (de uma em uma), lembrando que a 
negação inverte essa combinação.
Notamos que o operador mais forte (último a ser resolvido) é a Disjunção Não Excludente 
ou Inclusiva (v)
A Tabela-verdade ficará assim:
Q v (P → R)
0 1 0 1 0
0 1 0 1 1
1 1 0 1 0
1 1 0 1 1
0 0 1 0 0
0 1 1 1 1
1 1 1 0 0
1 1 1 1 1
Resposta
Noções de Lógica Matemática - Cálculo Proposicional (Parte 1) 47
Exemplo 3: Construir a tabela-verdade da proposição (A v ~ C) w (B → ~A)
Resolução: 
Essa proposição é formada por 3 átomos distintos (A,B e C) portanto são 8 possibilidades, 
ou seja, a tabela-verdade é formada por 8 linhas.
As combinações dos valores verdade seguirão a ordem das letras do alfabeto, portanto A 
ganhará o maior número sucessivo de combinações falsas e depois verdadeiras (de quatro 
em quatro), B será a segunda (de duas em duas), e finalmente C será a última cujos valo-
res aparecem alternadamente falso e verdadeiro (de uma em uma).
Notamos que o operador mais forte (último a ser resolvido) é a Disjunção Excludente (w).
A Tabela-verdade ficará assim:
 (A v ~ C) w (B → ~A)
0 1 1 0 0 1 1
0 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0
1 1 1 1 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0
Resposta
Hierarquia dos operadores
Certas proposições já possuem hierarquias de operadores impostas por meio de parênte-
ses, colchetes e chaves. 
Quando não há imposição de indicadores de ordem (parêntese, colchetes, chaves), a 
hierarquia deverá respeitar a seguinte ordem de resolução: primeiro os mais fracos e por 
último os mais fortes, a saber:
1º) Negação: é o mais fraco, por isso é o primeiro a ser resolvido.
2º) Conjunção e Disjunção Não Excludente: possuem a mesma força, e nesse caso a 
hierarquia de resolução é da esquerda para a direita;
3º) Disjunção excludente;
4º) Condicional;
5º) Bicondicional: é o mais forte, por isso é o último.
Quando o operador aparecer repetidamente, a ordem será da esquerda para a direita. 
Noções de Lógica Matemática - Cálculo Proposicional (Parte 1) 48
Exemplo: Construir a Tabela-verdade da seguinte proposição:
A v ~ C w B→ ~A ∧ C
Resposta final 
(operador principal)
[ (A v ~ C) w B ] → (~ A ∧ C)
0 1 1 1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0 0 1
1 1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1
AGORA FAÇA VOCÊ
1. Construir a Tabela-verdade das seguintes proposições: 
a. B → ¬ A ∨¬ B↔ ¬ A
b. C ↔ ~ A w B → ¬ A ∧ C 
c. M → ¬ N ∨ ¬ M ∧ N → M 
2. Eliminar o maior número de parênteses sem modificar a estrutura da proposição, 
respeitando as convenções:
d. (((P ∧ (~Q)) ∧ R) v S) → ((~P) v R) 
e. (P ↔ (((~Q) v (R ∧ S)) → ((¬P) w Q))) 
f. ((((((~P) v (~R)) v (~P)) → (~ R))→ S) ↔ ((~R) ∧ P))
g. (((P v Q) → (~R)) v ((((~Q) ∧ R) ∧ Q)))
Respostas:
1a. B → ¬ A ∨¬ B↔ ¬ A
 [ B → (~A v ~B) ] ↔ ~ A 
0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0
Noções de Lógica Matemática - Cálculo Proposicional (Parte 1) 49
1b. C ↔ ~ A w B → ¬ A ∧ C
 C ↔ [ (~A w B) ] → (~ A ∧ C) ]
0 1 1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1 0 0
1 1 1 0 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 0 1
1c. M → ¬ N ∨ ¬ M ∧ N → M 
M → {[ (~N v ~M) ∧ N ] → M } 
0 1 1 1 1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 1 1 1
2a. (((P ∧ (~Q)) ∧ R) v S) → ((~P) v R) 
 (((P ∧ ~Q) ∧ R) v S) → (~P v R) 
 (P ∧ ~Q ∧ R v S) → (~P v R) 
 P ∧ ~Q ∧ R v S → ~P v R
2b. (P ↔ (((~Q) v (R ∧ S)) → ((¬P) w Q))) 
 (P ↔ ((~Qv (R ∧ S)) → (¬P w Q)))
 P ↔ ~ Q v (R ∧ S) → ¬P w Q 
2c. ((((((~P) v (~R)) v (~P)) → (~ R))→ S) ↔ ((~R) ∧ P))
 (((((~P v ~R) v ~P) → ~ R)→ S) ↔ (~R ∧ P))
 ~P v ~R v ~P → ~ R → S ↔ ~R ∧ P
2d. (((P v Q) → (~R)) v ((((~Q) ∧ R) ∧ Q)))
 (((P v Q) → ~R) v (((~Q ∧ R) ∧ Q)))
 (P v Q → ~R) v (~Q ∧ R ∧ Q)
Noções de Lógica Matemática - Cálculo Proposicional (Parte 1) 50
APLICAÇÃO DE TABELA –VERDADE
A lógica proposicional estuda como raciocinar com afirmações que podem ser verdadei-
ras ou falsas, ou ainda como construir a partir de certo conjunto de hipóteses (proposi-
ções verdadeiras num determinado contexto) uma demonstração de que uma determina-
da conclusão é verdadeira no mesmo contexto. Assim, são fundamentais as noções de 
proposição, verdade, dedução e demonstração.
A lógica proposicional clássica é um dos exemplos mais simples de lógica formal. Esta 
lógica leva em conta, somente, os valores-verdade verdadeiro e falso e a forma das propo-
sições. O estudo detalhado dessa lógica é importante porque ela contém quase todos os 
conceitos importantes necessários para o estudo de lógicas mais complexas.
Assim vejamos algumas aplicações envolvendo o cálculo proposicional e as tabelas-verdade.
Exemplo 1: 
Mamãe fez um bolo de chocolate e deixou-o sobre a mesa para que ele esfriasse, e saiu 
para comprar um refrigerante. Ao voltar encontrou na cozinha seus três filhos: Ana, Bruno 
e Clara.
Imediatamente percebeu que o bolo havia desaparecido e que as três crianças estavam 
envolvidas. Desejando saber quem comeu o bolo e quem diria a verdade, indagou cada 
uma delas e obteve os seguintes depoimentos:
• Ana: Eu não comi o bolo, mas pelo menos um dos outros comeu.
• Bruno: Se eu comi, Ana também comeu.
• Clara: Eu não comi mas Bruno comeu.
Com base nessas informações podemos deduzir que o caso envolve fatos (ações) e depoi-
mentos (das pessoas envolvidas no fato).
FATOS (COMER O BOLO) DEPOIMENTOS (PESSOAS ENVOLVIDAS)
A: ANA COMEU O BOLO ANA: ~A ∧ ( B v C )
B: BRUNO COMEU O BOLO BRUNO: B → A
C: CLARA COMEU O BOLO CLARA: ~C ∧ B 
Vamos construir a tabela de possibilidades de valores verdade ou falsidade para os fatos 
e para os depoimentos, onde
FATOS
0 : Não comeu o bolo
1: Comeu o bolo
DEPOIMENTOS
0 : Mentiu
1: Falou a Verdade
Noções de Lógica Matemática - Cálculo Proposicional (Parte 1) 51
ÁTOMOS (PROPOSIÇÕES- PESSOAS E FATOS): A , B E C 
Como são três átomos, as nossas tabelas-verdade terão 8 linhas cada ( 23 = 8), a saber:
FATOS
DEPOIMENTOS
ANA BRUNO CLARA
A B C ~A ∧ (B v C) B → A ~C ∧ B
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0
1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
 E assim podemos tirar várias conclusões a partir das tabelas, veja a seguir.
3. Supondo que as três crianças comeram o bolo quem disse a verdade?
Na 8ª linha da Tabela de Fatos, todas as crianças comeram o bolo ( 1 ) , portanto na 
8ª linha da Tabela de Depoimentos vemos que Ana mentiu (0), Bruno disse a verdade 
( 1) e Clara mentiu (0).
A 8ª linha das duas Tabelas: Fatos e Depoimentos:
 
FATOSDEPOIMENTOS
ANA BRUNO CLARA
1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1
Se as três crianças comeram o bolo, então Bruno disse a verdade.
4. Se apenas Clara comeu o bolo, quem mentiu?
Somente a Clara mentiu, porque na 2ª linha da tabela de Fatos só Clara comeu ( 1 ), 
tiramos em frente na Tabela de Depoimentos que apenas Clara mentiu (0).
Tomando a linha 2 das tabelas Fatos e Depoimentos:
FATOS
DEPOIMENTOS
ANA BRUNO CLARA
0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0
Apenas Clara mentiu.
Noções de Lógica Matemática - Cálculo Proposicional (Parte 1) 52
5. Se apenas Bruno disse a verdade, quem comeu o bolo?
Na 6ª linha da Tabela de Depoimentos quando apenas Bruno disse a verdade (1), 
tiramos na mesma linha na Tabela de Fatos que Ana e Clara comeram o bolo ( 1 ).
FATOS
DEPOIMENTOS
ANA BRUNO CLARA
1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0
Apenas Bruno disse a verdade (1).
AGORA FAÇA VOCÊ
Três amigos, Armando ( A ), Bruno ( B ) e Carlos ( C ), foram ao campo assistir um clás-
sico, e quando o jogo acabou, relataram: 
Arnaldo: Bruno gostou do jogo mas eu não.
Bruno: Se Armaldo não gostou do jogo, então Carlos gostou.
Carlos: Eu não gostei do jogo, mas pelo menos um dos outros gostou.
Baseando-se nos depoimentos dos rapazes acima, pede-se:
1º) Simbolizar cada um desses depoimentos;
2º) Construir as Tabelas-verdade dos Fatos e dos Depoimentos;
3º) Se apenas Carlos não gostou do jogo, quem mentiu?
4º) Se apenas Carlos mentiu, quem não gostou do jogo?
Resolução:
1º) FATOS:
A: Armando gostou do jogo.
B: Bruno gostou do jogo.
C: Carlos gostou do jogo.
DEPOIMENTOS:
• Armando: B ∧ ~A
• Bruno: ~A → C
• Carlos: ~C ∧ ( A v B )
Noções de Lógica Matemática - Cálculo Proposicional (Parte 1) 53
2º) Construção das Tabelas Verdade: FATOS e DEPOIMENTOS
Como são três átomos, as nossas tabelas-verdade terão 8 linhas cada (23 = 8), a saber: 
FATOS
DEPOIMENTOS
ARMANDO BRUNO CARLOS
A B C B ∧ ~A ~A → C ~C ∧ (A v B)
0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0
1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1
3º) Na 7ª linha só Carlos não gostou do jogo ( 0 ), então quem mentiu foi o Armando ( 0).
4º) Na 4ª linha, se apenas Carlos mentiu ( 0 ), então Armando não gostou do jogo (0).
CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO 
COMPOSTA QUANTO AOS VALORES-VERDADE
A Classificação de uma proposição composta por meio de sua tabela-verdade será realiza-
da pela sua última coluna de resolução, ou seja, pelo operador mais forte da composição 
que poderá ser: tautológica, antilógica ou indeterminada.
Tautologia
Se uma proposição composta encerra apenas o valor lógico 1 (verdadeira) na coluna prin-
cipal de sua tabela-verdade, independente dos valores lógicos das outras, então dizemos 
que é uma TAUTOLOGIA ou proposição logicamente verdadeira.
Assim chama-se tautologia toda proposição composta cuja última coluna da sua tabe-
la-verdade é totalmente verdadeira, ou seja, é toda proposição composta que assume 
somente o valor “1” para todas as combinações possíveis de suas proposições simples.
As tautologias são também denominadas proposições tautológicas ou proposições logi-
camente verdadeiras.
Exemplo 1: Verificar se a proposição (P → Q) ↔ (~P v Q) é Tautológica.
Noções de Lógica Matemática - Cálculo Proposicional (Parte 1) 54
Resolução: 
Vamos construir a tabela-verdade da proposição e verificar o que a sua última coluna de 
resolução (operador bicondicional) encerra.
(P → Q) ↔ (~P v Q)
Só encerra o valor-verdade “1”
(P → Q) ↔ (~ P v Q)
0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0
1 1 1 1 0 1 1
Assim a proposição é tautológica ou é uma tautologia.
TOME NOTA
a) as tautologias são também conhecidas como Regras de Inferências.
b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de umatauto-
logia é sempre falsa, ou seja, uma contradição.
Exemplo 2: Verifique fazendo o uso da tabela-verdade, se a proposição abaixo é uma tautologia: 
 (P ∧ ~ Q) → (Q ∨ P)
Resolução: 
Construção da tabela-verdade que nesse caso a última coluna a ser resolvida é a 
Condicional (→).
 (P ∧ ~ Q) → (Q ∨ P)
A Tabela-verdade ficará assim:
Resposta é Tautológica
 (P ∧ ~ Q) → (Q v P)
0 0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0
1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1 1
Antilogia
Denomina-se Antilogia toda proposição que encerra em sua tabela-verdade, na coluna prin-
cipal, apenas o valor-verdade 0 (falsidade), ou seja, é toda proposição composta que assu-
me somente o valor F para todas as combinações possíveis de suas proposições simples. 
Também se denomina contradição que é a negação de uma tautologia, já que esta é sempre 
verdadeira e sua negação será, então, sempre falsa. Outras denominações para as contra-
dições são: proposições contra válidas ou proposições logicamente falsas.
Noções de Lógica Matemática - Cálculo Proposicional (Parte 1) 55
Exemplo 1: Verificar se é uma Antilogia a proposição: p ↔ ~p
Resposta: Contradição
P ↔ ~ P
0 0 1
1 0 0
∴ A classificação da proposição P ↔ ~P é uma Antilogia
Indeterminação ou contingência
Denomina-se Contingência ou Proposição Indeterminada toda proposição que simboliza 
(encerra) em sua tabela-verdade, na coluna principal (a última a ser resolvida), os dois 
valores-verdade 1 (verdade) e 0 (falsidade) indiferentemente, pelo menos uma vez cada 
um, ou seja, contingência é toda proposição composta que não pode ser classificada 
como tautologia nem como contradição. Outra denominação para as contingências é 
proposições indeterminadas ou proposições contingentes.
Exemplo 1: Classificar a proposição abaixo conforme seus valores-verdade: 
¬ (Q ∧ P) ↔ (¬ Q ∧ ¬ P)
¬ (Q ∧ P) ↔ (¬ Q ∧ ¬ P)
1 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0 0 0
 Resposta: Contingente
A classificação da proposição (¬ (Q ∧ P) ↔ (¬ Q ∧ ¬ P)) é uma Contingência.
AGORA FAÇA VOCÊ
Sendo P, Q e R três proposições simples quaisquer. Verifique se as seguintes proposições 
compostas são Tautologias, Antilogias ou Contingências:
1. [ (P → R) ∧ ~ P ] → ~ Q) 
2. [P ∨ (P → Q)] w ~Q 
3. [ (P → ~R) ↔ ~ P ] v Q
4. [ (P → Q) ∧ (Q → R) ] → (P → R)
Noções de Lógica Matemática - Cálculo Proposicional (Parte 1) 56
NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA - 
CÁLCULO PROPOSICIONAL (PARTE 2)
Relações entre operadores
RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Dadas duas proposições P e Q, dizemos que “ P é equivalente a Q” quando P e Q têm 
tabelas verdades iguais, isto é, quando P e Q têm sempre o mesmo valores lógicos. E indi-
camos: P ⇔ Q. Dizemos que a relação P ⇔ Q é uma equivalência quando a proposição 
bicondicional P↔Q é tautológica. 
 P ⇔ Q se e só se P↔Q é tautológica
Exemplo 1: Verificar a Equivalência: ¬ (Q ∧ P) ⇔ (¬ Q v ¬ P)
Construimos a tabela-verdade trocando o símbolo de relação (⇔) pelo símbolo de opera-
dor (↔) e verificamos se acontece a tautologia.
¬ (Q ∧ P) ↔ (¬ Q v ¬ P)
1 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 0 0 0
 Resposta: Bicondicional tautológica
Portanto a proposição (¬ (Q ∧ P) ⇔ (¬ Q v ¬ P)) é uma relação de Equivalência
∴ ¬ (Q ∧ P) ⇔ (¬ Q v ¬ P) 
Exemplo 2: Verificar a Equivalência: (Q → P) ⇔ (¬ Q v ¬ P)
Construimos a tabela-verdade trocando o símbolo de relação (⇔) pelo símbolo de opera-
dor (↔) e verificamos se acontece a tautologia.
Resposta: A Bicondicional não é tautológica
(Q → P) ↔ (¬ Q v ¬ P)
0 1 0 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 0
1 1 1 0 0 0 0
A proposição ((Q → P) ⇔ (¬ Q v ¬ P)) não é uma Relação de Equivalência
∴ (Q → P) ⇎ (¬ Q v ¬ P)
RELAÇÂO DE IMPLICAÇÃO
Dadas duas proposições P e Q, dizemos que “ P implica Q” quando a proposição condi-
cional P → Q é tautológica. E indicamos: P ⇒ Q.
 P ⇒ Q se e só se P → Q é tautológica
Noções de Lógica Matemática - Cálculo